第02讲 法拉第电磁感应定律（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义 -2027年高考物理一轮复习电磁感应专题

第02讲 法拉第电磁感应定律 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01: 对法拉第电磁感应定律的理解 6 题型02：导体切割磁感线产生电动势 18 （一）平动切割磁感线 18 （二）转动切割磁感线 30 （三）有效长度问题 38 题型03：电磁感应中的能量转化问题 46 题型04：法拉第电磁感应定律的综合应用 56 巩固提升 64 1.高考定位 电磁感应板块的计算核心，选择题、实验题、压轴计算题高频考点，新高考常和电路、安培力、动量、能量、图像综合，是区分度大题。楞次定律负责判断方向，法拉第电磁感应定律负责算大小，二者配套使用。 2.考查重点 ①公式 E=n，磁通量变化ΔΦ＝Φ2－Φ1＝B2S2－B1S1 ②动生电动势 E=BLv（平动切割）、E＝Bl2ω（导体棒绕一端转动切割） ③有效切割长度L的判断、v与B垂直的条件 ④感应电动势、感应电流、路端电压、电荷量 q=·Δt=n ⑤Φ-t、B-t、E-t、I-t图像问题 ⑥综合模型：单棒、双棒、导轨+磁场、交变电流的产生基础 3.命题特点 ①陷阱多：区分平均电动势和瞬时电动势； E=n → 平均电动势； E=BLv、E＝Bl2ω → 瞬时电动势 ②经常结合闭合电路欧姆定律，把导体棒当成电源，区分内电压、外电压、电势高低 ③多过程问题：磁场变化、导体运动交替出现 4.分值：选择4–6分；大题一般8–14分，常和动量定理、能量守恒组合成压轴。 一．基础目标 1. 熟记两个核心公式，分清适用条件： E=n（磁通量变化，求平均电动势） E=BLv（垂直切割，求瞬时电动势） 2. 会计算磁通量，明白S是垂直磁场的有效面积。 3. 掌握电荷量推导公式 q=·Δt=n，知道电荷量只和磁通量变化、总电阻有关，和快慢无关。 4. 能把感应电动势结合闭合电路欧姆定律，算出电流、功率。 二．进阶目标 1. 识别转动切割模型，熟练使用 E＝Bl2ω。 2. 能处理倾斜切割、折线导体，找到有效切割长度。 3. 会从B-t、Φ-t图像中利用斜率求电动势。 4. 综合模型：单棒（外力、摩擦力、安培力）、双棒动量守恒，结合能量、焦耳热计算。 三．素养目标 区分“磁通量变化的原因”：磁场变化（感生）、面积变化/导体运动（动生），两种本质都服从法拉第电磁感应定律。 知识点一：法拉第电磁感应定律 1.感应电动势 (1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势．产生感应电动势的那部分导体就相当于电源，导体的电阻相当于电源内阻． (2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关． (3)感应电流与感应电动势的关系：遵循闭合电路欧姆定律，即I＝. 2.感应电动势大小的决定因素 (1)感应电动势的大小由穿过闭合电路的磁通量的变化率和线圈的匝数共同决定，而与磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系． (2) ①当ΔΦ仅由B的变化引起时，则E＝n； ②当ΔΦ仅由S的变化引起时，则E＝n； ③当ΔΦ由B、S的变化同时引起时，则＝n≠n. 求瞬时值是分别求出动生电动势E1和感生电动势E2并进行叠加 (3)磁通量的变化率是Φ－t图象上某点切线的斜率． 3.法拉第电磁感应定律 (1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比． (2)公式：E＝n（平均感应电动势），其中n为线圈匝数． (3)感应电流与感应电动势的关系：I＝. (4)说明：E的大小与Φ、ΔΦ无关，决定于磁通量的变化率. 知识点二：导体切割磁感线产生的感应电动势 1.大小计算 切割方式 表达式 垂直切割 E＝Blv 倾斜切割 E＝Blvsin θ，其中θ为v与导体棒的夹角 旋转切割(以一端为轴) E＝Bl2ω 2.方向判断 (1)把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源。 (2)若电路是不闭合的，则先假设有电流通过，然后应用楞次定律或右手定则判断出电流的方向。 (3)电源内部电流的方向是由负极(低电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低。 3.“瞬时性”的理解 (1)若v为瞬时速度，则E为瞬时感应电动势． (2)若v为平均速度，则E为平均感应电动势． 4.切割的“有效长度” 公式中的l为有效切割长度，即导体在与v垂直的方向上的投影长度．图4中有效长度分别为： ①甲图：l＝sin β； ②乙图：沿v1方向运动时，l＝；沿v2方向运动时，l＝0. ③丙图：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R. 5.“相对性”的理解 E＝Blv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系 6.产生电动势的“四种”情形 磁场变化 平动切割 转动切割 旋转切割 情景图 研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端垂直匀强磁场匀速转动的一段导体棒 绕与匀强磁场垂直的轴匀速转动的导线框 表达式 E＝n E＝Blvsin θ E＝Bl2ω E＝NBSωsin ω t (从中性面 位置开始 计时) 策略1：先判断类型，选对公式 1. 磁场B随时间变化，面积S不变 → 用 E＝n（感生电动势，平均） 2. 导体棒切割磁感线，B不变 → 用 E=BLv（瞬时，B、L、v三者两两垂直） 3. 导体棒绕一端在匀强磁场匀速转动 → E＝Bl2ω 4. 求通过回路的电荷量，优先 q=n 一句话区分：求一段时间内的平均效果、电荷量 → 法拉第原始式；求某一瞬间电动势 → BLv。 策略2：四步标准解题流程（计算题规范） 1. 找磁通量变化：确定B、S，看清是B变还是S变，算出ΔΦ 2. 求感应电动势：选择对应公式 3. 电路分析：导体棒/线圈=电源，分清内阻r、外阻R；用闭合电路欧姆定律 I＝. 4. 后续需求： ①求电流、电压、功率； ②受力：安培力 ③能量：焦耳热、动能变化； ④动量：安培力冲量 策略3：切割类易错处理 B、L、v 三者必须互相垂直；不垂直时，取垂直分量 例：v斜着，取垂直B的分速度；导线弯曲，取两端连线作为有效长度L。 策略4：图像题解法 B-t、Φ-t图像：斜率 k的意义，电动势大小正比于斜率；斜率正负代表感应电流方向（配合楞次定律）。 斜率为0，电动势为0，没有感应电流。 策略5：电荷量快速结论 q=·Δt=n 重点：和运动速度、时间长短无关，只看初末磁通量差、匝数、总电阻 题型01: 对法拉第电磁感应定律的理解 【典型例题1】近场通信(NFC)器件应用电磁感应原理进行通信,其天线类似一个压平的线圈,线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示,一正方形NFC线圈共3匝,其边长分别为1.0 cm、1.2 cm和1.4 cm,图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈,磁感应强度变化率为103 T/s,则线圈产生的感应电动势最接近(　　) A.0.30 V B.0.44 V C.0.59 V D.4.30 V 【答案】B　 【解析】 根据法拉第电磁感应定律可知E=,E=(S1+S2+S3)=0.44 V,选项B正确。 【典型例题2】如图所示，将一个单位长度电阻为的均匀圆形金属线圈用一根不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，线圈的半径为，粗细不计。过圆心的直线的下方有方向始终垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间的变化关系为，直线与线圈的交点为、。则下列说法正确的是（    ）    A．线圈中产生的电流大小恒为 B．线圈中有逆时针方向的感应电流 C．线圈所受到的安培力大小恒定不变 D．时间内线圈中产生的焦耳热为 【答案】A 【解析】A．根据磁感应强度的大小随时间的变化关系 可得 而由法拉第电磁感应定律有 而根据题意可得线圈的电阻为 则根据闭合电路的欧姆定律可得故A正确； B．根据楞次定律可知，线圈中的感应电流始终为顺时针方向，故B错误； C．根据安培力公式 可知，式中电流和有效长度恒定，但磁场感应强度随时间在变化，因此线圈所受安培力是变力，故C错误； D．时间内电流恒定，则根据焦耳定律可得产生的焦耳热为故D错误。 故选A。 【典型例题3】如图所示，半径为、粗细均匀的单匝圆形金属线圈内有一半径为的圆形区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于线圈平面向外，磁感应强度B随时间t的变化关系为，、k为正的常量，线圈电阻为R，则磁感应强度从增大到2时间内（　　） A．线圈中电子沿逆时针方向定向移动 B．线圈面积有缩小的趋势 C．线圈中产生的焦耳热为 D．通过导线横截面的电荷量为 【答案】AC 【解析】A．根据楞次定律和右手定则可知，线圈中感应电流为顺时针方向，因此电子运动方向为逆时针，故A正确； B．线圈不在磁场中，不受安培力，无收缩扩张的趋势，故B错误； C．线圈中磁通量变化率为，线圈中的感应电动势为，变化过程中产生的焦耳热为，由于，联立解得，故C正确； D．通过导线的电荷量为，解得，故D错误。 故选AC。 【典型例题4】（多选）如图所示，在竖直平面内有一半圆形区域，O为圆心，AOD为半圆的水平直径，区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于竖直平面向里的匀强磁场。在A、D两点各固定一颗水平的光滑钉子，一个由细软导线制成的闭合导线框ACDE挂在两颗钉子上，在导线框的E处有一个动滑轮，动滑轮下面挂重物，使导线处于绷紧状态。设导线框的电阻为r，圆的半径为R，从t=0时刻开始，将导线上的C点绕圆心O以恒定角速度ω从A点沿圆弧移动到D点，此过程中不考虑导线中产生的磁场。在C从A点移动到D点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导线框中的感应电流先沿逆时针方向，后沿顺时针方向 B．导线框中产生的电热为 C．通过导线框横截面的电荷量为 D．导线框中感应电动势随时间t的变化关系为 【答案】ABD 【解析】A．设转过角度为θ=ωt，根据几何知识知，线框上部分的三角形的面积， 磁通量为Φ=BR2sinθ=BR2sinωt 导线框中磁通量（方向向里）先增大后减小，由楞次定律知感应电流磁场先向外后向里，感应电流先逆时针方向，后顺时针方向，A正确； D．根据法拉第电磁感应定律知，e=ωBR2cosωt，D正确； C．根据，C点从A移动到D的过程中，=0，所以q=0，C错误； B．根据D项分析知电动势有效值为 故电热，故B正确。 故选ABD。 【典型例题5】（多选）如图，边长为L、粗细均匀的等边三角形金属线框固定在绝缘水平面上，E、F分别为边和边的中点，虚线上方存在着垂直于水平面向外的匀强磁场，虚线下方存在垂直于水平面向里的匀强磁场。已知两磁场的磁感应强度B的大小随时间t的变化关系均为（），等边三角形的每个边电阻均为R。下列说法正确的是（　　）    A．金属线框中有顺时针方向的感应电流 B．金属线框的感应电流始终保持不变 C．在的时间内，通过金属线框某截面的电荷量为 D．金属线框所受的安培力大小不变 【答案】BC 【解析】A．根据法拉第电磁感应定律有 由于虚线下方有效面积大，则三角形金属线框的总电动势由虚线下方回路决定，根据楞次定律可知，金属线框中有逆时针方向的感应电流，A错误； B．根据上述，虚线上方回路产生的感应电动势大小为 虚线下方回路产生的感应电动势大小为 则回路总的感应电动势大小为 回路的感应电流大小为，即金属线框的感应电流始终保持不变，B正确； C．在的时间内，通过金属线框某截面的电荷量为 结合上述解得，C正确； D．虚线上下两方回路的有效长度相等，均为 根据左手定则可知，安培力方向均垂直于EF向上，大小为，可知，安培力方向不变，大小随时间增大而增大，D错误。 故选BC。 【变式训练1-1】亥姆霍兹线圈的示意图如图甲所示,两线圈平行正对放置、相距较近,两线圈中通有相同的电流,电流随时间变化的规律如图乙所示,m点为圆心O1、O2连线的中点,现在m点放置一个与通电线圈平行的小金属圆环,下列说法正确的是(　　) A.t1~t2时间内,两线圈之间磁场的磁感应强度大小恒定 B.t3时刻,位于m点的圆环产生的感生电动势最大 C.t2时刻前后瞬间,位于m点的圆环中产生的感应电流方向不同 D.如果m点的圆环水平放置,则m点的圆环中无感应电流 【答案】D　 【解析】t1~t2时间内,线圈中电流均匀减小,两线圈之间的磁场的磁感应强度也均匀减小,A错误;t3时刻,两线圈中电流达到t2~t4时间内的最大值,但是电流变化率为零,故此时m点处的圆环产生的感生电动势为零,B错误;t1~t2时间内两线圈电流正向减小,t2~t3时间内两线圈电流反向增大,故t1~t3时间内m点的圆环中产生的感应电流方向不变,C错误;若m点的圆环水平放置,则通过圆环的磁通量始终为零,圆环内没有感应电流,D正确。 【变式训练1-2】如图所示，用均匀导线做成的单匝正方形线圈的面积为S，正方形的一半放在垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，a，b分别为两对边的中点，线圈的总电阻为R。下列说法正确的是（　　） A．当磁场的磁感应强度增大时，线圈中的电流沿顺时针方向 B．当磁场的磁感应强度以的变化率增大时，线圈中产生的感应电动势为 C．在磁场的磁感应强度大小由B减小到零的过程中，通过线圈某一横截面的电荷量为 D．在线圈以ab为轴转动一周的过程中，某一段时间内线圈中没有感应电流 【答案】C 【解析】A．根据楞次定律可知，当磁场的磁感应强度增大时，线圈中的电流沿逆时针方向，A错误； B．当磁场的磁感应强度以的变化率增大时，根据法拉第电磁感应定律有B错误； C．在磁场的磁感应强度大小由B减小到零的过程中，感应电动势的平均值为 感应电流的平均值为 根据电流的定义式有解得C正确； D．根据图形可知，在线圈以ab为轴转动一周的过程中，线圈始终有一边处于磁场中切割磁感线，因此不存在某一段时间内线圈中没有感应电流，D错误。 故选C。 【变式训练1-3】水平桌面上放置着两个用同一根均匀金属丝制成的单匝线圈1和线圈2，半径分别为和（俯视图如图1所示）。竖直方向有匀强磁场，磁感应强度随时间变化的关系如图2所示。线圈中的感应电动势、电流强度、电功率分别用E、I、P表示，不考虑两个线圈间的影响，下列关系正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由题意可得，两线圈的长度之比为 两线圈围成的面积之比为 由法拉第电磁感应定律 由图可知，线圈中的感应电动势之比为 由闭合电路的欧姆定律 由电阻定律得 两线圈的电阻之比为 可得，线圈中的电流强度之比为 线圈中的电功率之比为 故选A。 【变式训练1-4】半径为的金属圆环由两种材料组成，圆弧为圆周，电阻为，圆弧为圆周，电阻为，圆内有垂直环面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率，则为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，由法拉第电磁感应定律可得金属圆环产生的感应电动势为 由楞次定律可判断感应电流的方向为逆时针，根据闭合电路欧姆定律可得感应电流为 由于圆弧为圆周，电阻为，则圆弧的感应电动势为 电流流过圆弧后电势降低，大小为 则有 故选A。 【变式训练1-5】如图甲所示，轻质细线吊着一质量m＝2kg、边长L＝1m、匝数n＝5的正方形线圈，线圈总电阻r＝0.5Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．0~6s内穿过线圈磁通量的变化量为3Wb B．线圈中产生的感应电流的大小为0.5A C．t＝6s时轻质细线的拉力大小为12N D．0~6s内线圈产生的焦耳热为15J 【答案】C 【解析】A．0~6s内穿过线圈磁通量的变化量，故A错误； B．线圈中产生的感应电动势 感应电流的大小，故B错误； C．t＝6s时线圈受到的安培力竖直向上，则轻质细线的拉力，故C正确； D．0~6s内线圈产生的焦耳热，故D错误。 故选C 。 【变式训练1-6】如图，“”形导线框置于磁感应强度大小为B、水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均互相垂直，各边长均为l。线框绕 b、e所在直线以角速度顺时针匀速转动，be与磁场方向垂直。t=0时，abef与水平面平行，则（　　） A．t=0时，电流方向为afedcba B．t=0时，感应电动势为 C．时，感应电动势为0 D．t=0到过程中，感应电动势平均值为0 【答案】B 【解析】AB．线框旋转切割磁场产生电动势的两条边为cd 和af，t = 0时刻cd边速度与磁场方向平行，不产生电动势，因此此时只有af 边切割产生电动势，由右手定则可知电流方向为 abcdefa，电动势为，故A错误，B正确； C．时，线框旋转180°，此时依旧只有af 边切割磁场产生电动势，感应电动势仍为，故C错误； D．t=0到时，线框abef的磁通量变化量为零，线框bcde的磁通量变化量为 由法拉第电磁感应定律，可得平均电动势为，故D错误。 故选B。 【变式训练1-7】如图所示，AOC是光滑的直角金属导轨，AO竖直，OC水平。质量分布均匀的金属棒ab长度为L，质量为m，电阻为R，两端置于导轨内。设金属杆与竖直导轨夹角为θ，当θ=30°时静止释放金属杆。已知空间存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，不计金属导轨的电阻，则（　　） A．回路中感应电流方向始终为逆时针方向 B．整个过程中，ab棒产生的焦耳热为mgL C．当θ=60°时，若a点速度大小为v，则b点速度大小为2v D．在θ=30°到θ=45°过程中通过ab棒的电荷量为 【答案】D 【解析】A．根据几何关系金属杆下滑过程，围成的面积先增大后减小，根据楞次定律和安培定则可知，感应电流方向先逆时针再顺时针，故A错误； B．整个过程中，金属棒重力势能减少量为 根据能量守恒可知，整个过程中，ab棒产生的焦耳热不可能等于mgL，故B错误； C．当θ=60°时，a和b两点沿杆方向的速度相等，有，解得，故C错误； D．在θ=30°到θ=45°过程中，产生的平均感应电流 通过ab棒的电荷量，故D正确。 故选D。 【变式训练1-8】(多选)在北半球,地磁场竖直分量向下。阳泉市某中学的兴趣实验小组,把一个正方形闭合导线框abcd放置在水平绝缘桌面上,导线框的ad边沿南北方向,ab边沿东西方向。下列说法正确的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.若使导线框向东平动,则a点的电势比d点的电势低 B.若使导线框向南平动,则b、c两点电势相等 C.若使导线框向西平动,则a点的电势比b点的电势低 D.若使导线框向北平动,则a点的电势比b点的电势高 【答案】BD　 【解析】 导线框向东平动时,根据右手定则得出a点电势高于d点电势,A错误;导线框向南平动时bc边不切割磁感线,不产生感应电动势,b点电势和c点电势相等,B正确;导线框向西平动时,ab边不切割磁感线,不产生感应电动势,a点电势和b点电势相等,C错误;导线框向北平动时,利用右手定则得出a点电势比b点高,D正确。 【变式训练1-9】(多选)如图所示，固定的均匀矩形铝框abcd，长度为2L，宽度为L，左边边长为L的正方形区域abef内存在与铝框平面垂直的匀强磁场。已知铝的电阻率为ρ，单位体积内的自由电子数为n，电子的电荷量为e。某时刻起，磁感应强度以变化率均匀增加。则（　　）    A．空间中产生顺时针方向的恒定电场 B．铝框中的自由电子受到电场力的作用顺时针方向定向移动形成电流 C．自由电子定向移动的平均速率 D．一个电子沿铝框运动一周，电场力做功 【答案】BCD 【解析】AB．根据楞次定律，变化的磁场产生逆时针方向的电场，铝框中的自由电子在电场力的作用下顺时针方向定向移动形成电流，故A错误，B正确； C．感应电动势 由 得故C正确； D．一个电子沿铝框运动一周，电场力做功故D正确。 故选BCD。 【变式训练1-10】(多选)如图所示，两根等高光滑的圆弧轨道半径为r、间距为L，轨道的电阻不计。在轨道的顶端连接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻也是R的金属棒从轨道的最低位置cd开始，在拉力作用下以速率沿轨道向上做匀速圆周运动至ab处，则该过程中（　　）    A．通过电阻的电流方向为 B．通过电阻的电荷量为 C．电阻上产生的热量为 D．拉力做功为 【答案】BD 【解析】A．由右手定则可知，通过电阻的电流方向为，故A错误； B．金属棒从cd运动到ab过程，由法拉第电磁感应定律可知，平均感应电动势 平均感应电流 流过R的电荷量，故B正确； C．金属棒做圆周运动转过的圆心角为θ时导体棒切割磁感线产生的感应电动势 回路产生正弦式感应电流，感应电动势的最大值 有效值 通过R的电流大小 金属棒从cd到ab过程R上产生的热量，故C错误； D．由功能关系可知，，解得，故D正确。 故选BD。 【变式训练1-11】如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心O在区域中心。一质量为m、带电量为q（q>0）的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动。已知磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示，其中。设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。 (1)在t=0到t=T0这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，小球的速度大小v0= ； (2)在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。试求到这段时间内：细管内涡旋电场的场强大小 ；电场力对小球做的功 。 【答案】(1) (2) 【解析】1）小球运动时不受管壁的作用力，因而做圆周运动向心力由洛伦兹力提供：设速度为，有 解得 （2）[1]在到这段时间内，细管内一周的感应电动势 由图乙可知 由于同一条电场线上各点的场强大小相等，所以由得 另解：磁场变化过程中，圆管所在的位置会产生电场，根据法拉第感应定律可知，电势差 电场处处相同，认为是匀强电场则有又因为得到场强 [2]在到这段时间内，小球沿切线方向的加速度大小恒为 小球运动的末速度大小由图乙知化简得 由动能定理，静电力做功为解得 另解：球在电场力的作用下被加速。加速度的大小为：而电场力为 在时间内，小球一直加速，最终速度为 电场力做的功为 得到电场力做功 题型02：导体切割磁感线产生电动势 （一）平动切割磁感线 【典型例题1】如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为（　　） A．，方向向左 B．，方向向右 C．，方向向左 D．，方向向右 【答案】A 【解析】导体棒ab切割磁感线在电路部分得有效长度为d，故感应电动势为 回路中感应电流为 根据右手定则，判断电流方向为b流向a。故导体棒ab所受的安培力为方向向左。 故选A。 【典型例题2】如图，空间存在方向垂直纸面（竖直面）向里的足够大的磁场，以竖直向下为z轴正方向，磁感应强度的大小为，式中、k为常量，纸面内一质量为m、边长为a、总电阻为R的正方形导线框在磁场中由静止开始下落，初始时导线框底边水平，最终线框将匀速下落，重力加速度大小为g，则线框匀速下落时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】线框中电动势为 由题意可得 根据联立可得 当线框匀速下落时有解得 【典型例题3】（多选）列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一水平矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B，方向竖直向上。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法正确的是（　　） A．列车进站过程中电流方向为abcd B．列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小 C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量为 D．从车头进入磁场到停止所用的时间为 【答案】ABD 【解析】A．根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针（俯视），即列车进站过程中电流方向为abcd，故A正确； B．列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为 则回路中产生的瞬时感应电流的大小为 可得车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为 则由牛顿第二定律有 联立解得，故B正确； C．在列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒有 ，解得，，故C错误； D．根据动量定理有，其中 而根据法拉第电磁感应定律有，可得 联立以上各式解得，，故D正确。 故选ABD。 【典型例题4】如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角的斜面上，其间距。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。两根金属棒和与导轨始终保持垂直且接触良好，棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知棒的质量为棒和棒接入电路的电阻均为，导轨电阻不计。将棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力，作出力随时间t的变化图像如图乙所示（力大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取。求： （1）时，金属棒的速度大小； （2）时，外力F的大小； （3）已知金属棒在的时间内产生的热量为，求这段时间外力F所做的功。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设棒NQ的质量为M，当t=0时，，解得 ，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析，， 根据，解得， 感应电动势为 根据，解得 （2）当，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析，， 根据，解得 感应电动势为 根据，解得， 由以上可知棒ab的速度可表示为 由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为 对棒ab分析，，解得 （3）在的时间内金属棒的位移为 对金属棒运用动能定理分析 这段时间ab克服安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，因为电路里有两根电阻相等的棒，所以电路中产生的焦耳热为9J。 所以 【变式训练2-1-1】如图所示，在光滑水平金属框架上有一导体棒ab。第一次以速度v匀速向右平动，第二次以速度匀速向右平动，两次移动的距离相同，则两种情况下回路中产生的感应电动势和通过R的电荷量之比分别为（　　） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【解析】根据法拉第电磁感应定律 可知两种情况下回路中产生的感应电动势之比 根据结合联立可得 可得 故B正确，ACD错误。故选B。 【变式训练2-1-2】如图所示，长为L的直金属棒在匀强磁场B中，沿图示方向以速度v做切割磁感线运动，角度θ已知，金属棒与磁场垂直。则产生感应电动势的大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】金属棒与磁场垂直，速度与导体棒垂直，可知产生感应电动势的大小为。 故选B。 【变式训练2-1-3】如图所示，间距为L且足够长的金属导轨固定在水平面上，导轨电阻忽略不计，竖直向下的匀强磁场范围足够大，磁感应强度为B。导轨左端用导线连接阻值为R的定值电阻，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，与导轨接触良好。导体棒从导轨的最左端以速度v匀速向右运动的过程中（   ） A．回路中的电流逐渐变大 B．回路中电流方向沿顺时针（俯视） C．导体棒两端的电压大小为 D．导体R的发热功率先变大后变小 【答案】C 【解析】A．导体棒匀速运动切割磁感线，则可知产生的感应电动势为 由闭合电路的欧姆定律可得回路中的电流为 则可知回路中的电流不变，故A错误； B．根据楞次定律结合安培定则可知，回路中电流方向沿逆时针（俯视），故B错误； C．切割磁感线的导体相当于电源，则可知导体棒两端的电压即为路端电压，根据串联电路的特点可得导体棒两端的电压为 故C正确； D．导体R的发热功率为 导体R的发热功率不变，故D错误。 故选C。 【变式训练2-1-4】如图甲所示，两固定平行且光滑金属轨道MN、PQ与水平面的夹角θ=37°，M、P之间接电阻箱R，电阻箱的阻值范围为0～9.9Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度大小为B=0.5T。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的阻值为r。现从静止释放杆ab，测得最大速度为vmax。改变电阻箱的阻值R，得到vmax与R的关系如图乙所示。已知轨道间距为L=2m，重力加速度g=10m/s2，轨道足够长且电阻不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（　　） A．金属杆滑动时回路中产生的感应电流的方向是abMpa B．金属杆的质量m=0.5kg C．金属杆接入电路的阻值r=2Ω D．当R=2Ω时，杆ab匀速下滑过程中R两端的电压为8V 【答案】C 【解析】A．金属杆滑动时，穿过闭合回路的磁通量增加，根据楞次定律知回路中感应电流的方向是aPMba，故A错误； BC．杆运动的最大速度为vmax时，杆切割磁感线产生的感应电动势为 由闭合电路的欧姆定律得， 杆达到最大速度时受力平衡，满足，解得vmax=R＋r 结合图乙可知，，，解得m=kg，r=2Ω，故B错误，C正确； D．当R=2Ω时，金属杆ab匀速下滑过程中有， 解得通过R的电流I′=2A 所以R两端的电压为U=I′R=2×2V=4V，故D错误。 故选C。 【变式训练2-1-5】（多选) 中国商飞C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机，机长、翼展35.80m、机高11.95m。已知武汉地区的地磁场水平分量大小为，竖直分量大小为。某架C919飞机在武汉地域自东向西以的速度水平飞行，下列说法正确的是（　　） A．左侧机翼的电势高于右侧机翼的电势 B．尾翼上端点的电势高于机腹最低点的电势 C．两机翼外端点间的电势差约为0.64V D．两机翼外端点间的电势差约为0.61V 【答案】AC 【解析】A．武汉在北半球，武汉地域自东向西水平飞行因机翼切割竖直向下方向的磁感线，则飞机自东向西水平飞行时，根据右手定则可知，左侧机翼的电势高于右侧机翼的电势，选项A正确； B．尾翼上端点到机腹最低点切割水平向北方向的磁感线，根据右手定则可知，尾翼上端点的电势低于机腹最低点的电势，选项B错误； CD．两机翼外端点间的电势差约为，选项C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练2-1-6】（多选) 如图所示，两根平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，其左端接有定值电阻R，建立Ox轴平行于金属导轨，在0≤x≤4m的空间区域内存在着垂直导轨平面向下的磁场（图中未画出），磁感应强度B随坐标x（以m为单位）的分布规律为B=0.8-0.2x（T），金属棒ab在外力作用下从的某处沿导轨向右运动，ab始终与导轨垂直并接触良好，不计导轨和金属棒的电阻。设在金属棒从处，经，到的过程中，电阻器R的电功率始终保持不变，则（　　） A．金属棒在与处产生的电动势之比为1：1 B．金属棒在与处受到磁场B的作用力大小之比为3：1 C．金属棒从到与从到的过程中通过R的电量之比为5：3 D．金属棒从到与从到的过程中电阻R产生的焦耳热之比为7：3 【答案】ACD 【解析】A．由于电阻器R的电功率始终保持不变，故通过电阻器R的电流始终不变，即金属棒产生的感应电动势始终不变，故A正确； B．金属棒在与处受到磁场B的作用力大小之比为 故B错误； C．金属棒从从到过程中有 同理金属棒从到过程中有 故 而故故C正确； D．同理 由于电流始终不变，故 金属棒从到与从到的过程中电阻R产生的焦耳热之比为故D正确。 故选ACD。 【变式训练2-1-7】（多选) 如图所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为，矩形区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度均为，高和间距均为d。质量为的水平金属杆由距区域Ⅰ上边界处由静止释放，进入区域Ⅰ和区域Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为。则金属杆（　　） A．刚进入区域Ⅰ时加速度方向可能竖直向下 B．穿过区域Ⅰ的时间大于穿过两磁场区域之间的时间 C．穿过两磁场区域产生的总热量为 D．穿过区域Ⅱ的时间为 【答案】BD 【解析】A．由进入磁场I和II时的速度相等，两磁场间有一段加速过程，则刚进入磁场I时做减速运动，加速度方向竖直向上，故A错误； B．根据牛顿第二定律，进入磁场I的过程 可知，减速过程的加速度减小，则穿过磁场I和在两磁场之间的运动图像如图 两个过程位移相等，则图像面积相等，可以看出前一段的时间大于后一段的时间，故B正确； C．由于进入磁场I和II时的速度相等，根据动能定理， 又，则穿过磁场I的过程产生的热量为，故穿过两磁场产生的总热量为4mgd，C错误； D．金属杆释放时距磁场Ⅰ上边界的高度为2d，做自由落体运动，故进入磁场时的速度为 又进入区域Ⅰ和区域Ⅱ时的速度相等，在两区域间做加速度为g的匀加速直线运动，设出磁场时的速度为，则穿过两磁场区域时，，解得 根据题意知两磁场中运动时间相等，设为，根据动量定理 又，联立解得穿过区域Ⅱ的时间为，故D正确。 故选BD。 【变式训练2-1-8】 电动汽车刹车时利用储能装置储蓄能量，其原理如图所示，矩形金属框部分处于匀强磁场中，磁场方向垂直金属框平面向里，磁感应强度大小为B，金属框的电阻为r，ab边长为L。刹车过程中ab边垂直切割磁感线，某时刻ab边相对磁场的速度大小为v，金属框中的电流为I。此时刻： (1)判断ab边中电流的方向，并求出感应电动势大小E； (2)求储能装置两端的电压U和金属框的输出电功率P。 【答案】(1)方向， (2)， 【解析】（1）由右手定则得ab中的电流方向； 感应电动势大小为 （2）由闭合电路欧姆定律 解得储能装置两端的电压 根据 解得金属框的输出电功率 【变式训练2-1-9】如图所示，在磁感应强度为0.2T的匀强磁场中，水平放置两根光滑的平行金属导轨，导轨间距为0.6m，导轨间接有电阻，有一导体棒AB在导轨上以10m/s的速度向右匀速滑动，导体棒AB的电阻，其余电阻不计。求： （1）导体棒AB两端感应电动势的大小； （2）导体棒AB受到的安培力大小和方向。 【答案】（1）1.2V；（2）0.048N，水平向左 【解析】（1）根据E=BLv可得 E=0.2×0.6×10V=1.2 V （2）回路的感应电流 解得I=0.4A 安培力F=BIL解得F=0.048 N 安培力方向水平向左。 【变式训练2-1-10】如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，、是水平放置的平行长直导轨，其间距为，和是并联在导轨一端的电阻，且、，是垂直导轨放置的质量为的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处均相同。从零时刻开始，对施加一个大小为，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的图象，其中点为坐标原点，其坐标为，是图象在点的切线，是图象的渐近线。除、以外，其余部分的电阻均不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知当棒的位移为时，其速度达到了最大速度。求结果可以保留分数 （1）导体棒运动中受的摩擦力的大小和磁感应强度的大小 （2）在导体棒的位移为过程中电阻上产生的焦耳热 （3）若在导体棒的位移为时立即将恒定拉力撤掉，此后导体棒滑行到停止的过程中流过的电量为，求摩擦力在导体棒整个运动过程的平均功率。 【答案】（1）0.5N，0.5T；（2）J；（3）0.4W 【解析】（1）由图乙可知起动瞬间 则由牛顿第二定律可知，，代入解得， 最终导体棒匀速运动，速度，设此时受到的安培力为， 由平衡条件得 而安培力 电路总电阻，联立代入数据解得 （2）对棒由能量守恒定律有，代入得到， ，，所以，求得 从开始到运动内，由动量定理可得，， ，求得 从撤去外力到停止运动，由动量定理有 那么，，，所以 所以，， 所以 （二）转动切割磁感线 【典型例题1】如图，长为L的导体棒MN在匀强磁场B中绕平行于磁场的轴OO＇以角速度ω匀速转动，棒与轴OO＇间的夹角为α，则U为（    ）    A．0 B．BωL2 sin 2α C．Bω(L sin α)2 D．Bω(L cos α)2 【答案】C 【解析】导体棒在匀强电场中切割磁感线产生感应电动势，则有 根据线速度、角速度和半径关系有 解得 故选C。 【典型例题2】(多选) 如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨。圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图的匀强磁场。金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好。初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有(　　) A．杆OP产生的感应电动势恒定 B．杆OP受到的安培力不变 C．杆MN做匀加速直线运动 D．杆MN中的电流逐渐减小 【答案】　AD 【解析】　根据转动切割磁感线产生感应电动势的公式可知EOP＝Bl2ω，由于杆OP匀速转动，故A正确；OP切割磁感线，产生感应电流，由右手定则可判断出MN中电流为从M到N，根据左手定则可知MN所受安培力向左，MN向左运动，切割磁感线，产生由N到M的感应电流，与OP切割磁感线产生的感应电流方向相反，故OP与MN中的电流会逐渐减小，由F＝IlB可知，杆OP和MN所受安培力逐渐减小，MN做加速度逐渐减小的加速运动，故B、C错误，D正确。 【典型例题3】某新能源汽车有一个利用汽车制动回收电能的系统。汽车质量，以某一速度匀速行驶。当汽车刹车时，车轮与刹车装置之间的特殊构造可将汽车的动能转化为电能。若刹车时车轮处充满磁感应强度大小、方向垂直于车轮平面的匀强磁场，车轮可等效为由若干根长度的导体棒组成的圆盘，如图，每根导体棒都随车轮的转动而切割磁感线。已知重力加速度，空气阻力忽略不计。 (1)若汽车刹车时，车轮边缘相对磁场的线速度为，求此时一根导体棒产生的感应电动势大小； (2)若汽车的刹车过程可视为汽车以的初速度做匀减速直线运动，汽车受到的制动力一部分用于克服安培力做功转化为电能，另一部分用于克服摩擦力做功转化为内能。在内汽车速度减小到，汽车受到的摩擦力恒为汽车重力的，求此过程中回收的电能（设刹车过程中制动力恒定）。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据动生电动势公式得 （2）根据动能定理有 汽车受到的摩擦力大小 根据加速度公式有 根据运动学公式有 汽车克服摩擦力做的功 根据能量守恒定律，汽车回收的电能 代入数据联立解得 【变式训练2-2-1】如图所示，abcd为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，导轨间距为l，bc间电阻为R，其它部分电阻不计。导轨间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属杆放置在导轨上，与导轨的接触点为M、N。并与导轨成角，金属杆以的角速度绕N点由图示位置逆时针匀速转动到与导轨ab垂直。转动过程中金属杆与导轨始终接触良好，金属杆电阻忽略不计，则在金属杆转动过程中（　　） A．M、N两点电势相等 B．金属杆中感应电流的方向由M流向N C．电路中感应电流的大小始终为 D．电路中通过的电荷量为 【答案】B 【解析】金属杆转动切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，导轨为外电路，根据右手定则，分析M、N两点的电势关系；根据右手定则判断金属杆中感应电流的方向；根据导体转动切割磁感应线产生的感应电动势大小计算公式，结合闭合电路欧姆定律分析电路中感应电流的大小；根据合电路欧姆定律和电流的定义式相结合求电路中通过的电量。 【详解】A．金属杆逆时针转动切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，由右手定则可知M点电势低于N点电势，故A错误； B．根据右手定则可知金属杆中感应电流的方向是由M流向N，故B正确； C．在图示位置，金属棒切割磁感线产生感应电动势为 回路中的电阻为，则回路中的感应电流为且在不同位置电流值不同，故C错误； D．电路中通过的电量为 根据法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 联立可得故D错误。 故选B。 【变式训练2-2-2】物理兴趣小组设计了一台自制发电机，其原理图如图所示，正方形线框置于垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场中，当线框绕轴以角速度匀速转动时，闭合开关，小灯泡发光。设线框的边长为，每边电阻均为，小灯泡的电阻恒为，导线电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．当S断开时，两端的电压为 B．当S断开时，两端的电压为 C．当S闭合时，流过灯泡的电流为 D．当S闭合时，流过灯泡的电流为 【答案】D 【解析】AB．线框abcd绕着垂直于磁场的轴匀速转动，产生交流电的电动势最大值为 则电动势的有效值为 当S断开时，MN两端的电压等于cd两端的电压 ，则有，故AB错误； CD．当S闭合时，电路总电阻为 流过灯泡L的电流为，故D正确，C错误。 故选D。 【变式训练2-2-3】如图，一硬质导线折成一个不闭合的五角星形线框，在纸面内绕b点逆时针转动。边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，当线框转至图中位置时，a、b、c、d各点的电势大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在磁场中切割磁感线会产生感应电动势，大小为，方向利用右手定则来分析； 在本题中，若线框是闭合的，感应电流应为逆时针方向，所以可知且是最大的； 间的等效长度小于间的等效长度，所以，即 可推导出，即 故选A。 【变式训练2-2-4】一根长为L、下端固定的导线OA处于匀强磁场中。磁场的方向竖直向上，大小为B。若该导线以角速度ω绕竖直轴旋转，且角速度方向与磁场的方向相同，如图所示。则导线中的电动势（　　） A．大小为，方向由O→A B．大小为，方向由A→O C．大小为，方向由A→O D．大小为，方向由O→A 【答案】A 【解析】由题可知，导线切割磁感线的有效长度为 导线切割磁感线的平均速度为 故根据动生电动势的表达式可知 根据右手定则可判断电动势的方向为O→A。 故选A。 【变式训练2-2-5】（多选）如图所示为我国民众应对高温天气所用的吊扇，此时固定于天花板上的吊扇正在顺时针旋转（仰视），转速为n。已知叶片ab的长度为L，忽略转轴的大小，吊扇所在位置地磁场的磁感应强度竖直向下的分量大小为B，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两端的电势差大小为 B．a、b两端的电势差大小为 C．a端的电势高于b端的电势 D．a端的电势低于b端的电势 【答案】BC 【解析】AB．由法拉第电磁感应定律有 根据角速度和转速的关系有 又因为 可得a、b两端的电势差大小为，A错误，B正确； CD．由右手定则可知，a端的电势高于b端的电势，C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练2-2-6】（多选）如图所示，在纸面内有半圆形轻质导体框，O为圆心，圆半径长为r，AO段、弧AB段的电阻均为R，BO段导体的电阻可忽略，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界与半圆直径重合，现用外力使导体框在纸面内绕O点以角速度ω沿顺时针方向，从图示位置匀速转动一周，下列说法正确的是(　　) A．圆弧AB段内电流方向总是从A流向B B．转动的前半周内A、B两端电压为 C．转动的后半周内通过O点的电荷量为 D．外力对线框做的功为 【答案】　CD 【解析】　导体框转动的前半周内，AO切割磁感线，感应电动势为E1＝，圆弧AB段内电流方向从A流向B，AB段为外电路，故两端电压为U＝E1＝；转动的后半周BO段切割磁感线，感应电动势为E2＝，圆弧AB段内电流方向从B流向A，故A、B错误；转动的后半周穿过导线框的磁通量变化量为ΔΦ＝πBr2，电路总电阻为2R，则转动的后半周内通过O点的电荷量为q＝＝＝，故C正确；从图示位置匀速转动一周过程中，外力对线框做的功等于产生的电能，则W＝T＝×＝，故D正确。 【变式训练2-2-7】（多选）如图甲是法拉第发明的铜盘发电机，也是人类历史上第一台发电机。利用这个发电机给平行金属板电容器供电，如图乙。已知铜盘的半径为L，加在盘下侧的匀强磁场磁感应强度为，盘匀速转动的角速度为，每块平行板长度为d，板间距离也为d，板间加垂直纸面向内、磁感应强度为的匀强磁场。下列选项正确的是（　　） A．若圆盘按照图示方向转动，那么平行板电容器D板电势高 B．铜盘产生的感应电动势为 C．若一电子从电容器两板中间水平向右射入，恰能勺速直线运动从右侧水平射出，则电子射入时速度为 D．若有一带负电的小球从电容器两板中间水平向右射入，在复合场中做匀速圆周运动又恰好从极板右侧射出，则小球的圆周运动半径为 【答案】BCD 【解析】A．根据右手定则可得，C极板带正电，电势高，故A错误。 B．根据电磁感应方程得故B正确。 C．由于电子匀速运动，受力平衡，由 得故C正确。 D．带电小球恰能从右板边缘射出，如图所示    由几何关系可得 故D正确。故选BCD。 【变式训练2-2-8】如图（a），将半径、总电阻的均匀金属圆环固定在水平面上，直径一侧有垂直纸面向里的磁感应强度大小的匀强磁场。一根电阻的均匀金属杆固定在过圆心的转轴上，两端与金属圆环接触良好。金属杆在外力作用下以角速度顺时针匀速转动至图示位置（垂直于）。求： (1)经图示位置金属杆产生的电动势及间的电势差； (2)如图（b），撤去金属杆，使匀强磁场磁感应强度从开始按照的规律变化，规定顺时针方向为电动势的正方向，写出圆环中感应电动势随时间变化的表达式（结果可用表示）。 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律，有 解得 根据闭合电路欧姆定律，有 根据串并联电路规律，有 间的电势差 解得 （2）根据法拉第电磁感应定律可得 因顺时针方向为正，则解得 （三）有效长度问题 【典型例题1】如图所示， 空间中存在匀强磁场B，方向垂直纸面向里。一长度为l的铜棒以速度v向右匀速运动，速度方向与铜棒之间的夹角为30°，则铜棒ab两端的电势差Uab为（　　） A．Blv B．-Blv C． D． 【答案】D 【解析】铜棒切割磁感线产生感应电动势，ab相当于电源，根据右手定则，判断知a端相当于电源的负极，b端相当于电源的正极，根据法拉第电磁感应定律，可得 故选D。 【典型例题2】如图，匀强磁场磁感应强度大小为B、方向垂直水平面向里，半径为R的半圆形金属丝在水平面内以速度v做匀速直线运动，速度方向与直径ab垂直，运动中a、b间的电势差为（　　） A．2BRv B． C． D． 【答案】C 【解析】金属丝切割的有效长度为2R，结合右手定则可知，运动中a、b间的电势差为 故选C。 【典型例题3】如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，长为L的金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动。金属导轨电阻不计，金属杆与导轨的夹角为θ，电阻为2R，ab间电阻为R，M、N两点间电势差为U，则M、N两点电势的高低及U的大小分别为（　　） A．M点电势高，U= B．M点电势高，U= C．N点电势高，U= D．N点电势高，U= 【答案】B 【解析】由右手定则可以判定导体棒中电流的方向为由N到M，因此M点电势高； 导体棒切割磁感线的有效长度是Lsin θ，根据法拉第电磁感应定律有 E=BLvsin θ 再根据闭合电路欧姆定律可知M、N两点间电势差 故选B。 【典型例题4】（多选）如图所示，纸面内的菱形金属线框以速度平行于方向匀速通过一有界的匀强磁场，磁场的边界、相互平行，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里．已知线框的电阻为R，线框的边长和磁场宽度均为L，，，下列说法正确的是（    ） A．A点离开磁场后线框内的感应电流沿顺时针方向 B．线框内感应电动势的最大值为 C．此过程中穿过线框的磁通量的最大值为 D．线框穿过磁场的整个过程中回路中的最大热功率为 【答案】BD 【解析】A．线框的A点离开磁场后，穿过线框的磁通量垂直纸面向里先增大后减小，由楞次定律可知线框中的电流先沿逆时针方向，后沿顺时针方向，故A错误； B．从B点进入磁场到D点进入磁场的过程中线框内的感应电动势最大，有 故B正确； C．当线框到如图所示的位置时 穿过线框的磁通量最大，此时A点和C点到磁场边界MN和PQ的距离相等，所以穿过线框的磁通量的最大值 故C错误； D．回路中感应电动势最大时热功率最大，有 故D正确。 故选BD。 【变式训练2-3-1】如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场。当圆环运动到图示位置（）时，a、b两点的电势差Uab为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有效切割长度即a、b连线的长度，如图所示    由几何关系知有效切割长度为 所以产生的电动势为 电流的方向为a→b，所以，由于在磁场部分的阻值为整个圆的，所以 故选D。 【变式训练2-3-2】如图所示，平行导轨MN、PQ间距为d，M、P间接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于平行金属导轨所在的平面向里。一根足够长的金属杆ab第一次垂直于导轨放置，第二次与导轨成60°角放置。金属杆和导轨的电阻不计，当金属杆两次均以速度ν沿垂直于杆的方向滑行时，下列说法正确的是（　　） A．两次电阻R上的电压相等 B．第一次和第二次金属杆中感应电流之比为 C．第一次和第二次金属杆受到的安培力大小之比为 D．第一次和第二次电阻R上的电功率之比为 【答案】B 【解析】AB．第一次产生的感应电动势为 第二次产生的感应电动势为 因金属杆和导轨的电阻不计，电阻上的电压即为感应电动势，可知两次电阻R上的电压不相等，根据 可知第一次和第二次金属杆中感应电流之比为 选项A错误，B正确； C．第一次金属杆受安培力 第二次金属杆受到的安培力大小 而安培力大小之比为，选项C错误； D．根据 可知第一次和第二次电阻R上的电功率之比为，选项D错误。 故选B。 【变式训练2-3-3】（多选）如图所示，处于同一水平面的光滑金属直导轨MN和PQ之间夹角为。MP两点间距离为，其间接有一阻值为的电阻，其余电阻不计。空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。一质量为的金属棒ab在水平外力作用下从MP处以初速度向右运动，在运动的过程中通过R上的电流恒定不变。金属棒始终与MN垂直且与导轨接触良好，，则在此过程中可能正确的是（　　） A．通过R的电流为5A B．通过R的电流为逐渐减小 C．金属棒的最小速度为2.0m/s D．金属棒的最小速度为5.0m/s 【答案】AC 【解析】AB．有效切割长度 导轨夹角，感应电动势为 电流 电流恒定需满足，即任意位置 电流（恒定） 则A正确，B错误。 CD．当时， 此时金属棒有最小速度，即 则C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练2-3-4】（多选）如图所示，无限长的“U”金属导轨ABCD和金属导轨EF、GH平行放置在同一水平面内，AB与EF、EF与GH、GH与CD之间的距离均为L，AB和EF之间的区域、GH和CD之间的区域均有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为，EF和GH之间的区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。现有三根长度均为L的金属棒1、2、3垂直导轨放置，其中金属棒2、3质量均为m，电阻均为R，金属棒1质量为，电阻为。时刻，金属棒2、3静止，给金属棒1一平行于导轨向右的速度，忽略所有的阻力和所有导轨的电阻。下列判断正确的是（　　） A．时刻通过金属棒2的电流大小为 B．当金属棒1、2、3稳定运行时，金属棒1的速度大小为 C．当金属棒1、2、3稳定运行时，金属棒2的速度大小 D．从时刻到稳定运行的过程中，金属棒3产生的焦耳热为 【答案】BC 【解析】A．时刻金属棒1产生的电动势为 时刻通过金属棒2的电流大小为 故A错误； BC．金属棒1、2、3稳组成的系统合外力为零，系统动量守恒，当金属棒1、2、3稳定运行时，最终三根导体棒的速度相等，根据动量守恒有 当金属棒1、2、3稳定运行时，金属棒1和金属棒2的速度大小为故BC正确； D．从时刻到稳定运行的过程中，系统产生的焦耳热为 则金属棒3产生的焦耳热为 故D错误。 故选BC。 【变式训练2-3-5】（多选）如图所示，电阻不计的水平U形光滑导轨上接一个阻值为的电阻，放在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中，一个半径为L、质量为、电阻为的半圆形硬导体棒（直径与导轨垂直，并接触良好），在水平向右的恒定外力的作用下，由静止开始运动，当速度为时，位移为，下列说法正确的是（　　） A．此时两端电压为 B．此时杆克服安培力做功的功率为 C．此过程中导体棒的平均速度小于 D．此过程中通过电阻的电荷量为 【答案】BD 【解析】A．导体有效切割的长度等于半圆的直径，半圆形导体棒切割磁感线产生感应电动势的大小为 相当于电源，其两端电压为外电压，由欧姆定律得 A错误； B．此时杆克服安培力做功的功率为 B正确； C．若导体棒做匀加速运动，则平均速度等于，但是由于导体棒做加速度减小的加速运动，根据运动图像可知，此过程中的位移大于做匀加速过程的位移，则此过程中导体棒的平均速度大于， C错误； D．根据可知此过程中通过电阻的电荷量为D正确。 故选BD。 题型03：电磁感应中的能量转化问题 【典型例题1】竖直平行导轨MN上端接有电阻R，金属杆ab质量为m，跨在平行导轨间的长度为L，垂直导轨平面的水平匀强磁场方向向里，不计ab杆及导轨电阻，不计摩擦，且ab与导轨接触良好，如图所示。若ab杆在竖直方向上的外力F作用下匀速上升h，则下列说法错误的是（　　） A．金属杆ab克服安培力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热 B．金属杆ab克服安培力所做的功与克服重力做功之和等于金属杆机械能的增加量 C．拉力F与重力做功的代数和等于金属杆克服安培力做的功 D．拉力F与安培力的合力所做的功等于mgh 【答案】B 【解析】A．根据功能关系可知，金属杆ab克服安培力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，故A正确，不符合题意； B．金属杆机械能的增加量等于除重力外的其他力所做的功，即金属杆机械能的增加量等于外力F与克服安培力做功之差，即 故B错误，符合题意； CD．ab杆在竖直方向外力F作用下匀速上升h，由动能定理可得 故金属杆克服安培力做的功 拉力F与安培力的合力所做的功为 故CD正确，不符合题意； 故选B。 【典型例题2】（多选）如图所示，平面第一、第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为和。平面内有一关于轴对称的“吕”形金属框，尺寸如图中标注，导线彼此绝缘，其交叉点位于轴上。金属框在外力作用下始终以速度沿轴向右做匀速直线运动。已知金属框的总电阻为时金属框边刚好进入磁场，则（    ） A．时刻，金属框中段电流的方向由到 B．时刻，金属框中电流的大小为 C．时刻，金属框在轴方向上所受安培力的大小为 D．到时间内，通过金属框横截面的电荷量为 【答案】AD 【解析】A．时刻，根据右手定则，导线产生的感应电流方向为由c到b，即金属框中会产生方向的感应电流；导线产生的感应电流方向为由f到g，即金属框中会产生方向的感应电流，即两根导线产生的感应电流方向相反，因为导线产生的感应电流大，所以金属框中的电流与导线产生感应电流的方向相同，故A正确； B．时刻，导线产生的电动势为 导线产生的电动势为 因为两者方向相反，所以金属框中产生的电动势为， 根据欧姆定律，金属框中的电流为，故B错误； C．时刻，根据左手定则，各在y轴方向上有受力的导线受力分析如图 各边受力大小为，，， 则金属框在y轴方向上受到安培力为，故C错误； D．到时间内，根据，，，解得， 所以，通过金属框横截面的电荷量为，故D正确。 故选AD。 【典型例题3】如图，水平面内固定有平行长直金属导轨ab、cd和金属圆环；金属杆MN垂直导轨静止放置，金属杆OP一端在圆环圆心O处，另一端与圆环接触良好。水平导轨区域、圆环区域有等大反向的匀强磁场。OP绕O点逆时针匀速转动；闭合K，待MN匀速运动后，使OP停止转动并保持静止。已知磁感应强度大小为B，MN质量为m，OP的角速度为ω，OP长度、MN长度和平行导轨间距均为L，MN和OP的电阻阻值均为r，忽略其余电阻和一切摩擦，求： （1）闭合K瞬间MN所受安培力大小和方向； （2）MN匀速运动时的速度大小； （3）从OP停止转动到MN停止运动的过程，MN产生的焦耳热。 【答案】（1），方向水平向左；（2）；（3） 【解析】（1）当OP绕O点逆时针匀速转动时，由右手定则可知O点电势高，OP切割磁感线产生感应电动势为 闭合K瞬间，由闭合电路欧姆定律可知，通过MN的电流大小为 方向由M到N。则有MN所受安培力大小为 由左手定则可知，安培力方向水平向左。 （2）闭合K后，则有MN向左做加速运动，速度逐渐增大，MN切割磁感线产生感应电动势，则感应电流方向与原电流方向相反，减弱原电流，可知MN受安培力逐渐减小，做加速度减小的加速运动，当MN中电流减小到零时，安培力是零，加速度是零，MN的速度达到最大，设为，此时做匀速直线运动，则有MN切割磁感线产生感应电动势与OP产生的感应电动势大小相等，可知 解得 （3）从OP停止转动到MN停止运动的过程，由能量守恒定律可知，电路中产生的焦耳热为 MN产生的焦耳热为 【变式训练3-1】如图甲所示，地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场，质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为l，从bc边距离地面高为h处将其由静止释放，已知h>d>l。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中，导线框的v－t图像如图乙所示。重力加速度为g，不计空气阻力，以下有关这一过程的判断正确的是(　　) A.t1～ t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大 B. 磁场的高度d可以用v－t图中阴影部分的面积表示 C.导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量 D. 导线框产生的焦耳热大于mgl 【答案】D 【解析】由题图乙可知，在0～t1时间内，导线框自由落体，t1～t2时间内导线框切割磁感线进入磁场，做加速度减小的减速运动，电流减小，则安培力在减小，A错误；在t1～t2时间段内，导线框切割磁感线，距离为l，完全进入后又做加速运动直到落地，所以磁场高度d为t1～t3时间内的位移，B错误；安培力做负功，所以重力势能减少量等于动能增加量和安培力做功的和，C错误；t1～t2时间内，F安>mg，克服安培力做的功大于重力做功，所以在下降过程中导线框产生的焦耳热大于mgl，D正确。 【变式训练3-2】如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中通过金属棒的电荷量为 B．金属棒加速的时间为 C．加速过程中拉力的最大值为 D．加速过程中拉力做的功为 【答案】AB 【解析】A．设加速阶段的位移与减速阶段的位移相等为，根据 可知加速过程中通过金属棒的电荷量等于减速过程中通过金属棒的电荷量，则减速过程由动量定理可得 解得A正确； B．由解得金属棒加速的过程中，由位移公式可得 可得加速时间为B正确； C．金属棒在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，加速过程中，安培力逐渐增大，加速度不变，因此拉力逐渐增大，当撤去拉力的瞬间，拉力最大，由牛顿第二定律可得 其中联立解得C错误； D．加速过程中拉力对金属棒做正功，安培力对金属棒做负功，由动能定理可知，合外力的功 可得因此加速过程中拉力做的功大于，D错误。 故选AB。 【变式训练3-3】（多选）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨间距，其下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线连接金属棒的中点且沿方向。金属棒由静止释放后，在重物的作用下，沿方向的位移与时间之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知在内通过金属棒的电荷量是0.9~1.2s内通过金属棒的电荷量的2倍，重力加速度取，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法中正确的是（    ） A．通过金属棒的电荷量与金属棒的位移的关系为 B．内金属棒运动的位移大小为 C．磁感应强度的大小为 D．内整个回路产生的热量为 【答案】AD 【解析】A．通过金属棒的电荷量，平均感应电流，回路中平均感应电动势，联立，解得，故A正确； B．内通过金属棒的电荷量，内通过金属板的电荷量 由图乙读出时刻金属棒的位移大小，又，联立，解得，故B错误； C．由图乙知金属棒在内做匀速直线运动，速度大小为，后金属棒受力平衡，有 ， 根据闭合电路欧姆定律，解得，故C错误； D．在内，对整个系统，根据能量守恒定律得， 代入数据解得，故D正确。 故选AD。 【变式训练3-4】（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在倾角为的绝缘斜面上，导轨间距为，导轨下端连接一个阻值为的定值电阻，空间有一磁感应强度大小为、方向垂直导轨所在斜面向上的匀强磁场。一个轻弹簧的劲度系数为，下端固定在斜面上，弹簧上端与质量为、长为、电阻也为的导体杆相连，杆与导轨垂直且接触良好，弹簧与导轨平行。导体杆中点系一轻细线，细线平行斜面，绕过一个光滑定滑轮后悬挂一个质量也为的物块。初始时用手托着物块，导体杆保持静止，细线伸直，但无拉力。重力加速度大小为，弹簧始终在弹性限度内，释放物块后，下列说法正确的是（    ） A．释放物块瞬间，导体杆的加速度大小为 B．运动过程中，弹簧的伸长量第一次为时，导体杆的加速度为零 C．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 D．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 【答案】AC 【解析】A．初始时，弹簧被压缩，弹力大小 释放物块瞬间，安培力为零，对杆和物块分析有 解得 故A正确； B．导体棒运动动过程中，弹簧的伸长量第一次为时，速度不为零，此时导体棒所受的合外力为其所受的安培力，根据牛顿第二定律可知 加速度不为零，故B错误； CD．由于电磁感应消耗能量，杆最终速度为零，安培力为零，细线拉力为 弹簧处于伸长状态，对导体杆有 可得 解得 弹簧弹性势能不变，对物块、导体杆、弹簧整个系统，由能量守恒可得 解得 则电阻r上产生的焦耳热 故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练3-5】在研究电磁感应现象时，某同学设计了一种实验装置，模拟物体在变化磁场中的运动以及由此产生的电流。如图所示，光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨间距L=0.25m，左端连接R=0.2Ω的电阻，右端连接一对金属卡环，导轨间MN右侧（含MN）存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度的B-t图如图乙所示，质量为m=0.5kg，电阻r=0.3Ω的金属棒与质量也为m的物块通过光滑定滑轮由绳相连，绳始终处于绷紧状态，PQ、MN到右端卡环距离分别为25m和15m，t=0时刻由PQ位置静止释放金属棒，棒与导轨始终接触良好，滑至导轨右端被卡环卡住不动，金属导轨、卡环的电阻均不计，g取10m/s²。求： (1)金属棒进入磁场时的速度； (2)金属棒进入磁场时通过导体棒的感应电流； (3)在0-8s时间内电路中产生的焦耳热。 【答案】(1)10m/s(2)10A(3)131.25J 【解析】（1）设棒到达MN时的速度为v，物块下落的高度为 这个过程中棒和物块组成的系统机械能守恒 解得 （2）设这个过程所用时间为t1，由运动学公式 解得 由图乙可知此时磁感应强度B=2T 根据闭合电路欧姆定律可得 （3）金属棒进入磁场时,受到的安培力大小为 解得 物块的重力 所以金属棒匀速运动。匀速运动的时间为 此过程中产生的热 解得 4s~6s时间内，感应电动势大小为 此过程中产生的热 以后磁感应强度为零，回路中的电流为零，产生的热为零，所以在0-8s时间内电路中产生的焦耳热 【变式训练3-6】列车进站时，其刹车原理可简化如图所示，在车身下方固定一N匝闭合矩形线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头的线框刚进入磁场的速度为v0，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f。线框cd边刚进入磁场时，列车刚好停止。求： (1)车头进入磁场瞬间，判断线框ab边产生的感应电流的方向及列车的加速度大小a。 (2)列车从进站到停下来的过程中线框产生的热量Q。 【答案】(1)a→b， (2) 【解析】（1）根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针（俯视），即车头进入磁场瞬间，判断线框ab边产生的感应电流的方向为a→b。 列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为                             根据闭合电路的欧姆定律可知，回路中产生的感应电流的大小为 车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为                                 由牛顿第二定律，则有                                  联立解得列车的加速度大小为 （2）在列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒有 解得 题型04：法拉第电磁感应定律的综合应用 【典型例题1】两个半径不同的半圆金属环可以组成如图甲、乙所示的两种闭合回路，两半圆环位于同一平面内，圆心重合，较小的半圆环的半径为r，整个回路的电阻为R。将两个闭合回路放在垂直环面的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化的规律如图丙所示，则t0时刻，甲、乙两回路中小的半圆环受到的安培力之差为(图中均为已知量)(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设甲回路的面积为S1，则感应电动势E1＝S1，t0时刻，甲回路中小的半圆环受到的安培力F1＝2B0r，设乙回路的面积为S2，则感应电动势E2＝S2，t0时刻，乙回路中小的半圆环受到的安培力F2＝2B0r，由题意知，甲、乙两回路面积之差为S1－S2＝πr2，则安培力之差ΔF＝F1－F2＝，故C正确。 【典型例题2】如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO′，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度θ静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是(　　) 【答案】B 【解析】导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动。当R从R0变为2R0时，回路中的电阻增大为原来的2倍，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，导体杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长，所以导体杆振动图像是图B。 【典型例题3】如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨，圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图所示的匀强磁场，金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好，金属杆MN始终与导轨垂直，初始时MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有(　　) A.杆OP产生的感应电动势为E＝Br2ω B.杆OP转动产生的感应电流方向由N→M C.杆MN向左运动 D.杆MN中的电流逐渐增大 【答案】C 【解析】OP转动过程中旋转切割磁感线，设OP长度为r，角速度为ω，由E＝Br，＝，可得感应电动势为E＝，故A错误；由右手定则可知，OP转动切割磁感线时，感应电流方向由O→P，故回路中产生逆时针方向的感应电流，所以流过金属杆MN的电流方向由M→N，故B错误；由左手定则可知，金属杆MN受到的安培力方向水平向左，故杆MN向左运动，故C正确；当金属杆向左运动时，杆MN切割磁感线，产生顺时针方向的感应电流，设金属杆的速度为v′，杆长为L，则感应电动势为E′＝BLv′，故回路中的感应电动势为E总＝E－E′＝－BLv′，故随着金属杆速度的增大，回路中的感应电动势逐渐减小，感应电流逐渐减小，故D错误。 【典型例题4】（多选）半径分别为r和2r的同心圆导轨固定在同一水平面内，一长为r，电阻为R的均匀金属棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨中心O，装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下，在两环之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器，直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好的接触，导轨电阻不计，下列说法正确的是(　　) A.金属棒中电流从A流向B B.金属棒两端电压为Bω2r C.电容器的M板带正电 D.电容器所带电荷量为CBωr2 【答案】CD 【解析】根据右手定则可知，金属棒AB逆时针切割磁感线时，产生的感应电流应该是从B向A，故A错误；据E感＝BL以及v＝rω可得切割磁感线时产生的电动势E感＝BL＝Br()＝Br2ω，切割磁感线的导体相当于电源，则AB两端的电压相当于电源的路端电压，根据闭合电路欧姆定律可知UAB＝E感＝×Br2ω＝Br2ω，故B错误；切割磁感线的AB相当于电源，在AB内部电流方向由B向A，故金属棒A相当于电源正极，故与A接近的电容器M板带正电，故C正确；由B分析知，AB两端的电压为Br2ω，则电容器两端的电压也是Br2ω，故电容器所带电荷量Q＝CU＝CBr2ω，故D正确。 【变式训练4-1】法拉第发明了第一台发电机，示意图如下。半径为的铜盘安装在金属轴上，其边缘置于一个磁铁两极之间的狭缝里，铜盘边缘与轴通过导线与检流计连接。铜盘以周期匀速旋转，检流计中有电流通过。已知狭缝沿半径方向的长度为，狭缝间为匀强磁场，磁感应强度为，忽略狭缝之外的磁场，下列说法正确的是（　　） A．检流计中电流方向从向 B．若铜盘旋转方向和磁场方向同时反向，则检流计中电流方向也反向 C．铜盘产生的电动势为 D．铜盘产生的电动势为 【答案】C 【解析】A．根据右手定则可知，检流计中电流方向从P向Q，故A错误； B．根据右手定则可知，若铜盘旋转方向和磁场方向同时反向，则检流计中电流方向不变，故B错误； CD．铜盘产生的电动势为，故C正确D错误。 故选C。 【变式训练4-2】图甲为某款“自发电”无线门铃按钮，其“发电”原理如图乙所示，按下门铃按钮过程磁铁靠近螺线管，松开门铃按钮磁铁远离螺线管回归原位置。下列说法正确的是(　　) A.按下按钮过程，螺线管P端电势较低 B.松开按钮过程，螺线管Q端电势较高 C.按住按钮不动，螺线管中会产生感应电动势 D.按下和松开按钮过程，螺线管产生的感应电动势大小一定相同 【答案】A 【解析】按下按钮的过程中，螺线管中的磁场增强，由楞次定律及右手螺旋定则可知，螺线管中的感应电流由P流向Q，螺线管作为电源，在电源内部感应电流由负极流向正极，所以其P端电势较低，故A正确；松开按钮的过程中，螺线管中的磁场减弱，由楞次定律及右手螺旋定则可知，螺线管中的感应电流由Q流向P，螺线管作为电源，在电源内部感应电流由负极流向正极，所以其Q端电势较低，故B错误；按住按钮不动，螺线管中的磁通量变化率为零，线圈中不会产生感应电动势，故C错误；按下和松开按钮的过程中，产生的感应电动势方向不同，故D错误。 【变式训练4-3】近场通信(NFC)器件依据电磁感应原理进行通信，其内部装有类似于压扁的线圈作为天线。如图所示，这种线圈从内到外逐渐扩大，构成正方形。在这个正方形NFC线圈中，共有3圈，它们的边长分别为a、b、c(a>b>c)，需要注意的是，图中线圈接入内部芯片时与芯片内部线圈绝缘，从而能够正确地连接到内置芯片。若匀强磁场垂直穿过该线圈时，磁感应强度随时间变化规律为B＝kt＋B0(k为常数)。则整个线圈产生的感应电动势最接近(　　) A.3a2k B.(a2＋b2＋c2)k C.3(a2＋b2＋c2)k D.(a＋b＋c)2k 【答案】B　 【解析】根据法拉第电磁感应定律可知，3圈线圈产生的电动势大小分别为E1＝a2＝ka2，E2＝b2＝kb2，E3＝c2＝kc2，由图可知3圈线圈产生的电动势方向相同，则整个线圈产生的感应电动势为E＝E1＋E2＋E3＝(a2＋b2＋c2)k，故B正确。 【变式训练4-4】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘。现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动。O、A、C点电势分别为φ0、φA、φC，则(　　) A.φO>φC B.φC>φA C.φO＝φA D.φO－φA＝φA－φC 【答案】A 【解析】由题图可看出OA导体棒转动切割磁感线，则根据右手定则可知φO>φA，其中导体棒AC段不在磁场中，不切割磁感线，电流为0，则φC＝φA，A正确，B、C错误；根据以上分析可知φO－φA>0，φA－φC＝0，则φO－φA>φA－φC，D错误。 【变式训练4-5】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中心，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻，可绕O转动的金属杆。M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在垂直半圆所在平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，现使金属杆OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　) A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】过程Ⅰ回路中磁通量变化ΔΦ1＝BπR2，设OM的电阻为R，流过OM的电荷量Q1＝。过程Ⅱ回路中磁通量变化ΔΦ2＝(B′－B)πR2，流过OM的电荷量Q2＝。Q2＝Q1，联立解得＝，B正确。 【变式训练4-6】如图所示，半径为r的金属圆环放在垂直纸面向外的匀强磁场中，环面与磁感应强度垂直、磁场的磁感应强度为B0，保持圆环不动，使磁场的磁感应强度随时间均匀增大、经过时间t、磁场的磁感应强度增大到B1，此时圆环中产生的焦耳热为Q；保持磁场的磁感应强度B1不变，将圆环绕对称轴(图中虚线)匀速转动，经时间2t圆环转过90°，圆环中电流大小按正弦规律变化，圆环中产生的焦耳热也为Q，则磁感应强度B0和B1的比值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A　 【解析】若保持圆环不动，则产生的感应电动势恒定为E1＝，则Q＝t＝①，若线圈转动：则产生的感应电动势最大值E2m＝B1ωS＝B1·πr2＝，有效值E2＝，产生的热量Q＝×2t＝②，联立①②可得＝，故A正确。 【变式训练4-7】（多选）如图甲所示，光滑绝缘细圆管固定在水平面上，半径为r。圆管平面存在方向竖直向上且均匀分布的磁场，其磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示（、均已知），取竖直向上为正方向。已知当磁感应强度均匀变化时，会在圆管内产生场强大小处处相等且电场线闭合的涡旋电场。管中有一质量为m、电荷量大小为q的带负电小球从静止开始在管内做圆周运动。下列说法正确的是（    ）    A．从上往下看小球沿顺时针方向运动 B．管内涡旋电场的场强大小为 C．小球第2次回到出发点时的速度大小为 D．小球先后相邻两次回到出发点的过程中涡旋电场对小球的冲量增大 【答案】BC 【解析】A．根据图乙可知，磁场均匀增加，由楞次定律结合安培定则可知，闭合电场线的方向为顺时针（从上往下看），而小球带负电，因此其所受电场力的方向在任意位置处与闭合电场线在该位置处场强的方向相反，由此可知从上往下看小球沿逆时针方向运动，故A错误； B．根据法拉第电磁感应定律可知由磁场变化产生的感生电场的电动势为 可得其环形电场的的场强大小为，故B正确； C．设小球第2次回到出发点时的速度大小为，由于电场强度的大小恒定，因此小球在电场中所受电场力的大小不变，根据动能定理有，解得，故C正确； D．由于漩涡电场对小球做正功，小球的动能越来越大，因此小球在漩涡电场中运动一周的时间在减小，而小球在漩涡电场中所受电场力的大小不变，可知力的作用时间在减小，因此小球先后相邻两次回到出发点的过程中涡旋电场对小球的冲量减小，故D错误。 故选BC。 【变式训练4-8】（多选）将一根绝缘细导线绕成如图所示的线圈，再将线圈和小灯泡构成闭合回路，线圈内部存在一方向垂直纸面向里的均匀磁场，已知小灯泡的电阻为R，细导线的电阻为r，矩形的面积为S1，小圆的面积为S2，磁感应强度大小随时间变化的规律为B＝B0＋kt，B0和k均为大于零的常量，下列说法正确的是(　　) A.通过灯泡的电流由a流向b B.闭合回路中的感应电动势为k(S1－S2) C.通过小灯泡的电流大小为 D.小灯泡两端的电压为 【答案】AC 【解析】由磁感应强度的变化规律可知，闭合回路中的磁感应强度向内，磁通量增加，由楞次定律可知，通过小灯泡的电流由a流向b，A正确；矩形线圈产生的感应电动势为E1＝S1＝kS1，小圆线圈产生的感应电动势为E2＝S2＝kS2，由楞次定律可知，两部分线圈产生的感应电动势方向相同，所以总电动势为E＝E1＋E2＝k(S1＋S2)，B错误；通过小灯泡的电流大小为I＝＝，C正确；通过小灯泡的电流是恒定电流，小灯泡两端的电压为U＝IR＝，D错误。 【变式训练4-9】（多选）如图所示，虚线圆边界与金属圆环是以O为圆心的同心圆，半径分别是1 m和2 m，在它们之间存在以O1P为理想分界线的有界匀强磁场，磁场的大小都为2 T，方向相反并垂直于圆面；不计电阻的金属杆AC以O为转轴做角速度为2 rad/s的匀速圆周运动，转动过程中两端始终与金属圆环接触，金属圆环的总电阻为48 Ω，则(　　) A.金属杆AC转一圈电流的方向改变1次 B.流过金属杆AC的电流大小始终为1 A C.金属圆环的发热功率为48 W D.金属杆AC转一圈克服安培力做功37.68 J 【答案】BD 【解析】金属杆AC每经过O1P一次则电流方向改变一次，则转一圈电流的方向改变2次，A错误；金属杆产生的感应电动势E＝2B(2r－r)ω＝12 V，电路总电阻R＝ Ω＝12 Ω，流过金属杆AC的电流大小始终为I＝＝1 A，B正确；金属圆环的发热功率为P＝＝ W＝12 W，C错误；金属杆AC转一圈克服安培力做功等于产生的焦耳热W＝Q＝I2RT＝12×12× J＝37.68 J，D正确。 1.迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中,沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成,它们之间的导体绳沿地球半径方向,如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下,导体绳中形成指向地心的电流,等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为Ff的环境阻力,可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H,导体绳长为L(L<H),地球半径为R,质量为m',轨道处磁感应强度大小为B,方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得,电池电动势为(　　) A.BL B.BL C.BL D.BL 【答案】A　 【解析】 根据G=m可得卫星做圆周运动的线速度v=,根据右手定则可知,导体绳产生的感应电动势相当于上端为正极的电源,其大小为E'=BLv,因导体绳所受阻力Ff与安培力F平衡,则安培力与速度方向相同,可知导体绳中的电流方向向下,即电池电动势大于导体绳切割磁感线产生的电动势,可得Ff=BL,解得E=BL,故选A。 2.如图所示,边长为2l的正三角形ABC区域存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场(图中未画出),磁感应强度随时间的变化率为k,B=kt。以三角形顶点C为圆心,半径为l、匝数为N、电阻为R的圆形线圈平行纸面固定放置,则下列说法正确的是(　　) A.感应电流的方向为顺时针 B.感应电流的大小一直为 C.线圈所受安培力方向与AB边平行 D.t0时刻线圈受到的安培力为 【答案】B　 【解析】 磁场垂直纸面向里,磁感应强度大小在增加,根据楞次定律可知,感应电流的方向为逆时针,A错误;根据法拉第电磁感应定律E=N=N=N=NkS,磁场的有效面积S=,感应电流的大小I=,B正确;线圈的有效长度与AB边平行,根据左手定则可知,线圈所受安培力方向与AB边垂直,C错误;有效长度L=l,t0时刻线圈受到的安培力为F=NBIL=,D错误。 3.将一根涂有绝缘层的细导线绕成如图所示的线圈,再将线圈和阻值为R的定值电阻构成闭合回路,线圈内部存在方向垂直纸面向外的变化磁场,已知细导线的电阻为r,闭合回路所构成的矩形的面积为S1,两个线圈构成的小圆的面积均为S2,磁感应强度大小随时间变化的规律为B=B0+kt,B0和k均为大于零的常数,下列说法正确的是(　　) A.定值电阻中的电流方向为a流向b B.闭合回路中的感应电动势为k(S1-2S2) C.定值电阻两端的电流大小为 D.定值电阻两端的电压为 【答案】D　 【解析】闭合回路的磁通量增加,由楞次定律和右手螺旋定则可知,定值电阻中的电流方向为b流向a,A错误;矩形线圈产生的感应电动势E1=S1=kS1,两个小圆线圈产生的感应电动势E2=2S2=2kS2,由楞次定律可知,两部分感应电动势的方向相同,所以总电动势E=E1+E2=k(S1+2S2),B错误;定值电阻中的电流大小I=,C错误;定值电阻中的电流是恒定电流,定值电阻两端的电压U=IR=,D正确。 4.如图所示，竖直平面内固定一足够长的“U”型金属导轨，质量为、电阻不计的金属棒垂直导轨静置于绝缘固定支架上。支架上方存在竖直向下的匀强磁场，边长为的正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场互不影响，且磁感应强度大小与时间的关系均为（T）。支架上方导轨单位长度的电阻为，下方导轨的总电阻为。从时刻开始，对金属棒施加竖直向上的拉力，使其以加速度向上做匀加速直线运动。金属棒始终与导轨接触良好，与导轨间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度大小为。求： (1)区域产生感应电动势的大小和金属棒中电流的方向； (2)时，金属棒中的电流大小； (3)经过多长时间，对金属棒所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。 【答案】(1)，从流向 (2) (3)， 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律，感应电动势 由题意知（T），可知 联立解得 由楞次定律，可知金属棒中电流的方向从流向 （2）金属棒向上运动的位移 支架上方的电阻 由闭合电路欧姆定律得 联立解得 （3）根据牛顿第二定律 又由，其中 联立可得 根据均值不等式可知，当时，有最大值 解得， 5.一探究实验小组设计了用两种方式实现电磁驱动的装置。如图所示，间距为的两光滑平行导轨左端连接电源和定值电阻，导轨平面处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。开始时，导体棒静止在导轨上，单刀双掷开关S接通1，磁场以速度向右匀速运动，导体棒运动中受到恒定阻力；S接通2，磁场不动，导体棒运动中受到阻力（，v为导体棒速度）。已知导体棒质量为，电阻为，定值电阻阻值也为，电源的电动势为，忽略其内阻，其它电阻均不计。 (1)若S接通1，则稳定后导体棒的速度； (2)若S接通2，经过时间导体棒恰好达到稳定状态，则此过程中导体棒经过的位移； (3)若S刚接通2的同时，磁场以速度向右匀速运动，导体棒运动中受到阻力为，则稳定后的时间内系统消耗的能量。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）稳定时，产生的感应电动势 此时的感应电流 根据平衡条件有 解得 （2）稳定时回路中的电流 根据平衡条件有 解得 从静止开始加速到的过程中，根据动量定理有 其中， 此过程中导体棒经过的位移 解得 （3）令稳定时导体棒的速度为，回路中的电流 稳定时，根据平衡条件有 解得， 稳定后t时间内，回路中的焦耳热 稳定后t时间内，导体棒克服阻力做的功 根据能量守恒定律有 解得 6.如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角的斜面上，间距为，空间分布着磁感应强度大小、方向与导轨平面垂直且向上的匀强磁场。将两根金属棒、放置在导轨上，并将用轻绳通过光滑定滑轮和物块连接，轻绳对的拉力方向平行于导轨。已知金属棒、的长度均为，电阻均为，金属棒、和物块的质量分别为、、，金属棒、始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，忽略一切摩擦，重力加速度。 (1)若，将金属棒锁定，释放金属棒，求金属棒的最终速度的大小； (2)若，将由静止释放的同时使和以的速度运动且沿竖直向下运动，求金属棒的最终速度的大小； (3)若、、，将、与同时由静止释放后，求最终、的速度大小及释放后棒的位移为过程中流过棒某横截面的电荷量。 【答案】(1) (2) (3)，， 【解析】（1）将金属棒b锁定，释放金属棒a，当金属棒a匀速下滑，有 金属棒受到的安培力为 根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流为 设金属棒最终速度的大小为，感应电动势为 联立解得 （2）最终稳定时，合力为零，对有 对b、c整体有 金属棒a、b受到的安培力均为 根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流为 设金属棒a、b的最终速度的大小分别为、，感应电动势为 联立解得 因，则、与组成的系统动量守恒，有 代入，，可得 联立，解得 （3）最终稳定时，合力为零，对有 对b、c整体有 金属棒a、b受到的安培力均为 根据闭合电路欧姆定律，回路中的电流为 设金属棒a、b的最终速度的大小分别为、，感应电动势为 联立可得 因，则、与组成的系统动量守恒，有 代入、、，得 联立，解得， 设在极短的时间内，由，得 对等式两边求和可得位移 已知，解得 设在极短的时间内，流过某横截面的电荷量 对等式两边求和可得电荷量 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 法拉第电磁感应定律 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01: 对法拉第电磁感应定律的理解 6 题型02：导体切割磁感线产生电动势 13 （一）平动切割磁感线 13 （二）转动切割磁感线 19 （三）有效长度问题 23 题型03：电磁感应中的能量转化问题 27 题型04：法拉第电磁感应定律的综合应用 32 巩固提升 37 1.高考定位 电磁感应板块的计算核心，选择题、实验题、压轴计算题高频考点，新高考常和电路、安培力、动量、能量、图像综合，是区分度大题。楞次定律负责判断方向，法拉第电磁感应定律负责算大小，二者配套使用。 2.考查重点 ①公式 E=n，磁通量变化ΔΦ＝Φ2－Φ1＝B2S2－B1S1 ②动生电动势 E=BLv（平动切割）、E＝Bl2ω（导体棒绕一端转动切割） ③有效切割长度L的判断、v与B垂直的条件 ④感应电动势、感应电流、路端电压、电荷量 q=·Δt=n ⑤Φ-t、B-t、E-t、I-t图像问题 ⑥综合模型：单棒、双棒、导轨+磁场、交变电流的产生基础 3.命题特点 ①陷阱多：区分平均电动势和瞬时电动势； E=n → 平均电动势； E=BLv、E＝Bl2ω → 瞬时电动势 ②经常结合闭合电路欧姆定律，把导体棒当成电源，区分内电压、外电压、电势高低 ③多过程问题：磁场变化、导体运动交替出现 4.分值：选择4–6分；大题一般8–14分，常和动量定理、能量守恒组合成压轴。 一．基础目标 1. 熟记两个核心公式，分清适用条件： E=n（磁通量变化，求平均电动势） E=BLv（垂直切割，求瞬时电动势） 2. 会计算磁通量，明白S是垂直磁场的有效面积。 3. 掌握电荷量推导公式 q=·Δt=n，知道电荷量只和磁通量变化、总电阻有关，和快慢无关。 4. 能把感应电动势结合闭合电路欧姆定律，算出电流、功率。 二．进阶目标 1. 识别转动切割模型，熟练使用 E＝Bl2ω。 2. 能处理倾斜切割、折线导体，找到有效切割长度。 3. 会从B-t、Φ-t图像中利用斜率求电动势。 4. 综合模型：单棒（外力、摩擦力、安培力）、双棒动量守恒，结合能量、焦耳热计算。 三．素养目标 区分“磁通量变化的原因”：磁场变化（感生）、面积变化/导体运动（动生），两种本质都服从法拉第电磁感应定律。 知识点一：法拉第电磁感应定律 1.感应电动势 (1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势．产生感应电动势的那部分导体就相当于电源，导体的电阻相当于电源内阻． (2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关． (3)感应电流与感应电动势的关系：遵循闭合电路欧姆定律，即I＝. 2.感应电动势大小的决定因素 (1)感应电动势的大小由穿过闭合电路的磁通量的变化率和线圈的匝数共同决定，而与磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系． (2) ①当ΔΦ仅由B的变化引起时，则E＝n； ②当ΔΦ仅由S的变化引起时，则E＝n； ③当ΔΦ由B、S的变化同时引起时，则＝n≠n. 求瞬时值是分别求出动生电动势E1和感生电动势E2并进行叠加 (3)磁通量的变化率是Φ－t图象上某点切线的斜率． 3.法拉第电磁感应定律 (1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比． (2)公式：E＝n（平均感应电动势），其中n为线圈匝数． (3)感应电流与感应电动势的关系：I＝. (4)说明：E的大小与Φ、ΔΦ无关，决定于磁通量的变化率. 知识点二：导体切割磁感线产生的感应电动势 1.大小计算 切割方式 表达式 垂直切割 E＝Blv 倾斜切割 E＝Blvsin θ，其中θ为v与导体棒的夹角 旋转切割(以一端为轴) E＝Bl2ω 2.方向判断 (1)把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源。 (2)若电路是不闭合的，则先假设有电流通过，然后应用楞次定律或右手定则判断出电流的方向。 (3)电源内部电流的方向是由负极(低电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低。 3.“瞬时性”的理解 (1)若v为瞬时速度，则E为瞬时感应电动势． (2)若v为平均速度，则E为平均感应电动势． 4.切割的“有效长度” 公式中的l为有效切割长度，即导体在与v垂直的方向上的投影长度．图4中有效长度分别为： ①甲图：l＝sin β； ②乙图：沿v1方向运动时，l＝；沿v2方向运动时，l＝0. ③丙图：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R. 5.“相对性”的理解 E＝Blv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系 6.产生电动势的“四种”情形 磁场变化 平动切割 转动切割 旋转切割 情景图 研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效成直导线) 绕一端垂直匀强磁场匀速转动的一段导体棒 绕与匀强磁场垂直的轴匀速转动的导线框 表达式 E＝n E＝Blvsin θ E＝Bl2ω E＝NBSωsin ω t (从中性面 位置开始 计时) 策略1：先判断类型，选对公式 1. 磁场B随时间变化，面积S不变 → 用 E＝n（感生电动势，平均） 2. 导体棒切割磁感线，B不变 → 用 E=BLv（瞬时，B、L、v三者两两垂直） 3. 导体棒绕一端在匀强磁场匀速转动 → E＝Bl2ω 4. 求通过回路的电荷量，优先 q=n 一句话区分：求一段时间内的平均效果、电荷量 → 法拉第原始式；求某一瞬间电动势 → BLv。 策略2：四步标准解题流程（计算题规范） 1. 找磁通量变化：确定B、S，看清是B变还是S变，算出ΔΦ 2. 求感应电动势：选择对应公式 3. 电路分析：导体棒/线圈=电源，分清内阻r、外阻R；用闭合电路欧姆定律 I＝. 4. 后续需求： ①求电流、电压、功率； ②受力：安培力 ③能量：焦耳热、动能变化； ④动量：安培力冲量 策略3：切割类易错处理 B、L、v 三者必须互相垂直；不垂直时，取垂直分量 例：v斜着，取垂直B的分速度；导线弯曲，取两端连线作为有效长度L。 策略4：图像题解法 B-t、Φ-t图像：斜率 k的意义，电动势大小正比于斜率；斜率正负代表感应电流方向（配合楞次定律）。 斜率为0，电动势为0，没有感应电流。 策略5：电荷量快速结论 q=·Δt=n 重点：和运动速度、时间长短无关，只看初末磁通量差、匝数、总电阻 题型01: 对法拉第电磁感应定律的理解 【典型例题1】近场通信(NFC)器件应用电磁感应原理进行通信,其天线类似一个压平的线圈,线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示,一正方形NFC线圈共3匝,其边长分别为1.0 cm、1.2 cm和1.4 cm,图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈,磁感应强度变化率为103 T/s,则线圈产生的感应电动势最接近(　　) A.0.30 V B.0.44 V C.0.59 V D.4.30 V 【典型例题2】如图所示，将一个单位长度电阻为的均匀圆形金属线圈用一根不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，线圈的半径为，粗细不计。过圆心的直线的下方有方向始终垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间的变化关系为，直线与线圈的交点为、。则下列说法正确的是（    ）    A．线圈中产生的电流大小恒为 B．线圈中有逆时针方向的感应电流 C．线圈所受到的安培力大小恒定不变 D．时间内线圈中产生的焦耳热为 【典型例题3】如图所示，半径为、粗细均匀的单匝圆形金属线圈内有一半径为的圆形区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于线圈平面向外，磁感应强度B随时间t的变化关系为，、k为正的常量，线圈电阻为R，则磁感应强度从增大到2时间内（　　） A．线圈中电子沿逆时针方向定向移动 B．线圈面积有缩小的趋势 C．线圈中产生的焦耳热为 D．通过导线横截面的电荷量为 【典型例题4】（多选）如图所示，在竖直平面内有一半圆形区域，O为圆心，AOD为半圆的水平直径，区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于竖直平面向里的匀强磁场。在A、D两点各固定一颗水平的光滑钉子，一个由细软导线制成的闭合导线框ACDE挂在两颗钉子上，在导线框的E处有一个动滑轮，动滑轮下面挂重物，使导线处于绷紧状态。设导线框的电阻为r，圆的半径为R，从t=0时刻开始，将导线上的C点绕圆心O以恒定角速度ω从A点沿圆弧移动到D点，此过程中不考虑导线中产生的磁场。在C从A点移动到D点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导线框中的感应电流先沿逆时针方向，后沿顺时针方向 B．导线框中产生的电热为 C．通过导线框横截面的电荷量为 D．导线框中感应电动势随时间t的变化关系为 【典型例题5】（多选）如图，边长为L、粗细均匀的等边三角形金属线框固定在绝缘水平面上，E、F分别为边和边的中点，虚线上方存在着垂直于水平面向外的匀强磁场，虚线下方存在垂直于水平面向里的匀强磁场。已知两磁场的磁感应强度B的大小随时间t的变化关系均为（），等边三角形的每个边电阻均为R。下列说法正确的是（　　）    A．金属线框中有顺时针方向的感应电流 B．金属线框的感应电流始终保持不变 C．在的时间内，通过金属线框某截面的电荷量为 D．金属线框所受的安培力大小不变 【变式训练1-1】亥姆霍兹线圈的示意图如图甲所示,两线圈平行正对放置、相距较近,两线圈中通有相同的电流,电流随时间变化的规律如图乙所示,m点为圆心O1、O2连线的中点,现在m点放置一个与通电线圈平行的小金属圆环,下列说法正确的是(　　) A.t1~t2时间内,两线圈之间磁场的磁感应强度大小恒定 B.t3时刻,位于m点的圆环产生的感生电动势最大 C.t2时刻前后瞬间,位于m点的圆环中产生的感应电流方向不同 D.如果m点的圆环水平放置,则m点的圆环中无感应电流 【变式训练1-2】如图所示，用均匀导线做成的单匝正方形线圈的面积为S，正方形的一半放在垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，a，b分别为两对边的中点，线圈的总电阻为R。下列说法正确的是（　　） A．当磁场的磁感应强度增大时，线圈中的电流沿顺时针方向 B．当磁场的磁感应强度以的变化率增大时，线圈中产生的感应电动势为 C．在磁场的磁感应强度大小由B减小到零的过程中，通过线圈某一横截面的电荷量为 D．在线圈以ab为轴转动一周的过程中，某一段时间内线圈中没有感应电流 【变式训练1-3】水平桌面上放置着两个用同一根均匀金属丝制成的单匝线圈1和线圈2，半径分别为和（俯视图如图1所示）。竖直方向有匀强磁场，磁感应强度随时间变化的关系如图2所示。线圈中的感应电动势、电流强度、电功率分别用E、I、P表示，不考虑两个线圈间的影响，下列关系正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-4】半径为的金属圆环由两种材料组成，圆弧为圆周，电阻为，圆弧为圆周，电阻为，圆内有垂直环面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率，则为（　 　） A． B． C． D． 【变式训练1-5】如图甲所示，轻质细线吊着一质量m＝2kg、边长L＝1m、匝数n＝5的正方形线圈，线圈总电阻r＝0.5Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．0~6s内穿过线圈磁通量的变化量为3Wb B．线圈中产生的感应电流的大小为0.5A C．t＝6s时轻质细线的拉力大小为12N D．0~6s内线圈产生的焦耳热为15J 【变式训练1-6】如图，“”形导线框置于磁感应强度大小为B、水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均互相垂直，各边长均为l。线框绕 b、e所在直线以角速度顺时针匀速转动，be与磁场方向垂直。t=0时，abef与水平面平行，则（　　） A．t=0时，电流方向为afedcba B．t=0时，感应电动势为 C．时，感应电动势为0 D．t=0到过程中，感应电动势平均值为0 【变式训练1-7】如图所示，AOC是光滑的直角金属导轨，AO竖直，OC水平。质量分布均匀的金属棒ab长度为L，质量为m，电阻为R，两端置于导轨内。设金属杆与竖直导轨夹角为θ，当θ=30°时静止释放金属杆。已知空间存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，不计金属导轨的电阻，则（　　） A．回路中感应电流方向始终为逆时针方向 B．整个过程中，ab棒产生的焦耳热为mgL C．当θ=60°时，若a点速度大小为v，则b点速度大小为2v D．在θ=30°到θ=45°过程中通过ab棒的电荷量为 【变式训练1-8】(多选)在北半球,地磁场竖直分量向下。阳泉市某中学的兴趣实验小组,把一个正方形闭合导线框abcd放置在水平绝缘桌面上,导线框的ad边沿南北方向,ab边沿东西方向。下列说法正确的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.若使导线框向东平动,则a点的电势比d点的电势低 B.若使导线框向南平动,则b、c两点电势相等 C.若使导线框向西平动,则a点的电势比b点的电势低 D.若使导线框向北平动,则a点的电势比b点的电势高 【变式训练1-9】(多选)如图所示，固定的均匀矩形铝框abcd，长度为2L，宽度为L，左边边长为L的正方形区域abef内存在与铝框平面垂直的匀强磁场。已知铝的电阻率为ρ，单位体积内的自由电子数为n，电子的电荷量为e。某时刻起，磁感应强度以变化率均匀增加。则（　　）    A．空间中产生顺时针方向的恒定电场 B．铝框中的自由电子受到电场力的作用顺时针方向定向移动形成电流 C．自由电子定向移动的平均速率 D．一个电子沿铝框运动一周，电场力做功 【变式训练1-10】(多选)如图所示，两根等高光滑的圆弧轨道半径为r、间距为L，轨道的电阻不计。在轨道的顶端连接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻也是R的金属棒从轨道的最低位置cd开始，在拉力作用下以速率沿轨道向上做匀速圆周运动至ab处，则该过程中（　　）    A．通过电阻的电流方向为 B．通过电阻的电荷量为 C．电阻上产生的热量为 D．拉力做功为 【变式训练1-11】如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心O在区域中心。一质量为m、带电量为q（q>0）的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动。已知磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示，其中。设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。 (1)在t=0到t=T0这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，小球的速度大小v0= ； (2)在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。试求到这段时间内：细管内涡旋电场的场强大小 ；电场力对小球做的功 。 题型02：导体切割磁感线产生电动势 （一）平动切割磁感线 【典型例题1】如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中长度为L的导体棒ab沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。则导体棒ab所受的安培力为（　　） A．，方向向左 B．，方向向右 C．，方向向左 D．，方向向右 【典型例题2】如图，空间存在方向垂直纸面（竖直面）向里的足够大的磁场，以竖直向下为z轴正方向，磁感应强度的大小为，式中、k为常量，纸面内一质量为m、边长为a、总电阻为R的正方形导线框在磁场中由静止开始下落，初始时导线框底边水平，最终线框将匀速下落，重力加速度大小为g，则线框匀速下落时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】（多选）列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一水平矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B，方向竖直向上。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法正确的是（　　） A．列车进站过程中电流方向为abcd B．列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小 C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量为 D．从车头进入磁场到停止所用的时间为 【典型例题4】如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角的斜面上，其间距。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。两根金属棒和与导轨始终保持垂直且接触良好，棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知棒的质量为棒和棒接入电路的电阻均为，导轨电阻不计。将棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力，作出力随时间t的变化图像如图乙所示（力大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取。求： （1）时，金属棒的速度大小； （2）时，外力F的大小； （3）已知金属棒在的时间内产生的热量为，求这段时间外力F所做的功。 【变式训练2-1-1】如图所示，在光滑水平金属框架上有一导体棒ab。第一次以速度v匀速向右平动，第二次以速度匀速向右平动，两次移动的距离相同，则两种情况下回路中产生的感应电动势和通过R的电荷量之比分别为（　　） A．； B．； C．； D．； 【变式训练2-1-2】如图所示，长为L的直金属棒在匀强磁场B中，沿图示方向以速度v做切割磁感线运动，角度θ已知，金属棒与磁场垂直。则产生感应电动势的大小为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练2-1-3】如图所示，间距为L且足够长的金属导轨固定在水平面上，导轨电阻忽略不计，竖直向下的匀强磁场范围足够大，磁感应强度为B。导轨左端用导线连接阻值为R的定值电阻，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，与导轨接触良好。导体棒从导轨的最左端以速度v匀速向右运动的过程中（   ） A．回路中的电流逐渐变大 B．回路中电流方向沿顺时针（俯视） C．导体棒两端的电压大小为 D．导体R的发热功率先变大后变小 【变式训练2-1-4】如图甲所示，两固定平行且光滑金属轨道MN、PQ与水平面的夹角θ=37°，M、P之间接电阻箱R，电阻箱的阻值范围为0～9.9Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度大小为B=0.5T。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的阻值为r。现从静止释放杆ab，测得最大速度为vmax。改变电阻箱的阻值R，得到vmax与R的关系如图乙所示。已知轨道间距为L=2m，重力加速度g=10m/s2，轨道足够长且电阻不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（　　） A．金属杆滑动时回路中产生的感应电流的方向是abMpa B．金属杆的质量m=0.5kg C．金属杆接入电路的阻值r=2Ω D．当R=2Ω时，杆ab匀速下滑过程中R两端的电压为8V 【变式训练2-1-5】（多选) 中国商飞C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机，机长、翼展35.80m、机高11.95m。已知武汉地区的地磁场水平分量大小为，竖直分量大小为。某架C919飞机在武汉地域自东向西以的速度水平飞行，下列说法正确的是（　　） A．左侧机翼的电势高于右侧机翼的电势 B．尾翼上端点的电势高于机腹最低点的电势 C．两机翼外端点间的电势差约为0.64V D．两机翼外端点间的电势差约为0.61V 【变式训练2-1-6】（多选) 如图所示，两根平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，其左端接有定值电阻R，建立Ox轴平行于金属导轨，在0≤x≤4m的空间区域内存在着垂直导轨平面向下的磁场（图中未画出），磁感应强度B随坐标x（以m为单位）的分布规律为B=0.8-0.2x（T），金属棒ab在外力作用下从的某处沿导轨向右运动，ab始终与导轨垂直并接触良好，不计导轨和金属棒的电阻。设在金属棒从处，经，到的过程中，电阻器R的电功率始终保持不变，则（　　） A．金属棒在与处产生的电动势之比为1：1 B．金属棒在与处受到磁场B的作用力大小之比为3：1 C．金属棒从到与从到的过程中通过R的电量之比为5：3 D．金属棒从到与从到的过程中电阻R产生的焦耳热之比为7：3 【变式训练2-1-7】（多选) 如图所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为，矩形区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度均为，高和间距均为d。质量为的水平金属杆由距区域Ⅰ上边界处由静止释放，进入区域Ⅰ和区域Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为。则金属杆（　　） A．刚进入区域Ⅰ时加速度方向可能竖直向下 B．穿过区域Ⅰ的时间大于穿过两磁场区域之间的时间 C．穿过两磁场区域产生的总热量为 D．穿过区域Ⅱ的时间为 【变式训练2-1-8】 电动汽车刹车时利用储能装置储蓄能量，其原理如图所示，矩形金属框部分处于匀强磁场中，磁场方向垂直金属框平面向里，磁感应强度大小为B，金属框的电阻为r，ab边长为L。刹车过程中ab边垂直切割磁感线，某时刻ab边相对磁场的速度大小为v，金属框中的电流为I。此时刻： (1)判断ab边中电流的方向，并求出感应电动势大小E； (2)求储能装置两端的电压U和金属框的输出电功率P。 【变式训练2-1-9】如图所示，在磁感应强度为0.2T的匀强磁场中，水平放置两根光滑的平行金属导轨，导轨间距为0.6m，导轨间接有电阻，有一导体棒AB在导轨上以10m/s的速度向右匀速滑动，导体棒AB的电阻，其余电阻不计。求： （1）导体棒AB两端感应电动势的大小； （2）导体棒AB受到的安培力大小和方向。 【变式训练2-1-10】如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，、是水平放置的平行长直导轨，其间距为，和是并联在导轨一端的电阻，且、，是垂直导轨放置的质量为的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处均相同。从零时刻开始，对施加一个大小为，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的图象，其中点为坐标原点，其坐标为，是图象在点的切线，是图象的渐近线。除、以外，其余部分的电阻均不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知当棒的位移为时，其速度达到了最大速度。求结果可以保留分数 （1）导体棒运动中受的摩擦力的大小和磁感应强度的大小 （2）在导体棒的位移为过程中电阻上产生的焦耳热 （3）若在导体棒的位移为时立即将恒定拉力撤掉，此后导体棒滑行到停止的过程中流过的电量为，求摩擦力在导体棒整个运动过程的平均功率。 （二）转动切割磁感线 【典型例题1】如图，长为L的导体棒MN在匀强磁场B中绕平行于磁场的轴OO＇以角速度ω匀速转动，棒与轴OO＇间的夹角为α，则U为（    ）    A．0 B．BωL2 sin 2α C．Bω(L sin α)2 D．Bω(L cos α)2 【典型例题2】(多选) 如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨。圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图的匀强磁场。金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好。初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有(　　) A．杆OP产生的感应电动势恒定 B．杆OP受到的安培力不变 C．杆MN做匀加速直线运动 D．杆MN中的电流逐渐减小 【典型例题3】某新能源汽车有一个利用汽车制动回收电能的系统。汽车质量，以某一速度匀速行驶。当汽车刹车时，车轮与刹车装置之间的特殊构造可将汽车的动能转化为电能。若刹车时车轮处充满磁感应强度大小、方向垂直于车轮平面的匀强磁场，车轮可等效为由若干根长度的导体棒组成的圆盘，如图，每根导体棒都随车轮的转动而切割磁感线。已知重力加速度，空气阻力忽略不计。 (1)若汽车刹车时，车轮边缘相对磁场的线速度为，求此时一根导体棒产生的感应电动势大小； (2)若汽车的刹车过程可视为汽车以的初速度做匀减速直线运动，汽车受到的制动力一部分用于克服安培力做功转化为电能，另一部分用于克服摩擦力做功转化为内能。在内汽车速度减小到，汽车受到的摩擦力恒为汽车重力的，求此过程中回收的电能（设刹车过程中制动力恒定）。 【变式训练2-2-1】如图所示，abcd为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，导轨间距为l，bc间电阻为R，其它部分电阻不计。导轨间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属杆放置在导轨上，与导轨的接触点为M、N。并与导轨成角，金属杆以的角速度绕N点由图示位置逆时针匀速转动到与导轨ab垂直。转动过程中金属杆与导轨始终接触良好，金属杆电阻忽略不计，则在金属杆转动过程中（　　） A．M、N两点电势相等 B．金属杆中感应电流的方向由M流向N C．电路中感应电流的大小始终为 D．电路中通过的电荷量为 【变式训练2-2-2】物理兴趣小组设计了一台自制发电机，其原理图如图所示，正方形线框置于垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场中，当线框绕轴以角速度匀速转动时，闭合开关，小灯泡发光。设线框的边长为，每边电阻均为，小灯泡的电阻恒为，导线电阻不计，则下列说法正确的是（　　） A．当S断开时，两端的电压为 B．当S断开时，两端的电压为 C．当S闭合时，流过灯泡的电流为 D．当S闭合时，流过灯泡的电流为 【变式训练2-2-3】如图，一硬质导线折成一个不闭合的五角星形线框，在纸面内绕b点逆时针转动。边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，当线框转至图中位置时，a、b、c、d各点的电势大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2-4】一根长为L、下端固定的导线OA处于匀强磁场中。磁场的方向竖直向上，大小为B。若该导线以角速度ω绕竖直轴旋转，且角速度方向与磁场的方向相同，如图所示。则导线中的电动势（　　） A．大小为，方向由O→A B．大小为，方向由A→O C．大小为，方向由A→O D．大小为，方向由O→A 【变式训练2-2-5】（多选）如图所示为我国民众应对高温天气所用的吊扇，此时固定于天花板上的吊扇正在顺时针旋转（仰视），转速为n。已知叶片ab的长度为L，忽略转轴的大小，吊扇所在位置地磁场的磁感应强度竖直向下的分量大小为B，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两端的电势差大小为 B．a、b两端的电势差大小为 C．a端的电势高于b端的电势 D．a端的电势低于b端的电势 【变式训练2-2-6】（多选）如图所示，在纸面内有半圆形轻质导体框，O为圆心，圆半径长为r，AO段、弧AB段的电阻均为R，BO段导体的电阻可忽略，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界与半圆直径重合，现用外力使导体框在纸面内绕O点以角速度ω沿顺时针方向，从图示位置匀速转动一周，下列说法正确的是(　　) A．圆弧AB段内电流方向总是从A流向B B．转动的前半周内A、B两端电压为 C．转动的后半周内通过O点的电荷量为 D．外力对线框做的功为 【变式训练2-2-7】（多选）如图甲是法拉第发明的铜盘发电机，也是人类历史上第一台发电机。利用这个发电机给平行金属板电容器供电，如图乙。已知铜盘的半径为L，加在盘下侧的匀强磁场磁感应强度为，盘匀速转动的角速度为，每块平行板长度为d，板间距离也为d，板间加垂直纸面向内、磁感应强度为的匀强磁场。下列选项正确的是（　　） A．若圆盘按照图示方向转动，那么平行板电容器D板电势高 B．铜盘产生的感应电动势为 C．若一电子从电容器两板中间水平向右射入，恰能勺速直线运动从右侧水平射出，则电子射入时速度为 D．若有一带负电的小球从电容器两板中间水平向右射入，在复合场中做匀速圆周运动又恰好从极板右侧射出，则小球的圆周运动半径为 【变式训练2-2-8】如图（a），将半径、总电阻的均匀金属圆环固定在水平面上，直径一侧有垂直纸面向里的磁感应强度大小的匀强磁场。一根电阻的均匀金属杆固定在过圆心的转轴上，两端与金属圆环接触良好。金属杆在外力作用下以角速度顺时针匀速转动至图示位置（垂直于）。求： (1)经图示位置金属杆产生的电动势及间的电势差； (2)如图（b），撤去金属杆，使匀强磁场磁感应强度从开始按照的规律变化，规定顺时针方向为电动势的正方向，写出圆环中感应电动势随时间变化的表达式（结果可用表示）。 （三）有效长度问题 【典型例题1】如图所示， 空间中存在匀强磁场B，方向垂直纸面向里。一长度为l的铜棒以速度v向右匀速运动，速度方向与铜棒之间的夹角为30°，则铜棒ab两端的电势差Uab为（　　） A．Blv B．-Blv C． D． 【典型例题2】如图，匀强磁场磁感应强度大小为B、方向垂直水平面向里，半径为R的半圆形金属丝在水平面内以速度v做匀速直线运动，速度方向与直径ab垂直，运动中a、b间的电势差为（　　） A．2BRv B． C． D． 【典型例题3】如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，长为L的金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动。金属导轨电阻不计，金属杆与导轨的夹角为θ，电阻为2R，ab间电阻为R，M、N两点间电势差为U，则M、N两点电势的高低及U的大小分别为（　　） A．M点电势高，U= B．M点电势高，U= C．N点电势高，U= D．N点电势高，U= 【典型例题4】（多选）如图所示，纸面内的菱形金属线框以速度平行于方向匀速通过一有界的匀强磁场，磁场的边界、相互平行，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里．已知线框的电阻为R，线框的边长和磁场宽度均为L，，，下列说法正确的是（    ） A．A点离开磁场后线框内的感应电流沿顺时针方向 B．线框内感应电动势的最大值为 C．此过程中穿过线框的磁通量的最大值为 D．线框穿过磁场的整个过程中回路中的最大热功率为 【变式训练2-3-1】如图所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场。当圆环运动到图示位置（）时，a、b两点的电势差Uab为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练2-3-2】如图所示，平行导轨MN、PQ间距为d，M、P间接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于平行金属导轨所在的平面向里。一根足够长的金属杆ab第一次垂直于导轨放置，第二次与导轨成60°角放置。金属杆和导轨的电阻不计，当金属杆两次均以速度ν沿垂直于杆的方向滑行时，下列说法正确的是（　　） A．两次电阻R上的电压相等 B．第一次和第二次金属杆中感应电流之比为 C．第一次和第二次金属杆受到的安培力大小之比为 D．第一次和第二次电阻R上的电功率之比为 【变式训练2-3-3】（多选）如图所示，处于同一水平面的光滑金属直导轨MN和PQ之间夹角为。MP两点间距离为，其间接有一阻值为的电阻，其余电阻不计。空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。一质量为的金属棒ab在水平外力作用下从MP处以初速度向右运动，在运动的过程中通过R上的电流恒定不变。金属棒始终与MN垂直且与导轨接触良好，，则在此过程中可能正确的是（　　） A．通过R的电流为5A B．通过R的电流为逐渐减小 C．金属棒的最小速度为2.0m/s D．金属棒的最小速度为5.0m/s 【变式训练2-3-4】（多选）如图所示，无限长的“U”金属导轨ABCD和金属导轨EF、GH平行放置在同一水平面内，AB与EF、EF与GH、GH与CD之间的距离均为L，AB和EF之间的区域、GH和CD之间的区域均有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为，EF和GH之间的区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。现有三根长度均为L的金属棒1、2、3垂直导轨放置，其中金属棒2、3质量均为m，电阻均为R，金属棒1质量为，电阻为。时刻，金属棒2、3静止，给金属棒1一平行于导轨向右的速度，忽略所有的阻力和所有导轨的电阻。下列判断正确的是（　　） A．时刻通过金属棒2的电流大小为 B．当金属棒1、2、3稳定运行时，金属棒1的速度大小为 C．当金属棒1、2、3稳定运行时，金属棒2的速度大小 D．从时刻到稳定运行的过程中，金属棒3产生的焦耳热为 【变式训练2-3-5】（多选）如图所示，电阻不计的水平U形光滑导轨上接一个阻值为的电阻，放在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中，一个半径为L、质量为、电阻为的半圆形硬导体棒（直径与导轨垂直，并接触良好），在水平向右的恒定外力的作用下，由静止开始运动，当速度为时，位移为，下列说法正确的是（　　） A．此时两端电压为 B．此时杆克服安培力做功的功率为 C．此过程中导体棒的平均速度小于 D．此过程中通过电阻的电荷量为 题型03：电磁感应中的能量转化问题 【典型例题1】竖直平行导轨MN上端接有电阻R，金属杆ab质量为m，跨在平行导轨间的长度为L，垂直导轨平面的水平匀强磁场方向向里，不计ab杆及导轨电阻，不计摩擦，且ab与导轨接触良好，如图所示。若ab杆在竖直方向上的外力F作用下匀速上升h，则下列说法错误的是（　　） A．金属杆ab克服安培力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热 B．金属杆ab克服安培力所做的功与克服重力做功之和等于金属杆机械能的增加量 C．拉力F与重力做功的代数和等于金属杆克服安培力做的功 D．拉力F与安培力的合力所做的功等于mgh 【典型例题2】（多选）如图所示，平面第一、第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为和。平面内有一关于轴对称的“吕”形金属框，尺寸如图中标注，导线彼此绝缘，其交叉点位于轴上。金属框在外力作用下始终以速度沿轴向右做匀速直线运动。已知金属框的总电阻为时金属框边刚好进入磁场，则（    ） A．时刻，金属框中段电流的方向由到 B．时刻，金属框中电流的大小为 C．时刻，金属框在轴方向上所受安培力的大小为 D．到时间内，通过金属框横截面的电荷量为 【典型例题3】如图，水平面内固定有平行长直金属导轨ab、cd和金属圆环；金属杆MN垂直导轨静止放置，金属杆OP一端在圆环圆心O处，另一端与圆环接触良好。水平导轨区域、圆环区域有等大反向的匀强磁场。OP绕O点逆时针匀速转动；闭合K，待MN匀速运动后，使OP停止转动并保持静止。已知磁感应强度大小为B，MN质量为m，OP的角速度为ω，OP长度、MN长度和平行导轨间距均为L，MN和OP的电阻阻值均为r，忽略其余电阻和一切摩擦，求： （1）闭合K瞬间MN所受安培力大小和方向； （2）MN匀速运动时的速度大小； （3）从OP停止转动到MN停止运动的过程，MN产生的焦耳热。 【变式训练3-1】如图甲所示，地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场，质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为l，从bc边距离地面高为h处将其由静止释放，已知h>d>l。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中，导线框的v－t图像如图乙所示。重力加速度为g，不计空气阻力，以下有关这一过程的判断正确的是(　　) A.t1～ t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大 B. 磁场的高度d可以用v－t图中阴影部分的面积表示 C.导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量 D. 导线框产生的焦耳热大于mgl 【变式训练3-2】如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中通过金属棒的电荷量为 B．金属棒加速的时间为 C．加速过程中拉力的最大值为 D．加速过程中拉力做的功为 【变式训练3-3】（多选）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨间距，其下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线连接金属棒的中点且沿方向。金属棒由静止释放后，在重物的作用下，沿方向的位移与时间之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知在内通过金属棒的电荷量是0.9~1.2s内通过金属棒的电荷量的2倍，重力加速度取，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法中正确的是（    ） A．通过金属棒的电荷量与金属棒的位移的关系为 B．内金属棒运动的位移大小为 C．磁感应强度的大小为 D．内整个回路产生的热量为 【变式训练3-4】（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在倾角为的绝缘斜面上，导轨间距为，导轨下端连接一个阻值为的定值电阻，空间有一磁感应强度大小为、方向垂直导轨所在斜面向上的匀强磁场。一个轻弹簧的劲度系数为，下端固定在斜面上，弹簧上端与质量为、长为、电阻也为的导体杆相连，杆与导轨垂直且接触良好，弹簧与导轨平行。导体杆中点系一轻细线，细线平行斜面，绕过一个光滑定滑轮后悬挂一个质量也为的物块。初始时用手托着物块，导体杆保持静止，细线伸直，但无拉力。重力加速度大小为，弹簧始终在弹性限度内，释放物块后，下列说法正确的是（    ） A．释放物块瞬间，导体杆的加速度大小为 B．运动过程中，弹簧的伸长量第一次为时，导体杆的加速度为零 C．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 D．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 【变式训练3-5】在研究电磁感应现象时，某同学设计了一种实验装置，模拟物体在变化磁场中的运动以及由此产生的电流。如图所示，光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨间距L=0.25m，左端连接R=0.2Ω的电阻，右端连接一对金属卡环，导轨间MN右侧（含MN）存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度的B-t图如图乙所示，质量为m=0.5kg，电阻r=0.3Ω的金属棒与质量也为m的物块通过光滑定滑轮由绳相连，绳始终处于绷紧状态，PQ、MN到右端卡环距离分别为25m和15m，t=0时刻由PQ位置静止释放金属棒，棒与导轨始终接触良好，滑至导轨右端被卡环卡住不动，金属导轨、卡环的电阻均不计，g取10m/s²。求： (1)金属棒进入磁场时的速度； (2)金属棒进入磁场时通过导体棒的感应电流； (3)在0-8s时间内电路中产生的焦耳热。 【变式训练3-6】列车进站时，其刹车原理可简化如图所示，在车身下方固定一N匝闭合矩形线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头的线框刚进入磁场的速度为v0，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f。线框cd边刚进入磁场时，列车刚好停止。求： (1)车头进入磁场瞬间，判断线框ab边产生的感应电流的方向及列车的加速度大小a。 (2)列车从进站到停下来的过程中线框产生的热量Q。 题型04：法拉第电磁感应定律的综合应用 【典型例题1】两个半径不同的半圆金属环可以组成如图甲、乙所示的两种闭合回路，两半圆环位于同一平面内，圆心重合，较小的半圆环的半径为r，整个回路的电阻为R。将两个闭合回路放在垂直环面的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化的规律如图丙所示，则t0时刻，甲、乙两回路中小的半圆环受到的安培力之差为(图中均为已知量)(　　) A. B. C. D. 【典型例题2】如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO′，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度θ静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是(　　) 【典型例题3】如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨，圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图所示的匀强磁场，金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好，金属杆MN始终与导轨垂直，初始时MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有(　　) A.杆OP产生的感应电动势为E＝Br2ω B.杆OP转动产生的感应电流方向由N→M C.杆MN向左运动 D.杆MN中的电流逐渐增大 【典型例题4】（多选）半径分别为r和2r的同心圆导轨固定在同一水平面内，一长为r，电阻为R的均匀金属棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨中心O，装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下，在两环之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器，直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好的接触，导轨电阻不计，下列说法正确的是(　　) A.金属棒中电流从A流向B B.金属棒两端电压为Bω2r C.电容器的M板带正电 D.电容器所带电荷量为CBωr2 【变式训练4-1】法拉第发明了第一台发电机，示意图如下。半径为的铜盘安装在金属轴上，其边缘置于一个磁铁两极之间的狭缝里，铜盘边缘与轴通过导线与检流计连接。铜盘以周期匀速旋转，检流计中有电流通过。已知狭缝沿半径方向的长度为，狭缝间为匀强磁场，磁感应强度为，忽略狭缝之外的磁场，下列说法正确的是（　　） A．检流计中电流方向从向 B．若铜盘旋转方向和磁场方向同时反向，则检流计中电流方向也反向 C．铜盘产生的电动势为 D．铜盘产生的电动势为 【变式训练4-2】图甲为某款“自发电”无线门铃按钮，其“发电”原理如图乙所示，按下门铃按钮过程磁铁靠近螺线管，松开门铃按钮磁铁远离螺线管回归原位置。下列说法正确的是(　　) A.按下按钮过程，螺线管P端电势较低 B.松开按钮过程，螺线管Q端电势较高 C.按住按钮不动，螺线管中会产生感应电动势 D.按下和松开按钮过程，螺线管产生的感应电动势大小一定相同 【变式训练4-3】近场通信(NFC)器件依据电磁感应原理进行通信，其内部装有类似于压扁的线圈作为天线。如图所示，这种线圈从内到外逐渐扩大，构成正方形。在这个正方形NFC线圈中，共有3圈，它们的边长分别为a、b、c(a>b>c)，需要注意的是，图中线圈接入内部芯片时与芯片内部线圈绝缘，从而能够正确地连接到内置芯片。若匀强磁场垂直穿过该线圈时，磁感应强度随时间变化规律为B＝kt＋B0(k为常数)。则整个线圈产生的感应电动势最接近(　　) A.3a2k B.(a2＋b2＋c2)k C.3(a2＋b2＋c2)k D.(a＋b＋c)2k 【变式训练4-4】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘。现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动。O、A、C点电势分别为φ0、φA、φC，则(　　) A.φO>φC B.φC>φA C.φO＝φA D.φO－φA＝φA－φC 【变式训练4-5】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中心，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻，可绕O转动的金属杆。M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在垂直半圆所在平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，现使金属杆OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　) A. B. C. D.2 【变式训练4-6】如图所示，半径为r的金属圆环放在垂直纸面向外的匀强磁场中，环面与磁感应强度垂直、磁场的磁感应强度为B0，保持圆环不动，使磁场的磁感应强度随时间均匀增大、经过时间t、磁场的磁感应强度增大到B1，此时圆环中产生的焦耳热为Q；保持磁场的磁感应强度B1不变，将圆环绕对称轴(图中虚线)匀速转动，经时间2t圆环转过90°，圆环中电流大小按正弦规律变化，圆环中产生的焦耳热也为Q，则磁感应强度B0和B1的比值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练4-7】（多选）如图甲所示，光滑绝缘细圆管固定在水平面上，半径为r。圆管平面存在方向竖直向上且均匀分布的磁场，其磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示（、均已知），取竖直向上为正方向。已知当磁感应强度均匀变化时，会在圆管内产生场强大小处处相等且电场线闭合的涡旋电场。管中有一质量为m、电荷量大小为q的带负电小球从静止开始在管内做圆周运动。下列说法正确的是（    ）    A．从上往下看小球沿顺时针方向运动 B．管内涡旋电场的场强大小为 C．小球第2次回到出发点时的速度大小为 D．小球先后相邻两次回到出发点的过程中涡旋电场对小球的冲量增大 【变式训练4-8】（多选）将一根绝缘细导线绕成如图所示的线圈，再将线圈和小灯泡构成闭合回路，线圈内部存在一方向垂直纸面向里的均匀磁场，已知小灯泡的电阻为R，细导线的电阻为r，矩形的面积为S1，小圆的面积为S2，磁感应强度大小随时间变化的规律为B＝B0＋kt，B0和k均为大于零的常量，下列说法正确的是(　　) A.通过灯泡的电流由a流向b B.闭合回路中的感应电动势为k(S1－S2) C.通过小灯泡的电流大小为 D.小灯泡两端的电压为 【变式训练4-9】（多选）如图所示，虚线圆边界与金属圆环是以O为圆心的同心圆，半径分别是1 m和2 m，在它们之间存在以O1P为理想分界线的有界匀强磁场，磁场的大小都为2 T，方向相反并垂直于圆面；不计电阻的金属杆AC以O为转轴做角速度为2 rad/s的匀速圆周运动，转动过程中两端始终与金属圆环接触，金属圆环的总电阻为48 Ω，则(　　) A.金属杆AC转一圈电流的方向改变1次 B.流过金属杆AC的电流大小始终为1 A C.金属圆环的发热功率为48 W D.金属杆AC转一圈克服安培力做功37.68 J 1.迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中,沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成,它们之间的导体绳沿地球半径方向,如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下,导体绳中形成指向地心的电流,等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为Ff的环境阻力,可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H,导体绳长为L(L<H),地球半径为R,质量为m',轨道处磁感应强度大小为B,方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得,电池电动势为(　　) A.BL B.BL C.BL D.BL 2.如图所示,边长为2l的正三角形ABC区域存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场(图中未画出),磁感应强度随时间的变化率为k,B=kt。以三角形顶点C为圆心,半径为l、匝数为N、电阻为R的圆形线圈平行纸面固定放置,则下列说法正确的是(　　) A.感应电流的方向为顺时针 B.感应电流的大小一直为 C.线圈所受安培力方向与AB边平行 D.t0时刻线圈受到的安培力为 3.将一根涂有绝缘层的细导线绕成如图所示的线圈,再将线圈和阻值为R的定值电阻构成闭合回路,线圈内部存在方向垂直纸面向外的变化磁场,已知细导线的电阻为r,闭合回路所构成的矩形的面积为S1,两个线圈构成的小圆的面积均为S2,磁感应强度大小随时间变化的规律为B=B0+kt,B0和k均为大于零的常数,下列说法正确的是(　　) A.定值电阻中的电流方向为a流向b B.闭合回路中的感应电动势为k(S1-2S2) C.定值电阻两端的电流大小为 D.定值电阻两端的电压为 4.如图所示，竖直平面内固定一足够长的“U”型金属导轨，质量为、电阻不计的金属棒垂直导轨静置于绝缘固定支架上。支架上方存在竖直向下的匀强磁场，边长为的正方形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场互不影响，且磁感应强度大小与时间的关系均为（T）。支架上方导轨单位长度的电阻为，下方导轨的总电阻为。从时刻开始，对金属棒施加竖直向上的拉力，使其以加速度向上做匀加速直线运动。金属棒始终与导轨接触良好，与导轨间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度大小为。求： (1)区域产生感应电动势的大小和金属棒中电流的方向； (2)时，金属棒中的电流大小； (3)经过多长时间，对金属棒所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。 5.一探究实验小组设计了用两种方式实现电磁驱动的装置。如图所示，间距为的两光滑平行导轨左端连接电源和定值电阻，导轨平面处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。开始时，导体棒静止在导轨上，单刀双掷开关S接通1，磁场以速度向右匀速运动，导体棒运动中受到恒定阻力；S接通2，磁场不动，导体棒运动中受到阻力（，v为导体棒速度）。已知导体棒质量为，电阻为，定值电阻阻值也为，电源的电动势为，忽略其内阻，其它电阻均不计。 (1)若S接通1，则稳定后导体棒的速度； (2)若S接通2，经过时间导体棒恰好达到稳定状态，则此过程中导体棒经过的位移； (3)若S刚接通2的同时，磁场以速度向右匀速运动，导体棒运动中受到阻力为，则稳定后的时间内系统消耗的能量。 6.如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角的斜面上，间距为，空间分布着磁感应强度大小、方向与导轨平面垂直且向上的匀强磁场。将两根金属棒、放置在导轨上，并将用轻绳通过光滑定滑轮和物块连接，轻绳对的拉力方向平行于导轨。已知金属棒、的长度均为，电阻均为，金属棒、和物块的质量分别为、、，金属棒、始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，忽略一切摩擦，重力加速度。 (1)若，将金属棒锁定，释放金属棒，求金属棒的最终速度的大小； (2)若，将由静止释放的同时使和以的速度运动且沿竖直向下运动，求金属棒的最终速度的大小； (3)若、、，将、与同时由静止释放后，求最终、的速度大小及释放后棒的位移为过程中流过棒某横截面的电荷量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $