3.3.1 抛物线及其标准方程常见的七种题型（提高卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线及其标准方程常见的七种题型（提高卷）

目　录

题型一　抛物线的定义与轨迹方程

题型二　焦半径与距离最值

题型三　标准方程与焦点准线

题型四　焦点弦与中点弦

题型五　实际应用与抛物线性质辨析

题型六　抛物线方程与弦长解答题

题型七　圆锥曲线综合与定点定值

 

 

 

 

题型一　抛物线的定义与轨迹方程

【解题技巧】抛物线定义是解题的钥匙：平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹（l不过F）。看到到焦点距离立即转化为到准线距离，许多最值与轨迹问题靠这一转化化斜为直。求轨迹方程时先判断谁是定点、谁是定直线：距离差等于定点到定直线距离时为抛物线，大于时为双曲线一支，等于零时为射线。设方程先定开口方向，用待定系数法设y²=2px或x²=2py，动圆与定圆、定直线相切类问题转化为圆心距关系后再判断曲线类型。

1．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）

A．   B． C．  D．

2．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ）

A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

3．动点到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，则动点的轨迹是

A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线

4．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，求动圆圆心的轨迹的方程.

 

 

 

题型二　焦半径与距离最值

【解题技巧】焦半径的核心转化：抛物线y²=2px上点P到焦点的距离等于P的横坐标加p/2。求|PA|+|PF|型最值，把|PF|换成P到准线的距离，化为垂线段最短；与圆结合时，用圆心到焦点的距离减半径，再加焦半径转化，逐段拆解。中点弦问题用点差法：设两端点坐标代入方程相减，得到斜率与中点坐标的关系，配合判别式检验直线是否存在。涉及三角形周长最小值时，同样用定义把两段折线拉直处理。

1．已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为（    ）

A．9 B． C．3 D．

2．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ）

A．3 B． C．4 D．

3．已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

4．设点是抛物线:上的动点，点是圆:上的动点，是点到直线的距离，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ）

A． B． C．2 D．4

6．已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

题型三　标准方程与焦点准线

【解题技巧】四种标准方程y²=2px、y²=-2px、x²=2py、x²=-2py的焦点分别在x轴正方向、x轴负方向、y轴正方向、y轴负方向上距原点p/2处，准线方程与焦点关于顶点对称。p的几何意义是焦点到准线的距离，p/2才是焦点到顶点的距离。已知准线或焦点反求参数时，先由位置定开口方向，再由距离列方程。含参数m的方程x²=my中p=|m|/2，一次项变量决定对称轴，系数符号决定开口，讨论正负避免漏解。

1．抛物线的准线方程是（   ）

A． B． C． D．

2．已知点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（   ）

A． B． C． D．

3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（　　）

A． B．

C． D．

4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（     ）

A． B． C． D．

5．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．抛物线（）上点到其准线的距离为1，则a的值为_________．

题型四　焦点弦与中点弦

【解题技巧】过焦点的弦性质丰富：通径最短为2p；焦点弦长|AB|=x1+x2+p；两端的焦半径之和等于弦长；以AB为直径的圆与准线相切；x1x2=p²/4为定值，y1y2=-p²。中点弦问题优先点差法：把A、B坐标代入方程相减得斜率与中点横坐标的关系，由中点坐标直接求斜率，再用判别式确认直线存在。

1．已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ）

A． B． C． D．

2．已知抛物线：的焦点为，点，为在第一象限内的一点，若，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

3．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A在C上， ，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ）

A．1 B． C．2 D．4

5．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____．

题型五　实际应用与抛物线性质辨析

【解题技巧】抛物线应用题（拱桥、隧道、吊桥、天线）建模四步：建系、设标准方程、代入已知点求p、回代求解。拱桥问题以拱顶为原点、对称轴竖直，设x²=-2py；天线与探照灯问题以顶点为原点、对称轴水平，反射性质是平行于轴的入射线经反射后过焦点。多选题围绕定义、标准方程、焦半径、焦点弦性质逐项判断：先算准p与开口方向，再用定义转化距离，每一项都要有计算或推理依据，切勿凭图形直觉猜答案。

1．已知抛物线与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（   ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为

C． D．点到抛物线的焦点的距离为4