3.7 扇形 课时1 弧长及扇形面积（教学课件）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第三章 圆 3.7 扇形 3.7.1 弧长及扇形面积 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解扇形的概念 探索并掌握弧长及扇形面积的计算公式 能灵活运用公式解决与弧长、扇形面积相关的几何图形（阴影部分）计算问题 经历从 “圆的周长与面积” 到 “弧长与扇形面积” 的推导过程，体会整体与部分之间的比例关系，以及转化思想 02 01 情境导入 周末，小明和小丽去披萨店吃披萨。他们点了一个12寸（半径为 R）的大披萨。服务员端上来时，已经把披萨切成了8等份。小丽拿了一块，小明拿了相邻的两块。小丽说：“你拿的披萨面积是我的2倍，你不觉得不公平吗？”小明笑着说：“这块披萨对应的圆心角是，你的是 ，我吃得多是应该的呀！那如果切得再碎一点，比如圆心角是 的一小块，它的边缘（弧长）和面积到底该怎么算呢？” 情境导入 思考一下： 圆心角为 的扇形，它的弧长占整个圆周长的几分之几？​ 它的面积占整个圆面积的几分之几？ 课堂探究·知识预习奠基 新知讲解：扇形的定义 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）。 扇形是一个封闭的平面图形，包含两条半径和一段弧 新知讲解：弧长公式的探究 如图，当圆的半径确定时，扇形的弧长随圆心角度数的变化而变化，它们之间有怎样的数量关系? 新知讲解：弧长公式的探究 如图，当圆的半径确定时，扇形的弧长随圆心角度数的变化而变化，它们之间有怎样的数量关系? 圆的周长为 ，对应圆心角为 。​ 的圆心角所对的弧长为圆周长的 ，即 ；​ 的圆心角所对的弧长为圆周长的 ，即 ...... 新知讲解：弧长公式 由此可得，在半径为 的圆中，弧长 与所对的圆心角度数 之间有如下关系: 在弧长计算公式中， 表示 的圆心角的倍数，在应用公式时，“”和“180”都不带单位。 例题 1、已知圆的半径 ，求 圆心角所对的弧长。 答： ​ 2、已知一段弧长为 ，半径为 2，求它所对的圆心角。 答：，解得 。 新知讲解：扇形面积公式 同样利用比例关系推导。圆的面积为，对应圆心角为 。圆心角为 的扇形面积是整个圆面积的 。于是我们得到扇形面积公式： 结合弧长公式，我们可以进一步推导得： 新知讲解：两个公式的对比与选择 已知圆心角 和半径 ：优先使用 。​ 已知弧长 和半径 ：优先使用 ​ 注意：这里的 R 必须是扇形所在圆的半径， 是对应的弧长。 新知讲解：阴影面积的 “转化” 思维 复杂的阴影部分面积通常不能直接套公式，需要通过“割补法”来转化： ​和差法： 或 整体减去空白。 ​等积变形法：利用同底等高或对称性，将不规则图形拼凑成规则图形。 在涉及半圆或等分点时，经常出现需要平移、旋转的阴影面积。 核心思路：看阴影部分的各部分能否拼凑成一个完整的扇形或三角形。 例题（教材例1） 如图， 是 的内接三角形，。已知 的半径为 2。求劣弧 的长。​ 解：如图，连接 ，则 为 所对的圆心角。 ， （圆周角定理）。 的长 。 例题（教材例2） 如图，折扇打开后， 的夹角为 ， 的长为 30 cm， 的长为 20 cm。求图中阴影部分的面积 。 解：根据题意，得 。 ，，。 ， ， 。 在应用公式 和 时，圆心角 代入时不带单位“度”。​ 注意区分弧长公式中的分母是180，而扇形面积公式中的分母是360，切勿混淆。​ 中的 是弧长， 是半径。​ 计算阴影面积时，先观察图形特征（如对称、平行等），再决定使用“和差法”还是“割补法”。 易错提醒 课后测评·学业效果巩固 1. 如图，是劣弧上一点，，，则劣弧的长度为（ ） A. B. C. D. 课后测评 C 【解析】将补充完整，作劣弧所对的圆周角，使D在优弧AB上.A，D，B，C四点共圆，劣弧AB的长度为.故选C. 2. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 课后测评 A 课后测评 【解析】如图，连接，过点A作于点B.，是等边三角形，，，，，.故选A. 3. 如图，滑轮圆心为，半径为，若在力的作用下，滑轮上一点绕点顺时针旋转，则图中物块上升 .(结果保留). 课后测评 【解析】由题意得物块上升的高度为，故答案为. 4. 如图，四边形的三个顶点均在上，对角线交于点.若的半径是，且四边形是菱形，则图中阴影部分的面积是 . 课后测评 【解析】四边形是菱形，是等边三角形，题图中. 5. 如图，点把半圆三等分.若阴影部分的面积是，则半圆的半径的长为 . 课后测评 【解析】连接，则.又和均为等边三角形，.设半圆的半径为，，解得，半圆的半径的长为3. 6. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点行驶至终点，过点的两条切线相交于点，机动车在从点到点的行驶过程中转角为.若这段圆弧的半径，则图中危险区（阴影部分）的面积为 . 课后测评 课后测评 【解析】连接OC.由题意得.易得，故答案为. 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接. （1）求证：. （2）若，求两点旋转所经过的路径长之和. 课后测评 课后测评 （1）【证明】依题意，得是等边三角形，. （2）【解】依题意，得两点旋转所经过的路径长之和为. 课堂小结 第三章 圆 3.7 扇形 3.7.1 弧长及扇形面积 $