第04讲 单杆模型讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027年高考物理一轮复习

第04讲 电磁感应——单杆模型 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 10 题型归纳 10 题型01：有初速度的“单杆+电阻”模型 10 题型02：有恒力作用下的“单杆＋电阻”模型 21 题型03：含电源的 “单杆+电阻”模型 31 题型04：有初速度的“单杆＋电容器”模型 37 题型05：恒力作用下的“单杆＋电容器”模型 39 题型06：“单杆+电容+电阻等”综合模型 42 巩固提升 49 1. 考查位置与分值 选择、实验、计算题第一问高频出现；常作为压轴大题的起始模型。 选择题：4–6分；计算题：6–12分，经常结合受力、动量、能量、图像综合考查。 2. 两大基础分类 ① 导轨有电源：通电导体棒在安培力作用下运动（电→动，安培力为动力） ② 导轨无电源：导体棒切割磁感线产生感应电动势（动→电，安培力为阻力，考试最多） 无电源单杆又细分：恒力拉、外力变力、有初速度、含电容器、含电阻。 3. 高频命题方向 ①动力学：受力分析、加速度变化、收尾速度（匀速）； ②能量：动能定理、能量守恒（外力做功 = 棒动能增量 + 电路焦耳热）； ③动量：安培力冲量，求位移、电荷量； ④图像：v-t、i-t、F-t、P-t 图像判断； ⑤特殊拓展：接电容器的单杆（匀加速，区别于接电阻的变加速）。 4. 命题陷阱 ①分不清“有电源”和“无电源”，安培力是动力还是阻力搞反； ②收尾状态误以为一定匀速（接电容器是匀加速，没有匀速）； ③焦耳热直接用 Q=Rt，电流变化时不能直接套； ④动量定理应用时，忘记安培力是变力，优先用冲量推论； ⑤有效切割长度L、导轨倾斜、有摩擦的情况容易漏掉重力分力、摩擦力。 一：基础目标 1. 识别单杆模型，熟练应用必备公式 2. 会受力分析，判断加速度、速度变化，能推导匀速收尾速度； 3. 会用右手定则、左手定则判断电流、安培力方向； 4. 会用能量关系求焦耳热。 二：进阶目标 1. 掌握动量定理在单杆变加速中的应用，会求位移、电荷量； 2. 区分接电阻、接电容器两种单杆的运动规律（变加速与匀加速）； 3. 会处理倾斜导轨、有摩擦、有初速度的单杆； 4. 看懂单杆各类图像，能结合函数推导图像斜率截距。 三：素养目标 建立“电磁感应+力学+能量+动量”的综合分析链条，知道什么时候用牛顿定律、什么时候用能量、什么时候用动量。 必背公式 ①磁通量公式：； ②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：； ③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数） ④感应电流与感应电动势的关系：； ⑤与线框有关的公式：；；； 模型一：“单杆＋电阻”模型 （一）v0≠0 无外力作用下的情况 1.运动分析 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计 力学观点 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力＝BIL＝，做减速运动，v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 运动图像 能量观点 动能全部转化为内能：Q＝ 2.四个规律（导轨不光滑） ①全过程能量关系：， 速度为v时的能量关系 电阻产生的焦耳热与电路中总的焦耳热的关系： ②瞬时加速度：， ③电荷量 ④动量关系： 安培力的冲量的两种变换方式： ，＝＝＝ （二）v0＝0有外力作用下的情况 1.电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势 2.安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大。 3.加速度特点：加速度随速度增大而减小。 4.运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动 5.最终特征：匀速运动 6.两个极值 ①v＝0时，有最大加速度： ②a＝0时，有最大速度：， 7.起动过程中的三个规律 ①动量关系：， ②能量关系： ③电荷量 8.两种变化形式 ①电路变化 ②导轨面变化（竖直或倾斜） 9.若在F的作用下使导体棒做匀加速直线运动则F随时间线性变化。 证明：根据法拉第电磁感应定律 （1） 闭合电路欧姆定律 （2） 安培力F＝BIL （3） 由（1）（2）（3）式得 由牛顿第二定律得 由运动学公式 联立得 可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即 （三）v0＝0有电源的情况 1.力学对象和电学对象的相互关系 2.能量转化及焦耳热的求法 （1）能量转化 （2）求解焦耳热Q的三种方法（纯电阻电路） 3．运动分析 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计 力学观点 S刚闭合，杆ab受安培力＝，此时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势BLv↑⇒I↓⇒安培力＝BIL↓⇒加速度a↓，当BLv＝E时，v最大，且vm＝ 运动图像 能量观点 电源输出的电能转化为动能和电路焦耳热：W电＝＋Q 模型二：“单杆＋电容”模型 （一）无外力充电式模型 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计 力学观点 导体杆速度为v时，感应电流I＝，导体杆受安培力＝BIL，做减速运动，v↓，电容器充电，UC↑，↓，a↓，当BLv＝UC时，I＝0，＝0，杆匀速运动 运动图像 （根据q＝CU、U＝BLvm、＝mvm－mv0、q＝，可得vm＝） 能量观点 导体杆的部分动能转化为电阻的电热和电容器的电场能： ＝＋Q＋EC （二）无外力放电式模型 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻为R 力学观点 电容器充满电后，S合向2，导体杆受安培力运动，产生电动势E＝BLv，感应电流I＝，导体杆受安培力＝BIL，做加速运动，v↑，电容器放电UC减小，↓，a↓，当BLv＝UC时，I＝0，＝0，杆匀速运动 运动图像 （根据Δq＝q0－q＝CE－CBLvm、＝mvm－0、Δq＝，可得vm＝） 能量观点 电容器的部分电场能转化为电阻的电热和导体杆的动能： EC0＝＋Q＋ECm (三)有外力充电式模型 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定 力学观点 开始时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv，电流I＝＝＝CBLa，安培力＝BLI＝CB2L2a，F－＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度匀加速运动（若回路有电阻，则杆不做匀加速运动） 运动图像 能量观点 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为电容器的电场能： WF＝＋EC 注意： (1)在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解速度、位移、电荷量，以及除安培力之外恒力的作用时间。 (2)若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似。 模型三：“单杆+电容+电阻等”综合模型 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动. 电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLv. 运动特点及最终 特征 a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0. 最大速度vm 电容器充电荷量：Q0＝CE 放电结束时电荷量： Q＝CU＝CBLvm 电容器放电荷量： ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理： mvm＝＝BLΔQ vm＝ v－t图象 第一步：先定模型类型（先判断） 1. 无电源、棒在外力/初速度下切割： 2. 有电源：安培力是动力，棒加速切割，产生反电动势 3. 导轨末端接电容器的单杆有外力作用最终均作匀加速直线运动，无外力作用最终做匀速直线运动 第二步：三套工具，按需选用（核心） 1. 牛顿运动定律（适合瞬时状态、加速度分析、收尾速度） 2. 能量守恒（适合求焦耳热、做功） 3. 动量定理（适合求位移、电荷量，变加速首选） 第三步：标准解题流程 1. 画受力图：重力、支持力、外力、摩擦力、安培力； 2. 写出电动势、电流、安培力表达式； 3. 判断运动性质：匀加速 / 加速度减小的加速 / 减速； 4. 根据问题选规律： ①求收尾速度、某时刻加速度 → 牛顿定律 ②求热量、做功 → 能量 ③求位移、时间、电荷量 → 动量定理 5. 检查：导轨倾斜、摩擦、电源、电容器这些附加条件。 题型01：有初速度的“单杆+电阻”模型 【典型例题1】如图所示，在磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，让导体PQ在U形导轨上以速度v＝10m/s向右匀速滑动，两导轨间距离l＝0.8m，则产生的感应电动势的大小和P、Q两点电势关系为（　　） A．4V，P点电势高 B．0.4V，Q点电势高 C．4V，Q点电势高 D．0.4V，P点电势高 【典型例题2】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、cd以速度匀速滑动，滑动过程PQ始终与垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中（　　） A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 【典型例题3】（多选）如图所示，在水平面上有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨间连接电阻为R（其余电阻不计），导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大小为B；已知金属杆MN质量为m，与导轨接触良好。当金属杆以初速度v0向右滑动，在运动过程中（　　） A．金属杆MN将做匀减速运动 B．金属杆MN的最大加速度为 C．电阻R总共产生的电热为 D．感应电流通过金属杆的方向由M流向N 【典型例题4】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．金属杆经过的速度为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．金属杆经过与区域，金属杆所受安培力的冲量相同 D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍 【典型例题5】（多选）如图所示，间距为l的平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒在ab位置以初速度v沿导轨向上运动，最远到达a'b'处，导体棒向上滑行的最远距离为x.已知导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（　 　） A.导体棒受到的最大安培力为 B.导体棒损失的机械能为mv2－mgxsinθ C.导体棒运动的时间为 D.整个电路产生的焦耳热为mv2－mgx（sinθ＋μcosθ） 【典型例题6】如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨、水平固定，其间距为，阻值的电阻接在导轨、端，质量的导体棒静止在导轨上，棒接入电路的电阻为，初始时棒离距离为。从0时刻开始，棒被锁定保持静止，在空间施加方向竖直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；时，棒在水平外力作用下从静止开始向左做匀加速直线运动，，经过位移后撤去外力，棒最终停止在导轨上。棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)内整个回路产生的热量； (2)当棒的速度时，两点的电势差； (3)整个过程流过定值电阻的电荷量。 【典型例题7】如图所示，一间距、电阻不计的足够长粗糙矩形导轨，与水平面的夹角，两端接有阻值分别为的定值电阻，矩形区域Ⅰ、Ⅱ内均有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小，两区域边界之间的距离。质量，电阻的导体棒垂直放在导轨上，其长度也为，在沿导轨平面向上的恒力作用下导体棒由静止开始运动，进入区域Ⅱ后立即做匀速运动。导体棒与导轨间的动摩擦因数，运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，重力加速度取10m/s²，空气阻力不计。（，） (1)求导体棒在区域Ⅱ中运动时流过的电流的大小； (2)若导体棒到达区域Ⅱ的边界时立即将恒力撤去，它能继续向上滑行的最大距离。求： ①导体在区域Ⅱ上滑的时间 ②该过程中产生的焦耳热。 【变式训练1-1】如图所示，光滑平行导轨固定于水平面内，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一阻值为r的导体棒垂直导轨放置，导轨电阻忽略不计。现使导体棒获得一水平向右的速度v0，则在此时ab两点间电压大小为（　　） A．0 B．Blv0 C． D． 【变式训练1-2】如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为（　　） A．，方向向左 B．，方向向右 C．，方向向左 D．，方向向右 【变式训练1-3】如图所示，光滑平行导轨固定于水平面内，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一长为l，质量为m，阻值为r的导体棒垂直导轨放置。导轨电阻忽略不计，导体棒运动中始终与导轨垂直且接触良好。现使导体棒获得一水平向右的速度v0，在导体棒向右运动的整个过程中，下列说法正确的是（　　） A．流过电阻r的电流方向为b→r→a B．电流流过金属棒产生的热量为 C．导体棒开始运动时，电阻R上的电热功率为 D．导体棒向右做加速度逐渐减小的减速运动，最后做匀速运动 【变式训练1-4】如图所示是新一代航母阻拦系统采用电磁阻拦技术的原理图。图中飞机着舰钩住金属棒关闭动力系统后，与金属棒以共同初速度在磁场中运动，导轨间宽度为d，飞机质量为M，金属棒质量为m，MP、CD间电阻和金属棒接入电阻均为R，不计其它电阻。飞机阻拦索由绝缘材料做成且不计质量。在整个阻拦过程中飞机和金属棒组成的整体除安培力以外受到其它的阻力大小恒为f。轨道间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B。下列说法正确的是（　　） A．金属棒刚进入磁场时，棒中电流方向是由a到d B．金属棒刚进入磁场时，受到的安培力 C．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中流过MP的电荷量为 D．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中金属棒滑行的时间为 【变式训练1-5】如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中下列说法不正确的是（　　） A．流过金属棒的最大电流为 B．通过金属棒的电荷量为 C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒内产生的焦耳热为 【变式训练1-6】如图，M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-7】（多选）如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时（　　） A．ab棒所受安培力大小为0.02N B．N、Q间电压为0.12V C．a端电势比b端电势低 D．回路中感应电流大小为1A 【变式训练1-8】（多选）如图所示，一质量为2m的足够长U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻。一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触，则（　　） A.刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M B.导体棒的最大速度为 C.通过导体棒的电荷量为 D.导体棒产生的焦耳热为m 【变式训练1-9】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长且间距为L的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于磁感应强度大小为B方向竖直向下的匀强磁场中，AA1、BB1、CC1均与导轨垂直，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ，AB＝BC＝d，导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．金属杆经过AA1B1B区域过程，其所受安培力的冲量大小为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．金属杆经过BB1的速度小于 D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于4d 【变式训练1-10】（多选）如图甲，两根足够长的平行金属导轨固定在水平桌面上，左端接有阻值R＝1Ω的电阻。一质量m＝0.1kg的金属棒垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属棒在水平向右的拉力F作用下向右运动，拉力F与时间t的关系式为F＝0.3+0.2t（N），t＝2s时撤去拉力，金属棒在t＝2.55s时停止运动，整个运动过程金属棒速度v随时间t变化的图像如图乙所示。导轨和金属棒电阻不计，重力加速度g取10m/s2。下列判断正确的是（　　） A．金属棒与导轨间摩擦力大小为0.3N B．整个过程中金属棒运动的距离为2.45m C．撤去拉力后，电阻R上产生的焦耳热为0.2J D．撤去拉力后，通过电阻R的电荷量为C 【变式训练1-11】（多选）如图所示是我国自主研究设计的舰载机返回航母甲板时电磁减速的简化原理图。固定在绝缘水平面上足够长的平行光滑金属导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，导轨的电阻不计。舰载机等效为电阻不计的导体棒，当导体棒以一定初速度水平向右运动过程中，其速度、加速度、所受安培力、流过的电量与运动时间变化关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-12】（多选）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于轴上，另一根由、、三段直导轨组成，其中段与轴平行，导轨左端接入一电阻。导轨上一金属棒沿轴正向以速度保持匀速运动，时刻通过坐标原点，金属棒始终与轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为，金属棒受到安培力的大小为，金属棒克服安培力做功的功率为，电阻两端的电压为，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-13】如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为，电阻不计。在MQ之间接有一阻值的电阻。导体杆ab质量为，电阻，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度，使杆向右运动。求： (1)ab杆速度减为2m/s时，ab杆加速度大小a； (2)整个过程电阻R上产生的热量； (3)整个过程通过电阻R的电荷量q及导体杆ab移动的距离x。 【变式训练1-14】如图所示，两条相距d的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻．质量为m，电阻为r的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v.已知磁场扫过金属杆所经历的时间为t，导轨足够长且电阻不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求： (1)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a； (2)PQ刚要到达金属杆时，电阻R消耗的电功率P； (3)磁场扫过金属杆的过程中金属杆的位移大小x. 【变式训练1-15】如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【变式训练1-16】如图甲所示，两根相距L=2.5m的平行金属导轨固定在水平面内，左右两端各接一个R=4Ω的定值电阻，质量m=0.5kg的导体棒a垂直导轨放置，与导轨良好接触，导轨间有两个足够大的匀强磁场区，磁感应强度大小均为B=0.8T，方向垂直导轨平面竖直向下；P、Q两虚线间为无磁场区域，导体棒在水平向右的外力F作用下，从O位置由静止开始运动，经5s从P点离开磁场，其电流随时间变化的图像如图乙所示，随后导体棒在无磁场区域继续运动，刚进入右侧磁场时撤去外力F（撤去外力F前，F随时间变化规律保持不变），再运动3.1m后恰好停下，已知导体棒电阻r=2Ω，导轨电阻不计，求： (1)0至5s内通过导体棒的电量及OP间的距离； (2)写出水平力F随时间变化的表达式； (3)导体棒a在无磁场区域内运动的时间t1； (4)已知0至5s内外力F做功为1.92J，求整个过程中导体棒a产生的焦耳热。 【变式训练1-17】如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接，右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、接入电路的电阻为2R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。求： （1）金属棒进入磁场的瞬间，金属棒两端的电压； （2）金属棒在磁场运动过程中，金属棒产生的焦耳热； （3）金属棒在磁场中运动的时间t。 题型02：有恒力作用下的“单杆＋电阻”模型 【典型例题1】如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可能为（   ） A．k = 2、m = 2、n = 2 B． C． D． 【典型例题2】如图所示，两根不计电阻的光滑金属导轨平行放置，导轨及其构成的平面均与水平面成某一角度，导轨上端用直导线连接，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。具有一定阻值的金属棒MN从某高度由静止开始下滑，下滑过程中MN始终与导轨垂直并接触良好，则MN所受的安培力F及其加速度a、速度v、电流I，随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【典型例题3】如图，PQ和MN是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于两导轨所在的平面，即图中垂直于纸面向里。PM间接一电阻R，ab是一根与导轨始终垂直且接触良好的金属杆。现让ab由静止开始自由下落，导轨足够长，导轨及金属杆的电阻忽略不计，设从a流向b为电流的正方向，则金属杆ab下落过程中流过金属杆ab的电流图像可能是（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】（多选）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A． 加速过程中通过金属棒的电荷量为 B． 金属棒加速的时间为 C． 加速过程中拉力的最大值为 D． 加速过程中拉力做的功为 【典型例题5】（多选）如图，两条足够长平行金属导轨间距为d，导轨平面与水平面夹角为θ＝37°，二者的交线与导轨垂直，斜面所在区域有垂直斜面向上的磁场，一金属棒垂直于导轨放置在斜面MN位置，以M点等高处O为坐标原点，平行斜面向下建立坐标轴x，磁感应强度沿x轴方向的变化规律为B＝kx（k为常数，未知），金属棒质量为m，与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5。金属导轨上端外接恒流电源，金属棒中流过大小为I的恒定电流，方向从M指向N。在x＝0处由静止释放金属棒，金属棒运动到x＝l处时加速度恰好为零。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略回路中的电流对原磁场的影响。下列有关金属棒第一次沿斜面向下运动的过程，说法正确的是（　　） A．金属棒运动到x＝2l处时速度恰好为零 B．k的大小为 C．金属棒下滑距离l的过程中，安培力所做的功为mgl D．金属棒运动到x＝1处时速度大小为 【典型例题6】在未来的城市轨道交通系统中，一种基于电磁感应原理的新型无接触牵引装置正在被广泛测试。某次实验利用如图所示装置模拟列车启动时的电磁驱动与能量管理过程，水平面内有两根电阻不计、间距为L=0.5m足够长的光滑平行导轨，一质量为m=0.2kg、电阻不计的导体棒置于导轨上，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮与一质量为M=0.2kg的物块连接，导体棒相当于“虚拟车厢”，通过轻绳连接配重物块，利用重力势能转化为系统的动能与电能。系统可通过单刀双掷开关选择接入电阻回路或电容器回路，从而实现不同的运行模式。电容器的电容C=0.6F，电阻R=2Ω。空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B=2T。由静止释放，物块下落从而牵引导体棒向左运动，同时开关S接1或2，导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，忽略绳与定滑轮间的摩擦。重力加速度为g，求： (1)开关S接1 ①物块速度v=2m/s时，导体棒上电流方向及轻绳对物块的拉力大小； ②物块达到最大速度时，物块下落高度h=3m，求这段时间电阻上产生的焦耳热 。 (2)开关S接2，求物块下落高度h=1m时，物块的速度大小。 【变式训练2-1】如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中下列说法不正确的是（　　） A．流过金属棒的最大电流为 B．通过金属棒的电荷量为 C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒内产生的焦耳热为 【变式训练2-2】如图所示，竖直面内有一足够长的、间距为L的平行光滑金属导轨，上端PM间接有定值电阻，匀强磁场垂直导轨平面向里，磁感应强度大小为B0，长度也为L的导体棒ab垂直导轨放置，开始距上端PM距离为L。以图示时刻为0时刻，由静止释放导体棒ab，不计空气阻力，导体棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。为使回路中的感应电流始终为零，则磁感应强度B随时间t的变化应满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】如图所示，两平行光滑无限长导轨所在的平面与水平面夹角为，导轨的一端接有内阻不计的电流表。在导轨所在空间内的分布有方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，一个导体棒从静止下滑，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为，金属导轨电阻不计，则电流表示数（　　） A．一直增大 B．与成正比 C．先增大后减小 D．先增大后趋于定值 【变式训练2-4】如图所示，两根金属导轨MN、PQ相互平行，上端接入一个定值电阻，构成U形导轨。金属棒ab恰好能静止在导轨上并与两导轨始终保持垂直且接触良好，现在导轨所在空间加一垂直于导轨的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度从零开始随时间均匀增大，经一段时间后金属棒开始运动，从加磁场到金属棒开始运动的时间内，金属棒ab受力情况中（　　） A．安培力方向始终向上，安培力大小随时间均匀增大 B．安培力方向始终向下，安培力大小保持不变 C．摩擦力方向始终向上，摩擦力大小先减小后增大 D．摩擦力方向始终向下，摩擦力大小保持不变 【变式训练2-5】如图甲所示，固定的光滑平行导轨（电阻不计）与水平面的夹角为θ＝30°，导轨足够长且间距L＝0.5m，底端接有阻值为R＝4Ω的电阻，整个装置处于垂直于导轨斜向上的匀强磁场中，一质量m＝1kg、电阻r＝1Ω、长度也为L的导体棒MN在沿导轨向上的拉力F作用下由静止开始运动，导轨足够长，拉力F与导体棒速率倒数的关系如图乙所示。已知g取10m/s2，则（　　） A．v＝5m/s时拉力大小为7N B．v＝5m/s时拉力的功率为140W C．匀强磁场的磁感应强度的大小为2T D．当导体棒的加速度a＝8m/s2时，导体棒受到的安培力的大小为2N 【变式训练2-6】2025年10月完成的舰载电磁炮测试证明中国电磁炮技术已经取得突破性进展。电磁炮利用电磁系统中电磁场产生的安培力来对金属弹丸进行加速，与用传统的火药推动的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。某电磁炮可简化为如图所示的模型，同一水平面内的两根平行光滑导轨、a、b与可控电源相连，导轨间存在竖直向上的匀强磁场，将一质量为m、可视为质点的金属弹丸放在导轨上，弹丸在安培力的作用下由静止开始加速向右运动，离开导轨时的速度大小为v，已知弹丸在导轨上加速的过程中，可控电源提供给弹丸的功率恒为P，不计空气阻力及弹丸产生的焦耳热，下列说法正确的是（　　） A．导轨b的电势较高 B．弹丸在导轨上运动时的加速度先减小后增加 C．弹丸在导轨上的加速时间为 D．弹丸在导轨上的加速距离为 【变式训练2-7】如图所示，有一光滑导轨处于匀强磁场中，一金属棒垂直置于导轨上，对其施加外力，安培力变化如图所示，取向右为正方向，则外力随时间变化图像为（   ）    A．  B．  C．   D．   【变式训练2-8】（多选）如图所示为电磁驱动装置的简化示意图，间距1m的两根足够长的平行长直金属导轨水平固定放置，两导轨右端接有R＝2Ω的电阻。质量0.25kg的导体棒ab水平静止放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，导体棒与导轨间的动摩擦因数为0.4，导轨平面矩形虚线框区域内存在着竖直向上B＝1T的匀强磁场。现让磁场以某一速度沿导轨平面匀速向左运动，导体棒被驱动加速运动1s后以2m/s的速度沿导轨平面匀速运动。导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内，导轨和导体棒的电阻均不计，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．磁场运动的速度大小为5m/s B．磁场运动的速度大小为4m/s C．导体棒加速经过的位移为3m D．导体棒加速经过的位移为1m 【变式训练2-9】（多选）如图所示，两根等高光滑的半圆形圆弧轨道，半径为r，间距为L，轨道竖直固定，在轨道左端连一阻值为R1的电阻，在轨道右端连一阻值为R2的电阻，已知R1=2R2=2R0，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，现有一根长度稍大于L、质量为m、接入电路电阻为R0的金属棒，从轨道的左端ab处开始（记为t=0时刻），在变力F的作用下以初速度v0沿圆弧轨道做匀速圆周运动至cd处，直径ad、bc水平，整个过程中金属棒与导轨接触良好，所有轨道均不计电阻，则（　　） A. 当时，金属棒中的电流大小为 B. 从0时刻起到时，通过电阻R1的电量为 C. 从0时刻起到时，电阻R1的发热量为 D. 从0时刻起到时，外力F做功为 【变式训练2-10】（多选）如图所示，一质量为M的足够长“匚”型金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。质量为m、电阻不计的导体棒PQ平行bc放置在导轨上，PQ左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨单位长度的电阻为R0，bc长为L，初始时bc与PQ间距离也为L。分界线ef与bc平行，其左侧有竖直向上的匀强磁场，右侧有水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨bc段中点，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，PQ与导轨间动摩擦因数为μ，且始终接触良好，则（　　） A. 回路中的电动势先增大后减小 B. 运动过程中拉力F的最大值为Ma+μmg+ C. 若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服安培力做功为Q D. 若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服摩擦力做功为 【变式训练2-11】（多选）如图所示，两根倾斜平行放置的光滑导电轨道，轨道间接有电阻R，处于垂直轨道平面的匀强磁场中，一根放置在轨道上的导体棒在拉力F作用下，沿轨道匀速上滑，在上滑的过程中（　　） A．作用在ab杆上所有力做功的代数和为正 B．拉力F和安培力做功的代数和等于ab杆机械能的增加量 C．拉力F做功等于回路内能的增加量 D．拉力F所做的功等于ab杆机械能与回路内能增加量之和 【变式训练2-12】（多选）如图，间距的U形金属导轨，一端接有的定值电阻，固定在高的绝缘水平桌面上。质量均为的匀质导体棒a和b静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为，与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒距离导轨最右端。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为。用沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去，导体棒a离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（　　） A．导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移为 B．导体棒a离开导轨至落地前，其感应电动势不变 C．导体棒a在导轨上运动的过程中，导体棒b有向右运动的趋势 D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电阻的电荷量为 【变式训练2-13】如图甲所示，在水平面上固定有U形光滑平行长直金属导轨，导轨左端接有定值电阻R。导体棒a垂直放置在导轨上，导轨和导体棒电阻不计。空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。0～t0时间内导体棒被锁定，t0时刻将导体棒解除锁定，同时对导体棒施加一沿导轨方向向右的拉力F，使导体棒做匀加速直线运动，规定磁场方向垂直纸面向里为正方向，回路中顺时针方向为电流正方向，则回路中的电流I，拉力F的大小，定值电阻R上的功率P，通过定值电阻R的电荷量q的大小随时间变化规律图像（图中曲线均为二10．（2026春•红谷滩区校级期中）如图，一足够长的金属导轨abcd质量M＝5kg，放在光滑的绝缘水平面上，导体棒PQ质量m＝1kg（电阻不计）放置在导轨上且接触良好，已知导体棒与导轨动摩擦因数μ＝0.1，PQbc构成矩形，导体棒右侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长L＝4m，开始时PQ右侧导轨的总电阻R＝1Ω，导轨单位长度的电阻R0＝0.1Ω/m。以ef为界，其右侧匀强磁场方向竖直向上，左侧匀强磁场水平向右，磁感应强度大小均为B＝0.5T。在t＝0时，一水平向右的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度a＝10m/s2，重力加速度g＝10m/s2。 （1）求回路中感应电流随时间变化的表达式； （2）求PQ棒所受的摩擦力随时间变化的表达式； （3）导轨由静止开始做匀加速直线运动的过程中拉力F的最大值为多少？ 【变式训练2-14】如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒ab，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒ab沿导轨向下运动的速度时，ab的加速度大小； (2)金属棒ab沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小； (3)若金属棒ab下滑距离时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。 【变式训练2-15】倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为，无磁场。区域Ⅱ宽度为，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。区域Ⅲ宽度为，有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度。求： （1）导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压； （2）电动机的功率P； （3）全过程所用时间t； （4）全过程中电阻R产生的焦耳热。 【变式训练2-16】如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求： （1）末金属棒两端的电势差； （2）恒力F的大小； （3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热； （4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。 题型03：含电源的 “单杆+电阻”模型 【典型例题1】如图所示，足够长的光滑导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左侧接有一电动势为E的电源，空间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．长度为L，质量为m，电阻为R的导体棒静止放在导轨上，除了导体棒有电阻外，其余电阻忽略不计，导体棒与导轨接触良好，始终垂直于导轨。现在闭合开关，同时对导体棒施加一水平向右的恒力F，下列说法正确的是（　　） A．导体棒受到的安培力一直增大 B．导体棒受到的安培力的方向始终不变 C．导体棒能够达到的最大速度为 D．导体棒能够达到的最大速度为 【典型例题2】如图所示，两条平行的金属轨道所构成的平面与水平地面的夹角为θ，在轨道的顶端接有恒定电源和滑动变阻器，一根质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，杆与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置处于垂直轨道平面向上的匀强磁场中，滑动变阻器的滑片P处于中点位置，杆处于静止状态。现将滑动变阻器的滑片向M端缓慢滑动一段时间后杆开始下滑，整个过程金属杆始终与导轨垂直且接触良好，导轨及电源内阻不计。下列说法中正确的是（　　） A．此过程中金属杆所受安培力的方向垂直于斜面向下 B．金属杆所受安培力的大小与滑动变阻器的电阻成反比 C．滑片向M端滑动的过程中，金属杆对轨道的压力变大 D．下滑后，金属杆所受摩擦力大小不变 【典型例题3】（多选）如图是“电磁炮”模型的原理结构示意图。光滑水平金属导轨M、N的间距L=0.2m，电阻不计，在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1×102T。装有弹体的导体棒ab垂直放在导轨M、N上的最左端，且始终与导轨接触良好，导体棒ab(含弹体)的质量m=0.2kg，在导轨M、N间部分的电阻R=0.8Ω，可控电源的内阻r=0.2Ω。在某次模拟发射时，可控电源为导体棒ab提供的电流恒为I=4×103A，不计空气阻力，导体棒ab由静止加速到4km/s后发射弹体，则（　　） A．导体棒ab所受安培力大小为1.6×105N B．光滑水平导轨长度至少为20m C．该过程系统产生的焦耳热为3.2×106J D．该过程系统消耗的总能量为1.76×106J 【典型例题4】将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图1所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强度为B，电源电动势为E、内阻为r。导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间的宽度L，不计金属轨道的电阻。求： （1）闭合开关瞬间导体棒加速度的大小a； （2）分析导体棒运动情况，并在图2中定性画出从静止到最大速度的图像； （3）导体棒的速度从0增加到v1的过程中，通过导体棒的电量q。 【变式训练3-1】电磁弹射器是航空母舰上一种高效的舰载机起飞装置，我国的未来航母也将采用这种装置，其工作原理如图所示。足够长的光滑导轨间距为L，电阻不计，左端接有电动势为E的电源，系统处于竖直向下的匀强磁场中。闭合开关S后，质量为m、长度等于导轨间距的金属棒ab由静止开始运动，最后达到稳定速度vm。加速到稳定速度的过程中，电源提供的能量为Es，电源、金属棒产生的焦耳热分别为Q1，Q2，下列说法正确的是（　　） A．金属棒ab先做匀加速直线运动最后做匀速直线运动 B．达到稳定速度时金属棒的感应电动势小于E C．稳定速度 D．磁场的磁感应强度为 【变式训练3-2】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（　　） A．速率 B．从0～t秒电源消耗的电能 C．t秒后通过电阻R的电流为零 D．t秒末导体棒ab两端的电压为E 【变式训练3-3】福建舰是我国完全自主设计建造的首艘配置电磁弹射的航空母舰。其原理可简化为，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，导轨平面内具有垂直于导轨平面的匀强磁场。电磁弹射车垂直横跨两金属导轨，且始终保持良好接触。已知磁场的磁感应强度大小为B，电源的内阻为r，两导轨间距为L，电磁弹射车和飞机的总质量为m，轨道电阻不计，电磁弹射车的电阻为R。通电后，飞机随电磁弹射车滑行距离s后刚好能获得最大的速度为v。若不计空气阻力和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．飞机在轨道上做变加速直线运动 B．将电源的正负极调换，战斗机仍然能实现加速起飞 C．电磁弹射车达到最大速度时电流不为零 D．电源的电动势为 【变式训练3-4】（多选）水平固定放置的足够长的光滑平行导轨，电阻不计，间距为L，左端连接的电源电动势为E，内阻为r，质量为m的金属杆垂直静放在导轨上，金属杆处于导轨间部分的电阻为R。整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中如图所示。闭合开关，金属杆由静止开始沿导轨做变加速运动直至达到最大速度，则下列说法正确的是（　　） A．金属杆的最大速度等于 B．此过程中通过金属杆的电荷量为 C．此过程中电源提供的电能为 D．此过程中金属杆产生的热量为 【变式训练3-5】（多选）如图所示，两平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，电阻不计，左端接有输出电流大小恒为I的恒流源，电流方向如图。导轨间分布着两个紧邻的正方形磁场区域，宽度均为L，左侧磁场方向竖直向下，右侧磁场方向竖直向上，以导轨上两磁场交界处的O点为坐标原点，沿导轨方向建立x坐标轴，两磁场的磁感应强度大小B仅随坐标x变化，且满足式中B0为已知常量。t＝0时，一根质量为m、导轨间电阻为R的导体棒以初速度v0从x＝0处向右运动；t＝t0时，导体棒第一次到达x处，且速度为0。整个运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，不计空气阻力，忽略磁场的边界效应及电流对磁场的影响，下列说法正确的是（　　） A．导体棒做简谐运动 B．初速度v0 C．若初速度变为0.5v0，则导体棒的速度第一次变为0所需时间为t0 D．若初速度变为1.5v0，则导体棒将以两磁场交界线为中心做往复运动 【变式训练3-6】如图所示，在竖直向下的磁感应强度B的匀强磁场中，有两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距L，一质量为m、电阻为R1的导体棒ab垂直放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端M点接一单刀双掷开关S，P点与一电动势为E、内阻为r的电源和定值电阻R2相连接，不计轨道的电阻。 （1）求开关S合向1瞬间导体棒的加速度a； （2）开关S合向1，在导体棒速度等于v时把S合到2，导体棒运动x后停下来，求S合到2的瞬间导体棒的电功率P； （3）若从开关S合向接线柱1到导体棒速度等于v的过程中，通过电源的电量为q，则此过程中导体棒R1上产生的电热QR。 【变式训练3-7】电磁弹射技术是一种利用电磁力推动物体的先进技术，广泛应用于航空母舰上的舰载机弹射系统和其他需要高速发射的场景。电磁弹射装置简化模型图如图所示，图中电源（内阻不计）的电动势E＝1×105 V。有一质量m＝2 kg、电阻R＝150 Ω、长度L＝0.5 m的金属棒（电磁弹射弹），垂直放置在足够长的水平固定导轨上，导轨处在方向竖直向上、磁感应强度大小B＝50 T的匀强磁场中。闭合开关S，金属棒由静止加速运动至达到最大速度，即完成“弹射”。 已知离开导轨前金属棒始终与导轨接触良好， 不考虑其他电阻，不计一切摩擦。 （1）求金属棒的速度大小v1＝1×103 m/s时，金属棒的加速度大小a； （2）求金属棒能获得的最大速度vm； （3）求弹射过程中流过金属棒的电荷量q； （4）若金属棒从静止至刚达到最大速度所用的时间为t，求该过程中金属棒的位移大小x（用t表示）。 【变式训练3-8】某中学科技小组的学生在进行电磁发射装置的课题研究，模型简化如下．在水平地面上固定着相距为L且足够长的粗糙导轨PQ及MN，PQNM范围内存在磁场强度大小可以调节的匀强磁场，方向竖直向上，如图所示，导轨左侧末端接有电动势为E、内阻为r的电源，开关K控制电路通断．质量为m、电阻也为r的导体棒ab垂直导轨方向静止置于导轨上，与导轨接触良好．电路中其余位置电阻均忽略不计．导轨右侧末端有一弧度非常小的速度转向装置，能将导体棒水平方向的速度转为与地面成θ角且不改变速度大小．导体棒在导轨上运动时受到恒定的阻力Ff，导体棒发射后，在空中会受到与速度方向相反、大小与速度大小成正比的阻力，Ff0＝kv，k为常数．导体棒在运动过程中只平动，不转动．重力加速度为g.调节磁场的磁感应强度，闭合开关K，使导体棒获得最大的速度．(需考虑导体棒切割磁感线产生的反电动势) (1)求导体棒获得的最大速度vm的大小； (2)导体棒从静止开始达到某一速度v1，滑过的距离为x0，导体棒ab发热量为Q，求电源提供的电能及通过电源的电荷量q； (3)调节导体棒初始放置的位置，使其在到达NQ时恰好达到最大的速度，最后发现导体棒以v的速度竖直向下落到地面上．求导体棒自NQ运动到刚落地时这段过程的平均速度大小． 【变式训练3-9】如图所示，平行金属导轨间距为L，导轨平面与水平面夹角为定值，二者交线与导轨垂直。电动势均为E、内阻均为r的两电源，开关S1、S2及滑动变阻器RP与导轨相连。导轨处于磁感应强度大小为B、方向平行于导轨向下的匀强磁场中。S1闭合，S2断开，质量为m、长为L、电阻为r的金属杆cd静止于导轨上，调节滑片，当RP阻值为r时，cd刚好要下滑。保持滑片位置不变，断开S1，闭合S2，cd开始下滑并始终与导轨接触良好。已知cd与导轨间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻。cd下滑过程中，求： （1）cd的电功率P； （2）cd的加速度大小a。 题型04：有初速度的“单杆＋电容器”模型 【典型例题1】如图所示，水平面上固定着两根足够长的光滑金属导轨MN和PQ，相距为L，左端MP间接有电容为C的电容器。导轨处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，质量为m的金属棒ab横放在导轨上且与导轨接触良好。现给金属棒一个平行导轨向右的瞬时冲量I，关于此后的过程，下列说法正确的是（　　） A． 金属棒做匀变速运动，最后匀速运动 B． 金属棒做匀加速运动，最后停止运动 C．金属棒最终的速度大小为 D．整个过程中金属棒克服安培力做的功为- 【典型例题2】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问： (1)磁场的方向； (2)MN刚开始运动时加速度a的大小； (3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少． 【变式训练4-1】空间中存在竖直向下的匀强磁场，足够长的光滑金属轨道固定在水平面上，轨道左端与充满电的电容器C相连，有一定电阻的金属杆ab垂直轨道放置。闭合开关S后，金属杆向右运动，不计一切阻力，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．金属杆ab做匀加速运动 C．回路电流最终为0 D．电容器减小的电场能全都转化为金属杆ab的动能 【变式训练4-2】(多选) 如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则(　　) A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝，且a点电势高于b点电势 B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大 C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝ D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势 【变式训练4-3】如图甲所示，两平行长直光滑金属导轨水平放置，间距为L，左端连接一个电容为C的电容器，导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m的金属棒垂直导轨放置，某时刻金属棒获得一个水平向右的初速度v0，之后金属棒运动的v－t图像如图乙所示，不考虑导轨的电阻。 （1）求金属棒匀速运动时的速度大小v1； （2）求金属棒匀速运动时电容器的电荷量q； （3）已知金属棒从开始到匀速运动的过程中，产生的焦耳热为Q，求电容器充电稳定后储存的电能E。 题型05：恒力作用下的“单杆＋电容器”模型 【典型例题1】如图所示，水平放置足够长且光滑的金属导轨和de，ab与de平行并相距为L，bc是以O为圆心、半径为r的圆弧导轨，圆弧b左侧和扇形内有方向如图所示的匀强磁场，磁感应强度均为B，a、d两端接有一个电容为C的电容器，金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好，初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上，金属杆MN质量为m，金属杆MN和OP电阻均为R其余电阻不计，若杆OP绕O点在匀强磁场区域内以角速度ω从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（    ） A．杆OP产生的感应电动势恒为 B．电容器带电量恒为 C．杆MN中的电流逐渐减小 D．杆MN向左做匀加速直线运动，加速度大小为 【典型例题2】（多选）如图所示，间距为L的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向里、大小为B的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为m的金属棒ab与导轨始终保持良好接触，由静止开始释放，释放时ab。距地面高度为h，（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．金属棒做匀加速运动，加速度为g B．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为mgh C．金属棒做匀加速运动，加速度为 D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为 【典型例题3】如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。 (1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。 (2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。 【变式训练5-1】我国最新航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电磁弹射轨道，电磁弹射的简化模型如图所示：足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器C相连，与机身固连的金属杆ab静置在轨道上，闭合开关S后，飞机向右加速，若不计所有阻力和摩擦，回路总电阻R保持不变，下列说法不正确的是（　　） A．提高电容器的放电量，可以提高飞机的起飞速度 B．飞机运动过程中，a端的电势始终高于b端的电势 C．飞机的速度最大时，金属杆ab产生的感应电动势与电容器两端电压相等 D．飞机的速度达到最大时，电容器所带的电荷量为零 【变式训练5-2】（多选）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R = 0.02Ω的电阻和C = 1F的电容器，整个装置处于B = 0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0 = 4.32m处在一个大小F = 4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（   ） A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s 【变式训练5-3】（多选） 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨倾斜放置，与水平面夹角为30°，两导轨间的距离为L，导轨顶端接有电容为C的电容器。一根质量为m的均匀金属棒ab放在导轨上，与两导轨垂直且保持良好接触，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，重力加速度为g，不计一切电阻。由静止释放金属棒，金属棒下滑x的过程中电容器未被击穿，下列说法正确的是（　　） A．金属棒做加速度越来越小的加速运动B．金属棒下滑x时的速度v= C．金属棒下滑x的过程中电容器储存的电荷量q= D．金属棒下滑x的过程中，电容器储存的电场能E电= 【变式训练5-4】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面间的夹角为θ，两导轨的间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： (1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系． 题型06：“单杆+电容+电阻等”综合模型 【典型例题1】如图所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L，导轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C的电容器、开关S和定值电阻R；质量为m的金属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r.初始时开关S断开，电容器两极板间的电压为U.闭合开关S，金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．下列说法正确的是(　　) A．闭合开关S的瞬间，金属棒立刻开始向左运动 B．闭合开关S的瞬间，金属棒的加速度大小为 C．金属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零 D．金属棒最终获得的速度大小为 【典型例题2】如图所示，水平面内固定有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向下。同种材料制成长度相同、粗细不同的导体棒a和b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好。电源电动势为E，电容器电容为C，将开关S接1，经过足够长时间后，将开关S由1改接到2，此刻开始计时，忽略电流产生的磁场。下列关于导体棒a和b运动的速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】（多选）某兴趣小组利用电容放电装置研究电磁弹射。如图，离地面高为h的水平面上固定一半径为r的金属圆环，一根长为2r、电阻为2R0的金属棒P沿直径放置，它的两端与圆环接触良好，该棒以圆心为转轴匀速转动。圆环内左半圆存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场（方向竖直向上），圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距为l的水平放置的光滑平行金属轨道相连，轨道间接有电容为C的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。水平导轨上放置一质量为m金属棒Q，它置于磁感应强度为B2的匀强磁场（方向竖直向上）区域内靠左侧边缘。先将开关置于1端，让金属棒P绕轴以角速度ω匀速转动，等电容器充电结束后，再将开关S置于2端，电容器放电使得导轨上的金属棒Q运动起来水平抛出。圆环及轨道内阻均不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．电容器充电后，M板带正电 B．电容器充电后电容器带电量为 C．电容器充电后电容器带电量为 D．金属棒Q抛出到落地的最大水平距离为 【典型例题4】如图甲所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间接有一个阻值为的电阻，在两导轨间的矩形区域内有垂直导轨平面向里、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距。现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计）。 （1）求棒ab离开磁场的下边界时的速度大小： （2）讨论棒ab可能出现的运动情况，并作出对应的图像； （3）求金属杆自下落至穿出磁场所用的时间t； （4）如图乙所示，当在导轨的PM端通过导线将电容为C、击穿电压为的平行板电容器连接，在时在磁场中无初速度地释放金属棒ab、不考虑电磁辐射，且磁场足够大，当金属棒电阻时，求电容器达到击穿电压所用的时间。 【变式训练6-1】如图甲，水平放置的平行金属导轨可分别与定值电阻R和平行板电容器C相连，导体棒MN置于导轨上且接触良好，取向右为运动的正方向，导体棒沿导轨运动的位移—时间图象如图乙所示；金属棒始终处于竖直向上的匀强磁场中，不计导轨和金属棒电阻，则0～t2时间内(　　) A．若S接A，电容器a极板始终带负电 B．若S接A，t1时刻电容器两极板电压最大 C．若S接B，MN所受安培力方向先向左后向右 D．若S接B，t1时刻MN所受的安培力最大 【变式训练6-2】电磁轨道炮原理的俯视图如图所示，它是利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，应用此原理可研制新武器和航天运载器。图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出）。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触，导轨和电路其他部分的电阻不计。首先开关S接1使电容器完全充电，然后将S接至2，MN开始向右运动，若导轨足够长，则在此后的运动过程中，电容器上的剩余电荷量最小为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练6-3】如图所示，水平面内有两根足够长的平行光滑金属导轨，间距为L，两端分别接有电容为C的电容器和阻值为R的定值电阻，导轨间有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一长为L的金属棒OO′垂直放在导轨上，与导轨相交于M、N两点、其中OML，导轨和金属棒均不计电阻。现将金属棒以O点为轴沿逆时针方向以角速度ω匀速旋转，从开始转动到O′即将与上导轨脱离的过程中，下列说法正确的是（　　） A．刚开始时通过定值电阻R的电流方向由a到b B．金属棒刚开始转动时，产生的感应电动势最大 C．通过定值电阻R的电荷量为 D．电容器C所带电荷量最大为CBL2ω 【变式训练6-4】如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角固定点；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（    ）    A．电源电动势 B．棒消耗的焦耳热 C．从左向右运动时，最大摆角小于 D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等 【变式训练6-5】（多选）如图所示，足够长U形光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，宽度为L，电阻不计。区域Ⅰ为正方形，充满垂直轨道平面向上、磁感应强度大小B1随时间t均匀变化的匀强磁场，即B1＝kt（k为大于零的常量）；区域Ⅱ内，导轨上接有开关S1、S2，导轨间接有电容为C1、C2的两电容器；区域Ⅲ内充满方向垂直轨道平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。初始时，质量为m、有一定阻值的导体棒MN静止于区域Ⅲ中某处，S1闭合，S2断开，C1充电。C1充电完毕后，断开S1，闭合S2，MN开始运动，经过一段时间系统达到最终稳定状态。MN长度与导轨宽度相同并始终与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．C1充电完毕时的电荷量为C1kL2 B．C1充电完毕时，上极板带负电 C．最终MN的速度为 D．最终C2的电荷量为 【变式训练6-6】（多选）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（　　） A．通过导体棒电流的最大值为 B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动 C．导体棒速度最大时所受的安培力也最大 D．电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热 【变式训练6-7】如图所示，宽为的水平光滑金属轨道上放置一根质量为的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容的电容器和一个阻值为的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为，设金属轨道足够长，不计导体棒及导轨电阻。 (1)开关S拨向“2”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒运动过程中速度的最大值； (2)开关S拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒发生位移过程中所用的时间； (3)在第（2）问中的时刻，将开关S再次拨向“2”。并对导体棒施加水平向右的力，使导体棒MN的速度随位移均匀增加，其变化率，从时刻开始计时，求MN运动的过程中，电阻R上产生的热量Q。 【变式训练6-8】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。 （1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。 （2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。 （3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。 （4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。 【变式训练6-9】圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、外转子可绕中心轴转动。外转子半径为，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。 (1)若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E； (2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q； (3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T。 【变式训练6-10】如图所示，足够长光滑平行金属导轨置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度，金属导轨倾角，导轨间距，其电阻不计。为单刀双掷开关，当其掷于1端时，容量的电容器接入电路；当其掷于2端时，有的电阻接入电路。金属杆质量，接入电路的阻值也为。初始时，锁定。已知重力加速度取。 （1）将掷于2端，释放，求的最大速度； （2）将掷于1端，释放，求系统稳定时金属杆的加速度大小。    1.如图所示，竖直面内有一足够长的、间距为L的平行光滑金属导轨，上端PM间接有定值电阻，匀强磁场垂直导轨平面向里，磁感应强度大小为B0，长度也为L的导体棒ab垂直导轨放置，开始距上端PM距离为L。以图示时刻为0时刻，由静止释放导体棒ab，不计空气阻力，导体棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。为使回路中的感应电流始终为零，则磁感应强度B随时间t的变化应满足的关系是（　　） A． B． C． D． 2.如图所示，水平面内固定有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向下。同种材料制成长度相同、粗细不同的导体棒a和b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好。电源电动势为E，电容器电容为C，将开关S接1，经过足够长时间后，将开关S由1改接到2，此刻开始计时，忽略电流产生的磁场。下列关于导体棒a和b运动的速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（多选）如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计。在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动。则（　　） A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压，且a点电势高于b点电势 B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大 C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为 D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势 4.（多选）如图所示，足够长U形光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，宽度为L，电阻不计。区域Ⅰ为正方形，充满垂直轨道平面向上、磁感应强度大小B1随时间t均匀变化的匀强磁场，即B1＝kt（k为大于零的常量）；区域Ⅱ内，导轨上接有开关S1、S2，导轨间接有电容为C1、C2的两电容器；区域Ⅲ内充满方向垂直轨道平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。初始时，质量为m、有一定阻值的导体棒MN静止于区域Ⅲ中某处，S1闭合，S2断开，C1充电。C1充电完毕后，断开S1，闭合S2，MN开始运动，经过一段时间系统达到最终稳定状态。MN长度与导轨宽度相同并始终与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．C1充电完毕时的电荷量为C1kL2 B．C1充电完毕时，上极板带负电 C．最终MN的速度为 D．最终C2的电荷量为 5.（多选）如图1所示，两平行光滑导轨MN、M′N′左端通过导线与电源和不带电电容器相连，导轨平面水平且处于竖直向下的匀强磁场中，有一定阻值的导体棒ab垂直导轨处于静止状态。现将开关S与1闭合，当棒达到稳定运动状态后S与2闭合，导轨足够长，电源内阻不计。则(　　) 图1 A.S与1闭合后，棒ab做匀加速直线运动 B.从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热 C.S与2闭合后，棒ab中电流不断减小直到零 D.S与2闭合后，棒ab的速度不断减小直到零 6.（多选）电动汽车通过能量回收装置增加电池续航。在行驶过程中，踩下驱动踏板时电池给电动机供电，松开驱动踏板或踩下刹车时发电机工作回收能量。某兴趣小组为研究其原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外的辐向磁场，磁场方向沿半径方向，有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴无摩擦转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：踩下驱动踏板，开关接通1，电池给金属棒供电，金属棒相当于电动机，所用电池的电动势为E，内阻为r；松开驱动踏板或踩下刹车，开关自动切换接通2，金属棒相当于发电机，给电容器充电，所接电容器电容为C。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．踩下驱动踏板瞬间，金属棒的加速度为 B．踩下驱动踏板后，从上往下看金属棒MN顺时针转动 C．踩下驱动踏板后，一段时间后金属棒匀速转动，此时金属棒两端的电压大小为 D．踩下驱动踏板后，当金属棒达到最大转动速度时松开驱动踏板，一段时间后金属棒匀速转动，此时电容器C上的带电量 7.（多选）如图所示，有两根足够长、间距为L的光滑竖直金属导轨，导轨上端接有开关、电阻、电容器，其中电阻的阻值为R，电容器（不会被击穿）的电容为C，质量为m的金属棒MN水平放置，整个装置放在垂直导轨平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，不计金属棒和导轨的电阻。闭合某一开关，让MN沿导轨由静止开始释放，金属棒MN和导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。在金属棒MN沿导轨下滑的过程中，下列说法正确的是（    ） A．只闭合开关，金属棒MN先做匀加速运动，后做匀速运动 B．只闭合开关，通过金属棒MN的电流为 C．只闭合开关，金属棒MN先做加速运动，后做匀速运动 D．若只闭合开关，金属棒MN下降的高度为h时速度大小为v，则所用的时间为 8.（多选）如图所示，两根间距为，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上。在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆ab，开始时使金属杆ab保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动了1.2m达到最大速度，重力加速度。金属杆从静止到运动1.2m的过程中，下列说法正确的是（    ） A．金属杆能获得的最大速度是3m/s B．通过电阻R的电荷量是0.4C C．电阻R产生的热量 D．金属杆运动位移达1.2m时刻，两端的电势差 9.如图甲所示是航空母舰携带的歼－20战机，其起飞时采用电磁弹射技术，可将该技术的原理简化为如图乙所示。假设航空母舰静止在海面上，歼－20的质量为m，恒压电源的电压为E，电容器的电容为C，水平导轨MN、PQ的间距为L，电阻忽略不计。已知歼一20在起飞过程中受到跑道的阻力恒为f，忽略空气阻力，重力加速度为g。 （1）若不采用电磁弹射技术，起飞前歼－20受到的牵引力恒为F，离开跑道时的速率为v，则跑道的长度x要满足什么条件？（将歼－20视为质点） （2）我国在歼－20起飞时采用电磁弹射技术，可以在无牵引力的情况下实现起飞。具体操作为：在导轨MN、PQ间施加垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），然后使开关S接1给电容器充电，待电路稳定后将开关S接至2，歼－20将实现弹射起飞。假设歼－20在跑道间的等效电阻大小为R，歼－20经过时间t达到最大速度vm，离开跑道，求： ①电磁弹射起飞的过程中歼－20的最大加速度大小am； ②歼－20离开导轨时的速度大小vm； ③当歼－20达到最大速度时，电容器C上剩余的电荷量Q2。 10.如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒垂直搁在导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感应强度为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它从a、b处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F-x的变化情况如图（乙）所示，F0已知。求： （1）棒ab离开磁场右边界时的速度v； （2）棒ab通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q； （3）d满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动。 11.小张同学设计了一款自动洒水装置，其简化原理图如图所示。平行导轨和固定在同一水平面内，间距，右端连接的电阻，边界MN的左侧导轨光滑，且处在竖直向下、磁感应强度的匀强磁场中，右侧导轨粗糙且足够长。在导轨上面搁置质量不计的洒水盒，盒内装有质量的水，洒水盒的底部固定一长度为、电阻、质量的金属杆，杆与边界的相距，以杆的位置为坐标原点，沿导轨方向建立x轴坐标。现在打开洒水盒开始洒水，同时施加水平向右的拉力，使洒水盒沿导轨开始做加速度的匀加速运动。已知盒中流出水的质量与位置的关系式为：，当盒中的水洒完或者杆经过边界时，则立即撤去拉力，整个过程杆与导轨始终接触良好，忽略盒的宽度，杆和盒与右侧导轨之间的动摩擦因数，重力加速度取。 （1）求洒水盒停止运动时，金属杆的位置坐标； （2）若洒水盒中初始装水的质量为，求停止运  动时金属杆的位置坐标。 12.如图a，两光滑金属导轨MN、MN相距L平行放置，导轨平面与水平面成θ夹角，MM、NN间分别连接阻值为R的电阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场区域的宽度均为d，相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为s。一质量为m、阻值为R的金属棒ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某处由静止释放，金属棒下滑过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。 （1）若金属棒能匀速通过磁场区域Ⅰ，求金属棒静止释放处距区域Ⅰ上边界的距离x1； （2）在（1）的条件下，求金属棒通过区域Ⅰ的过程中产生的热量Q； （3）若金属棒在相邻磁场间无磁场区域中运动的时间均为t，求金属棒静止释放处与区域Ⅰ上边界的距离x2；并在图b中定性画出其自静止开始运动到区域Ⅲ下边界过程中的v-t图线。 13.如图所示，甲、乙两水平面高度差为2h，甲水平面内有间距为2L的两光滑金属导轨平行放置，乙水平面内有间距分别为2L、L的光滑金属导轨平行放置，光滑的绝缘斜导轨紧挨甲、乙两个平面内的水平轨道放置，斜轨道的倾角为53°，斜轨道底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧与金属导轨平滑连接。水平面甲内轨道左端连接一充满电的电容器C，右边缘垂直轨道放置长度为2L，质量为m，电阻为R的均匀金属棒ab，在水平面乙内垂直间距为L的轨道左端放置与ab完全相同的金属棒cd，导轨MM'与NN'、PP'与QQ'均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒αb迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，，。求： （1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0； （2）电容器C释放的电荷量q； （3）从金属棒ab开始沿水平面乙内的光滑轨道运动起，至匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的热量。 14.如图所示，平行金属导轨间距为L，导轨平面与水平面夹角为定值，二者交线与导轨垂直。电动势均为E、内阻均为r的两电源，开关S1、S2及滑动变阻器RP与导轨相连。导轨处于磁感应强度大小为B、方向平行于导轨向下的匀强磁场中。S1闭合，S2断开，质量为m、长为L、电阻为r的金属杆cd静止于导轨上，调节滑片，当RP阻值为r时，cd刚好要下滑。保持滑片位置不变，断开S1，闭合S2，cd开始下滑并始终与导轨接触良好。已知cd与导轨间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻。cd下滑过程中，求： （1）cd的电功率P； （2）cd的加速度大小a。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 电磁感应——单杆模型 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 10 题型归纳 10 题型01：有初速度的“单杆+电阻”模型 10 题型02：有恒力作用下的“单杆＋电阻”模型 33 题型03：含电源的 “单杆+电阻”模型 54 题型04：有初速度的“单杆＋电容器”模型 66 题型05：恒力作用下的“单杆＋电容器”模型 70 题型06：“单杆+电容+电阻等”综合模型 76 巩固提升 92 1. 考查位置与分值 选择、实验、计算题第一问高频出现；常作为压轴大题的起始模型。 选择题：4–6分；计算题：6–12分，经常结合受力、动量、能量、图像综合考查。 2. 两大基础分类 ① 导轨有电源：通电导体棒在安培力作用下运动（电→动，安培力为动力） ② 导轨无电源：导体棒切割磁感线产生感应电动势（动→电，安培力为阻力，考试最多） 无电源单杆又细分：恒力拉、外力变力、有初速度、含电容器、含电阻。 3. 高频命题方向 ①动力学：受力分析、加速度变化、收尾速度（匀速）； ②能量：动能定理、能量守恒（外力做功 = 棒动能增量 + 电路焦耳热）； ③动量：安培力冲量，求位移、电荷量； ④图像：v-t、i-t、F-t、P-t 图像判断； ⑤特殊拓展：接电容器的单杆（匀加速，区别于接电阻的变加速）。 4. 命题陷阱 ①分不清“有电源”和“无电源”，安培力是动力还是阻力搞反； ②收尾状态误以为一定匀速（接电容器是匀加速，没有匀速）； ③焦耳热直接用 Q=Rt，电流变化时不能直接套； ④动量定理应用时，忘记安培力是变力，优先用冲量推论； ⑤有效切割长度L、导轨倾斜、有摩擦的情况容易漏掉重力分力、摩擦力。 一：基础目标 1. 识别单杆模型，熟练应用必备公式 2. 会受力分析，判断加速度、速度变化，能推导匀速收尾速度； 3. 会用右手定则、左手定则判断电流、安培力方向； 4. 会用能量关系求焦耳热。 二：进阶目标 1. 掌握动量定理在单杆变加速中的应用，会求位移、电荷量； 2. 区分接电阻、接电容器两种单杆的运动规律（变加速与匀加速）； 3. 会处理倾斜导轨、有摩擦、有初速度的单杆； 4. 看懂单杆各类图像，能结合函数推导图像斜率截距。 三：素养目标 建立“电磁感应+力学+能量+动量”的综合分析链条，知道什么时候用牛顿定律、什么时候用能量、什么时候用动量。 必背公式 ①磁通量公式：； ②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：； ③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数） ④感应电流与感应电动势的关系：； ⑤与线框有关的公式：；；； 模型一：“单杆＋电阻”模型 （一）v0≠0 无外力作用下的情况 1.运动分析 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计 力学观点 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力＝BIL＝，做减速运动，v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 运动图像 能量观点 动能全部转化为内能：Q＝ 2.四个规律（导轨不光滑） ①全过程能量关系：， 速度为v时的能量关系 电阻产生的焦耳热与电路中总的焦耳热的关系： ②瞬时加速度：， ③电荷量 ④动量关系： 安培力的冲量的两种变换方式： ，＝＝＝ （二）v0＝0有外力作用下的情况 1.电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势 2.安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大。 3.加速度特点：加速度随速度增大而减小。 4.运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动 5.最终特征：匀速运动 6.两个极值 ①v＝0时，有最大加速度： ②a＝0时，有最大速度：， 7.起动过程中的三个规律 ①动量关系：， ②能量关系： ③电荷量 8.两种变化形式 ①电路变化 ②导轨面变化（竖直或倾斜） 9.若在F的作用下使导体棒做匀加速直线运动则F随时间线性变化。 证明：根据法拉第电磁感应定律 （1） 闭合电路欧姆定律 （2） 安培力F＝BIL （3） 由（1）（2）（3）式得 由牛顿第二定律得 由运动学公式 联立得 可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即 （三）v0＝0有电源的情况 1.力学对象和电学对象的相互关系 2.能量转化及焦耳热的求法 （1）能量转化 （2）求解焦耳热Q的三种方法（纯电阻电路） 3．运动分析 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计 力学观点 S刚闭合，杆ab受安培力＝，此时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势BLv↑⇒I↓⇒安培力＝BIL↓⇒加速度a↓，当BLv＝E时，v最大，且vm＝ 运动图像 能量观点 电源输出的电能转化为动能和电路焦耳热：W电＝＋Q 模型二：“单杆＋电容”模型 （一）无外力充电式模型 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计 力学观点 导体杆速度为v时，感应电流I＝，导体杆受安培力＝BIL，做减速运动，v↓，电容器充电，UC↑，↓，a↓，当BLv＝UC时，I＝0，＝0，杆匀速运动 运动图像 （根据q＝CU、U＝BLvm、＝mvm－mv0、q＝，可得vm＝） 能量观点 导体杆的部分动能转化为电阻的电热和电容器的电场能： ＝＋Q＋EC （二）无外力放电式模型 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻为R 力学观点 电容器充满电后，S合向2，导体杆受安培力运动，产生电动势E＝BLv，感应电流I＝，导体杆受安培力＝BIL，做加速运动，v↑，电容器放电UC减小，↓，a↓，当BLv＝UC时，I＝0，＝0，杆匀速运动 运动图像 （根据Δq＝q0－q＝CE－CBLvm、＝mvm－0、Δq＝，可得vm＝） 能量观点 电容器的部分电场能转化为电阻的电热和导体杆的动能： EC0＝＋Q＋ECm (三)有外力充电式模型 示意图 导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定 力学观点 开始时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv，电流I＝＝＝CBLa，安培力＝BLI＝CB2L2a，F－＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度匀加速运动（若回路有电阻，则杆不做匀加速运动） 运动图像 能量观点 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为电容器的电场能： WF＝＋EC 注意： (1)在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解速度、位移、电荷量，以及除安培力之外恒力的作用时间。 (2)若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似。 模型三：“单杆+电容+电阻等”综合模型 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动. 电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLv. 运动特点及最终 特征 a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0. 最大速度vm 电容器充电荷量：Q0＝CE 放电结束时电荷量： Q＝CU＝CBLvm 电容器放电荷量： ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理： mvm＝＝BLΔQ vm＝ v－t图象 第一步：先定模型类型（先判断） 1. 无电源、杆在外力/初速度下切割： 2. 有电源：安培力是动力，棒加速切割，产生反电动势 3. 导轨末端接电容器的单杆有外力作用最终均作匀加速直线运动，无外力作用最终做匀速直线运动 第二步：三套工具，按需选用（核心） 1. 牛顿运动定律（适合瞬时状态、加速度分析、收尾速度） 2. 能量守恒（适合求焦耳热、做功） 3. 动量定理（适合求位移、电荷量，变加速首选） 第三步：标准解题流程 1. 画受力图：重力、支持力、外力、摩擦力、安培力； 2. 写出电动势、电流、安培力表达式； 3. 判断运动性质：匀加速 / 加速度减小的加速 / 减速； 4. 根据问题选规律： ①求收尾速度、某时刻加速度 → 牛顿定律 ②求热量、做功 → 能量 ③求位移、时间、电荷量 → 动量定理 5. 检查：导轨倾斜、摩擦、电源、电容器这些附加条件。 题型01：有初速度的“单杆+电阻”模型 【典型例题1】如图所示，在磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，让导体PQ在U形导轨上以速度v＝10m/s向右匀速滑动，两导轨间距离l＝0.8m，则产生的感应电动势的大小和P、Q两点电势关系为（　　） A．4V，P点电势高 B．0.4V，Q点电势高 C．4V，Q点电势高 D．0.4V，P点电势高 【答案】A 【解析】解：导体切割磁感线时，产生的感应电动势大小为E＝Blv＝0.5×0.8×10V＝4V。根据右手定则可知流过导体PQ的电流方向由Q流向P，由于导体PQ在电路中相当于电源，在电源内部电流是从低电势流向高电势的，所以P点电势高于Q点电势。故A正确，BCD错误。 故选：A。 【典型例题2】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、cd以速度匀速滑动，滑动过程PQ始终与垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中（　　） A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大 C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大 【答案】C 【解析】设PQ左侧线框电阻为，则右侧线框电路的电阻为，所以外电路的总电阻 在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，外电路电阻先增大后减小。 A．PQ中电流，可知PQ中电流先减小后增大，A错误； B．PQ中电流先减小后增大，内电压先减小后增大，PQ两端电压（电源的路端电压）先增大后减小，B错误； C．PQ做匀速运动，拉力等于安培力，即 拉力的功率 该功率先减小后增大，C正确； D．外电路的电阻 当PQ运动到中间位置时，外电路的电阻最大为，小于电源内阻，可得输出功率 输出功率随外电阻的变化如图所示 当内外电路电阻越接近，电源的输出功率越大；当内外电路电阻相等时，电源的输出功率最大。电源输出功率与外电阻的关系如图。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，外电阻与电源内阻的大小关系是先接近再远离所以线框消耗的电功率（电源输出功率）先增大后减小，D错误。 故选C。 【典型例题3】（多选）如图所示，在水平面上有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨间连接电阻为R（其余电阻不计），导轨间距为L，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大小为B；已知金属杆MN质量为m，与导轨接触良好。当金属杆以初速度v0向右滑动，在运动过程中（　　） A．金属杆MN将做匀减速运动 B．金属杆MN的最大加速度为 C．电阻R总共产生的电热为 D．感应电流通过金属杆的方向由M流向N 【答案】BC 【解析】AB．金属杆MN向右运动时切割磁感线产生感应电流，受到向左的安培力而做减速运动，由可知，随速度的减小，加速度减小，则金属杆将做加速度减小的变减速运动，且开始运动时加速度最大，最大值为，选项A错误，B正确； C．整个过程中金属棒的动能转化为电热，即电阻R总共产生的电热为，选项C正确； D．根据右手定则可知，感应电流通过金属杆的方向由N流向M，选项D错误。 故选BC。 【典型例题4】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．金属杆经过的速度为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．金属杆经过与区域，金属杆所受安培力的冲量相同 D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍 【答案】CD 【解析】A．设平行金属导轨间距为L，金属杆在AA1B1B区域向右运动的过程中切割磁感线有 E = BLv， 金属杆在AA1B1B区域运动的过程中根据动量定理有   则 由于，则上面方程左右两边累计求和，可得则 设金属杆在BB1C1C区域运动的时间为t0，同理可得，则金属杆在BB1C1C区域运动的过程中有 ，解得 综上有，则金属杆经过BB1的速度大于，故A错误； B．在整个过程中，根据能量守恒有 则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为，故B错误； C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量为 则金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域滑行距离均为，金属杆所受安培力的冲量相同，故C正确； D．根据A选项可得，金属杆以初速度在磁场中运动有 金属杆的初速度加倍，设此时金属杆在BB1C1C区域运动的时间为，全过程对金属棒分析得 ，联立整理得 分析可知当金属杆速度加倍后，金属杆通过BB1C1C区域的速度比第一次大，故，可得 可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍，故D正确。 故选CD。 【典型例题5】（多选）如图所示，间距为l的平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒在ab位置以初速度v沿导轨向上运动，最远到达a'b'处，导体棒向上滑行的最远距离为x.已知导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（　 　） A.导体棒受到的最大安培力为 B.导体棒损失的机械能为mv2－mgxsinθ C.导体棒运动的时间为 D.整个电路产生的焦耳热为mv2－mgx（sinθ＋μcosθ） 【答案】BCD 【解析】根据E＝Blv，可以知道速度最大时感应电动势最大，电流和安培力也最 大，所以初始时刻导体棒受到的安培力最大，根据F＝BIl，I＝，可得F＝， 故A错误；从初始位置到滑行最远时，损失的机械能为ΔE＝mv2－mgx sin θ，故B正 确；导体棒向上滑动的过程，由动量定理可得Blt＋(mg sin θ＋μmg cos θ)t＝mv，而 t＝t＝＝，联立解得t＝，故C正确；导体棒上滑过程中克 服重力、滑动摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律可得整个电路产生的焦耳热 为Q＝mv2－mgx( sin θ＋μ cos θ)，故D正确. 【典型例题6】如图甲所示，两根足够长的平行光滑直导轨、水平固定，其间距为，阻值的电阻接在导轨、端，质量的导体棒静止在导轨上，棒接入电路的电阻为，初始时棒离距离为。从0时刻开始，棒被锁定保持静止，在空间施加方向竖直向下的磁场，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示；时，棒在水平外力作用下从静止开始向左做匀加速直线运动，，经过位移后撤去外力，棒最终停止在导轨上。棒始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。求： (1)内整个回路产生的热量； (2)当棒的速度时，两点的电势差； (3)整个过程流过定值电阻的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）内，回路中的感应电动势为 回路中的感应电流为 整个回路产生的热量为 （2）由图乙可知，后 时，ab棒产生的感应电动势为 根据右手定则可知，b端为电源正极，a端为电源负极，故ab两点的电势差 （3）撤去外力前流过定值电阻R的电荷量为 又， 联立解得 撤去外力时导体棒的速度大小为 撤去外力后流过电阻R的电荷量为 撤去外力后的过程，根据动量定理有 联立得 整个过程流过电阻的电荷量 【典型例题7】如图所示，一间距、电阻不计的足够长粗糙矩形导轨，与水平面的夹角，两端接有阻值分别为的定值电阻，矩形区域Ⅰ、Ⅱ内均有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小，两区域边界之间的距离。质量，电阻的导体棒垂直放在导轨上，其长度也为，在沿导轨平面向上的恒力作用下导体棒由静止开始运动，进入区域Ⅱ后立即做匀速运动。导体棒与导轨间的动摩擦因数，运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，重力加速度取10m/s²，空气阻力不计。（，） (1)求导体棒在区域Ⅱ中运动时流过的电流的大小； (2)若导体棒到达区域Ⅱ的边界时立即将恒力撤去，它能继续向上滑行的最大距离。求： ①导体在区域Ⅱ上滑的时间 ②该过程中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）导体棒在区域Ⅱ运动时，根据平衡条件可得 安培力 再根据 联立解得； （2）①导体棒在区域Ⅱ上滑过程中，根据动量定理可得 其中电流 由串并联电路规律有 导体棒的冲量 由闭合电路欧姆定律有 感应电动势 运动的平均速度为 联立解得 ②根据动能定理可得 整个回路中产生的焦耳热为 产生的焦耳热为。 【变式训练1-1】如图所示，光滑平行导轨固定于水平面内，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一阻值为r的导体棒垂直导轨放置，导轨电阻忽略不计。现使导体棒获得一水平向右的速度v0，则在此时ab两点间电压大小为（　　） A．0 B．Blv0 C． D． 【答案】C 【解析】解：导体棒垂直切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小为E＝Blv 其中B为磁感应强度，l为导轨间距，v0为导体棒的速度，导体棒与电阻R串联，总电阻为R+r（r为导体棒电阻）由闭合电路欧姆定律可得，电路中的电流为： 根据部分电路欧姆定律U＝IR 代入数据可得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式训练1-2】如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为（　　） A．，方向向左 B．，方向向右 C．，方向向左 D．，方向向右 【答案】A 【解析】解：导体棒ab切割磁感线在电路部分的有效长度为d，所以感应电动势为E＝Bdv 又因为，F＝IBL 结合右手定则，判断电流方向为b流向a，故导体棒ab所受的安培力为，方向向左，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练1-3】如图所示，光滑平行导轨固定于水平面内，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一长为l，质量为m，阻值为r的导体棒垂直导轨放置。导轨电阻忽略不计，导体棒运动中始终与导轨垂直且接触良好。现使导体棒获得一水平向右的速度v0，在导体棒向右运动的整个过程中，下列说法正确的是（　　） A．流过电阻r的电流方向为b→r→a B．电流流过金属棒产生的热量为 C．导体棒开始运动时，电阻R上的电热功率为 D．导体棒向右做加速度逐渐减小的减速运动，最后做匀速运动 【答案】B 【解析】解：A、根据右手定则，导体棒向右运动时，流过导体棒的电流方向为a→r→b，故A错误； B、根据能的转化和守恒定律可知，整个电路产生的总焦耳热等于导体棒的初动能，即Q 根据焦耳定律可知金属棒上产生的热为：Qr，故B正确； C、导体棒开始运动时，回路中的电流强度大小为：I 电阻R上的电热功率为：P＝I2R，解得：P，故C错误； D、根据牛顿第二定律可得：BIL＝ma，即：ma，加速度方向向左，速度v减小，加速度减小，所以导体棒向右做加速度逐渐减小的减速运动，最后静止，故D错误。 故选：B。 【变式训练1-4】如图所示是新一代航母阻拦系统采用电磁阻拦技术的原理图。图中飞机着舰钩住金属棒关闭动力系统后，与金属棒以共同初速度在磁场中运动，导轨间宽度为d，飞机质量为M，金属棒质量为m，MP、CD间电阻和金属棒接入电阻均为R，不计其它电阻。飞机阻拦索由绝缘材料做成且不计质量。在整个阻拦过程中飞机和金属棒组成的整体除安培力以外受到其它的阻力大小恒为f。轨道间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B。下列说法正确的是（　　） A．金属棒刚进入磁场时，棒中电流方向是由a到d B．金属棒刚进入磁场时，受到的安培力 C．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中流过MP的电荷量为 D．若金属棒的速度减为零时滑过的距离为x，则整个阻拦过程中金属棒滑行的时间为 【答案】C 【解析】A．金属棒刚进入磁场时，根据右手定则，棒中电流由b到a，故A错误； B．飞机和金属棒刚进入磁场时，此时电动势为 由闭合电路欧姆定律得 安培力为 联立解得，故B错误； C．由、、 有，故C正确； D．设此过程中，通过回路的平均电流为，金属棒的平均电动势为，时间为t，由动量定理得 由闭合电路欧姆定律得平均电流 根据法拉第电磁感应定律 联立解得，故D错误。 故选C。 【变式训练1-5】如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中下列说法不正确的是（　　） A．流过金属棒的最大电流为 B．通过金属棒的电荷量为 C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒内产生的焦耳热为 【答案】C 【解析】解：A、对金属棒下滑到底端的过程，根据机械能守恒定律得 mgh 流过金属棒的最大电流为I，故A正确； B、通过金属棒的电荷量为qΔt•Δt，故B正确； CD、由能量守恒可知整个电路中产生的焦耳热为Q＝mgh﹣μmgd，则金属棒克服安培力所做的功为W＝Q＝mgh﹣μmgd，金属棒内产生的焦耳热为Q′，故C错误，D正确。 本题选不正确的，故选：C。 【变式训练1-6】如图，M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB．设导轨间磁场磁感应强度为B，导轨间距为L，金属棒总电阻为R，由题意导体棒a进入磁场后受到水平向左的安培力作用，做减速运动，根据动量定理有 根据 可得 又因为 联立可得 根据表达式可知v与x成一次函数关系，故A正确，B错误； CD．a克服安培力做功的功率为 故图像为开口向上的抛物线，由于F和v都在减小，故P在减小,故CD错误。 故选A。 【变式训练1-7】（多选）如图所示，在一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L=0.1m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3Ω的电阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r=0.2Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v=4.0m/s向左做匀速运动时（　　） A．ab棒所受安培力大小为0.02N B．N、Q间电压为0.12V C．a端电势比b端电势低 D．回路中感应电流大小为1A 【答案】AB 【解析】AD．ab棒产生的电动势为 回路中感应电流大小为 ab棒所受安培力大小为，故A正确，D错误； B．N、Q之间的电压为，故B正确； C．金属棒向左做匀速运动，由右手定则可知a端电势比b端电势高，故C错误。 故选AB。 【变式训练1-8】（多选）如图所示，一质量为2m的足够长U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻。一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触，则（　　） A.刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M B.导体棒的最大速度为 C.通过导体棒的电荷量为 D.导体棒产生的焦耳热为m 【答案】AC 【解析】金属框开始获得向右的初速度v0，根据右手定则可知电流方向为M→N→c→b→M，故A正确； 以整体为研究对象，由于整体水平方向不受力，所以整体水平方向动量守恒，最后二者速度相等， 取初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得2mv0＝3mv， 可得v＝v0，故B错误； 对导体棒根据动量定理可得BLΔt＝mv－0，其中Δt＝q， 可得通过导体棒的电荷量为q＝，故C正确； 导体棒产生的焦耳热为Q＝×2m－×3mv2＝m，故D错误。 【变式训练1-9】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长且间距为L的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于磁感应强度大小为B方向竖直向下的匀强磁场中，AA1、BB1、CC1均与导轨垂直，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ，AB＝BC＝d，导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．金属杆经过AA1B1B区域过程，其所受安培力的冲量大小为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．金属杆经过BB1的速度小于 D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于4d 【答案】BD 【解析】A、金属杆经过AA1B1B区域过程，其所受安培力的冲量大小： I冲＝＝＝，故A错误； B、根据能量守恒定律可得，在整个过程中，回路中产生的热为：Q总＝－μmgd 根据焦耳定律可知，定值电阻R产生的热量为Q＝＝，故B正确； C、取向右为正方向，在AA1BB1过程中，对金属杆根据动量的可得：＝mv－mv0 在BB1CC1过程中，对金属杆根据动量定理可得：－μmgΔt′＝0－mv 其中＝＝，＝ 联立解得：v＝＞，故C错误； D、由C选项可知，金属杆以初速度v0在磁场中运动有：－μmgt＝0－mv0 金属杆的初速度加倍，设此时金属杆在BB1C1C区域运动的时间为t′， 全过程对金属棒分析得－μmgt′＝0－2mv0 整理可得：＝μmg(2t－t′) 分析可知当金属杆速度加倍后，金属杆通过BB1C1C区域的速度比第一次大，故t′＜t，可得：x＞4d，故D正确。 故选：BD。 【变式训练1-10】（多选）如图甲，两根足够长的平行金属导轨固定在水平桌面上，左端接有阻值R＝1Ω的电阻。一质量m＝0.1kg的金属棒垂直导轨放置，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。金属棒在水平向右的拉力F作用下向右运动，拉力F与时间t的关系式为F＝0.3+0.2t（N），t＝2s时撤去拉力，金属棒在t＝2.55s时停止运动，整个运动过程金属棒速度v随时间t变化的图像如图乙所示。导轨和金属棒电阻不计，重力加速度g取10m/s2。下列判断正确的是（　　） A．金属棒与导轨间摩擦力大小为0.3N B．整个过程中金属棒运动的距离为2.45m C．撤去拉力后，电阻R上产生的焦耳热为0.2J D．撤去拉力后，通过电阻R的电荷量为C 【答案】BD 【解析】解：A、由图像可知，在0～2s内，导体棒做匀加速直线运动，其加速度为 设在t时刻的速度为v，则导体棒切割磁感线产生的电动势为E＝BLv 感应电流为 故安培力为 根据牛顿第二定律有F﹣FA﹣f＝ma 整理可得 又因为F＝0.3+0.2t（N） 所以，且0.1+f＝0.3 解得，f＝0.2N，故A错误； B、由法拉第电磁感应定律可得，平均电动势 根据闭合电路欧姆定律，平均电流为 拉力的冲量为 对全过程应用动量定理有，水平向右为正方向， 其中时间间隔Δt＝2.55s 整理并求解得x＝2.45m，故B正确； C、在0～2s内的匀加速位移为 撤去拉力后的位移为x2＝x﹣x1，代入得x2＝0.45m 此过程的初速度v1＝2m/s，根据能量守恒定律有 解得Q＝0.11J，故C错误； D、撤去拉力后，由法拉第电磁感应定律，平均电动势为 平均电流为 则通过的电荷量为 解得，故D正确。 故选：BD。 【变式训练1-11】（多选）如图所示是我国自主研究设计的舰载机返回航母甲板时电磁减速的简化原理图。固定在绝缘水平面上足够长的平行光滑金属导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，导轨的电阻不计。舰载机等效为电阻不计的导体棒，当导体棒以一定初速度水平向右运动过程中，其速度、加速度、所受安培力、流过的电量与运动时间变化关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A．导体棒向右运动过程中，根据左手定则可知，导体棒受到向左的安培力，则有， 所以导体棒向右做减速运动，加速度大小为 由于速度减小，则加速度减小，所以图像的切线斜率绝对值逐渐减小，故A符合题意； B．根据 则有 由于速度逐渐减小，加速度逐渐减小，所以图像的切线斜率绝对值应减小，故B不符合题意； C．导体棒受到向左的安培力，大小为 可知图像的形状与图像的形状一致，故C符合题意； D．根据 由于速度逐渐减小，所以图像的切线斜率应逐渐减小，故D不符合题意。 故选AC。 【变式训练1-12】（多选）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于轴上，另一根由、、三段直导轨组成，其中段与轴平行，导轨左端接入一电阻。导轨上一金属棒沿轴正向以速度保持匀速运动，时刻通过坐标原点，金属棒始终与轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为，金属棒受到安培力的大小为，金属棒克服安培力做功的功率为，电阻两端的电压为，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】当导体棒从O点向右运动L时，即在时间内，在某时刻导体棒切割磁感线的长度 （θ为ab与ad的夹角）则根据E=BLv0 可知回路电流均匀增加；安培力 则F-t关系为抛物线，但是不过原点；安培力做功的功率 则P-t关系为抛物线，但是不过原点；电阻两端的电压等于导体棒产生的感应电动势，即 即图像是不过原点的直线；根据以上分析，可大致排除BD选项； 当在时间内，导体棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E不变，感应电流I不变，安培力F大小不变，安培力的功率P不变，电阻两端电压U保持不变； 同理可判断，在时间内，导体棒切割磁感线长度逐渐减小，导体棒切割磁感线的感应电动势E均匀减小，感应电流I均匀减小，安培力F大小按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与内是对称的关系，安培力的功率P按照二次函数关系减小，但是不能减小到零，与内是对称的关系，电阻两端电压U按线性均匀减小；综上所述选项AC正确，BD错误。 故选AC。 【变式训练1-13】如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为，电阻不计。在MQ之间接有一阻值的电阻。导体杆ab质量为，电阻，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度，使杆向右运动。求： (1)ab杆速度减为2m/s时，ab杆加速度大小a； (2)整个过程电阻R上产生的热量； (3)整个过程通过电阻R的电荷量q及导体杆ab移动的距离x。 【答案】(1) (2)1.2J (3)0.8C，3.2m 【解析】（1）ab杆速度减为2m/s时，ab杆产生的电动势为 回路电流为 ab杆受到的安培力为 则ab杆的加速度的大小为 （2）由能量守恒可知整个过程产生的热量为 电阻R上产生的热量为 解得 （3）对导体杆ab，由动量定理得 又 其中 联立可得， 【变式训练1-14】如图所示，两条相距d的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻．质量为m，电阻为r的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v.已知磁场扫过金属杆所经历的时间为t，导轨足够长且电阻不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求： (1)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a； (2)PQ刚要到达金属杆时，电阻R消耗的电功率P； (3)磁场扫过金属杆的过程中金属杆的位移大小x. 【答案】　(1)　(2)　(3)v0t－ 【解析】　 (1)MN刚扫过金属杆时，杆上产生的感应电动势为E＝Bdv0 感应电流为I＝ 联立解得I＝ 杆的加速度大小a＝＝ (2)PQ刚要到达金属杆时，杆上产生的感应电动势为E′＝Bd(v0－v) 感应电流为I′＝ 电阻R消耗的电功率P＝I′2R＝ (3)根据动量定理得：B dt＝mv－0 其中q＝t＝＝＝＝ 解得磁场扫过金属杆过程中金属杆的位移x＝v0t－. 【变式训练1-15】如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3)，n = 1，2，3，… 【解析】（1）第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E = BLv0 则此时回路的电流为 此时导体棒受到的安培力F安 = BIL 此时导体棒受安培力的功率（4分） （2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有 其中 解得（4分） （3）由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量QR = QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn 联立解得 ，n = 1，2，3，…（10分） 【变式训练1-16】如图甲所示，两根相距L=2.5m的平行金属导轨固定在水平面内，左右两端各接一个R=4Ω的定值电阻，质量m=0.5kg的导体棒a垂直导轨放置，与导轨良好接触，导轨间有两个足够大的匀强磁场区，磁感应强度大小均为B=0.8T，方向垂直导轨平面竖直向下；P、Q两虚线间为无磁场区域，导体棒在水平向右的外力F作用下，从O位置由静止开始运动，经5s从P点离开磁场，其电流随时间变化的图像如图乙所示，随后导体棒在无磁场区域继续运动，刚进入右侧磁场时撤去外力F（撤去外力F前，F随时间变化规律保持不变），再运动3.1m后恰好停下，已知导体棒电阻r=2Ω，导轨电阻不计，求： (1)0至5s内通过导体棒的电量及OP间的距离； (2)写出水平力F随时间变化的表达式； (3)导体棒a在无磁场区域内运动的时间t1； (4)已知0至5s内外力F做功为1.92J，求整个过程中导体棒a产生的焦耳热。 【答案】(1)1.25C，2.5m (2)F=0.2t+0.1（N） (3)2s (4)5.64J 【解析】（1）0至5s内通过导体棒的电量等于I-t图像与时间轴围成的面积，即 根据法拉第电磁感应定律可得，，， 联立解得 （2）根据牛顿第二定律， 由图可得 所以 所以 联立可得 （3）设导体棒在无磁场区域内运动的时间t1，导体棒在P点的速度为 进入右侧磁场后，由动量定理可得 代入数据得 无磁场区域内，外力冲量为 由动量定理可得 联立解得 （4）左侧磁场中，外力做功为 动能增加量为 总焦耳热 导体棒产生的焦耳热 右侧磁场中，动能减少量为 总焦耳热 导体棒产生的焦耳热 所以整个过程中导体棒a产生的焦耳热为 【变式训练1-17】如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接，右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、接入电路的电阻为2R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。求： （1）金属棒进入磁场的瞬间，金属棒两端的电压； （2）金属棒在磁场运动过程中，金属棒产生的焦耳热； （3）金属棒在磁场中运动的时间t。 【答案】见解析 【解析】（1）金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒， 由机械能守恒定律得：mgh＝ 导体棒切割磁感线产生的电动势：E＝BLv 金属棒两端的电压U＝ 联立方程可解得：U＝＝； （2）金属棒运动全过程，由能量守恒有：mgh＝μmgd＋Q总 其中Q总＝Q棒＋Q阻，＝＝2 故金属棒产生的焦耳热Q棒＝＝； （3）对金属棒在磁场中运动，由动量定理有： －μmgt－＝0－mv，μmgt＋＝mv＝ 故金属棒在磁场中运动时间t＝。 题型02：有恒力作用下的“单杆＋电阻”模型 【典型例题1】如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可能为（   ） A．k = 2、m = 2、n = 2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，则在v = 0时分别有 ， 则第一次和第二次运动中，杆从静止开始运动相同位移的时间分别为， 则 第一次和第二次运动中根据牛顿第二定律有，整理有 则可知两次运动中F—v图像的斜率为，则有 故选C。 【典型例题2】如图所示，两根不计电阻的光滑金属导轨平行放置，导轨及其构成的平面均与水平面成某一角度，导轨上端用直导线连接，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。具有一定阻值的金属棒MN从某高度由静止开始下滑，下滑过程中MN始终与导轨垂直并接触良好，则MN所受的安培力F及其加速度a、速度v、电流I，随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】ABC．根据题意，设导体棒的电阻为R，导轨间距为L，磁感应强度为B，导体棒速度为v时，受到的安培力为，可知 由牛顿第二定律可得，导体棒的加速度为 可知，随着速度的增大，导体棒的加速度逐渐减小，当加速度为零时，导体棒开始做匀速直线运动，则v − t图像的斜率逐渐减小直至为零时，速度保持不变，由于安培力F与速度v成正比，则F − t图像的斜率逐渐减小直至为零时，F保持不变，故A正确，BC错误； D．根据题意，由公式可得，感应电流为 由数学知识可得 由于加速度逐渐减小，则I − t图像的斜率逐渐减小，故D错误。 故选A。 【典型例题3】如图，PQ和MN是两根互相平行、竖直固定的光滑金属导轨，匀强磁场垂直于两导轨所在的平面，即图中垂直于纸面向里。PM间接一电阻R，ab是一根与导轨始终垂直且接触良好的金属杆。现让ab由静止开始自由下落，导轨足够长，导轨及金属杆的电阻忽略不计，设从a流向b为电流的正方向，则金属杆ab下落过程中流过金属杆ab的电流图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】金属杆切割磁感线，根据右手定则可知，感应电流的方向从a流向b，与规定的正方向相同，为正值，设导轨间距为L，金属杆下落过程中回路中的感应电流为 金属杆受到安培力为 根据牛顿第二定律，金属杆的加速度为 则金属杆做加速度减小的加速运动，导轨足够长，则金属杆最终做匀速直线运动，感应电流I的变化规律与v相同。 故选B。 【典型例题4】（多选）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A． 加速过程中通过金属棒的电荷量为 B． 金属棒加速的时间为 C． 加速过程中拉力的最大值为 D． 加速过程中拉力做的功为 【答案】AB 【解析】A．设加速阶段的位移与减速阶段的位移相等为，根据 可知加速过程中通过金属棒的电荷量等于减速过程中通过金属棒的电荷量，则减速过程由动量定理可得 解得，A正确； B．由，解得 金属棒加速的过程中，由位移公式可得 可得加速时间为，B正确； C．金属棒在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，加速过程中，安培力逐渐增大，加速度不变，因此拉力逐渐增大，当撤去拉力的瞬间，拉力最大，由牛顿第二定律可得，其中 联立解得，C错误； D．加速过程中拉力对金属棒做正功，安培力对金属棒做负功，由动能定理可知，合外力的功 可得 因此加速过程中拉力做的功大于，D错误。故选AB。 【典型例题5】（多选）如图，两条足够长平行金属导轨间距为d，导轨平面与水平面夹角为θ＝37°，二者的交线与导轨垂直，斜面所在区域有垂直斜面向上的磁场，一金属棒垂直于导轨放置在斜面MN位置，以M点等高处O为坐标原点，平行斜面向下建立坐标轴x，磁感应强度沿x轴方向的变化规律为B＝kx（k为常数，未知），金属棒质量为m，与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5。金属导轨上端外接恒流电源，金属棒中流过大小为I的恒定电流，方向从M指向N。在x＝0处由静止释放金属棒，金属棒运动到x＝l处时加速度恰好为零。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略回路中的电流对原磁场的影响。下列有关金属棒第一次沿斜面向下运动的过程，说法正确的是（　　） A．金属棒运动到x＝2l处时速度恰好为零 B．k的大小为 C．金属棒下滑距离l的过程中，安培力所做的功为mgl D．金属棒运动到x＝1处时速度大小为 【答案】ABC 【解析】解：金属棒沿斜面下滑时，受到沿斜面向下的重力分力F1＝mgsin37°＝0.6mg，以及沿斜面向上的滑动摩擦力f＝μmgcos37°＝0.5×0.8mg＝0.4mg。 根据左手定则，安培力方向沿斜面向上，其大小为FA＝BId＝kxId。 B、当金属棒运动到x＝l处时加速度为零，处于平衡状态，有mgsin37°﹣f﹣klId＝0，代入数据解得：，故B正确； C、在下滑距离l的过程中，安培力随位移x线性变化，安培力所做的功为，代入k的表达式解得：WA＝﹣0.1mgl，故C正确； D、根据动能定理，从x＝0到x＝l的过程有，即，解得：，故D错误； A、金属棒所受合力，该力随位移线性变化且关于x＝l对称，金属棒的运动具有对称性。由于在x＝0处速度为零，则在x＝2l处速度再次为零，故A正确。 故选：ABC。 【典型例题6】在未来的城市轨道交通系统中，一种基于电磁感应原理的新型无接触牵引装置正在被广泛测试。某次实验利用如图所示装置模拟列车启动时的电磁驱动与能量管理过程，水平面内有两根电阻不计、间距为L=0.5m足够长的光滑平行导轨，一质量为m=0.2kg、电阻不计的导体棒置于导轨上，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮与一质量为M=0.2kg的物块连接，导体棒相当于“虚拟车厢”，通过轻绳连接配重物块，利用重力势能转化为系统的动能与电能。系统可通过单刀双掷开关选择接入电阻回路或电容器回路，从而实现不同的运行模式。电容器的电容C=0.6F，电阻R=2Ω。空间中存在竖直向上的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B=2T。由静止释放，物块下落从而牵引导体棒向左运动，同时开关S接1或2，导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，忽略绳与定滑轮间的摩擦。重力加速度为g，求： (1)开关S接1 ①物块速度v=2m/s时，导体棒上电流方向及轻绳对物块的拉力大小； ②物块达到最大速度时，物块下落高度h=3m，求这段时间电阻上产生的焦耳热 。 (2)开关S接2，求物块下落高度h=1m时，物块的速度大小。 【答案】(1)1.5N，2.8J(2)2m/s 【解析】（1）物块下落，导体棒向左运动，根据右手定则可知，导体棒上的电流方向由b流向a，由 解得轻绳对物块的拉力大小 物块达到最大速度时有解得 根据能量守恒解得 （2）电容器两板间的电势差等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势，有 根据 对导体棒和物块组成的系统，由牛顿第二定律 又 联立解得 根据 解得物块下落高度h=1m时，物块的速度大小 【变式训练2-1】如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中下列说法不正确的是（　　） A．流过金属棒的最大电流为 B．通过金属棒的电荷量为 C．克服安培力所做的功为mgh D．金属棒内产生的焦耳热为 【答案】C 【解析】解：A、对金属棒下滑到底端的过程，根据机械能守恒定律得 mgh 流过金属棒的最大电流为I，故A正确； B、通过金属棒的电荷量为qΔt•Δt，故B正确； CD、由能量守恒可知整个电路中产生的焦耳热为Q＝mgh﹣μmgd，则金属棒克服安培力所做的功为W＝Q＝mgh﹣μmgd，金属棒内产生的焦耳热为Q′，故C错误，D正确。 本题选不正确的，故选：C。 【变式训练2-2】如图所示，竖直面内有一足够长的、间距为L的平行光滑金属导轨，上端PM间接有定值电阻，匀强磁场垂直导轨平面向里，磁感应强度大小为B0，长度也为L的导体棒ab垂直导轨放置，开始距上端PM距离为L。以图示时刻为0时刻，由静止释放导体棒ab，不计空气阻力，导体棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。为使回路中的感应电流始终为零，则磁感应强度B随时间t的变化应满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：为使回路中的感应电流保持为零，依据法拉第电磁感应定律，穿过闭合回路的磁通量需恒定，即Φt＝Φ0。初始时刻t＝0，回路中的磁通量为。 因回路中无感应电流，导体棒仅受重力作用，做自由落体运动，故在t时刻，棒下端与PM边距离为。 此时刻，穿过回路的磁通量为。根据磁通量不变，有，解得：。故BCD错误，A正确。 故选：A。 【变式训练2-3】如图所示，两平行光滑无限长导轨所在的平面与水平面夹角为，导轨的一端接有内阻不计的电流表。在导轨所在空间内的分布有方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，一个导体棒从静止下滑，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为，金属导轨电阻不计，则电流表示数（　　） A．一直增大 B．与成正比 C．先增大后减小 D．先增大后趋于定值 【答案】D 【解析】设导体棒质量为，长度为，导体棒从静止下滑，根据牛顿第二定律 其中， 联立可得， 开始时速度v较小，加速度比较大，随着速度增大，安培力增大，加速度减小，可知导体棒做加速度减小的加速运动，当后，导体棒做匀速运动，根据可知电流表示数先增大后趋于定值。 故选D。 【变式训练2-4】如图所示，两根金属导轨MN、PQ相互平行，上端接入一个定值电阻，构成U形导轨。金属棒ab恰好能静止在导轨上并与两导轨始终保持垂直且接触良好，现在导轨所在空间加一垂直于导轨的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度从零开始随时间均匀增大，经一段时间后金属棒开始运动，从加磁场到金属棒开始运动的时间内，金属棒ab受力情况中（　　） A．安培力方向始终向上，安培力大小随时间均匀增大 B．安培力方向始终向下，安培力大小保持不变 C．摩擦力方向始终向上，摩擦力大小先减小后增大 D．摩擦力方向始终向下，摩擦力大小保持不变 【答案】A 【解析】解：CD、未加磁场时，金属棒ab恰好能静止在导轨上，可得Ff＝mgsinθ，方向沿斜面向上。由AB选项分析可知，安培力方向始终向上，且其大小随时间均匀增大。因此，摩擦力方向先沿斜面向上，大小逐渐减小至零；当F安＝mgsinθ时，摩擦力为零；当安培力继续增大后，摩擦力方向变为沿斜面向下，其大小逐渐增大，直至金属棒开始滑动，综上所述，故CD错误。 AB、当施加磁场时，感应电动势的大小为。由于磁感应强度从零开始随时间均匀增大，因此为定值，感应电动势E保持不变。此时安培力大小为。由于E、R、L均为定值，而B均匀增大，所以安培力大小随时间均匀增大。根据左手定则可以判断，安培力的方向始终沿斜面向上，故A正确，B错误。 故选：A。 【变式训练2-5】如图甲所示，固定的光滑平行导轨（电阻不计）与水平面的夹角为θ＝30°，导轨足够长且间距L＝0.5m，底端接有阻值为R＝4Ω的电阻，整个装置处于垂直于导轨斜向上的匀强磁场中，一质量m＝1kg、电阻r＝1Ω、长度也为L的导体棒MN在沿导轨向上的拉力F作用下由静止开始运动，导轨足够长，拉力F与导体棒速率倒数的关系如图乙所示。已知g取10m/s2，则（　　） A．v＝5m/s时拉力大小为7N B．v＝5m/s时拉力的功率为140W C．匀强磁场的磁感应强度的大小为2T D．当导体棒的加速度a＝8m/s2时，导体棒受到的安培力的大小为2N 【答案】C 【解析】解：AB、由题图乙可知v＝5m/s时，拉力F＝14N，则拉力的功率PF＝Fv＝14×5W＝70W，故AB错误； C、由题图乙可知，导体棒的最大速度vm＝10m/s，此时拉力最小Fmin＝7.0N 导体棒速度最大时，加速度为零，受力平衡，则有 Fmin﹣mgsinθ﹣F安＝0，又 解得B＝2T，故C正确； D、由题图乙得 根据牛顿第二定律得 F﹣mgsinθ﹣F安＝ma 又 当a＝8m/s2时，可得 v2+65v﹣350＝0 解得v＝5m/s 故此时安培力的大小F安＝1N，故D错误。 故选：C。 【变式训练2-6】2025年10月完成的舰载电磁炮测试证明中国电磁炮技术已经取得突破性进展。电磁炮利用电磁系统中电磁场产生的安培力来对金属弹丸进行加速，与用传统的火药推动的大炮相比，电磁炮可大大提高弹丸的速度和射程。某电磁炮可简化为如图所示的模型，同一水平面内的两根平行光滑导轨、a、b与可控电源相连，导轨间存在竖直向上的匀强磁场，将一质量为m、可视为质点的金属弹丸放在导轨上，弹丸在安培力的作用下由静止开始加速向右运动，离开导轨时的速度大小为v，已知弹丸在导轨上加速的过程中，可控电源提供给弹丸的功率恒为P，不计空气阻力及弹丸产生的焦耳热，下列说法正确的是（　　） A．导轨b的电势较高 B．弹丸在导轨上运动时的加速度先减小后增加 C．弹丸在导轨上的加速时间为 D．弹丸在导轨上的加速距离为 【答案】C 【解析】A．依题意，弹丸向右运动，根据左手定则可知电流从流向，如图所示，导轨b的电势较低，A错误； B．依题意，可控电源提供给弹丸的功率恒为P，由知增大F减小，加速度减小，B错误； C．由动能定理有解得，C正确； D．弹丸在导轨上做加速度减小的加速运动，加速距离，D错误。 故选C。 【变式训练2-7】如图所示，有一光滑导轨处于匀强磁场中，一金属棒垂直置于导轨上，对其施加外力，安培力变化如图所示，取向右为正方向，则外力随时间变化图像为（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】C 【解析】由于E = BLv，E = IR，FA = BIL联立得 再结合楞次定律，可知金属棒刚开始向右做匀减速直线运动，后向左做匀加速直线运动，且加速度一直为 ，方向向左 综上当v = 0时，即t = t0时F ≠ 0，且向左 故选C。 【变式训练2-8】（多选）如图所示为电磁驱动装置的简化示意图，间距1m的两根足够长的平行长直金属导轨水平固定放置，两导轨右端接有R＝2Ω的电阻。质量0.25kg的导体棒ab水平静止放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，导体棒与导轨间的动摩擦因数为0.4，导轨平面矩形虚线框区域内存在着竖直向上B＝1T的匀强磁场。现让磁场以某一速度沿导轨平面匀速向左运动，导体棒被驱动加速运动1s后以2m/s的速度沿导轨平面匀速运动。导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内，导轨和导体棒的电阻均不计，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．磁场运动的速度大小为5m/s B．磁场运动的速度大小为4m/s C．导体棒加速经过的位移为3m D．导体棒加速经过的位移为1m 【答案】BD 【解析】解：AB、让磁场以某一速度沿导轨平面匀速向左运动，导体棒相对于磁场向右做切割磁感线运动，根据右手定则可知，导体棒中感应电流方向沿a→b，根据左手定则可知，导体棒受到的安培力方向向左，故导体棒向左运动。令磁场运动的速度大小为v0，导体棒向左运动1s后的速度为大小v，则导体棒相当于磁场的相对速度大小为v0﹣v，导体棒产生的感应电动势为E＝BL（v0﹣v） 感应电流大小为 根据平衡条件有BIL＝μmg 联立解得：v0＝4m/s，故A错误，B正确； CD、导体棒被驱动加速运动的1s时间内，对导体棒进行分析，取向左为正方向，根据动量定理有 其中 感应电动势的平均值为 导体棒加速过程的位移为 联立解得：x＝1m，故C错误，D正确。 故选：BD。 【变式训练2-9】（多选）如图所示，两根等高光滑的半圆形圆弧轨道，半径为r，间距为L，轨道竖直固定，在轨道左端连一阻值为R1的电阻，在轨道右端连一阻值为R2的电阻，已知R1=2R2=2R0，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，现有一根长度稍大于L、质量为m、接入电路电阻为R0的金属棒，从轨道的左端ab处开始（记为t=0时刻），在变力F的作用下以初速度v0沿圆弧轨道做匀速圆周运动至cd处，直径ad、bc水平，整个过程中金属棒与导轨接触良好，所有轨道均不计电阻，则（　　） A. 当时，金属棒中的电流大小为 B. 从0时刻起到时，通过电阻R1的电量为 C. 从0时刻起到时，电阻R1的发热量为 D. 从0时刻起到时，外力F做功为 【答案】ACD 【解析】A．设时刻金属棒与圆心的连线和水平方向的夹角为，则 产生的感应电动势 根据闭合电路欧姆定律可得∶金属棒中的电流大小 故当时，金属棒中的电流大小为A正确； B．根据 从0时刻起到时，故通过回路的总电量为 通过电阻的电量为B错误； C．通过上面的分析可知，回路内的电流为正弦交变电流，电流的最大值为，电阻的发热量为， 从0时刻起到时，电阻的发热量为 C正确； D．从0时刻起到时，回路内的总发热量为 根据功能关系，D正确。 【变式训练2-10】（多选）如图所示，一质量为M的足够长“匚”型金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。质量为m、电阻不计的导体棒PQ平行bc放置在导轨上，PQ左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨单位长度的电阻为R0，bc长为L，初始时bc与PQ间距离也为L。分界线ef与bc平行，其左侧有竖直向上的匀强磁场，右侧有水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨bc段中点，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，PQ与导轨间动摩擦因数为μ，且始终接触良好，则（　　） A. 回路中的电动势先增大后减小 B. 运动过程中拉力F的最大值为Ma+μmg+ C. 若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服安培力做功为Q D. 若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服摩擦力做功为 【答案】CD 【解析】．导轨做初速为零的匀加速运动，t时刻的速度 v=at 回路中感应电动势：E=BLv=BLat 可知回路中的电动势一直增大，选项A错误； B．导轨运动以后，由v=at，，Rx=R0•2x，，F安=BIL 得 导轨受外力F，安培力F安和滑动摩擦力f。其中有f=μFN=μ（mg+F安） 对导轨，由牛顿第二定律得F-FA-f=Ma 联立得 分析可知， 当即力F最大，则有 选项B错误； C．克服安培力做功等于产生的焦耳热，可知若t0时间内导轨产生的焦耳热为Q，则该时间内导轨克服安培力做功为Q，选项C正确； D．又导轨克服摩擦力做功为 而 ， 则有选项D正确。 【变式训练2-11】（多选）如图所示，两根倾斜平行放置的光滑导电轨道，轨道间接有电阻R，处于垂直轨道平面的匀强磁场中，一根放置在轨道上的导体棒在拉力F作用下，沿轨道匀速上滑，在上滑的过程中（　　） A．作用在ab杆上所有力做功的代数和为正 B．拉力F和安培力做功的代数和等于ab杆机械能的增加量 C．拉力F做功等于回路内能的增加量 D．拉力F所做的功等于ab杆机械能与回路内能增加量之和 【答案】BD 【解析】A．根据动能定理，所有力做功的代数和等于动能变化量。由于导体棒匀速运动，动能变化为 0，因此所有力做功的代数和为 0，A错误； B．导体棒的受力包括：拉力F、安培力、重力mg、支持力（支持力不做功）。机械能的增加量等于 “除重力外其他力做的功”（功能关系），即：，B正确； CD．根据能量守恒，拉力F做的功（总能量输入），最终转化为两部分：①导体棒的机械能（匀速上滑，重力势能增加）；②回路的内能。因此 “拉力F做的功等于 ab 杆机械能与回路内能增加量之和” ，C错误；D正确。 故选BD。 【变式训练2-12】（多选）如图，间距的U形金属导轨，一端接有的定值电阻，固定在高的绝缘水平桌面上。质量均为的匀质导体棒a和b静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为，与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒距离导轨最右端。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为。用沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去，导体棒a离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（　　） A．导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移为 B．导体棒a离开导轨至落地前，其感应电动势不变 C．导体棒a在导轨上运动的过程中，导体棒b有向右运动的趋势 D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电阻的电荷量为 【答案】BD 【解析】C．导体棒a在导轨上向右运动，产生的感应电流向里，流过导体棒b向里，由左手定则可知安培力向左，则导体棒b有向左运动的趋势，故Ｃ错误； A．导体棒b与电阻R并联，有 当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，有 联立解得a棒的速度为a棒做平抛运动，有， 联立解得导体棒a离开导轨至落地过程中水平位移为，故A错误； B．导体棒a离开导轨至落地前做平抛运动，水平速度切割磁感线，则产生的感应电动势不变，故B正确； D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电路的电量为 导体棒b与电阻R并联，流过的电流与电阻成反比，则通过电阻的电荷量为，故D正确。 故选BD。 【变式训练2-13】如图甲所示，在水平面上固定有U形光滑平行长直金属导轨，导轨左端接有定值电阻R。导体棒a垂直放置在导轨上，导轨和导体棒电阻不计。空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。0～t0时间内导体棒被锁定，t0时刻将导体棒解除锁定，同时对导体棒施加一沿导轨方向向右的拉力F，使导体棒做匀加速直线运动，规定磁场方向垂直纸面向里为正方向，回路中顺时针方向为电流正方向，则回路中的电流I，拉力F的大小，定值电阻R上的功率P，通过定值电阻R的电荷量q的大小随时间变化规律图像（图中曲线均为二10．（2026春•红谷滩区校级期中）如图，一足够长的金属导轨abcd质量M＝5kg，放在光滑的绝缘水平面上，导体棒PQ质量m＝1kg（电阻不计）放置在导轨上且接触良好，已知导体棒与导轨动摩擦因数μ＝0.1，PQbc构成矩形，导体棒右侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长L＝4m，开始时PQ右侧导轨的总电阻R＝1Ω，导轨单位长度的电阻R0＝0.1Ω/m。以ef为界，其右侧匀强磁场方向竖直向上，左侧匀强磁场水平向右，磁感应强度大小均为B＝0.5T。在t＝0时，一水平向右的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度a＝10m/s2，重力加速度g＝10m/s2。 （1）求回路中感应电流随时间变化的表达式； （2）求PQ棒所受的摩擦力随时间变化的表达式； （3）导轨由静止开始做匀加速直线运动的过程中拉力F的最大值为多少？ 【答案】（1）回路中感应电流随时间变化的表达式为。 （2）PQ棒所受的摩擦力随时间变化的表达式为。 （3）拉力F的最大值为73N。 【答案】（1）回路中感应电流随时间变化的表达式为。 （2）PQ棒所受的摩擦力随时间变化的表达式为。 （3）拉力F的最大值为73N。 【解析】解：（1）根据题意，回路中的感应电动势为E＝BLv。 导体棒做匀加速直线运动，速度v＝at，在时间t内的位移。 回路总电阻R总＝R+2R0x。 联立以上各式，解得回路中的电流，代入数据得。 （2）导轨受到外力F、安培力F安以及导体棒PQ施加的摩擦力Ff作用。 其中，安培力大小为。 由于电路中电流处处相等，且两侧磁场磁感应强度大小相等，导体棒PQ所受安培力大小也为F安，方向竖直向下。 导轨所受摩擦力，代入数据得。 （3）对导轨应用牛顿第二定律，有F﹣F安﹣Ff＝Ma。 整理可得外力。 根据数学知识，当时，分母最小，外力F取得最大值，解得此时t＝1s。 代入数据可得外力F的最大值Fmax＝73N。 【变式训练2-14】如图所示，倾角为，间距为的两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘斜面上，上端接有一阻值的定值电阻。整个斜面有垂直斜面向上，磁感应强度的匀强磁场。有一质量，电阻的金属棒ab，从导轨上某点静止开始下滑。电路中其余电阻不计。不计其他一切阻力的影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数，求：（取） (1)当金属棒ab沿导轨向下运动的速度时，ab的加速度大小； (2)金属棒ab沿导轨向下运动过程中，ab的最大速度大小； (3)若金属棒ab下滑距离时，达到最大速度，求此过程通过电阻R的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）对金属棒进行受力分析，沿斜面方向安培力 又， 联立可得 根据牛顿第二定律有联立解得 （2）当金属棒的加速度为零时，速度达到最大，则有解得 （3）流经电阻的电量 又，， 联立得 代入数据可解得 【变式训练2-15】倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为，无磁场。区域Ⅱ宽度为，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。区域Ⅲ宽度为，有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度。求： （1）导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压； （2）电动机的功率P； （3）全过程所用时间t； （4）全过程中电阻R产生的焦耳热。 【答案】（1）-1.6V （2）20W （3）1.59s （4）4J 【解析】（1）感应电动势 （2）导体棒在区域Ⅱ以速度v做匀速运动，则 （3）区域Ⅰ，电动机功率不变，导体棒做变加速运动，由动能定理得 解得 区域Ⅱ，导体棒做匀速运动， 区域Ⅲ，导体棒做减速运动，由动量定理得 其中解得所以，全程所用时间为 （4）对全程用能量守恒可得 解得Q＝5J 电阻R上产生焦耳热为 【变式训练2-16】如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求： （1）末金属棒两端的电势差； （2）恒力F的大小； （3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热； （4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）， 【解析】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高；由图乙可知末金属杆的瞬时速度为，电动势为 末金属杆两端的电势差 解得 （2）当金属棒匀速运动时，由平衡条件得 其中 由乙图可知 联立解得 （3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，根据动能定理可得 又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得 又 ， 可得 （4）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，有 代入数据解得 在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动，根据动量定理可得 又由图可知 代入数据解得 题型03：含电源的 “单杆+电阻”模型 【典型例题1】如图所示，足够长的光滑导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左侧接有一电动势为E的电源，空间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．长度为L，质量为m，电阻为R的导体棒静止放在导轨上，除了导体棒有电阻外，其余电阻忽略不计，导体棒与导轨接触良好，始终垂直于导轨。现在闭合开关，同时对导体棒施加一水平向右的恒力F，下列说法正确的是（　　） A．导体棒受到的安培力一直增大 B．导体棒受到的安培力的方向始终不变 C．导体棒能够达到的最大速度为 D．导体棒能够达到的最大速度为 【答案】C 【解析】解：AB、初始时刻回路中电流沿顺时针方向，导体棒受到的安培力向右，导体棒向右加速，导体棒切割磁感线产生感应电动势，随着速度增加，回路电动势E总＝E﹣BLv逐渐减小，导体棒受到的安培力不断减小，导体棒加速度减小。当E＝BLv时，安培力为零，由于有外力，导体棒继续向右加速，动生电动势BLv大于电源的电动势E，回路电动势方向反向，电流反向，电流反向增大，导体棒受到的安培力反向不断增加，加速度继续减小，直到安培力等于外力，故AB错误； CD、稳定时F＝BIL，E总＝BLv﹣E＝IR，解得最大速度为，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【典型例题2】如图所示，两条平行的金属轨道所构成的平面与水平地面的夹角为θ，在轨道的顶端接有恒定电源和滑动变阻器，一根质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，杆与导轨间的动摩擦因数恒定。整个装置处于垂直轨道平面向上的匀强磁场中，滑动变阻器的滑片P处于中点位置，杆处于静止状态。现将滑动变阻器的滑片向M端缓慢滑动一段时间后杆开始下滑，整个过程金属杆始终与导轨垂直且接触良好，导轨及电源内阻不计。下列说法中正确的是（　　） A．此过程中金属杆所受安培力的方向垂直于斜面向下 B．金属杆所受安培力的大小与滑动变阻器的电阻成反比 C．滑片向M端滑动的过程中，金属杆对轨道的压力变大 D．下滑后，金属杆所受摩擦力大小不变 【答案】D 【解析】解：A、根据左手定则判断可知金属杆所受的安培力沿斜面向下，故A错误； B、根据金属杆所受安培力的大小，可知，金属杆所受安培力的大小与滑动变阻器的电阻和金属杆的电阻之和成反比，故B错误； CD、由受力分析可得，滑片向M端滑动的过程中，滑动变阻器的电阻减小，电路中的电流增大，导体棒受到的安培力沿斜面向下增大，但金属杆对轨道的压力始终等于mgcosθ，保持不变。下滑后，金属杆所受滑动摩擦力大小f＝μN＝μmgcosθ，保持不变，故C错误，D正确。 故选：D。 【典型例题3】（多选）如图是“电磁炮”模型的原理结构示意图。光滑水平金属导轨M、N的间距L=0.2m，电阻不计，在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1×102T。装有弹体的导体棒ab垂直放在导轨M、N上的最左端，且始终与导轨接触良好，导体棒ab(含弹体)的质量m=0.2kg，在导轨M、N间部分的电阻R=0.8Ω，可控电源的内阻r=0.2Ω。在某次模拟发射时，可控电源为导体棒ab提供的电流恒为I=4×103A，不计空气阻力，导体棒ab由静止加速到4km/s后发射弹体，则（　　） A．导体棒ab所受安培力大小为1.6×105N B．光滑水平导轨长度至少为20m C．该过程系统产生的焦耳热为3.2×106J D．该过程系统消耗的总能量为1.76×106J 【答案】BD 【解析】A．由安培力公式有F=BIL=8×104N故A错误； B．弹体由静止加速到4km/s，由动能定理知Fx=mv2则轨道长度至少为x==20m故B正确； CD．导体棒ab做匀加速运动，由F=ma，v=at，解得该过程需要时间t=1×10－2s 该过程中产生焦耳热Q=I2(R＋r)t=1.6×105J弹体和导体棒ab增加的总动能Ek=mv2=1.6×106J 系统消耗总能量E=Ek＋Q=1.76×106J故C错误，D正确。故选BD。 【典型例题4】将电源、开关、导体棒与足够长的光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图1所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场。已知磁感应强度为B，电源电动势为E、内阻为r。导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间的宽度L，不计金属轨道的电阻。求： （1）闭合开关瞬间导体棒加速度的大小a； （2）分析导体棒运动情况，并在图2中定性画出从静止到最大速度的图像； （3）导体棒的速度从0增加到v1的过程中，通过导体棒的电量q。 【答案】答：（1）闭合开关瞬间导体棒加速度的大小a为； （2）在图2中定性画出从静止到最大速度的图像如下图所示： ； （3）导体棒的速度从0增加到v1的过程中，通过导体棒的电量q为。 【解析】解：（1）闭合开关瞬间，根据闭合电路欧姆定律可得电路中的电流为： I 此时导体棒所受安培力大小为： F＝BIL 根据牛顿第二定律可得导体棒的加速度大小为： a （2）导体棒在安培力的作用下做加速直线运动，其切割磁感线产生的感应电动势E1逐渐增大，当导体棒的速度大小为v时，回路中的电流大小为： I 导体棒所受安培力大小为： F′＝BIL 可得导体棒所受安培力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知其加速度逐渐减小，即导体棒做加速度逐渐减小的加速直线运动，当加速度为零时（即感应电动势与电源电动势相等时）导体棒的速度达到最大，之后导体棒做匀速直线运动，定性画出导体棒从静止到最大速度的v﹣t图像如下图所示： （3）应用微元法，以导体棒的运动方向为正方向，根据动量定理得： ∑BiLΔt＝∑Δ（mv） 则导体棒的速度从0增加到v1的过程有： ∑iΔt＝q，∑Δ（mv）＝mv1 联立解得：q 【变式训练3-1】电磁弹射器是航空母舰上一种高效的舰载机起飞装置，我国的未来航母也将采用这种装置，其工作原理如图所示。足够长的光滑导轨间距为L，电阻不计，左端接有电动势为E的电源，系统处于竖直向下的匀强磁场中。闭合开关S后，质量为m、长度等于导轨间距的金属棒ab由静止开始运动，最后达到稳定速度vm。加速到稳定速度的过程中，电源提供的能量为Es，电源、金属棒产生的焦耳热分别为Q1，Q2，下列说法正确的是（　　） A．金属棒ab先做匀加速直线运动最后做匀速直线运动 B．达到稳定速度时金属棒的感应电动势小于E C．稳定速度 D．磁场的磁感应强度为 【答案】D 【解析】A．电键S闭合后，ab棒受到向右的安培力，产生向右的加速度，棒向右做加速运动。根据右手定则，棒中会产生一个由b到a的感应电动势，与电池电动势方向相反，导致棒中的电流减小，有由牛顿运动定律可得联立，可得 由上分析可知，随着v的增加，I减小，a减小，棒做加速度减小的加速运动，当a=0时棒做匀速直线运动。故A错误； BCD．根据能量守恒定律，电源提供的能量一部分变为回路中产生的焦耳热，一部分转化为金属棒的动能，有稳定时棒的速度为 稳定后棒的感应电动势等于E，即磁感应强度为故BC错误；D正确 【变式训练3-2】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（　　） A．速率 B．从0～t秒电源消耗的电能 C．t秒后通过电阻R的电流为零 D．t秒末导体棒ab两端的电压为E 【答案】A 【解析】解：ACD、闭合开关S后导体棒从静止开始运动，经t秒以v匀速率运动，此时导体棒不受安培力作用，导体棒中的电流为0，则导体棒ab产生的感应电动势与电阻R两端电压相等，则有：U＝BLv 导体棒中的电流为0，相当于断路，此时通过电阻R的电流为： 且有：U＝IR 联立解得：，t秒末导体棒 ab两端的电压为：，故A正确，CD错误； B、从0～t秒，根据能量守恒可知，电源消耗的电能转化为导体棒的动能、电阻R和内阻r的焦耳热，且通过电阻R的电流并不是一直为，因此电源消耗的电能，故B错误。 故选：A。 【变式训练3-3】福建舰是我国完全自主设计建造的首艘配置电磁弹射的航空母舰。其原理可简化为，两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，导轨平面内具有垂直于导轨平面的匀强磁场。电磁弹射车垂直横跨两金属导轨，且始终保持良好接触。已知磁场的磁感应强度大小为B，电源的内阻为r，两导轨间距为L，电磁弹射车和飞机的总质量为m，轨道电阻不计，电磁弹射车的电阻为R。通电后，飞机随电磁弹射车滑行距离s后刚好能获得最大的速度为v。若不计空气阻力和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．飞机在轨道上做变加速直线运动 B．将电源的正负极调换，战斗机仍然能实现加速起飞 C．电磁弹射车达到最大速度时电流不为零 D．电源的电动势为 【答案】A 【解析】解：A、电磁弹射车在轨道上运动受安培力作用而加速运动，当飞机的速度为v1时，根据牛顿第二定律有 F＝BIL＝ma 由闭合电路欧姆定律有 解得 可知，随着速度增大，加速度减小，所以飞机做加速度减小的变加速直线运动，故A正确； B、将电源的正负极调换，安培力反向，战斗机不能实现加速起飞，故B错误； CD、电磁弹射车达到最大速度v时，加速度减小为0，则有 可得E＝BLv 电磁弹射车达到最大速度时电流为I0，故CD错误。 故选：A。 【变式训练3-4】（多选）水平固定放置的足够长的光滑平行导轨，电阻不计，间距为L，左端连接的电源电动势为E，内阻为r，质量为m的金属杆垂直静放在导轨上，金属杆处于导轨间部分的电阻为R。整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中如图所示。闭合开关，金属杆由静止开始沿导轨做变加速运动直至达到最大速度，则下列说法正确的是（　　） A．金属杆的最大速度等于 B．此过程中通过金属杆的电荷量为 C．此过程中电源提供的电能为 D．此过程中金属杆产生的热量为 【答案】ABD 【解析】解：A、闭合开关，金属杆做加速运动，产生感应电动势，感应电动势与电源电动势相等时，电流为零，金属杆开始做匀速直线运动，电动势为E＝BLv，则，故A正确； B、由动量定理得：BILt＝BLq＝mv﹣0，解得：，故B正确； C、由能量守恒可知电源提供的电能，故C错误； D、此过程中电能转化为金属杆的动能、R及r产生的热量之和，由于，金属杆产生的热量为：，故D正确； 故选：ABD。 【变式训练3-5】（多选）如图所示，两平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，电阻不计，左端接有输出电流大小恒为I的恒流源，电流方向如图。导轨间分布着两个紧邻的正方形磁场区域，宽度均为L，左侧磁场方向竖直向下，右侧磁场方向竖直向上，以导轨上两磁场交界处的O点为坐标原点，沿导轨方向建立x坐标轴，两磁场的磁感应强度大小B仅随坐标x变化，且满足式中B0为已知常量。t＝0时，一根质量为m、导轨间电阻为R的导体棒以初速度v0从x＝0处向右运动；t＝t0时，导体棒第一次到达x处，且速度为0。整个运动过程中导体棒始终与导轨接触良好且垂直，不计空气阻力，忽略磁场的边界效应及电流对磁场的影响，下列说法正确的是（　　） A．导体棒做简谐运动 B．初速度v0 C．若初速度变为0.5v0，则导体棒的速度第一次变为0所需时间为t0 D．若初速度变为1.5v0，则导体棒将以两磁场交界线为中心做往复运动 【答案】AB 【解析】解：A、作出 B﹣x图像如图所示 根据题意知，在区域，导体棒所受安培力大小F实＝BIL＝2B0Ix 根据左手定则可知安培力方向始终指向 x＝0 处，令2B0I＝k故导体棒所受外力满足F＝﹣kx 同理，导体棒在x≤0区域也满足F＝﹣kx，则导体棒在区域做简谐运动，故A正确； B、导体棒从 x＝0 到，规定初速度方向为正，根据动能定理有，其中， 联立可得v0，故B正确； C、对于简谐运动，从平衡位置运动到最大位移处所用时间为 t，由上分析可知ω，ω与速度无关，故初速度变为0.5v0，对导体棒的速度第一次变为0所需时间没有影响，故C错误； D、若初速度变为1.5v0，由动能定理可知导体棒运动到处速度为v0 根据对称性知导体棒从处运动到 x＝L 处克服安培力做功为 即导体棒运动到 x＝L 处时速度不为0，导体棒将继续向右运动离开磁场，故导体棒不会以两磁场交界线为中心做往复运动，故D错误。 故选：AB。 【变式训练3-6】如图所示，在竖直向下的磁感应强度B的匀强磁场中，有两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距L，一质量为m、电阻为R1的导体棒ab垂直放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端M点接一单刀双掷开关S，P点与一电动势为E、内阻为r的电源和定值电阻R2相连接，不计轨道的电阻。 （1）求开关S合向1瞬间导体棒的加速度a； （2）开关S合向1，在导体棒速度等于v时把S合到2，导体棒运动x后停下来，求S合到2的瞬间导体棒的电功率P； （3）若从开关S合向接线柱1到导体棒速度等于v的过程中，通过电源的电量为q，则此过程中导体棒R1上产生的电热QR。 【答案】（1）； 方向水平向右；（2）；（3） 【解析】(1)电路的电流 安培力 导体棒的加速度 由左手定则，安培力方向水平向右； (2) 导体棒产生的电动势 电路电流 导体棒的电功率； (3) 此过程中电路中产生的总电热Q， 在电阻R上产生的电热； 【变式训练3-7】电磁弹射技术是一种利用电磁力推动物体的先进技术，广泛应用于航空母舰上的舰载机弹射系统和其他需要高速发射的场景。电磁弹射装置简化模型图如图所示，图中电源（内阻不计）的电动势E＝1×105 V。有一质量m＝2 kg、电阻R＝150 Ω、长度L＝0.5 m的金属棒（电磁弹射弹），垂直放置在足够长的水平固定导轨上，导轨处在方向竖直向上、磁感应强度大小B＝50 T的匀强磁场中。闭合开关S，金属棒由静止加速运动至达到最大速度，即完成“弹射”。 已知离开导轨前金属棒始终与导轨接触良好， 不考虑其他电阻，不计一切摩擦。 （1）求金属棒的速度大小v1＝1×103 m/s时，金属棒的加速度大小a； （2）求金属棒能获得的最大速度vm； （3）求弹射过程中流过金属棒的电荷量q； （4）若金属棒从静止至刚达到最大速度所用的时间为t，求该过程中金属棒的位移大小x（用t表示）。 【答案】见解析 【解析】（1）金属棒的速度大小v1＝1×103 m/s时， 金属棒切割磁感线产生的感应电动势E1＝BLv1 此时回路中的电流I＝，解得I＝500 A 此时金属棒受到的安培力大小F＝BIL，解得F＝1.25×104 N 由牛顿第二定律有F＝ma， 解得a＝6.25×103 m/s2。 （2）金属棒切割磁感线产生的最大感应电动势Em＝BLvm，其中Em＝E， 解得vm＝4×103 m/s。 （3）由动量定理有＝mvm，其中q＝，解得q＝320 C。 （4）由动量定理有＝mvm，x＝vt；即x＝ 解得x＝(4×103t－1.92×103) m。 【变式训练3-8】某中学科技小组的学生在进行电磁发射装置的课题研究，模型简化如下．在水平地面上固定着相距为L且足够长的粗糙导轨PQ及MN，PQNM范围内存在磁场强度大小可以调节的匀强磁场，方向竖直向上，如图所示，导轨左侧末端接有电动势为E、内阻为r的电源，开关K控制电路通断．质量为m、电阻也为r的导体棒ab垂直导轨方向静止置于导轨上，与导轨接触良好．电路中其余位置电阻均忽略不计．导轨右侧末端有一弧度非常小的速度转向装置，能将导体棒水平方向的速度转为与地面成θ角且不改变速度大小．导体棒在导轨上运动时受到恒定的阻力Ff，导体棒发射后，在空中会受到与速度方向相反、大小与速度大小成正比的阻力，Ff0＝kv，k为常数．导体棒在运动过程中只平动，不转动．重力加速度为g.调节磁场的磁感应强度，闭合开关K，使导体棒获得最大的速度．(需考虑导体棒切割磁感线产生的反电动势) (1)求导体棒获得的最大速度vm的大小； (2)导体棒从静止开始达到某一速度v1，滑过的距离为x0，导体棒ab发热量为Q，求电源提供的电能及通过电源的电荷量q； (3)调节导体棒初始放置的位置，使其在到达NQ时恰好达到最大的速度，最后发现导体棒以v的速度竖直向下落到地面上．求导体棒自NQ运动到刚落地时这段过程的平均速度大小． 【答案】　(1) 　(2)mv12＋Ffx0＋2Q　＋＋　(3) 【解析】　 (1)当棒达到最大速度时，棒受力平衡，则Ff＝FA FA＝BiL i＝ 联立解得v＝2＋· 由数学知识得vm＝ (2)导体棒电阻为r，电源内阻为r，通过两者的电流始终相等，导体棒ab发热量为Q，则回路总电热为2Q；据能量守恒定律知，电源提供的电能W＝mv12＋Ffx0＋2Q 由EIt＝Pt＝W可知，电源提供电能与通过电源的电荷量的关系为W＝Eq，通过电源的电荷量q＝＝＋＋ (3)导体棒自NQ运动到刚落地过程中，水平方向应用动量定理可得－kvxΔt＝mΔvx，即－kΔx＝mΔvx 解得：水平方向位移Δx＝·cos θ 竖直方向应用动量定理可得－kvyΔt－mgΔt＝mΔvy，即－kΔy－mgΔt＝mΔvy 解得：运动的时间Δt＝ 根据平均速度公式可得，导体棒自NQ运动到刚落地时这段过程的平均速度大小＝＝ . 【变式训练3-9】如图所示，平行金属导轨间距为L，导轨平面与水平面夹角为定值，二者交线与导轨垂直。电动势均为E、内阻均为r的两电源，开关S1、S2及滑动变阻器RP与导轨相连。导轨处于磁感应强度大小为B、方向平行于导轨向下的匀强磁场中。S1闭合，S2断开，质量为m、长为L、电阻为r的金属杆cd静止于导轨上，调节滑片，当RP阻值为r时，cd刚好要下滑。保持滑片位置不变，断开S1，闭合S2，cd开始下滑并始终与导轨接触良好。已知cd与导轨间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻。cd下滑过程中，求： （1）cd的电功率P； （2）cd的加速度大小a。 【答案】（1）cd的电功率大小为。 （2）cd的加速度大小为。 【解析】解：（1）cd下滑过程中，由于匀强磁场的方向与导轨平行，金属杆cd的运动速度方向与磁场方向平行，金属杆不切割磁感线，因此不会产生动生电动势，回路中的电流大小保持恒定。 根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流，金属杆cd的电功率P＝I2r，代入解得。 （2）闭合S1、断开S2时，由电路图可知电源向右供电，电流方向由c流向d，根据左手定则（磁场平行导轨向下，电流水平），cd受到的安培力方向垂直于导轨平面向下，大小为； 设导轨倾角为θ，此时cd刚好要下滑，在垂直导轨方向上受力平衡，得到支持力N1＝mgcosθ+FA，在沿导轨方向上受力平衡，受到沿斜面向上的最大静摩擦力，得到mgsinθ＝μN1＝μ（mgcosθ+FA）； 断开S1、闭合S2后，接入回路的下侧电源极性与上侧相反，回路总电阻不变，故电流方向反向（由d流向c）但大小不变，根据左手定则，安培力方向变为垂直导轨平面向上，大小仍为FA； 此时垂直导轨方向上的支持力变小，即N2＝mgcosθ﹣FA；cd沿导轨加速下滑，在沿导轨方向上根据牛顿第二定律有mgsinθ﹣μN2＝ma，即mgsinθ﹣μ（mgcosθ﹣FA）＝ma； 将前一状态的受力平衡等式展开变形可得mgsinθ﹣μmgcosθ＝μFA，将其作为一个整体代入第二状态的牛顿第二定律方程中，消去未知角θ，得到μFA+μFA＝ma，即2μFA＝ma，将安培力FA的表达式代入，解得cd的加速度大小。 题型04：有初速度的“单杆＋电容器”模型 【典型例题1】如图所示，水平面上固定着两根足够长的光滑金属导轨MN和PQ，相距为L，左端MP间接有电容为C的电容器。导轨处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，质量为m的金属棒ab横放在导轨上且与导轨接触良好。现给金属棒一个平行导轨向右的瞬时冲量I，关于此后的过程，下列说法正确的是（　　） A． 金属棒做匀变速运动，最后匀速运动 B． 金属棒做匀加速运动，最后停止运动 C．金属棒最终的速度大小为 D．整个过程中金属棒克服安培力做的功为- 【答案】D 【解析】AB．根据动量定理可知金属棒获得的初速度v0= 对金属棒受力分析可知，金属棒在运动过程中受到的合外力等于安培力。金属棒切割磁感线产生感应电动势，给电容器充电，金属棒做减速运动，金属棒的速度减小，安培力减小，做变减速运动，最终当金属棒两端电压和电容器两端电压相等时，金属棒做匀速运动，AB错误； C．对金属棒，设其做匀速运动时的速度为v，根据动量定理有-B0I电Lt=m（v-v0） 又I电t=q且q=CU，U=B0Lv解得v=，C错误； D．对金属棒应用动能定理有-WA=mv2-m解得WA=-D正确故选D。 【典型例题2】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问： (1)磁场的方向； (2)MN刚开始运动时加速度a的大小； (3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少． 【答案】(1)垂直于导轨平面向下　(2) 　(3) 【解析】(1)将S接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S接2时，电容器放电，流经MN的电流由M到N，又知MN向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下． (2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有I＝① 设MN受到的安培力为F，有F＝IlB② 由牛顿第二定律，有F＝ma③ 联立①②③式得a＝④ (3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q0，有Q0＝CE⑤ 开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vmax时，设MN上的感应电动势为E′，有E′＝Blvmax⑥ 依题意有E′＝⑦ 设在此过程中流经MN的平均电流为，MN上受到的平均安培力为，有＝lB⑧ 由动量定理，有Δt＝mvmax－0⑨ 又Δt＝Q0－Q⑩ 联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q＝. 【变式训练4-1】空间中存在竖直向下的匀强磁场，足够长的光滑金属轨道固定在水平面上，轨道左端与充满电的电容器C相连，有一定电阻的金属杆ab垂直轨道放置。闭合开关S后，金属杆向右运动，不计一切阻力，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．金属杆ab做匀加速运动 C．回路电流最终为0 D．电容器减小的电场能全都转化为金属杆ab的动能 【答案】C 【解析】解：A、金属杆向右运动，所受安培力方向向右，磁场方向竖直向下，根据左手定则，通过金属杆的电流方向由a到b，电容器处于放电状态，电流从正极板流出，故电容器上极板带正电，故A错误； B、闭合开关S后，电容器放电，金属杆在安培力作用下加速运动，同时切割磁感线产生感应电动势，其方向与电容器电压相反。回路电流为，随着电容器电荷量减少，其电压UC减小，而金属杆速度v增大，感应电动势BLv增大，导致电流I减小，安培力F＝BIL也随之减小。根据牛顿第二定律F＝ma，加速度a减小，因此金属杆做加速度减小的加速运动，故B错误； C、当电容器两端电压等于金属杆产生的感应电动势时，回路中电流为零，金属杆不再受安培力，将做匀速直线运动，此时电容器不再放电，回路电流最终为零，故C正确； D、金属杆存在电阻，电流通过时会产生焦耳热。根据能量守恒定律，电容器减小的电场能转化为金属杆的动能和回路产生的焦耳热，故D错误。 故选：C。 【变式训练4-2】(多选) 如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则(　　) A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝，且a点电势高于b点电势 B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大 C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝ D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势 【答案】　ACD 【解析】　当杆ab刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv0，杆ab两端的电压U＝＝，根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点电势，A正确；通过电阻R的电流I＝，由于杆ab速度减小，则电流减小，安培力减小，所以杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误；当杆ab以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Bl·Δt＝－Blq＝mv－mv0，联立可得v＝，C正确；杆稳定后，电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确． 【变式训练4-3】如图甲所示，两平行长直光滑金属导轨水平放置，间距为L，左端连接一个电容为C的电容器，导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m的金属棒垂直导轨放置，某时刻金属棒获得一个水平向右的初速度v0，之后金属棒运动的v－t图像如图乙所示，不考虑导轨的电阻。 （1）求金属棒匀速运动时的速度大小v1； （2）求金属棒匀速运动时电容器的电荷量q； （3）已知金属棒从开始到匀速运动的过程中，产生的焦耳热为Q，求电容器充电稳定后储存的电能E。 【答案】（1）　（2）（3）m－－Q 【解析】（1）金属棒匀速运动切割磁感线产生的电动势U＝BLv1 电容器的电荷量q＝CU 金属棒从开始到匀速运动的过程中，由动量定理有 －BLt0＝mv1－mv0 电容器的电荷量q＝t0联立解得v1＝。 （2）由（1）可知q＝CU＝CBLv1＝。 （3）在0～t0时间内，金属棒的速度由v0到v1，由能量守恒定律可得E＋Q＝m－m 解得E＝m－－Q。 题型05：恒力作用下的“单杆＋电容器”模型 【典型例题1】如图所示，水平放置足够长且光滑的金属导轨和de，ab与de平行并相距为L，bc是以O为圆心、半径为r的圆弧导轨，圆弧b左侧和扇形内有方向如图所示的匀强磁场，磁感应强度均为B，a、d两端接有一个电容为C的电容器，金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好，初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上，金属杆MN质量为m，金属杆MN和OP电阻均为R其余电阻不计，若杆OP绕O点在匀强磁场区域内以角速度ω从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（    ） A．杆OP产生的感应电动势恒为 B．电容器带电量恒为 C．杆MN中的电流逐渐减小 D．杆MN向左做匀加速直线运动，加速度大小为 【答案】C 【解析】A．杆OP产生的感应电动势恒为故A错误； BC．由右手定则知OP产生的感应电流方向为由O到P，则MN杆中电流方向为由M到N，由左手定则知MN杆受到向左的安培力，MN杆向左做加速运动，也产生感应电动势，与OP产生的感应电动势方向相反，则有随着MN的速度增加，回路中的总电动势逐渐减小，回路电流减小；根据可知PO间电势差增大，则电容器的电压增大，电容器带电量增大，故B错误，C正确； D．回路中电流逐渐减小，杆MN受到的安培力逐渐减小，则杆向左做加速度逐渐减小的加速直线运动，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）如图所示，间距为L的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向里、大小为B的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为m的金属棒ab与导轨始终保持良好接触，由静止开始释放，释放时ab。距地面高度为h，（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．金属棒做匀加速运动，加速度为g B．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为mgh C．金属棒做匀加速运动，加速度为 D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为 【答案】AC 【解析】对金属棒ab进行分析，根据动量定理可得 其中所以解得 故可得金属棒做匀加速运动，根据可得加速度为A错误，C正确； B．根据能量守恒，下落的过程有一部分重力势能变成电能，还有一部分变成了导体棒的动能，因此电容器储存的电荷量不可能为mgh，B错误； D．这样导体棒到过地面时的动能 根据能量守恒，电容器储存的电势能为D正确。故选CD。 【典型例题3】如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。 (1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。 (2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则 由闭合电路欧姆定律 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 联立可得，恒定的外力为 在加速阶段，外力的功率为 定值电阻的功率为 若时，即 化简可得金属棒速度v的大小为 （2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有 当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力不断减小，而拉力的功率 定值电阻功率 当时有，可得 根据，可得此时电容器两端电压为 从开关断开到此刻外力所做的功为 其中 联立可得 【变式训练5-1】我国最新航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电磁弹射轨道，电磁弹射的简化模型如图所示：足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的电容器C相连，与机身固连的金属杆ab静置在轨道上，闭合开关S后，飞机向右加速，若不计所有阻力和摩擦，回路总电阻R保持不变，下列说法不正确的是（　　） A．提高电容器的放电量，可以提高飞机的起飞速度 B．飞机运动过程中，a端的电势始终高于b端的电势 C．飞机的速度最大时，金属杆ab产生的感应电动势与电容器两端电压相等 D．飞机的速度达到最大时，电容器所带的电荷量为零 【答案】D 【解析】A．对金属杆与飞机，由动量定理可得 联立可得，则提高电容器的放电量，可以提升飞机的起飞速度，故A正确，不符合题意； B．飞机向右加速，通过金属杆ab的电流方向为a→b，则电容器上板带正电，下板带负电，a端的电势高于b端的电势，故B正确，不符合题意； CD．随着飞机加速，金属杆ab产生的电动势为 则电动势增大，电容器两端电压U减小，根据牛顿第二定律，对金属杆和飞机有 则金属杆的加速度a减小，当时，飞机的速度达到最大，此时电容器所带的电荷量不为零，故C正确，不符合题意，D错误，符合题意。 故选D。 【变式训练5-2】（多选）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R = 0.02Ω的电阻和C = 1F的电容器，整个装置处于B = 0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0 = 4.32m处在一个大小F = 4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（   ） A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s 【答案】BD 【解析】A．由于金属棒ab、cd同时由静止释放，且恰好在M、N处发生弹性碰撞，则说明ab、cd在到达M、N处所用的时间是相同的，对金属棒cd和电容器组成的回路有 Δq = C·BLΔv 对cd根据牛顿第二定律有F－BIL－m2gsin30° = m2a2 其中，，联立有 则说明金属棒cd做匀加速直线运动，则有 联立解得a2 = 6m/s2，t = 1.2s，故A错误； B．由题知，知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，则根据功能关系有 金属棒下滑过程中根据动量定理有 其中，R总 = R＋Rab = 0.1Ω 联立解得：q = 6C，xab = 3m，Q = 3.9J 则R上消耗的焦耳热为：，故B正确； CD．由于两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，取沿斜面向下为正，有 m1v1－m2v2 = m1v1′＋m2v2′ 其中v2 = a2t = 7.2m/s 联立解得v1′ = －3.3m/s，v2′ = 8.4m/s，故C错误、D正确。 故选BD。 【变式训练5-3】（多选） 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨倾斜放置，与水平面夹角为30°，两导轨间的距离为L，导轨顶端接有电容为C的电容器。一根质量为m的均匀金属棒ab放在导轨上，与两导轨垂直且保持良好接触，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，重力加速度为g，不计一切电阻。由静止释放金属棒，金属棒下滑x的过程中电容器未被击穿，下列说法正确的是（　　） A．金属棒做加速度越来越小的加速运动B．金属棒下滑x时的速度v= C．金属棒下滑x的过程中电容器储存的电荷量q= D．金属棒下滑x的过程中，电容器储存的电场能E电= 【答案】CD 【解析】A．导体棒沿光滑导轨下滑切割磁感线产生动生电动势，同时给电容器充电，由牛顿第二定律有 而充电电流为联立可得 可知加速度恒定，即金属棒做匀加速直线运动，故A错误； B．金属棒做匀加速直线运动，则下滑x时的速度为v，有 联立解得速度故B错误； C． 金属棒下滑x的过程中电容器储存的电荷量为 故C正确； D．金属棒下滑x的过程中，电容器储存的电荷量为 电荷量与电压成正比，则电容器储存的电场能为 而联立解得 另解：对棒的下滑过程由动能定理，有而 联立解得故D正确；故选CD。 【变式训练5-4】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面间的夹角为θ，两导轨的间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： (1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系． 【答案】　(1)Q＝CBLv　(2)v＝gt 【解析】　(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv① 平行板电容器两极板之间的电势差U＝E② 设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，则有Q＝CU③ 联立①②③式得Q＝CBLv④ (2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为I.金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为F安＝BLI⑤ 设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，据定义有I＝⑥ ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量．由④式得：ΔQ＝CBLΔv⑦ Δv为金属棒的速度变化量，有a＝⑧ 金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨向上，大小为Ff＝μFN⑨ FN是金属棒对导轨的正压力的大小，有FN＝mgcos θ⑩ 由牛顿第二定律得mgsin θ－F安－Ff＝ma⑪ 联立⑤～⑪式得a＝g⑫ 由⑫式及题意可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．则t时刻金属棒的速度大小为 v＝gt. 题型06：“单杆+电容+电阻等”综合模型 【典型例题1】如图所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L，导轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C的电容器、开关S和定值电阻R；质量为m的金属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r.初始时开关S断开，电容器两极板间的电压为U.闭合开关S，金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．下列说法正确的是(　　) A．闭合开关S的瞬间，金属棒立刻开始向左运动 B．闭合开关S的瞬间，金属棒的加速度大小为 C．金属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零 D．金属棒最终获得的速度大小为 【答案】D 【解析】由左手定则可知，闭合开关S的瞬间，金属棒所受安培力方向向右，金属棒立刻获得向右的加速度，开始向右运动，A错误；闭合开关S的瞬间，金属棒的加速度大小a＝，B错误；当金属棒切割磁感线产生的电动势跟电容器两极板之间的电压相等时，金属棒中电流为零，此后，金属棒将匀速运动下去，两端的电压达到最小值，故金属棒与导轨接触的两点间的电压不会为零，C错误；设闭合开关S后，电容器的放电时间为Δt，金属棒获得的速度为v，由动量定理可得BL·Δt＝mv－0，解得v＝，D正确． 【典型例题2】如图所示，水平面内固定有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向下。同种材料制成长度相同、粗细不同的导体棒a和b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好。电源电动势为E，电容器电容为C，将开关S接1，经过足够长时间后，将开关S由1改接到2，此刻开始计时，忽略电流产生的磁场。下列关于导体棒a和b运动的速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当开关S接至1，经过足够长时间后，电容器两端的电压U＝E，因此电容器所带电荷量为Q0＝CE。 设导体棒的长度为L，横截面积为S，电阻率为ρ0，密度为ρ，则其电阻，质量m＝ρLS。 将开关S由1拨至2的瞬间，通过导体棒的电流强度为，所受安培力F＝BLI。根据牛顿第二定律，加速度。 由此可知，导体棒a和b的加速度始终相同，因此它们的速度也总是保持一致。将开关S由1接到2并经过足够长时间后，两导体棒将做匀速直线运动，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【典型例题3】（多选）某兴趣小组利用电容放电装置研究电磁弹射。如图，离地面高为h的水平面上固定一半径为r的金属圆环，一根长为2r、电阻为2R0的金属棒P沿直径放置，它的两端与圆环接触良好，该棒以圆心为转轴匀速转动。圆环内左半圆存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场（方向竖直向上），圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距为l的水平放置的光滑平行金属轨道相连，轨道间接有电容为C的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。水平导轨上放置一质量为m金属棒Q，它置于磁感应强度为B2的匀强磁场（方向竖直向上）区域内靠左侧边缘。先将开关置于1端，让金属棒P绕轴以角速度ω匀速转动，等电容器充电结束后，再将开关S置于2端，电容器放电使得导轨上的金属棒Q运动起来水平抛出。圆环及轨道内阻均不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．电容器充电后，M板带正电 B．电容器充电后电容器带电量为 C．电容器充电后电容器带电量为 D．金属棒Q抛出到落地的最大水平距离为 【答案】AC 【解析】解：A、开关S和接线柱1接通，电容器开始充电，在充电过程中，对绕转轴OO′转动的金属棒P，根据右手定则可知电流方向沿径向向外，即金属棒边缘为电源正极，圆心为负极，因此M板带正电，故A正确。 BC、由法拉第电磁感应定律可得感应电动势为，则电容器所带电荷量的变化量为Δq＝CU，其中，代入解得，故B错误，C正确。 D、假设电容器放电过程中能将电荷全部释放，对金属棒Q应用动量定理，规定其运动方向为正方向，有，且放电过程中，联立解得金属棒Q的末速度。再根据平抛运动规律，有与s＝vt，联立可得水平位移。然而，在实际放电过程中，当电容器两端电压与导体棒两端感应电动势相等时放电便会停止，因此电容器最终会保留一部分电荷，使得计算出的水平位移s偏大，故D错误。 故选：AC。 【典型例题4】如图甲所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间接有一个阻值为的电阻，在两导轨间的矩形区域内有垂直导轨平面向里、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距。现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计）。 （1）求棒ab离开磁场的下边界时的速度大小： （2）讨论棒ab可能出现的运动情况，并作出对应的图像； （3）求金属杆自下落至穿出磁场所用的时间t； （4）如图乙所示，当在导轨的PM端通过导线将电容为C、击穿电压为的平行板电容器连接，在时在磁场中无初速度地释放金属棒ab、不考虑电磁辐射，且磁场足够大，当金属棒电阻时，求电容器达到击穿电压所用的时间。 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】（1）根据题意，设棒离开磁场的边界前做匀速运动的速度为，感应电动势为 电路中的电流 对棒，由平衡条件得 解得 （2）棒进入磁场区域时，速度 ①当，即时，棒进入磁场后做匀速直线运动； ②当，即时，棒进入磁场后先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动； ③当，即时，棒进入磁场后先做加速度减小的减速运动，后做匀速直线运动。离开磁场后都做自由落体运动。三种情况下，对应的图分别为 （3）金属棒自由落体的时间 将金属棒穿越磁场的过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为。则安培力的冲量 每个小段中通过电路的电量 则 设金属棒穿越磁场所用的时间为，由动量定理得。 将，，代入得 则金属棒自下落至穿出磁场的时间 （4）在电容器达到击穿电压前，设任意时刻，流过金属棒的电流为，由牛顿第二定律① 设在时间内，金属棒的速度由，电容器两端电压，带电量，则有 代入①得 可见，金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，当电容器达到击穿电压时，金属棒的速度为 所以，电容器达到击穿电压所用的时间为 【变式训练6-1】如图甲，水平放置的平行金属导轨可分别与定值电阻R和平行板电容器C相连，导体棒MN置于导轨上且接触良好，取向右为运动的正方向，导体棒沿导轨运动的位移—时间图象如图乙所示；金属棒始终处于竖直向上的匀强磁场中，不计导轨和金属棒电阻，则0～t2时间内(　　) A．若S接A，电容器a极板始终带负电 B．若S接A，t1时刻电容器两极板电压最大 C．若S接B，MN所受安培力方向先向左后向右 D．若S接B，t1时刻MN所受的安培力最大 【答案】C 【解析】在x­t图象中，图象的斜率表示导体棒运动的速度，由图乙可知，0～t1时间内斜率是正、t1～t2时间内斜率为负值，则说明0～t2时间内导体棒先向右移动后向左移动． 若S接A，导体棒通过金属导轨与平行板电容器C连接，0～t2时间内导体棒先向右运动后向左运动，根据右手定则可知，感应电流的方向先顺时针后逆时针，可知电容器a极板先带负电后带正电，故A错误；若S接A，t1时刻导体棒瞬间静止，即导体不切割磁感线，故MN中无感应电动势产生，电容器两极板电压为零，即最小，故B错误；若S接B，导体棒通过金属导轨与定值电阻R连，0～t2时间内，导体棒先向右运动后向左运动，根据右手定则可知，电流的方向先顺时针后逆时针，由左手定则可知，MN所受安培力方向先向左后向右，故C正确；若S接B，t1时刻MN瞬间静止，导体不切割磁感线，电路中无电流，MN受安培力为零(即最小)，故D错误 【变式训练6-2】电磁轨道炮原理的俯视图如图所示，它是利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，应用此原理可研制新武器和航天运载器。图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出）。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触，导轨和电路其他部分的电阻不计。首先开关S接1使电容器完全充电，然后将S接至2，MN开始向右运动，若导轨足够长，则在此后的运动过程中，电容器上的剩余电荷量最小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当开关S接1时，电容器完成充电，其电荷量为Q0＝CE；当开关S接2后，电容器开始放电，金属棒MN因受到安培力作用而向右加速运动。 在加速过程中，取水平向右为正方向，对金属棒应用动量定理可得，即BL∫Idt＝mv。由于通过回路的电荷量ΔQ＝∫Idt＝Q0﹣Q，其中Q为电容器剩余电荷量，代入得BL（CE﹣Q）＝mv。 随着金属棒速度v增大，回路中的感应电动势E感＝BLv逐渐增大，当电容器两端电压降至等于感应电动势E感时，回路电流减小至零，金属棒速度达到最大，此时电容器上的剩余电荷量最小。 根据平衡条件，取水平向右为正方向，联立动量定理方程，解得电容器上的最小剩余电荷量，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式训练6-3】如图所示，水平面内有两根足够长的平行光滑金属导轨，间距为L，两端分别接有电容为C的电容器和阻值为R的定值电阻，导轨间有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一长为L的金属棒OO′垂直放在导轨上，与导轨相交于M、N两点、其中OML，导轨和金属棒均不计电阻。现将金属棒以O点为轴沿逆时针方向以角速度ω匀速旋转，从开始转动到O′即将与上导轨脱离的过程中，下列说法正确的是（　　） A．刚开始时通过定值电阻R的电流方向由a到b B．金属棒刚开始转动时，产生的感应电动势最大 C．通过定值电阻R的电荷量为 D．电容器C所带电荷量最大为CBL2ω 【答案】D 【解析】解：A、刚开始时穿过左侧回路的磁通量向里减小，根据楞次定律可知，左侧回路中有沿顺时针方向的感应电流，则通过定值电阻R的电流方向由b到a，故A错误； B、当金属棒即将与上导轨脱离时，有效切割长度最大，产生的感应电动势最大，故B错误； C、上图中：ONL，OPL，可得∠O＝53°，PN＝2L，可得：MQL 四边形MQPN的面积为：S（MQ+PN）×L 通过定值电阻R的电荷量为qΔt，故C错误； D、上图中：OQL 金属棒产生的最大感应电动势为EBω•OP2Bω•OQ2BL2ω，电容器C所带电荷量最大为Q＝CECBL2ω，故D正确。 故选：D。 【变式训练6-4】如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角固定点；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（    ）    A．电源电动势 B．棒消耗的焦耳热 C．从左向右运动时，最大摆角小于 D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等 【答案】C 【解析】A．当开关接1时，对导体棒受力分析如图所示    根据几何关系可得，解得 根据欧姆定律，解得，故A错误； 根据右手定则可知导体棒从右向左运动时，产生的感应电动势与二极管正方向相同，部分机械能转化为焦耳热；导体棒从左向右运动时，产生的感应电动势与二极管相反，没有机械能损失 B．若导体棒运动到最低点时速度为零，导体棒损失的机械能转化为焦耳热为 根据楞次定律可知导体棒完成一次振动速度为零时，导体棒高度高于最低点，所以棒消耗的焦耳热 ，故B错误； C．根据B选项分析可知，导体棒运动过程中，机械能转化为焦耳热，所以从左向右运动时，最大摆角小于，故C正确； D．根据B选项分析，导体棒第二次经过最低点时的速度小于第一次经过最低点时的速度，根据 可知棒两次过最低点时感应电动势大小不相等，故D错误。 故选C。 【变式训练6-5】（多选）如图所示，足够长U形光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，宽度为L，电阻不计。区域Ⅰ为正方形，充满垂直轨道平面向上、磁感应强度大小B1随时间t均匀变化的匀强磁场，即B1＝kt（k为大于零的常量）；区域Ⅱ内，导轨上接有开关S1、S2，导轨间接有电容为C1、C2的两电容器；区域Ⅲ内充满方向垂直轨道平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。初始时，质量为m、有一定阻值的导体棒MN静止于区域Ⅲ中某处，S1闭合，S2断开，C1充电。C1充电完毕后，断开S1，闭合S2，MN开始运动，经过一段时间系统达到最终稳定状态。MN长度与导轨宽度相同并始终与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．C1充电完毕时的电荷量为C1kL2 B．C1充电完毕时，上极板带负电 C．最终MN的速度为 D．最终C2的电荷量为 【答案】AC 【解析】解：A.S1闭合、S2断开时，区域Ⅰ中产生感应电动势给C1充电，由法拉第电磁感应定律可知产生的感应电动势为 U1 由电容定义式可得C1充电完毕时的电荷量为 Q1 故A正确； B.由楞次定律和右手螺旋定则可知区域Ⅰ中产生顺时针方向的感应电流，则C1充电完毕时，上极板带正电，故B错误； CD.断开S1、闭合S2时，C1放电，最终回路中感应电流为0。C1、C2和MN两端电压相等，设最终稳定时C1的电荷量为Q1'，C2的电荷量为Q2，流过MN的电荷量为QMN，MN的速度为v，以MN的速度方向为正方向，对MN由动量定理和电流的定义式有 BLQMN＝mv 结合法拉第电磁感应定律和电容的定义式可知 联立可得 整个过程由电荷守恒定律有 Q1＝Q1'+Q2+QMN 联立可得 v＝ 故C正确，D错误。 故选：AC。 【变式训练6-6】（多选）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（　　） A．通过导体棒电流的最大值为 B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动 C．导体棒速度最大时所受的安培力也最大 D．电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热 【答案】AD 【解析】MN在运动过程中为非纯电阻，MN上的电流瞬时值为 A．当闭合的瞬间，，此时MN可视为纯电阻R，此时反电动势最小，故电流最大 故A正确； B．当时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与MN及R构成回路，由于一直处于通路的形式，由能量守恒可知，最后MN终极速度为零， 故B错误； C．MN在运动过程中为非纯电阻电路，MN上的电流瞬时值为 当时，MN上电流瞬时为零，安培力为零此时，MN速度最大，故C错误； D． 在MN加速度阶段，由于MN反电动势存在，故MN上电流小于电阻R 上的电流，电阻R消耗电能大于MN上消耗的电能（即），故加速过程中，；当MN减速为零的过程中，电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的电流大于MN的电流，综上分析可知全过程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量，故D正确。 故选AD。 【变式训练6-7】如图所示，宽为的水平光滑金属轨道上放置一根质量为的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容的电容器和一个阻值为的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为，设金属轨道足够长，不计导体棒及导轨电阻。 (1)开关S拨向“2”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒运动过程中速度的最大值； (2)开关S拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力作用下由静止开始运动，求导体棒发生位移过程中所用的时间； (3)在第（2）问中的时刻，将开关S再次拨向“2”。并对导体棒施加水平向右的力，使导体棒MN的速度随位移均匀增加，其变化率，从时刻开始计时，求MN运动的过程中，电阻R上产生的热量Q。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）当开关S拨向“2”时，导体棒在恒力作用下运动，最终达到匀速时，导体棒速度最大。此时，导体棒受到的安培力与恒力平衡。导体棒切割磁感线产生的感应电动势 感应电流 安培力 根据平衡条件，即 解得。 （2）当开关S拨向“1”时，对导体棒进行受力分析，根据牛顿第二定律有 又因为 又有 所以有 将代入牛顿第二定律表达式，可得 即有 解得加速度 即导体棒做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移公式 解得。 （3）在时刻将开关拨向“2”，导体棒速度随位移均匀增加，变化率，即 可得 由法拉第电磁感应定律有 即 所以 感应电流 安培力 即安培力是随位移线性变化的力，其平均值 根据功能关系，安培力做功等于电阻产生的热量，即安培力平均力做功等于产生的焦耳热，则有焦耳热 【变式训练6-8】如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。 （1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。 （2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。 （3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。 （4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【解析】导体棒切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律有 导体棒做匀速运动 F＝F安 又F安＝BIL，其中 在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功 W＝FvΔt＝F安vΔt＝Δt 电路获得的电能ΔE＝EIΔt＝Δt 可见，在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。 （2）导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流，电源的路端电压U＝BLvm 电源与电阻所在回路的电流I＝ 电源的输出功率P＝UI＝ （3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等，BLv＝U 由电容器的U­-t图可知U＝t 导体棒的速度随时间变化的关系为v＝t 可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a＝ 由C＝和I＝，得 I＝＝ 由牛顿第二定律有F－BIL＝ma 可得F＝ （4）导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为E＝BLv 电容器所带电荷量为Q＝CE＝CBLv 再经过很短一段时间Δt，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为 ΔU＝ΔE＝BLΔv，ΔQ＝CΔU＝CBLΔv 流过导体棒的电流I＝＝CBLa 导体棒受到的安培力f1＝BIL＝CB2L2a 导体棒所受到的摩擦力f2＝μmg 由牛顿第二定律得F－f1－f2＝ma 联立以上各式解得a＝ 显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为v＝t 【变式训练6-9】圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、外转子可绕中心轴转动。外转子半径为，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示。 (1)若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E； (2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q； (3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据题意可知，转动时的线速度为 则ab产生的感应电动势 （2）根据题意，由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，、均切割磁感线，且产生的感应电流方向相反，则转动过程中感应电动势为 感应电流为 转子转动的周期为 则abcd转一圈产生的热量 （3）结合图可知，转子转动电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子一起转，且abcd中的电流为I，则感应电动势为 又有 解得 则电流改变方向的时间为 则电流的周期为 【变式训练6-10】如图所示，足够长光滑平行金属导轨置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度，金属导轨倾角，导轨间距，其电阻不计。为单刀双掷开关，当其掷于1端时，容量的电容器接入电路；当其掷于2端时，有的电阻接入电路。金属杆质量，接入电路的阻值也为。初始时，锁定。已知重力加速度取。 （1）将掷于2端，释放，求的最大速度； （2）将掷于1端，释放，求系统稳定时金属杆的加速度大小。    【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当加速度为零时，的速度最大，根据受力分析有 金属杆中电流为 金属杆产生的感应电动势为，解得 （2）由电流定义式得 由电容定义式得 由法拉第电磁感应定律得 联立可得感应电流 所受安培力得大小为 对应用牛顿第二定律 解得，代入数据得 1.如图所示，竖直面内有一足够长的、间距为L的平行光滑金属导轨，上端PM间接有定值电阻，匀强磁场垂直导轨平面向里，磁感应强度大小为B0，长度也为L的导体棒ab垂直导轨放置，开始距上端PM距离为L。以图示时刻为0时刻，由静止释放导体棒ab，不计空气阻力，导体棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。为使回路中的感应电流始终为零，则磁感应强度B随时间t的变化应满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：为使回路中的感应电流保持为零，依据法拉第电磁感应定律，穿过闭合回路的磁通量需恒定，即Φt＝Φ0。初始时刻t＝0，回路中的磁通量为。 因回路中无感应电流，导体棒仅受重力作用，做自由落体运动，故在t时刻，棒下端与PM边距离为。 此时刻，穿过回路的磁通量为。根据磁通量不变，有，解得：。故BCD错误，A正确。 故选：A。 2.如图所示，水平面内固定有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向下。同种材料制成长度相同、粗细不同的导体棒a和b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好。电源电动势为E，电容器电容为C，将开关S接1，经过足够长时间后，将开关S由1改接到2，此刻开始计时，忽略电流产生的磁场。下列关于导体棒a和b运动的速度—时间图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当开关S接至1，经过足够长时间后，电容器两端的电压U＝E，因此电容器所带电荷量为Q0＝CE。 设导体棒的长度为L，横截面积为S，电阻率为ρ0，密度为ρ，则其电阻，质量m＝ρLS。 将开关S由1拨至2的瞬间，通过导体棒的电流强度为，所受安培力F＝BLI。根据牛顿第二定律，加速度。 由此可知，导体棒a和b的加速度始终相同，因此它们的速度也总是保持一致。将开关S由1接到2并经过足够长时间后，两导体棒将做匀速直线运动，故ABD错误，C正确。 故选：C。 3.（多选）如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计。在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动。则（　　） A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压，且a点电势高于b点电势 B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大 C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为 D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势 【答案】ACD 【解析】A．当杆ab刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势 杆ab两端的电压 根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点电势，A正确； B．通过电阻R的电流，由于杆ab速度减小，则电流减小，安培力减小，所以杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误； C．当杆ab以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小。当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压，而 对杆ab，根据动量定理得 联立可得，C正确； D．杆稳定后，电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确； 故选ACD。 4.（多选）如图所示，足够长U形光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，宽度为L，电阻不计。区域Ⅰ为正方形，充满垂直轨道平面向上、磁感应强度大小B1随时间t均匀变化的匀强磁场，即B1＝kt（k为大于零的常量）；区域Ⅱ内，导轨上接有开关S1、S2，导轨间接有电容为C1、C2的两电容器；区域Ⅲ内充满方向垂直轨道平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。初始时，质量为m、有一定阻值的导体棒MN静止于区域Ⅲ中某处，S1闭合，S2断开，C1充电。C1充电完毕后，断开S1，闭合S2，MN开始运动，经过一段时间系统达到最终稳定状态。MN长度与导轨宽度相同并始终与导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．C1充电完毕时的电荷量为C1kL2 B．C1充电完毕时，上极板带负电 C．最终MN的速度为 D．最终C2的电荷量为 【答案】AC 【解析】解：A.S1闭合、S2断开时，区域Ⅰ中产生感应电动势给C1充电，由法拉第电磁感应定律可知产生的感应电动势为 U1 由电容定义式可得C1充电完毕时的电荷量为 Q1 故A正确； B.由楞次定律和右手螺旋定则可知区域Ⅰ中产生顺时针方向的感应电流，则C1充电完毕时，上极板带正电，故B错误； CD.断开S1、闭合S2时，C1放电，最终回路中感应电流为0。C1、C2和MN两端电压相等，设最终稳定时C1的电荷量为Q1'，C2的电荷量为Q2，流过MN的电荷量为QMN，MN的速度为v，以MN的速度方向为正方向，对MN由动量定理和电流的定义式有 BLQMN＝mv 结合法拉第电磁感应定律和电容的定义式可知 联立可得 整个过程由电荷守恒定律有 Q1＝Q1'+Q2+QMN 联立可得 v＝ 故C正确，D错误。 故选：AC。 5.（多选）如图1所示，两平行光滑导轨MN、M′N′左端通过导线与电源和不带电电容器相连，导轨平面水平且处于竖直向下的匀强磁场中，有一定阻值的导体棒ab垂直导轨处于静止状态。现将开关S与1闭合，当棒达到稳定运动状态后S与2闭合，导轨足够长，电源内阻不计。则(　　) 图1 A.S与1闭合后，棒ab做匀加速直线运动 B.从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热 C.S与2闭合后，棒ab中电流不断减小直到零 D.S与2闭合后，棒ab的速度不断减小直到零 【解析】　BC 【解析】　根据题意可知，S与1闭合后，棒ab受安培力作用做加速运动，棒ab切割磁感线产生感应电动势，棒ab中的电流减小，受到的安培力减小，则棒的加速度减小，直到感应电动势等于电源电动势，棒最后匀速运动，故A错误；根据题意，由能量守恒定律可知，从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热，故B正确；S与2闭合后，棒ab相当于电源给电容器充电，此过程棒受到的安培力水平向左，棒减速运动，则电动势减小，电容器两板间电压升高，棒ab中的电流不断减小，当棒ab产生的感应电动势与电容器两板间的电势差相等时，电路中的电流减小到零，随后棒做匀速直线运动，故D错误，C正确。 6.（多选）电动汽车通过能量回收装置增加电池续航。在行驶过程中，踩下驱动踏板时电池给电动机供电，松开驱动踏板或踩下刹车时发电机工作回收能量。某兴趣小组为研究其原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外的辐向磁场，磁场方向沿半径方向，有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴无摩擦转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：踩下驱动踏板，开关接通1，电池给金属棒供电，金属棒相当于电动机，所用电池的电动势为E，内阻为r；松开驱动踏板或踩下刹车，开关自动切换接通2，金属棒相当于发电机，给电容器充电，所接电容器电容为C。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．踩下驱动踏板瞬间，金属棒的加速度为 B．踩下驱动踏板后，从上往下看金属棒MN顺时针转动 C．踩下驱动踏板后，一段时间后金属棒匀速转动，此时金属棒两端的电压大小为 D．踩下驱动踏板后，当金属棒达到最大转动速度时松开驱动踏板，一段时间后金属棒匀速转动，此时电容器C上的带电量 【答案】ABD 【解析】A．踩下驱动踏板瞬间，根据牛顿第二定律有 其中 解得 故A正确； B．踩下驱动踏板后，电流方向由M到N，根据左手定则可知，金属棒MN顺时针转动，故B正确； CD．当金属棒所能达到的最大线速度满足，金属棒中的无电流通过，即金属棒切割磁感线关生的感应电动势为E，即 当金属棒由最大速度减速至匀速转动，由动量定理可得 当电路达到稳定时，回路中无电流，电容器两端电压与金属棒切割产生的感应电动势相等 联立得， 故C错误，D正确； 故选ABD。 7.（多选）如图所示，有两根足够长、间距为L的光滑竖直金属导轨，导轨上端接有开关、电阻、电容器，其中电阻的阻值为R，电容器（不会被击穿）的电容为C，质量为m的金属棒MN水平放置，整个装置放在垂直导轨平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，不计金属棒和导轨的电阻。闭合某一开关，让MN沿导轨由静止开始释放，金属棒MN和导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。在金属棒MN沿导轨下滑的过程中，下列说法正确的是（    ） A．只闭合开关，金属棒MN先做匀加速运动，后做匀速运动 B．只闭合开关，通过金属棒MN的电流为 C．只闭合开关，金属棒MN先做加速运动，后做匀速运动 D．若只闭合开关，金属棒MN下降的高度为h时速度大小为v，则所用的时间为 【答案】BC 【解析】AB．只闭合开关S2，在金属棒MN运动过程中取一段时间，且趋近于零，设金属棒的加速度大小为a，则有 对金属棒，根据牛顿第二定律有 解得 可知金属棒做匀加速直线运动，A错误，B正确； C．只闭合开关S1，金属棒MN刚释放时有 之后金属棒受重力和安培力共同作用，根据牛顿第二定律有 又 其中金属棒的速度v在增大，则金属棒做加速度减小的加速运动，直到安培力和重力平衡后做匀速直线运动，C正确； D．若只闭合开关S1，金属棒MN下降高度为h时速度为v，则在这个过程中对金属棒用动量定理有 又 解得 D错误。 故选BC。 8.（多选）如图所示，两根间距为，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上。在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆ab，开始时使金属杆ab保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动了1.2m达到最大速度，重力加速度。金属杆从静止到运动1.2m的过程中，下列说法正确的是（    ） A．金属杆能获得的最大速度是3m/s B．通过电阻R的电荷量是0.4C C．电阻R产生的热量 D．金属杆运动位移达1.2m时刻，两端的电势差 【答案】AB 【解析】A．对导体棒而言，当受力平衡时，设其速度最大，此时导体棒产生的电动势为 根据欧姆定律可知，电路中的电流 由平衡条件可得 联立代入数据解得 A正确； B．根据法拉第电磁感应定律可得电路中的平均电动势 平均感应电流又因为 整理可得B正确； C．根据能量守恒可得解得 则电阻R产生的热量C错误； D．当金属杆运动位移达1.2m时刻，此时金属杆产生的感应电动势 根据右手定则可知，感应电流的方向由，根据欧姆定律可知，导体棒ab端的电势差为D错误。 故选AB。 9.如图甲所示是航空母舰携带的歼－20战机，其起飞时采用电磁弹射技术，可将该技术的原理简化为如图乙所示。假设航空母舰静止在海面上，歼－20的质量为m，恒压电源的电压为E，电容器的电容为C，水平导轨MN、PQ的间距为L，电阻忽略不计。已知歼一20在起飞过程中受到跑道的阻力恒为f，忽略空气阻力，重力加速度为g。 （1）若不采用电磁弹射技术，起飞前歼－20受到的牵引力恒为F，离开跑道时的速率为v，则跑道的长度x要满足什么条件？（将歼－20视为质点） （2）我国在歼－20起飞时采用电磁弹射技术，可以在无牵引力的情况下实现起飞。具体操作为：在导轨MN、PQ间施加垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），然后使开关S接1给电容器充电，待电路稳定后将开关S接至2，歼－20将实现弹射起飞。假设歼－20在跑道间的等效电阻大小为R，歼－20经过时间t达到最大速度vm，离开跑道，求： ①电磁弹射起飞的过程中歼－20的最大加速度大小am； ②歼－20离开导轨时的速度大小vm； ③当歼－20达到最大速度时，电容器C上剩余的电荷量Q2。 【答案】见解析 【解析】（1）设不采用电磁弹射技术时起飞前歼－20的位移为s， 由题意可得(F－f)s＝，x≥s，联立解得x≥ （2）①当歼－20采用电磁弹射技术时，在开关S由1接到2的瞬间， 电路中的最大电流为I＝ 最大安培力为F安m＝BIL，此时根据牛顿第二定律可得F安m－f＝mam 联立解得am＝ ②歼－20在导轨上做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为0时速度达到最大 此时电流为I′，最大速度为vm，电容器两极板的电压为E′， 则BI′L＝f，I′＝ 由动量定理可得BILt－ft＝mvm 通过歼－20的电荷量q＝C(E－E′)，q＝ 联立解得vm＝ ③由以上可求得E′＝BLvm＋I′R＝ 又Q2＝CE′，解得Q2＝ 10.如图（甲）所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒垂直搁在导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d0，磁感应强度为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它从a、b处静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F-x的变化情况如图（乙）所示，F0已知。求： （1）棒ab离开磁场右边界时的速度v； （2）棒ab通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q； （3）d满足什么条件时，棒ab进入磁场后一直做匀速运动。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设棒ab离开磁场右边界时的速度为v，产生的感应电动势为 感应电流为 根据平衡条件得 解得 （2）全程根据动能定理得 根据功和能的关系得 解得 （3）棒在磁场中做匀速运动，进入磁场时的速度为v，根据动能定理得 解得 11.小张同学设计了一款自动洒水装置，其简化原理图如图所示。平行导轨和固定在同一水平面内，间距，右端连接的电阻，边界MN的左侧导轨光滑，且处在竖直向下、磁感应强度的匀强磁场中，右侧导轨粗糙且足够长。在导轨上面搁置质量不计的洒水盒，盒内装有质量的水，洒水盒的底部固定一长度为、电阻、质量的金属杆，杆与边界的相距，以杆的位置为坐标原点，沿导轨方向建立x轴坐标。现在打开洒水盒开始洒水，同时施加水平向右的拉力，使洒水盒沿导轨开始做加速度的匀加速运动。已知盒中流出水的质量与位置的关系式为：，当盒中的水洒完或者杆经过边界时，则立即撤去拉力，整个过程杆与导轨始终接触良好，忽略盒的宽度，杆和盒与右侧导轨之间的动摩擦因数，重力加速度取。 （1）求洒水盒停止运动时，金属杆的位置坐标； （2）若洒水盒中初始装水的质量为，求停止运  动时金属杆的位置坐标。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当金属杆运动到边界时，设盒中流出水的质量为，则 说明金属杆运动到边界前一直做匀加速运动，设到达边界时的速度为，则 解得 金属杆经过边界后，力撤去，在摩擦力作用下做减速运动的加速度大小为，则 可知金属杆经过边界后做匀减速直线运动，设洒水盒停止运动时，金属杆的位置坐标为，则有解得 （2）设的水洒完时位移为，速度为，则 解得 根据运动学公式有解得 设金属杆到达边界时的速度为，水流完后（拉力撤去），金属杆继续运动到边界的过程中，由动量定理可得 又 联立解得 设停止运动时金属杆的位置坐标为，则 解得 12.如图a，两光滑金属导轨MN、MN相距L平行放置，导轨平面与水平面成θ夹角，MM、NN间分别连接阻值为R的电阻。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场区域的宽度均为d，相邻磁场间的无磁场区域的宽度均为s。一质量为m、阻值为R的金属棒ab跨放在两导轨上，从磁场区域Ⅰ上边界上方某处由静止释放，金属棒下滑过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。 （1）若金属棒能匀速通过磁场区域Ⅰ，求金属棒静止释放处距区域Ⅰ上边界的距离x1； （2）在（1）的条件下，求金属棒通过区域Ⅰ的过程中产生的热量Q； （3）若金属棒在相邻磁场间无磁场区域中运动的时间均为t，求金属棒静止释放处与区域Ⅰ上边界的距离x2；并在图b中定性画出其自静止开始运动到区域Ⅲ下边界过程中的v-t图线。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）若棒ab以速度v匀速通过磁场区域Ⅰ，则在此过程中产生感应电动势 闭合回路的总电阻 则通过金属棒的电流 金属棒ab进入磁场受到的安培力为。 因为金属棒匀速进入磁场区域Ⅰ，所以由受力可知 即 解得金属棒到区域Ⅰ上边界的速度 从静止释放到区域Ⅰ上边界的过程，机械能守恒。故 解得 （2）设棒ab匀速通过区域Ⅰ过程用时为t，流经棒的电流为I，则此过程中金属棒上产生的热量 两个电阻上产生的热量为 由此可知 由能量的转化与守恒定律可知，机械能的减少量等于回路中产生的总热量，即 因此 解得 （3）设导体棒进入磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ时的速度分别为、、，出磁场的速度分别为、、，通过无磁场区域用时均为t，导体棒在无磁场区域，由牛顿第二定律 得 由匀变速运动规律可得， 解得 ， 即导体棒每次进入磁场的速度相等，每次出磁场的速度也相等。 导体棒离开磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ的过程中，由匀变速运动规律得 ， 解得 进入磁场Ⅱ时的速度与进入磁场Ⅰ时的速度相等，所以 由静止释放到区域Ⅰ上边界的过程，做匀变速直线运动，故 因此 金属棒ab由静止释放直至运动到区域Ⅲ下边界过程中的图，如图所示 13.如图所示，甲、乙两水平面高度差为2h，甲水平面内有间距为2L的两光滑金属导轨平行放置，乙水平面内有间距分别为2L、L的光滑金属导轨平行放置，光滑的绝缘斜导轨紧挨甲、乙两个平面内的水平轨道放置，斜轨道的倾角为53°，斜轨道底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧与金属导轨平滑连接。水平面甲内轨道左端连接一充满电的电容器C，右边缘垂直轨道放置长度为2L，质量为m，电阻为R的均匀金属棒ab，在水平面乙内垂直间距为L的轨道左端放置与ab完全相同的金属棒cd，导轨MM'与NN'、PP'与QQ'均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒αb迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，，。求： （1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0； （2）电容器C释放的电荷量q； （3）从金属棒ab开始沿水平面乙内的光滑轨道运动起，至匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的热量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）金属棒ab落到斜面底端时，在竖直方向上有 解得 由几何关系 解得 （2）金属棒ab弹出瞬间，根据动量定理得 又因为 联立解得电容器C释放的电荷量为 （3）金属棒ab落在水平轨道时，根据动能定理有 解得 最终匀速运动时，电路中无电流，所以金属棒ab和金属棒cd产生的感应电动势相等，即 此过程中，对金属棒ab根据动量定理得 对金属棒cd分析，根据动量定理得 解得 该过程中ab、cd产生的总热量为 解得 因cd棒接入电路中的电阻为ab棒的二分之一，则ab棒上产生的热量为 14.如图所示，平行金属导轨间距为L，导轨平面与水平面夹角为定值，二者交线与导轨垂直。电动势均为E、内阻均为r的两电源，开关S1、S2及滑动变阻器RP与导轨相连。导轨处于磁感应强度大小为B、方向平行于导轨向下的匀强磁场中。S1闭合，S2断开，质量为m、长为L、电阻为r的金属杆cd静止于导轨上，调节滑片，当RP阻值为r时，cd刚好要下滑。保持滑片位置不变，断开S1，闭合S2，cd开始下滑并始终与导轨接触良好。已知cd与导轨间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻。cd下滑过程中，求： （1）cd的电功率P； （2）cd的加速度大小a。 【答案】（1）cd的电功率大小为。 （2）cd的加速度大小为。 【解析】解：（1）cd下滑过程中，由于匀强磁场的方向与导轨平行，金属杆cd的运动速度方向与磁场方向平行，金属杆不切割磁感线，因此不会产生动生电动势，回路中的电流大小保持恒定。 根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流，金属杆cd的电功率P＝I2r，代入解得。 （2）闭合S1、断开S2时，由电路图可知电源向右供电，电流方向由c流向d，根据左手定则（磁场平行导轨向下，电流水平），cd受到的安培力方向垂直于导轨平面向下，大小为； 设导轨倾角为θ，此时cd刚好要下滑，在垂直导轨方向上受力平衡，得到支持力N1＝mgcosθ+FA，在沿导轨方向上受力平衡，受到沿斜面向上的最大静摩擦力，得到mgsinθ＝μN1＝μ（mgcosθ+FA）； 断开S1、闭合S2后，接入回路的下侧电源极性与上侧相反，回路总电阻不变，故电流方向反向（由d流向c）但大小不变，根据左手定则，安培力方向变为垂直导轨平面向上，大小仍为FA； 此时垂直导轨方向上的支持力变小，即N2＝mgcosθ﹣FA；cd沿导轨加速下滑，在沿导轨方向上根据牛顿第二定律有mgsinθ﹣μN2＝ma，即mgsinθ﹣μ（mgcosθ﹣FA）＝ma； 将前一状态的受力平衡等式展开变形可得mgsinθ﹣μmgcosθ＝μFA，将其作为一个整体代入第二状态的牛顿第二定律方程中，消去未知角θ，得到μFA+μFA＝ma，即2μFA＝ma，将安培力FA的表达式代入，解得cd的加速度大小。 答：（1）cd的电功率大小为。 （2）cd的加速度大小为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $