精品解析：贵州黔西南州金成实验学校2026-2027学年上学期第一次质量检测高二数学

2026—2027学年度第一学期第一次质量检测试题 高二年级 数学科目 （命题人： 审题人： ） 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂. 3、答题时字迹要清楚、工整 4、本卷共19小题，总分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 整理有： 故选：A 2. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 3. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将直线化为，其与， 则这两条平行直线间的距离为：. 4. 已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，，所以， 点在平面内，点在平面外， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A 5. 已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理的推论计算即可． 【详解】因为A，B，C，P四点共面，则根据平面向量基本定理可知， ，则， 整理得，其中，系数和为１， 故由，可知，解得 6. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【分析】三个向量不能构成空间基底，即共面，即存在实数，使， 所以， 所以，解得. 7. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 8. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分必要条件的判定，第一步正向判断充分性，第二步逆向判断必要性. 【详解】当时，直线：，直线：，斜率相等都为,所以两直线平行，即充分性成立；当直线：与直线：平行时，直线的斜率在时不存在，而此时直线的斜率存在，即不满足，由两直线平行斜率相等得或，所以不必要. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 若直线：与直线：互相平行，则实数或3 【答案】AC 【解析】 【分析】将直线整理为求出定点后可判断A；分截距为0和截距不为0两种情况讨论得到直线方程后判断B； 根据平行条件求出后利用平行线距离公式判断C；根据平行条件求后判断D. 【详解】对于A，将直线方程整理为，令，解得 ，所以直线过定点，A正确； 对于B，当直线在，轴截距为0时，此时直线方程为； 当直线在，轴截距不为0时，设直线方程为，又直线过，所以， 解得，所以直线方程为，B错误； 对于C，由平行条件可得，解得，直线可化为， 所以距离，C正确； 对于D，由得，解得或； 当时，：，：即，此时两直线重合，不符合题意； 当时，：，：，符合题意，D错误. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时，上存在点M，使得，则 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示线段上动点的坐标，将立体几何问题转化为向量坐标运算；对垂直关系选项A、C，通过计算对应向量的点积是否为 0，判断线线垂直是否成立；对选项B向量数量积最值问题，将点积表示为参数的二次函数，利用二次函数对称轴求最小值；对选项D，设出点坐标，代入向量夹角余弦公式列方程，求解并验证选项结论. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为 1， 则，，，，， 设（），则的坐标为. 选项 A ， ， ， 故，令， 解得，即存在点使得，因此A错误； 选项 B ，， ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值为，因此B正确； 选项 C，当时，， ， 即，故，因此 C正确； 选项 D，设在上，（）， 则，，， 所以， 令，平方化简得，即，因此D错误. 三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 则，解得. 13. 若直线与平行，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 14. 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率的取值范围. 【详解】如图所示，由点和， 可得， 要使得过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则满足或， 所以直线的斜率的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 【答案】（1），. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先利用直线可求出，再列出两直线相交方程组，即可求解； （2）根据题意可得直线的斜率显然存在且不为，可设，从而可求出相应的截距，即可求解. 【小问1详解】 由题得，所以，解得， 所以，即. 由方程组解得 所以点的坐标为. 【小问2详解】 直线的斜率显然存在且不为，设， 令，得，令，得，所以. 化简得，解得或， 所以直线的方程为：或. 16. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 【答案】（1） （2）5 （3）. 【解析】 【分析】（1）首先根据两点坐标求直线斜率，再代入点斜式方程整理为斜截式即可； （2）利用点C在直线上，将C点坐标代入方程求解； （3）首先利用中点坐标公式求出AB边的中点坐标，再根据两点坐标求该直线的斜率，写出点斜式方程后整理为一般式即可. 【小问1详解】 因为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 若，，三点共线，则点在直线上， 所以点的坐标满足方程，则. 【小问3详解】 由题意得线段的中点为. 若，则，则， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）将放在三角形或多边形中利用向量的线性运算法则表示即可； （2）将均用基底表示出来，再运算即可． 【小问1详解】 因为点E为的中点， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 . 18. 如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点． （1）求； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出向量坐标，进而求解即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，, 所以， 因此； 【小问2详解】 因为在直三棱柱中，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的法向量为， 所以 平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由，，平面知，平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次质量检测试题 高二年级 数学科目 （命题人： 审题人： ） 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂. 3、答题时字迹要清楚、工整 4、本卷共19小题，总分为150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 3. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 7. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 8. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 若直线：与直线：互相平行，则实数或3 10. 下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时，上存在点M，使得，则 三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则_____． 13. 若直线与平行，则______． 14. 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 16. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 18. 如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点． （1）求； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $