正弦定理与余弦定理的基础应用学案-2027届高三数学一轮复习
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内容正文：
解三角形专题 正弦定理与余弦定理的基础应用
人教 A 版 · 高三一轮复习 · 解析版
学习目标
本专题只解决一件事：已知三角形的部分元素，把剩下的边和角求出来。三角形共六个元素——三条边 a、b、c 和三个角 A、B、C，只要已知其中三个（至少含一条边），其余三个就随之确定。目标共四条。
1. 掌握正弦定理与余弦定理的内容，能根据已知条件一眼选出该用哪个定理。
2. 会用正弦定理做边角互化，会把"边的等式"与"角的正弦等式"互相翻译。
3. 会处理"已知两边及其中一边的对角"的多解问题，清楚什么时候两解、什么时候一解、什么时候无解。
4. 能综合两个定理与面积公式求边、角、面积、周长，会处理中线、角平分线、高，以及简单的实际测量问题。
一、解三角形在解什么：知三求三
两个定理的分工其实很清楚——见到"对角"关系用正弦定理，见到"夹角"关系用余弦定理：
· 正弦定理把"边"和"它的对角"绑在一起：a 对着 A，b 对着 B。已知两角一边、或已知两边及其中一边的对角，都用它。
· 余弦定理把"两边及其夹角"与"第三边"绑在一起：已知三边、或已知两边及其夹角，都用它。
· 题目若给出边与角混在一起的等式（如 sin2B + sin2C − sin2A = sinB sinC），先做边角互化统一成同一种元素，再选定理。
近三年高考里解三角形稳定占 10—17 分，解答题常放在第 1—2 题的位置。2026 年的两道大题尤其值得留意：全国Ⅰ卷第 16 题在三角形里加进了平行、垂直、点在延长线上等平面几何条件，要求先在复杂图形中"认出"那个可解的三角形；全国Ⅱ卷第 17 题反过来设问——不是求角，而是先证明这个三角形是钝角三角形，再求面积。北京卷则用机械装置考查边的取值范围。这三道题传递的信号很明确：光背公式不够了，要会在图形里挑定理，会先定性、再定量。
二、两个定理，一张表记全
表 1 正弦定理、余弦定理与面积公式
定理
公式
什么时候用
易错点
正弦定理
= = = 2R
两角一边；两边及其中一边的对角；边角互化
由 sinB = k 反求角时可能有两个解，必须讨论
余弦定理
= + − 2bc cosA
已知三边；已知两边及其夹角
求角要改用变形式；cosA < 0 表示 A 为钝角
面积公式
S = ab sinC（两边夹角）
求面积、求高、求周长
选的两条边必须夹住那个已知的角
2.1 正弦定理：边角互化的桥
图 1 三角形外接圆：边长与对角正弦之比恒为 2R
正弦定理的完整写法是 = = = 2R，其中 R 是外接圆半径。这个 2R 不是摆设——它说明每条边与它对角的正弦之比是同一个常数，正好等于外接圆的直径（图 1）。于是
a = 2R sinA， b = 2R sinB， c = 2R sinC
由它立刻得到两个最常用的推论：
· 边角互化：a : b : c = sinA : sinB : sinC。题目里出现"边的齐次等式"或"正弦的齐次等式"时，用它统一成同一种元素。
· 知二求一：已知两角一边，先用内角和求第三角，再用 = 求边。
正弦定理最需要小心之处：由 sinB = k 反求角 B 时，在 0°—180° 内通常有两个解（B 与 180° − B）。到底取几个，不能只看 k，还要用"大边对大角"来筛，详见 2.4。
2.2 余弦定理：知三求一的通法
图 2 余弦定理：a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
余弦定理是勾股定理的推广： = + − 2bc cosA。当 A = 90° 时最后一项为 0，就退化成勾股定理。它的两个用法方向相反：
· 已知两边及夹角求第三边：直接用 = + − 2bc cosA。
· 已知三边求角：改用变形式 cosA = 。
由变形式还能直接判断三角形的形状——只需盯住最大的那条边：
= + ⇔ A = 90°； > + ⇔ A > 90°； < + ⇔ A < 90°
这里的 a 指最大边、A 指它的对角。判断形状只看最大边对应的角就够了，因为一个三角形里最多只有一个钝角。2026 年全国Ⅱ卷第 17 题要求"证明三角形为钝角三角形"，用的正是这一条：算出 cosA < 0，这个角就是钝角。
2.3 面积公式：三条都能用
图 4 S = ab sinC 中的"高"，锐角时落在边上，钝角时落在延长线上
最常用的是"两边及其夹角的正弦"：
S = ab sinC = bc sinA = ca sinB
用哪一条，取决于已知的是哪两边的夹角——两条边必须夹住那个已知的角。已知三边时，先用余弦定理求出一个角，再代入面积公式。反过来，已知面积和一条边，可求这条边上的高：
h =
求高时别漏了一种情形：钝角三角形中，两条锐角边上的高会落到对边的延长线上（见例 7）。把垂足画在延长线上，勾股定理照样成立，但线段长度要用"加"而不是"减"。
2.4 已知两边及其中一边的对角：先判解的个数
图 3 以 C 为圆心、a 为半径画圆：相离无解、相切一解、相交两解
已知 a、b 和角 A（即"两边及其中一边的对角"，记作 SSA），三角形不一定唯一。先用正弦定理算出 sinB = ，再按下表判断。设 A 为锐角：
表 2 SSA 情形解的个数（A 为锐角）
a 与 b sinA、b 的关系
解的个数
理由
a < b sinA
无解
sinB > 1，这样的角不存在
a = b sinA
一解（B = 90°）
圆与射线相切
b sinA < a < b
两解
圆与射线交于两点，两个 B 互补
a ≥ b
一解
大边对大角，钝的那个 B 不成立
若 A 为直角或钝角，则简单得多：a > b 时一解，a ≤ b 时无解（钝角、直角的对角必须是最大边）。
几何上更好记：以 C 为圆心、a 为半径画圆，看它与从 A 出发的那条射线有几个交点（图 3）——相离无解、相切一解、相交两点即两解。凡是题目问"这样的三角形有几个""是否存在"，先做这个判断，不要急着解方程。
2.5 三条特殊线段：中线、角平分线、高
图 5 同一条 AD，身份不同：D 是中点、是角平分点、还是垂足
近两年的大题很爱在这三条线段上做文章。它们的套路是同一个——先在一个局部三角形里解出需要的量，再回到原三角形：
· 中线 AD（D 为 BC 中点）：在 △ABD 与 △ACD 中分别对 ∠ADB、∠ADC 用余弦定理。因为 ∠ADB + ∠ADC = 180°，两式相加就能把角消掉，得到中线长公式 AD = 。
· 角平分线 AD：先由角平分线定理 BD : DC = AB : AC = c : b 定出 BD、DC 各是多少，再回到 △ABD（或 △ACD）里用余弦定理求 AD。也可直接用角平分线长公式 AD = cos。
· 高 AD：在直角 △ABD 里用 sinB = 把高求出来，再代 S = ah 求面积。这一步最容易出错的地方见 2.3 的提醒：钝角三角形中两条锐角边上的高会落到对边的延长线上。
2026 年全国Ⅰ卷第 16 题正是把平行、垂直、点在延长线上这些平面几何条件塞进了三角形里。遇到这类题，先在图上把"可解的那一个三角形"圈出来，再往里套定理——不要一上来就设未知数解方程。
三、七类考向，各有一句题眼
表 3 解三角形的七类考向
考向
题眼
第一步
收尾动作
① 两角一边
"A = 45°，B = 60°，a = 2"
内角和求第三角，正弦定理求边
用大角对大角检验
② 两边一对角
"a = 2，b = 2，A = 30°"
正弦定理求 sinB，先判解的个数
两解都要写，逐个求第三边
③ 已知三边
"a = 3，b = 5，c = 7"
余弦定理求最大边的对角
cosA < 0 判钝角，再求面积
④ 两边一夹角
"a = 3，b = 8，C = 60°"
余弦定理直接求第三边
面积用 ab sinC
⑤ 边角互化
"sin2B + sin2C − sin2A = sinB sinC"
正弦定理化成边（或化成角）
配出 cosA 的值再求角
⑥ 面积与周长
"求面积、周长、某边上的高"
选夹已知角的那两边
高用 h =
⑦ 几何综合
"中线、角平分线、高、点在延长线上"
在局部三角形里套定理
钝角时高落在延长线上
前四类靠条件就能直接认出来，第五类要与三角恒等变换交汇，第六、七类是近两年大题最爱落脚的地方。不论哪一类，动笔前先问自己一句：题目给的角是"夹角"还是"对角"？这一句想清楚，定理就选对了一半。
四、典型例题
本专题不收小题，全部是解答题。例题按七类考向各配一道，题目依 2024—2026 年各地高考解三角形题的常见结构改编；每题都给出完整的推理链条与规范的书写步骤，可直接作为一轮复习的专题讲义。
例 1 两角一边：正弦定理求边求角
在 △ABC 中，已知 A = 45°，B = 60°，a = 2。
（1）求角 C；
（2）求边 b、c；
（3）求 △ABC 的面积。
分析：已知两角一边（AAS），三角形唯一确定。先用内角和求第三角，再用正弦定理逐个求边，最后用两边夹角公式求面积。
解：
C = 180° − 45° − 60° = 75°。
由正弦定理 = ，得 b = = = 。
同理 c = = ，而 sin75° = ，故 c = + 1。
S = bc sinA = × × (+1) × = 。
点拨：两角一边只用正弦定理；求 c 时 sin75° 要用和角公式拆成 ，硬算容易出错。
例 2 两边及其中一边的对角：先判解的个数
在 △ABC 中，已知 a = 2，b = 2，A = 30°。判断 △ABC 解的个数，并把所有解求出来。
分析：这是 SSA 情形，三角形不一定唯一。先用正弦定理算出 sinB，再用 2.4 的判定表确定解的个数，然后逐个求解。
解：
由正弦定理 sinB = = = 。
因为 0° < B < 180°，所以 B = 60° 或 B = 120°。
又 b sinA = < a = 2 < b = 2，符合两解条件，故两解都成立。
当 B = 60° 时，C = 90°，c = = = 4；
当 B = 120° 时，C = 30°，c = = = 2。
故共有两解：B = 60°，C = 90°，c = 4；或 B = 120°，C = 30°，c = 2。
点拨：判定两解的关键是 b sinA < a < b。若只写 B = 60°，就直接漏掉一半答案——这类题在高考里常以“解的个数”单独设问。
例 3 已知三边：余弦定理求角并判定形状
在 △ABC 中，已知 a = 3，b = 5，c = 7。
（1）求最大角；
（2）判断 △ABC 的形状；
（3）求 △ABC 的面积。
分析：三边已知（SSS），用余弦定理的变形式求角。最大边 c = 7 对应最大角 C，只需求这一个角就能判定形状。
解：
最大边为 c = 7，故最大角为 C。
由余弦定理变形式 cosC = = = −，所以 C = 120°。
因为 C = 120° > 90°，所以 △ABC 是钝角三角形。
S = ab sinC = × 3 × 5 × = 。
点拨：这正是 2026 年全国Ⅱ卷第 17 题的设问方式——不是求角，而是“先证明三角形为钝角三角形”，再求面积。看到三边先算最大边的对角，一步就能定性。
例 4 两边及其夹角：余弦定理求第三边
在 △ABC 中，已知 a = 3，b = 8，C = 60°。
（1）求边 c；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）求 AB 边上的高。
分析：两边及其夹角（SAS），余弦定理直接求第三边；面积用两边夹角公式；高不必另作辅助线，由 S = ch 反解即可。
解：
= + − 2ab cosC = 9 + 64 − 2 × 3 × 8 × = 49，故 c = 7。
S = ab sinC = × 3 × 8 × = 6。
设 AB 边上的高为 h，由 S = ch 得 h = = = 。
点拨：求高最快的方法是 h = 2S ÷ 底，不必重新作垂线、也不必再解一次三角形。
例 5 边角互化：正弦等式化成边
在 △ABC 中，已知 siB + siC − siA = sinB sinC。
（1）求角 A；
（2）若 a = ，b + c = 3，求 △ABC 的面积。
分析：等式关于正弦是齐二次的，可用正弦定理整体化成边；化成 +− = bc 后，正好是余弦定理的分子。
解：
由正弦定理 a = 2R sinA、b = 2R sinB、c = 2R sinC，各乘 (2R 后得 + − = bc。
于是 cosA = = = ，故 A = 60°。
由余弦定理 = + − 2bc cosA = (b+c − 2bc − bc = 9 − 3bc。
又 = 3，故 9 − 3bc = 3，得 bc = 2。
S = bc sinA = × 2 × = 。
点拨：齐次的正弦等式可直接换成边；第（2）问把 + 写成 (b+c − 2bc，是解“已知 a 与 b+c”这一类的通用技巧。
例 6 面积与周长：两边夹角的综合
在 △ABC 中，已知 b = 5，c = 8，A = 60°。
（1）求边 a；
（2）求 △ABC 的面积与周长；
（3）求 BC 边上的高。
分析：已知两边及其夹角，先用余弦定理求第三边，面积、周长、高依次算出。
解：
= + − 2bc cosA = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × = 49，故 a = 7。
S = bc sinA = × 5 × 8 × = 10。
周长为 a + b + c = 7 + 5 + 8 = 20。
设 BC 边上的高为 h，则 h = = = 。
点拨：边长 5、8、7 配 60° 角是高考里最常出现的一组数；算完记得核对大边对大角（最大边 8 对应角 A = 60°，另两角都小于 60°）。
例 7 几何综合：钝角三角形的高落在延长线上
在 △ABC 中，AB = 7，AC = 5，BC = 3，过点 A 作 AD ⊥ BC，交直线 BC 于点 D。
（1）判断 △ABC 的形状，并指出垂足 D 落在何处；
（2）求 BD、CD 的长；
（3）求 AD 的长与 △ABC 的面积。
分析：三边 3、5、7 与例 3 相同，最大角为钝角，因此 AC 边上的高会落到 BC 的延长线上。设 BD = x，在两个直角三角形中分别写勾股定理，联立解出 x。
解：
最大边 AB = 7 对应角 C，由例 3 知 C = 120°，故 △ABC 为钝角三角形，垂足 D 落在 BC 的延长线上（C 在 B、D 之间）。
设 BD = x，则 CD = x − 3。在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中分别有
A = A − B = 49 − ， A = A − C = 25 − (x−3。
两式相等：49 − = 25 − ( − 6x + 9)，即 49 = 16 + 6x，解得 x = 。
故 BD = ，CD = − 3 = 。
A = 49 − = ，故 AD = 。
S = × BC × AD = × 3 × = ，与例 3 结果一致。
点拨：先定性（钝角）才知道垂足在延长线上；勾股定理里的长度要用 BD = BC + CD，用减法就会算错。这类“点在延长线上”的设问正是 2026 年全国Ⅰ卷第 16 题的处理方式。
五、分层练习
A 组 6 题练“直接套定理求边求角”，B 组 6 题练“定理与恒等变换、几何元素、最值范围的联动”。两组都是解答题，都要写出完整过程；B 组第 1、2 题涉及最值，第 5 题涉及解的个数讨论，是近三年高考的热点。
A 组 基础巩固
1. 在 △ABC 中，已知 A = 30°，B = 45°，a = 1。
（1）求角 C；
（2）求边 b、c。
答案：C = 105°，b = ，c = 。
简析：内角和得 C = 105°；正弦定理 b = = ，c = ，其中 sin105° = sin75° = ，故 c = 。
2. 在 △ABC 中，已知 a = 3，b = 4，C = 60°。
（1）求边 c；
（2）求 △ABC 的面积。
答案：c = ，S = 3。
简析：余弦定理 = 9 + 16 − 2 × 3 × 4 × = 13，故 c = ；S = × 3 × 4 × = 3。
3. 在 △ABC 中，已知 a = 2，b = 2，c = 2。
（1）求三个角；
（2）求 △ABC 的面积。
答案：A = B = 30°，C = 120°，S = 。
简析：由 a = b 得 A = B；cosC = = −，故 C = 120°，从而 A = B = 30°；S = × 2 × 2 × = 。
4. 在 △ABC 中，已知 a = ，b = 1，B = 30°。判断 △ABC 解的个数，并把所有解求出来。
答案：两解：A = 60°，C = 90°，c = 2；或 A = 120°，C = 30°，c = 1。
简析：sinA = = = ，故 A = 60° 或 120°；又 a sinB = < b = 1 < a = ，符合两解条件。A = 60° 时 C = 90°、c = 2；A = 120° 时 C = 30°、c = 1。
5. 如图，为测量河对岸 A、B 两点间的距离，在岸边选取一点 C，测得 AC = 100 m，BC = 150 m，∠ACB = 60°。求 A、B 两点间的距离。
答案：AB = 50 m（约 132.3 m）。
简析：余弦定理：A = 10 + 15 − 2 × 100 × 150 × = 17500，故 AB = = 50 ≈ 132.3（m）。
6. 在 △ABC 中，BC = 4，CA = 3，AB = 5，D 为 BC 的中点。
（1）判断 △ABC 的形状；
（2）求中线 AD 的长。
答案：∠C = 90°，△ABC 为直角三角形；AD = 。
简析：因为 + = 25 = ，故 ∠C = 90°；D 为 BC 中点，CD = 2，在 Rt△ACD 中 AD = = 。
B 组 能力提升
1. 在 △ABC 中，已知 A = 60°，a = 。
（1）求 △ABC 的外接圆半径 R；
（2）求 b + c 的最大值；
（3）求 △ABC 面积的最大值。
答案：R = 1；(b+c) 的最大值为 2；S 的最大值为 。
简析：2R = = 2，故 R = 1。b + c = 2R(sinB + sinC) = 2 × 2sincos = 2cos ≤ 2，当 B = C = 60° 时取等号；此时 b = c = ，S = × × × = 。
2. 在 △ABC 中，已知 (a + b + c)(b + c − a) = 3bc。
（1）求角 A；
（2）若 a = 2，求 △ABC 面积的最大值。
答案：A = 60°；S 的最大值为 。
简析：展开得 (b+c − = 3bc，即 + − = bc，故 cosA = = ，A = 60°。由余弦定理 + − bc = 4，又 + ≥ 2bc，得 bc ≤ 4，于是 S = bc sinA = bc ≤ ，当 b = c = 2 时取等号。
3. 在 △ABC 中，已知 sinA = 2 sinB cosC。
（1）判断 △ABC 的形状；
（2）若 a = 2，A = 120°，求 △ABC 的面积。
答案：等腰三角形（b = c）；S = 。
简析：因为 A = 180° − (B+C)，故 sinA = sin(B+C) = sinB cosC + cosB sinC；代入已知得 cosB sinC = sinB cosC，即 tanB = tanC，故 B = C，△ABC 为等腰三角形。A = 120° 时 B = C = 30°，b = c = = ，S = × × × = 。
4. 在 △ABC 中，已知 b = 3，c = 6，A = 60°，AD 平分 ∠A 交 BC 于点 D。
（1）求边 a；
（2）求 BD、DC 的长；
（3）求 AD 的长。
答案：a = 3；BD = 2，DC = ；AD = 2。
简析：余弦定理 = 9 + 36 − 2 × 3 × 6 × = 27，故 a = 3。由角平分线定理 = = = 2，且 BD + DC = 3，得 BD = 2、DC = 。由 A = bc − BD·DC = 18 − 6 = 12，得 AD = 2（也可用面积法：S = c·AD·sin30° + b·AD·sin30°）。
5. 在 △ABC 中，已知 a = 2，A = 45°。就 b 的取值范围，讨论 △ABC 解的个数。
答案：0 < b ≤ 2 或 b = 2 时有一解；2 < b < 2 时有两解；b > 2 时无解。
简析：A 为锐角，比较 a 与 b sinA、b 的大小：a ≥ b 即 b ≤ 2 时一解；b sinA < a < b 即 2 < b < 2 时两解；a = b sinA 即 b = 2 时一解（此时 B = 90°）；a < b sinA 即 b > 2 时无解。
6. 在 △ABC 中，AB = 2，AC = 4，A = 60°，点 D 在边 BC 上，且 BD = x（0 ≤ x ≤ BC）。
（1）求 BC 的长与 ∠B；
（2）用含 x 的式子表示 A；
（3）求 AD 的取值范围。
答案：BC = 2，∠B = 90°；A = 4 + ；AD ∈ [2, 4]。
简析：B = 4 + 16 − 2 × 2 × 4 × = 12，故 BC = 2；又 + (2 = 16 = A，故 ∠B = 90°。在 Rt△ABD 中 A = A + B = 4 + ，其中 0 ≤ x ≤ 2，故 4 ≤ A ≤ 16，即 AD ∈ [2, 4]。
六、方法总结：五个动作定全局
表 4 解三角形的标准动作
步骤
要做什么
常见写法
① 画图标记
把已知量标在图上，未知的用字母暂代
在 △ABC 上标出 a = 3，b = 5，c = 7
② 选定理
见对角用正弦，见夹角用余弦；混合式先互化
已知三边 → cosC =
③ 列方程
先把已知代进去，再整理成关于未知量的方程
49 = 9 + 25 − 30cosC
④ 求解防漏
SSA 先判解的个数；sinB = k 想两个角
B = 60° 或 120°，逐个回代
⑤ 回代检验
核对内角和 180°、大边对大角、边长非负
B = 120° 时 A + B < 180°，成立
五步里最容易丢分的是第④步和第⑤步：SSA 情形只写一个解，或者多写了一个根本不存在的解——前者漏答案，后者被扣分。判断的口诀就一句：大边对大角，小边对小角；两边之和大于第三边。
再补四条可以直接用的小结论：
· 射影定理：a = b cosC + c cosB。遇到"边与余弦乘积之和"的条件，先想到它。
· 边角互化：见到 sinA、sinB、sinC 的齐次式，乘上 (2R) 就能化成边；见到边的齐次式，除以 (2R) 就能化成角。
· 外接圆半径：R = 。给外接圆半径求边，或给边求半径，都用它。
· 面积最值：已知一边及其对角 A、以及 b + c 时，先由余弦定理把 bc 解出来，再代入 S = bc sinA；由 + ≥ 2bc 可得 bc 的上界。
七、易错提醒
下面八条是这类题目最集中的失分点，动笔前先看一遍，做完后再对照一遍。
1. 由 sinB = k 反求角时只写一个锐角，忘了 180° − B 这个钝角解，SSA 情形下直接漏掉一半答案。
2. 反过来，a ≥ b 时仍然写两个解——大边必须对小边之外的那个角不成立，多写的解会被倒扣。
3. 三边求角时用错公式，把 cosA 的分子写成 + − ，正确写法是「两邻边平方和减对边平方」。
4. 判断形状时逐一看三个角，其实只需看最大边对应的那一个角；其余两个角必为锐角。
5. 面积公式乱配边：S = ab sinC 要求 a、b 夹住角 C，写成 ab sinA 就错了——a、b 夹的是角 C 而不是 A。
6. 求高时默认垂足一定落在边上，钝角三角形中两条锐角边上的高其实落在延长线上，长度要用加法算。
7. 边角互化时忘记等式必须是「齐次」的：siA 对应 ，sinA·sinB 对应 ab，次数对不上就不能直接替换。
8. 解完不检验内角和：求出的三个角加起来必须是 180°，边长必须满足两边之和大于第三边，这两条能筛掉绝大多数错解。
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解三角形专题 正弦定理与余弦定理的基础应用
人教 A 版 · 高三一轮复习 班级__________ 姓名__________ 得分__________
学习目标
本专题只解决一件事：已知三角形的部分元素，把剩下的边和角求出来。三角形共六个元素——三条边 a、b、c 和三个角 A、B、C，只要已知其中三个（至少含一条边），其余三个就随之确定。目标共四条。
1. 掌握正弦定理与余弦定理的内容，能根据已知条件一眼选出该用哪个定理。
2. 会用正弦定理做边角互化，会把"边的等式"与"角的正弦等式"互相翻译。
3. 会处理"已知两边及其中一边的对角"的多解问题，清楚什么时候两解、什么时候一解、什么时候无解。
4. 能综合两个定理与面积公式求边、角、面积、周长，会处理中线、角平分线、高，以及简单的实际测量问题。
一、解三角形在解什么：知三求三
两个定理的分工其实很清楚——见到"对角"关系用正弦定理，见到"夹角"关系用余弦定理：
· 正弦定理把"边"和"它的对角"绑在一起：a 对着 A，b 对着 B。已知两角一边、或已知两边及其中一边的对角，都用它。
· 余弦定理把"两边及其夹角"与"第三边"绑在一起：已知三边、或已知两边及其夹角，都用它。
· 题目若给出边与角混在一起的等式（如 sin2B + sin2C − sin2A = sinB sinC），先做边角互化统一成同一种元素，再选定理。
近三年高考里解三角形稳定占 10—17 分，解答题常放在第 1—2 题的位置。2026 年的两道大题尤其值得留意：全国Ⅰ卷第 16 题在三角形里加进了平行、垂直、点在延长线上等平面几何条件，要求先在复杂图形中"认出"那个可解的三角形；全国Ⅱ卷第 17 题反过来设问——不是求角，而是先证明这个三角形是钝角三角形，再求面积。北京卷则用机械装置考查边的取值范围。这三道题传递的信号很明确：光背公式不够了，要会在图形里挑定理，会先定性、再定量。
二、两个定理，一张表记全
表 1 正弦定理、余弦定理与面积公式
定理
公式
什么时候用
易错点
正弦定理
= = = 2R
两角一边；两边及其中一边的对角；边角互化
由 sinB = k 反求角时可能有两个解，必须讨论
余弦定理
= + − 2bc cosA
已知三边；已知两边及其夹角
求角要改用变形式；cosA < 0 表示 A 为钝角
面积公式
S = ab sinC（两边夹角）
求面积、求高、求周长
选的两条边必须夹住那个已知的角
2.1 正弦定理：边角互化的桥
图 1 三角形外接圆：边长与对角正弦之比恒为 2R
正弦定理的完整写法是 = = = 2R，其中 R 是外接圆半径。这个 2R 不是摆设——它说明每条边与它对角的正弦之比是同一个常数，正好等于外接圆的直径（图 1）。于是
a = 2R sinA， b = 2R sinB， c = 2R sinC
由它立刻得到两个最常用的推论：
· 边角互化：a : b : c = sinA : sinB : sinC。题目里出现"边的齐次等式"或"正弦的齐次等式"时，用它统一成同一种元素。
· 知二求一：已知两角一边，先用内角和求第三角，再用 = 求边。
正弦定理最需要小心之处：由 sinB = k 反求角 B 时，在 0°—180° 内通常有两个解（B 与 180° − B）。到底取几个，不能只看 k，还要用"大边对大角"来筛，详见 2.4。
2.2 余弦定理：知三求一的通法
图 2 余弦定理：a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
余弦定理是勾股定理的推广： = + − 2bc cosA。当 A = 90° 时最后一项为 0，就退化成勾股定理。它的两个用法方向相反：
· 已知两边及夹角求第三边：直接用 = + − 2bc cosA。
· 已知三边求角：改用变形式 cosA = 。
由变形式还能直接判断三角形的形状——只需盯住最大的那条边：
= + ⇔ A = 90°； > + ⇔ A > 90°； < + ⇔ A < 90°
这里的 a 指最大边、A 指它的对角。判断形状只看最大边对应的角就够了，因为一个三角形里最多只有一个钝角。2026 年全国Ⅱ卷第 17 题要求"证明三角形为钝角三角形"，用的正是这一条：算出 cosA < 0，这个角就是钝角。
2.3 面积公式：三条都能用
图 4 S = ab sinC 中的"高"，锐角时落在边上，钝角时落在延长线上
最常用的是"两边及其夹角的正弦"：
S = ab sinC = bc sinA = ca sinB
用哪一条，取决于已知的是哪两边的夹角——两条边必须夹住那个已知的角。已知三边时，先用余弦定理求出一个角，再代入面积公式。反过来，已知面积和一条边，可求这条边上的高：
h =
求高时别漏了一种情形：钝角三角形中，两条锐角边上的高会落到对边的延长线上（见例 7）。把垂足画在延长线上，勾股定理照样成立，但线段长度要用"加"而不是"减"。
2.4 已知两边及其中一边的对角：先判解的个数
图 3 以 C 为圆心、a 为半径画圆：相离无解、相切一解、相交两解
已知 a、b 和角 A（即"两边及其中一边的对角"，记作 SSA），三角形不一定唯一。先用正弦定理算出 sinB = ，再按下表判断。设 A 为锐角：
表 2 SSA 情形解的个数（A 为锐角）
a 与 b sinA、b 的关系
解的个数
理由
a < b sinA
无解
sinB > 1，这样的角不存在
a = b sinA
一解（B = 90°）
圆与射线相切
b sinA < a < b
两解
圆与射线交于两点，两个 B 互补
a ≥ b
一解
大边对大角，钝的那个 B 不成立
若 A 为直角或钝角，则简单得多：a > b 时一解，a ≤ b 时无解（钝角、直角的对角必须是最大边）。
几何上更好记：以 C 为圆心、a 为半径画圆，看它与从 A 出发的那条射线有几个交点（图 3）——相离无解、相切一解、相交两点即两解。凡是题目问"这样的三角形有几个""是否存在"，先做这个判断，不要急着解方程。
2.5 三条特殊线段：中线、角平分线、高
图 5 同一条 AD，身份不同：D 是中点、是角平分点、还是垂足
近两年的大题很爱在这三条线段上做文章。它们的套路是同一个——先在一个局部三角形里解出需要的量，再回到原三角形：
· 中线 AD（D 为 BC 中点）：在 △ABD 与 △ACD 中分别对 ∠ADB、∠ADC 用余弦定理。因为 ∠ADB + ∠ADC = 180°，两式相加就能把角消掉，得到中线长公式 AD = 。
· 角平分线 AD：先由角平分线定理 BD : DC = AB : AC = c : b 定出 BD、DC 各是多少，再回到 △ABD（或 △ACD）里用余弦定理求 AD。也可直接用角平分线长公式 AD = cos。
· 高 AD：在直角 △ABD 里用 sinB = 把高求出来，再代 S = ah 求面积。这一步最容易出错的地方见 2.3 的提醒：钝角三角形中两条锐角边上的高会落到对边的延长线上。
2026 年全国Ⅰ卷第 16 题正是把平行、垂直、点在延长线上这些平面几何条件塞进了三角形里。遇到这类题，先在图上把"可解的那一个三角形"圈出来，再往里套定理——不要一上来就设未知数解方程。
三、七类考向，各有一句题眼
表 3 解三角形的七类考向
考向
题眼
第一步
收尾动作
① 两角一边
"A = 45°，B = 60°，a = 2"
内角和求第三角，正弦定理求边
用大角对大角检验
② 两边一对角
"a = 2，b = 2，A = 30°"
正弦定理求 sinB，先判解的个数
两解都要写，逐个求第三边
③ 已知三边
"a = 3，b = 5，c = 7"
余弦定理求最大边的对角
cosA < 0 判钝角，再求面积
④ 两边一夹角
"a = 3，b = 8，C = 60°"
余弦定理直接求第三边
面积用 ab sinC
⑤ 边角互化
"sin2B + sin2C − sin2A = sinB sinC"
正弦定理化成边（或化成角）
配出 cosA 的值再求角
⑥ 面积与周长
"求面积、周长、某边上的高"
选夹已知角的那两边
高用 h =
⑦ 几何综合
"中线、角平分线、高、点在延长线上"
在局部三角形里套定理
钝角时高落在延长线上
前四类靠条件就能直接认出来，第五类要与三角恒等变换交汇，第六、七类是近两年大题最爱落脚的地方。不论哪一类，动笔前先问自己一句：题目给的角是"夹角"还是"对角"？这一句想清楚，定理就选对了一半。
四、典型例题
本专题全部是解答题，例题与练习都按考向分类编排。建议先盖住解析独立书写完整过程，再与解析版逐行对照——这类题的失分点往往不在思路，而在“解漏了一个”“定理选错”“符号写反”这些细节上。
例 1 两角一边：正弦定理求边求角
在 △ABC 中，已知 A = 45°，B = 60°，a = 2。
（1）求角 C；
（2）求边 b、c；
（3）求 △ABC 的面积。
解：
例 2 两边及其中一边的对角：先判解的个数
在 △ABC 中，已知 a = 2，b = 2，A = 30°。判断 △ABC 解的个数，并把所有解求出来。
解：
例 3 已知三边：余弦定理求角并判定形状
在 △ABC 中，已知 a = 3，b = 5，c = 7。
（1）求最大角；
（2）判断 △ABC 的形状；
（3）求 △ABC 的面积。
解：
例 4 两边及其夹角：余弦定理求第三边
在 △ABC 中，已知 a = 3，b = 8，C = 60°。
（1）求边 c；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）求 AB 边上的高。
解：
例 5 边角互化：正弦等式化成边
在 △ABC 中，已知 siB + siC − siA = sinB sinC。
（1）求角 A；
（2）若 a = ，b + c = 3，求 △ABC 的面积。
解：
例 6 面积与周长：两边夹角的综合
在 △ABC 中，已知 b = 5，c = 8，A = 60°。
（1）求边 a；
（2）求 △ABC 的面积与周长；
（3）求 BC 边上的高。
解：
例 7 几何综合：钝角三角形的高落在延长线上
在 △ABC 中，AB = 7，AC = 5，BC = 3，过点 A 作 AD ⊥ BC，交直线 BC 于点 D。
（1）判断 △ABC 的形状，并指出垂足 D 落在何处；
（2）求 BD、CD 的长；
（3）求 AD 的长与 △ABC 的面积。
解：
五、分层练习
A 组 6 题练“直接套定理求边求角”，B 组 6 题练“定理与恒等变换、几何元素、最值范围的联动”。两组都是解答题，都要写出完整过程；B 组第 1、2 题涉及最值，第 5 题涉及解的个数讨论，是近三年高考的热点。
A 组 基础巩固
1. 在 △ABC 中，已知 A = 30°，B = 45°，a = 1。
（1）求角 C；
（2）求边 b、c。
2. 在 △ABC 中，已知 a = 3，b = 4，C = 60°。
（1）求边 c；
（2）求 △ABC 的面积。
3. 在 △ABC 中，已知 a = 2，b = 2，c = 2。
（1）求三个角；
（2）求 △ABC 的面积。
4. 在 △ABC 中，已知 a = ，b = 1，B = 30°。判断 △ABC 解的个数，并把所有解求出来。
5. 如图，为测量河对岸 A、B 两点间的距离，在岸边选取一点 C，测得 AC = 100 m，BC = 150 m，∠ACB = 60°。求 A、B 两点间的距离。
6. 在 △ABC 中，BC = 4，CA = 3，AB = 5，D 为 BC 的中点。
（1）判断 △ABC 的形状；
（2）求中线 AD 的长。
B 组 能力提升
1. 在 △ABC 中，已知 A = 60°，a = 。
（1）求 △ABC 的外接圆半径 R；
（2）求 b + c 的最大值；
（3）求 △ABC 面积的最大值。
2. 在 △ABC 中，已知 (a + b + c)(b + c − a) = 3bc。
（1）求角 A；
（2）若 a = 2，求 △ABC 面积的最大值。
3. 在 △ABC 中，已知 sinA = 2 sinB cosC。
（1）判断 △ABC 的形状；
（2）若 a = 2，A = 120°，求 △ABC 的面积。
4. 在 △ABC 中，已知 b = 3，c = 6，A = 60°，AD 平分 ∠A 交 BC 于点 D。
（1）求边 a；
（2）求 BD、DC 的长；
（3）求 AD 的长。
5. 在 △ABC 中，已知 a = 2，A = 45°。就 b 的取值范围，讨论 △ABC 解的个数。
6. 在 △ABC 中，AB = 2，AC = 4，A = 60°，点 D 在边 BC 上，且 BD = x（0 ≤ x ≤ BC）。
（1）求 BC 的长与 ∠B；
（2）用含 x 的式子表示 A；
（3）求 AD 的取值范围。
六、方法总结：五个动作定全局
表 4 解三角形的标准动作
步骤
要做什么
常见写法
① 画图标记
把已知量标在图上，未知的用字母暂代
在 △ABC 上标出 a = 3，b = 5，c = 7
② 选定理
见对角用正弦，见夹角用余弦；混合式先互化
已知三边 → cosC =
③ 列方程
先把已知代进去，再整理成关于未知量的方程
49 = 9 + 25 − 30cosC
④ 求解防漏
SSA 先判解的个数；sinB = k 想两个角
B = 60° 或 120°，逐个回代
⑤ 回代检验
核对内角和 180°、大边对大角、边长非负
B = 120° 时 A + B < 180°，成立
五步里最容易丢分的是第④步和第⑤步：SSA 情形只写一个解，或者多写了一个根本不存在的解——前者漏答案，后者被扣分。判断的口诀就一句：大边对大角，小边对小角；两边之和大于第三边。
再补四条可以直接用的小结论：
· 射影定理：a = b cosC + c cosB。遇到"边与余弦乘积之和"的条件，先想到它。
· 边角互化：见到 sinA、sinB、sinC 的齐次式，乘上 (2R) 就能化成边；见到边的齐次式，除以 (2R) 就能化成角。
· 外接圆半径：R = 。给外接圆半径求边，或给边求半径，都用它。
· 面积最值：已知一边及其对角 A、以及 b + c 时，先由余弦定理把 bc 解出来，再代入 S = bc sinA；由 + ≥ 2bc 可得 bc 的上界。
七、易错提醒
下面八条是这类题目最集中的失分点，动笔前先看一遍，做完后再对照一遍。
1. 由 sinB = k 反求角时只写一个锐角，忘了 180° − B 这个钝角解，SSA 情形下直接漏掉一半答案。
2. 反过来，a ≥ b 时仍然写两个解——大边必须对小边之外的那个角不成立，多写的解会被倒扣。
3. 三边求角时用错公式，把 cosA 的分子写成 + − ，正确写法是「两邻边平方和减对边平方」。
4. 判断形状时逐一看三个角，其实只需看最大边对应的那一个角；其余两个角必为锐角。
5. 面积公式乱配边：S = ab sinC 要求 a、b 夹住角 C，写成 ab sinA 就错了——a、b 夹的是角 C 而不是 A。
6. 求高时默认垂足一定落在边上，钝角三角形中两条锐角边上的高其实落在延长线上，长度要用加法算。
7. 边角互化时忘记等式必须是「齐次」的：siA 对应 ，sinA·sinB 对应 ab，次数对不上就不能直接替换。
8. 解完不检验内角和：求出的三个角加起来必须是 180°，边长必须满足两边之和大于第三边，这两条能筛掉绝大多数错解。
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