极化恒等式的应用导学案-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题三 极化恒等式的应用 基础知识回顾 一 极化恒等式：设a，b是平面内的两个向量， 如图，当计算时，根据极化恒等式可得，这一表达式将数量积与和中点有关的线段相联系，将相对抽象的向量数量积问题转化为较为直观的两个向量模长的关系，在解决一些与中点、长度密切相关的向量数量积问题时，往往能化繁为简，大大减少计算量。 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 二 两个常用模型 1.平行四边形模型：两个向量作为邻边构造平行四边形，数量积等于两条对角线平方差的四分之一。 2.三角形模型（考试最常用）：为中点，则， 核心：把数量积转化成长度平方运算，不需要夹角，看到两个同起点向量点积优先考虑。 小推论：若是圆的一条直径（圆心为O），则（直径模型，极化恒等式直接推导）， 典型例题： 1．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的半径为，则，所以. 如图，根据向量加法的三角形法则可知，，且， 所以. 由已知可得，正方形上的点到点的距离，所以，所以. 故选：D. 2．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 【解析】取的中点，取，， ，因为的最小值， 所以．作，垂足为，如图， 则，又，所以，因为， 所以由正弦定理得：，，所以 ．故答案为：. 3．如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________． 【解析】圆O的半径为1，考虑到P、Q两点都是动点，不妨将，这样一转化，，，而，若，则． 若Q在的投影为的中点时，，因此的取值范围是． 4．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】 ，且.即 设与的夹角为，则. 因为，所以.故答案为： 5.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故． 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离． 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值． 6．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有则（ ） A． B． C． D． 解：记中点为点，中点为点，则，注意到为定值，即为时最小时，故，选D。 7．如图，在中，是边的中点，是上的两个三等分点，，则 。 解：由极化恒等式： 解得： , 答案为 8．如图，在平面四边形中， ，若点为边上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解：记中点为点， ，取最小值当且仅当最小，此时。作于，易知，选A。 9．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 解：记中点为点，中点为点，则，当且仅当为点时取最小值，选B。 10．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆半径为1是直径，所以根据向量加法和减法法则知：；又是直径，所以则 故选 B 巩固提升： 1．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以，易知，当时，最小， 所以，即，解得，故的最小值为．故选 B 2．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是 A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】过作交于.因为M是AC的中点，故是的中点， 故是的中位线，故且.又，故，故且.故，故，，故. 又，故，即. 化简得，所以.故选 A 3．已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则． 设圆的半径为，而，则： ． 因此的取值范围是．故选C 4．已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径， 又由， 因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：D 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题三 极化恒等式的应用 基础知识回顾 一 极化恒等式：设a，b是平面内的两个向量， 如图，当计算时，根据极化恒等式可得，这一表达式将数量积与和中点有关的线段相联系，将相对抽象的向量数量积问题转化为较为直观的两个向量模长的关系，在解决一些与中点、长度密切相关的向量数量积问题时，往往能化繁为简，大大减少计算量。 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 二 两个常用模型 1.平行四边形模型：两个向量作为邻边构造平行四边形，数量积等于两条对角线平方差的四分之一。 2.三角形模型（考试最常用）：为中点，则， 核心：把数量积转化成长度平方运算，不需要夹角，看到两个同起点向量点积优先考虑。 小推论：若是圆的一条直径（圆心为O），则（直径模型，极化恒等式直接推导）， 典型例题： 1．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________． 3．如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________． 4．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是 . 5.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 6．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边的中点，是上的两个三等分点，，则 。 8．如图，在平面四边形中， ，若点为边上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 10．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则 A． B． C． D． 巩固提升： 1．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是 A． B． C． D．3 3．已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 4．已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $