培优08 三角函数的图象与性质及三角恒等变换（专项训练）高一数学人教A版第一册

专题08 三角函数的图象与性质及三角恒等变换 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的图象与性质 题型1 正弦（型）函数、余弦（型）函数的图象 题型2 正弦（型）函数、余弦（型）函数的的性质（重） 题型3 正切（型）函数的性质与图象（高频） 考点二 三角恒等变换 题型1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（重） 题型2 简单的三角恒等变换 题型3 三角函数的应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的图象与性质 ◆题型1正弦（型）函数、余弦（型）函数的图象 1．下列选项中是函数，的图象上最高点的坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知函数的最大值为，此时， 在区间内，时，， 此时对应的，所以最高点坐标为. 2．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域及函数图像的平移变换规律，结合特殊点坐标进行判断. 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ， 即函数 的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于 轴上方（包含与 轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在 轴上方，最大值为 ，且当 时 ，符合函数 的特征. 3．函数在上的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法即可求解. 【详解】取，则，排除BCD选项， 故只有A选项符合题意. 4．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数. 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 5．已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项. 【详解】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确， 故选：C. ◆题型2 正弦（型）函数、余弦（型）函数的的性质 1．函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义和诱导公式判断即可. 【详解】令，且定义域为R，， 符合偶函数的定义，故该函数是偶函数. 2．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算的最小正周期，再结合绝对值翻折对正弦函数周期的影响求解即可. 【详解】对于，最小正周期为， 的图像是将的图像中位于轴下方的部分沿轴翻折得到， 翻折后函数周期变为原周期的， 因此的最小正周期. 3．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. C选项，代入，，是函数图象的一条对称轴； D选项，，为函数图象的一个对称中心，不是函数图象的一条对称轴，故排除D. 4．若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期得到的值，从而得到对称轴方程，结合选项，代入值验证即可求解． 【详解】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 5．已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． ◆题型3 正切（型）函数的性质与图象 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 2．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 3．函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据三角函数图象变换求解. 【详解】因为， 所以只需将函数向左平移个单位长度得到. 故选：C. 5．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 考点二 三角恒等变换 ◆题型1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数关系，两角和的余弦公式可得答案. 【详解】因，则，结合，可得. 因，则. 则 2．已知，则＝（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】由及，得，所以， 所以. 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将两式分别平方后相加 展开左边 则，所以. 4．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， . 5．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】依题意. ◆题型2简单的三角恒等变换 1．已知函数，（）是奇函数，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为是奇函数， 所以，即， 又，故. 2．已知点是函数的对称中心，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先将函数化简为辅助角形式，利用正弦函数对称中心的相位性质代入求解ω的表达式，匹配选项即可. 【详解】利用辅助角公式将函数变形：, 则是的对称中心，说明当时，相位满足：, 整理等式：, 当时，. 3．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知等式两边平方，结合同角三角函数基本关系式求出，再根据α为锐角且确定2α的取值范围，最后利用同角三角函数的平方关系确定的符号并计算出结果. 【详解】由，两边平方得， 解得； 因为为锐角，且，故，可得，因此， 即在第二象限，； 由同角三角函数关系，得， 结合，得. 4．已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（ ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】的最小正周期为，， ， 又， ， 则 ， ， 的最大值为． 5．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合自变量区间求最值，最后计算最值之和. 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. ◆题型3三角函数的应用 1．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用余弦函数性质求出函数的值域. 【详解】. 从上午10点到晚上8点期间，，. 余弦函数在上的取值范围是， 因此的取值范围. 因此温度变化范围为. 2．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【答案】B 【分析】应用周期代入点计算求解解析式判断A，应用余弦函数值域计算求解参数判断B，C，D. 【详解】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得， 当时，，即，， 所以，则，故A错误； 若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，， 这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 3．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 4．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式求出. 【详解】因为当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点， 所以，则，则， 又因为，则， 因为，所以当时，，所以， 当时，. 则过山车启动时距地面. 故选：C. 5．声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D. 【详解】A选项，易知的定义域为， 又 ，故是奇函数，A正确； B选项，时，， 故，在上都是增函数， 在上单调递增，B正确； C选项，由， 得的最大值，故的振幅必然大于的振幅， 即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误； D选项，对于， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率， 声音乙的频率更低，比低沉，D正确. 故选：C. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：在上递增，上递减，在上不是减函数. 对于选项B：的单调递减区间为，取得，故在上是减函数. 对于选项C：时，在、上递增，在上不是减函数. 对于选项D：时，在上递增，在上不是减函数. 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 3．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 4．若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线关于直线对称，则， 即， 因为， 当时，， 当时，（舍去）， 所以的最小值为，选项B正确. 5．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令 ，把条件转化为相位区间内不含使 的点 ，由此求出 的可取范围，再判断各选项． 【详解】令 ． 当 时，． 因为 当且仅当 ，所以题设要求上述开区间内不含任何 ． 因此存在 ，使 ，且 ． 化简得 ． 结合 可知只有 或 时有解． 当 时，； 当 时，． 故 ． 又 ，所以 ； 而 ． 因此 均可能取到，只有 不可能取到． 6．已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定时函数的零点个数，再转化为三角函数在上有个零点，从而求解的取值范围. 【详解】当时，单调递增， 又，， 故函数在上有一个零点， 则当时，有两个零点， 当时，， 则有，解得， 故的取值范围为. 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】A：因为函数的最小正周期为，所以本选项说法正确； B：因为， 所以函数的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以函数的图象关于直线对称，因此本选项说法正确； D：当时，，所以在区间上单调递增，因此本选项说法正确. 8．已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，最小正周期，故B错误； 对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误； 对于D，由得，则， 解得，，故D正确. 三、填空题 9．已知，则______． 【答案】 【分析】先证明函数的周期为，再求，结合周期性性质求结论. 【详解】， 的周期为， 又，， 又，， ， 则 . 10．已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________.    【答案】 【分析】利用中点坐标公式得到点 C 坐标，借助二倍角公式转化为关于的一元二次方程，结合取舍求解. 【详解】由题意及图象，点对应的是最小值横坐标，故可设，，，则， 因B恰为AC的中点，则，即， 又B，C为图象上的两点，则，且， 则得，即， 也即，解得， 因，则. 四、解答题 11．已知函数． (1)求的最小正周期及对称轴； (2)求单调递增区间； (3)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】(1)最小正周期为；对称轴为 (2)单调递增区间为 (3)当时取最大值3；当时取最小值0 【分析】（1）将化简为，利用最小正周期公式求解，利用正弦函数的图像和性质求解； （2）利用正弦函数的图像和性质求解； （3）利用正弦函数的图像和性质求解； 【详解】（1）， ， 则的最小正周期为， ，解得，即， 则函数的对称轴方程为. （2）， ， ， 则的单调递增区间为. （3），则， 当，即时，，则， 当，即时，，. 则在区间上的最大值为，此时，最小值为，此时. 12．已知，对任意都有， (1)若，当时，求的值； (2)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦函数的对称性与三角恒等变换公式计算即可得； （2）利用诱导公式计算可得恒成立，再结合换元法可得任意，都有恒成立，最后借助基本不等式计算出的最小值即可得. 【详解】（1）由对任意都有，故关于对称， 则有，解得， 又，故，即， 则，即， 由，则， 由且， 则，故， 则 ； （2）， 则对任意，都有恒成立， 令，由，则， 则， 即对任意，都有恒成立， 即对任意，都有恒成立， 令，对任意，都有恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，即实数的取值范围为. 13．已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）三角恒等变换降幂，利用对称轴间距求周期，算出； （2）正弦函数增区间整体代换，再和定义域取交集； （3）任意性恒成立转化：，分别求其最值，解不等式求出的取值范围. 【详解】（1）， 相邻对称轴距离，， 即. （2） 解不等式， 可得， 或，与求交集： 递增区间为，. （3）对于任意的，，都有， 等价于， ，，， 不等式转化为， ， 令，， ，开口向下，对称轴， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 综上，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数的图象与性质及三角恒等变换 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的图象与性质 题型1 正弦（型）函数、余弦（型）函数的图象 题型2 正弦（型）函数、余弦（型）函数的的性质（重） 题型3 正切（型）函数的性质与图象（高频） 考点二 三角恒等变换 题型1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（重） 题型2 简单的三角恒等变换 题型3 三角函数的应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的图象与性质 ◆题型1正弦（型）函数、余弦（型）函数的图象 1．下列选项中是函数，的图象上最高点的坐标的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 3．函数在上的图象是（   ） A． B． C． D． 4．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． ◆题型2 正弦（型）函数、余弦（型）函数的的性质 1．函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． ◆题型3 正切（型）函数的性质与图象 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 3．函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 考点二 三角恒等变换 ◆题型1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则＝（   ） A．1 B．7 C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（     ） A． B． C． D． ◆题型2简单的三角恒等变换 1．已知函数，（）是奇函数，则值为（     ） A． B． C． D． 2．已知点是函数的对称中心，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（ ） A．0 B． C．2 D． 5．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． ◆题型3三角函数的应用 1．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 3．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 4．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 5．声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．若，，则（     ） A． B． C． D． 4．若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 6．已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 8．已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 三、填空题 9．已知，则______． 10．已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________.    四、解答题 11．已知函数． (1)求的最小正周期及对称轴； (2)求单调递增区间； (3)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 12．已知，对任意都有， (1)若，当时，求的值； (2)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 13．已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $