精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 在中，已知，，，则边（ ） A. B. 2 C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（ ） A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° 6. 在正四棱台中，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题（本大题共3小题） 9. 在中，分别为的对边，（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则为钝角三角形 10. 若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则 11. 已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ） A. 该三棱柱既有外接球，又有内切球 B. 三棱锥的体积是 C. 直线与直线恒不垂直 D. 直线与平面所成角的正弦值范围是 三、填空题（本大题共3小题） 12. 在中，，，，则________. 13. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为___________m. 14. 点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，. （1）若，求△ABC的面积; （2）若，求BP的长. 16. 已知平面内两点，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程; （2）求过点且与直线垂直的直线的方程. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 在中，已知，，，则边（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解. 【详解】在中，， 由正弦定理，得. 故选：D 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，从而求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 对应倾斜角为. 故选：D 3. 已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，，，得到， 的外接圆的圆心分别为边的中点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解. 【详解】如图所示： 因为，，， 所以的中点 ，分别为 ， 的外接圆的圆心， 所以直三棱柱的外接球的球心是的中点， 所以， 所以球O的表面积为， 故选：C 【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合大边对大角，小边对小角对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，所以三角形有2解，故A错误； 对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误； 对于C， 因为是钝角，所以必须是三角形中的最大边，即应满足.但已知，矛盾，故无解，C错误； 对于D，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确. 故选：D. 5. 如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（ ） A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解． 【详解】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz． 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0）， S（0， 0 ，a） ，P（，0，）， 则（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0）， 设平面PAC的一个法向量为， 则，， ∴，可取（1，0，1）， 设直线与平面的夹角为， 则， 由，， 故选：C 6. 在正四棱台中，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，求得上、下底面所在圆的半径，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接，， 取，，的中点，连接， 所以，， 所以， 所以， 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 可得，，故或， 即或， 因为，所以， 对上式两边同时平方可得： （舍去）或， 解得，符合题意， 所以球的表面积为． 故选：A. 7. 若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出． 【详解】取直线与轴的交点，． ，． 直线与线段相交， 或． 故选：． 【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题． 8. 已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出于H，可得，，中勾股定理解得，即为点到平面的距离. 【详解】过C作于H，连结，则，. 在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 在中，分别为的对边，（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用正弦定理得到，证明出等腰三角形；B选项，利用正弦定理定理得到，从而或，即为等腰三角形或直角三角形；C选项，由正弦定理得到，求出；D选项，利用正切的和角公式得到，结合，得到，证明出为钝角三角形. 【详解】A选项，因为，所以， 由正弦定理得：，所以，故为等腰三角形，A正确； B选项，因为，所以， 由正弦定理得：，即， 所以或，故或， 则为等腰三角形或直角三角形，B错误； ，由正弦定理得：， 又因为，所以， 因为，所以，所以，故， 因为，所以，C正确； 因为， 所以，即， 因为，所以， 结合，所以一负二正，所以为钝角三角形， D正确. 故选：ACD 10. 若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，只有平面时，才能得到；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量定义进行推导. 【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误； 对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确； 对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确； 对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ） A. 该三棱柱既有外接球，又有内切球 B. 三棱锥的体积是 C. 直线与直线恒不垂直 D. 直线与平面所成角的正弦值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据外接球、内切球、锥体体积、线线垂直、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为， 则， ，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误. B选项，设是的中点，则，， 根据正三棱柱的性质可知，， 由于平面，所以平面， 所以，B选项正确. 以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设， ， ，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误. ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， ， ， 即， 所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 在中，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理及同角三角函数关系即可求解. 【详解】由正弦定理得：，则， 又因为，则，所以. 故答案为： 13. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为___________m. 【答案】 【解析】 【分析】画出示意图，在直角与直角中，求得，在中，利用余弦定理列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设炮台顶部为，两条船分别为，炮台底部为， 则， 在直角与直角中，可得，， 则， 在中，由余弦定理得 ， 即， 所以. 故答案为： 14. 点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果. 【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得， 所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，. （1）若，求△ABC的面积; （2）若，求BP的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案； （2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可. 【小问1详解】 中，设角A、B、C的对边分别为、、， 在中由余弦定理得， 即① 因，即， 整理得② ①②解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以 解得， 由正弦定理得， 即，解得， 所以， 中由正弦定理得，则， 解得， 所以. 16. 已知平面内两点，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程; （2）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，由平行关系得到，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到，由点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为直线与直线平行， 所以， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由(1)知. 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角性质求角的大小； （2）应用面积公式可得，进而有，余弦定理求得，即可得三角形周长. 【小问1详解】 由题设，又，则， 所以，则. 【小问2详解】 由题意，可得，又，则， 由余弦定理，有，则， 综上，的周长为. 18. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱柱中，，故四边形是平行四边形 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形是平行四边形，得到，故证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以， 故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 即 令，则， 设直线与平面所成角为， . 所以直线与平面所成角的正弦值是. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】 （1）[方法一]：勾股运算法证明 由题设，知为等边三角形，设， 则，，所以， 又为等边三角形，则，所以， ，则，所以， 同理，又，所以平面； [方法二]：空间直角坐标系法 不妨设，则，由圆锥性质知平面， 所以，所以． 因为O是的外心，因此． 在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，． 故，． 所以，． 又，故平面． [方法三]： 因为是底面圆O的内接正三角形，且为底面直径，所以． 因为（即）垂直于底面，在底面内，所以． 又因为平面，平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 设，则F为的中点，连结． 设，且， 则，，． 因此，从而． 又因为，所以平面． [方法四]：空间基底向量法 如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连结，，易得， 因为，所以． 以为基底，平面，则， ，且， 所以． 故．所以，即． 同理．又，所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可； （2）方法一：过O作∥BC交AB于点N，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用公式计算即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）[方法一]：空间直角坐标系法 过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得， 所以， 设平面的一个法向量为 由，得，令，得， 所以 故， 设二面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角，所以. [方法二]【最优解】：几何法 设，易知F是的中点，过F作交于G，取的中点H， 联结，则． 由平面，得平面． 由（1）可得，，得． 所以，根据三垂线定理，得． 所以是二面角的平面角． 设圆O的半径为r，则，，，， 所以，，． 在中，， ． 所以二面角的余弦值为． [方法三]：射影面积法 如图所示，在上取点H，使，设，连结． 由（1）知，所以．故平面． 所以，点H在面上的射影为N． 故由射影面积法可知二面角的余弦值为． 在中，令，则，易知． 所以． 又，故 所以二面角的余弦值为． 【整体点评】本题以圆锥为载体，隐含条件是圆锥的轴垂直于底面，（1）方法一：利用勾股数进行运算证明，是在给出数据去证明垂直时的常用方法；方法二：选择建系利用空间向量法，给空间立体感较弱的学生提供了可行的途径；方法三：利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四：利用空间基底解决问题，此解法在解答题中用的比较少； （2）方法一：建系利用空间向量法求解二面角，属于解答题中求角的常规方法；方法二：利用几何法，通过三垂线法作出二面角，求解三角形进行求解二面角，适合立体感强的学生；方法三：利用射影面积法求解二面角，提高解题速度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $