3.3抛物线解答题八种题型专项训练（基础卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线解答题的八种题型（基础卷）

目　录

题型一　抛物线的定义与标准方程

题型二　焦点弦与焦半径

题型三　中点弦与中点轨迹

题型四　弦长的计算

题型五　面积问题

题型六　定点问题

题型七　定值与垂直问题

题型八　最值、范围与存在性问题

题型一　抛物线的定义与标准方程

【解题技巧】通法：求抛物线标准方程先再：焦点在轴正半轴对应、焦点、准线，开口方向由焦点或准线位置确定，再由条件列方程解出；凡涉及与，用焦半径互化；轨迹问题先设动点坐标、列几何条件等式再消参，并检验去掉不满足定义的点；应用题先建系设方程，把实际条件（限高、聚点）翻译为曲线上点的坐标代入。易错点：开口方向与的符号不对应；轨迹方程漏检验；应用题最后不作答或漏单位。

1．（1）根据下列条件写出抛物线的标准方程：

①焦点是；

②准线方程是；

 

 

 

2．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

    

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；

(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.

 

 

 

3．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．

 

4．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点为直线与坐标轴的交点的抛物线的标准方程.

 

5．求适合下列条件的抛物线标准方程.

（1）过点的抛物线的标准方程.

 

 

 

 

 

 

题型二　焦点弦与焦半径

【解题技巧】通法：过焦点的直线交于、，记牢三件套：、、；

1．设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.

 

 

2．已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标，斜率为的直线l与C相交于A，B．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若，求l的方程．

 

3．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.

(1)求实数的值；

(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

 

 

4．已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.