第03讲 感生与动生（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义-2027年高考一轮复习物理电磁感应专题

第03讲 电磁感应中的感生与动生 目 录 第03讲 电磁感应中的感生与动生 1 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 9 题型归纳 10 题型01：感生电动势 10 （一）磁场强度变化产生的感生电动势 10 （二）其它变化产生的感生电动势 19 （三） 感生电动势的图像计算 21 题型02：动生电动势 31 （一）导体棒平动切割产生感应电动势 31 （二）线框平动切割磁感线产生电动势 40 （三） 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 42 （四）线圈转动切割磁感线产生电动势 49 题型03：感生和动生综合问题 52 1. 高考定位 选择题高频考点，经常放在B-t图像、线框、导轨模型；计算题第一问必考，压轴大题（单棒、双棒）绝大多数是动生；磁场变化类、涡旋电场是新高考热点难点。二者可以单独考，也可以同时叠加考查（B变+导体同时运动），区分度高。 2. 考查重点 ①本质区分：B变化→感生；导体切割、面积变化→动生 ②公式选用： 感生：E=n（平均电动势，均匀变化时等于瞬时值） 动生：E=BLv（平动切割，瞬时）；E＝Bl2ω （转动切割） ③感生的特殊点：涡旋电场（感生电场），电场线闭合，无电势高低； ④动生的特殊点：洛伦兹力作为非静电力，切割导体是电源，有正负极、电势差； ⑤混合模型：磁场随时间变，同时导体棒在导轨滑动，电动势叠加； ⑥配套考点：电荷量、I-t图像、电路、安培力、动量、能量。 3. 命题陷阱 ①不分平均、瞬时，拿E=n硬算瞬时切割电动势； ②混淆电源：感生是整个磁场区域内回路为电源；动生只有切割的导体是电源； ③感生电场不是静电场，不能用等势面、电势高低常规思路； ④B和S同时变化时，不会分开算两个电动势再叠加。 4. 分值：选择4–6分；大题里面作为基础计算，是后续动力学、能量的前提，大题总分8–14分。 一：基础目标 1. 分清产生机理： ①感生：磁场B随时间变化，涡旋电场推动电荷 ②动生：导体在磁场运动，洛伦兹力分力充当非静电力 2. 选对对应公式，会独立计算两种电动势； 3. 会用楞次定律/右手定则判断感应电流方向； 4. 会做电路分析，分清内、外电路，计算电流、路端电压。 二：进阶目标 1. 识别B-t图像，用斜率求感生电动势； 2. 处理同时有感生+动生的叠加问题，判断两个电动势同向反向，代数相加； 3. 理解涡旋电场特点，能解磁场均匀变化圆环、带电粒子圆周运动小题； 4. 动生里面会找有效切割长度、处理倾斜切割、转动切割。 三：素养目标 明白：法拉第定律是统一形式 E=n，只是磁通量变化的原因分成两类；参考系不同，动生、感生可以转化。 知识点一：磁通量的理解 1.磁通量 (1)定义：匀强磁场中，磁感应强度(B)与垂直磁场方向的面积(S)的乘积叫作穿过这个面积的磁通量，简称磁通。我们可以用穿过这一面积的磁感线条数的多少来形象地理解。 (2)公式：Φ＝BS。 (3)公式的适用条件：①匀强磁场；②S是垂直磁场方向的有效面积。 (4)单位：韦伯(Wb)，1 Wb＝1_T·m2。 (5)标量性：磁通量是标量，但有正负之分。磁通量的正负是这样规定的：任何一个平面都有正、反两面，若规定磁感线从正面穿出时磁通量为正，则磁感线从反面穿出时磁通量为负。 2.磁通量的变化量 在某个过程中，穿过某个平面的磁通量的变化量等于末磁通量Φ2与初磁通量Φ1的差值，即ΔΦ＝Φ2－Φ1。 3.磁通量的变化率(磁通量的变化快慢) 磁通量的变化量与发生此变化所用时间的比值，即。在图像问题中磁通量的变化率是Φ­t图像上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确定感应电动势的大小 磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率的比较 　　 物理量 项目　　 磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率 意义 某时刻穿过某个面的磁感线的条数 某段时间内穿过某个面的磁通量变化的多少 穿过某个面的磁通量变化的快慢 大小 Φ＝BS ΔΦ＝Φ2－Φ1＝Δ(B·S) 两种特例：　 ①ΔΦ＝B·ΔS ②ΔΦ＝S·ΔB ＝ 两种特例： 　 ①＝B ②＝S 注意 若有相反方向的磁场，磁通量可抵消；S为有效面积 转过180°前后穿过平面的磁通量是一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零 等于单匝线圈上产生的感应电动势，即E＝ 注意：①Φ、ΔΦ、的大小之间没有必然的联系，Φ＝0，不一定等于0； ②感应电动势E与线圈匝数n有关，但Φ、ΔΦ、的大小均与线圈匝数无关。 知识点二：感生电动势 1.感生电动势的产生： 由感应电场使导体产生的电动势叫感生电动势．感生电动势在电路中的作用就是充当电源，其电路就是内电路，当它与外电路连接后就会对外电路供电．变化的磁场在闭合导体所在空间产生电场，导体内自由电荷在电场力作用下产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势．由此可见，感生电场就相当于电源内部的所谓的非静电力，对电荷产生力的作用． 2.感生电动势的三种情况： (1)磁通量的变化是由有效面积变化引起时，ΔΦ＝B·ΔS，则E＝n。 (2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔB·S，则E＝n，S是磁场范围内的有效面积。 ①＝k（k为常数）. ②磁感应强度的变化率为一常数. ③磁感应强度随时间均匀变化（线性变化）.   ④B-t的变化关系满足：B=B0±kt. ⑤B-t的函数图形为正比例或一次函数：斜率的大小反映感应电动势、感应电流的大小. 斜率的正负反映感应电动势、感应电流的方向. (3)磁通量的变化是由有效面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ末－Φ初，E＝n。 知识点三：动生电动势 1.动生电动势原因分析 导体在磁场中做切割磁感线运动时，产生动生电动势，它是由于导体中自由电子受洛伦兹力作用而引起的．如图甲所示，一条直导线CD在匀强磁场B中以速度v向右运动，并且导线CD与B、v的方向垂直．由于导体中的自由电子随导体一起以速度v运动，因此每个电子受到的洛伦兹力为F＝evB. F的方向竖直向下．在力F的作用下，自由电子沿导体向下运动，使导体下端出现过剩的负电荷，导体上端出现过剩的正电荷．结果使导体上端D的电势高于下端C的电势，出现由D指向C的静电场．此电场对电子的作用力F′是向上的，与洛伦兹力的方向相反．随着导体两端正、负电荷的积累，场强不断增强，当作用在自由电子上的静电力F′与洛伦兹力F互相平衡时，DC两端便产生了一个稳定的电势差．如果用另外的导线把CD两端连接起来，由于D端电势比C端高，自由电子在静电力的作用下将在导线框中沿顺时针方向流动，形成逆时针方向的感应电流如图乙所示．电荷的流动使CD两端积累的电荷减少，洛伦兹力又不断地使电子从D端运动到C端，从而在CD两端维持一个稳定的电动势． 可见，运动的导体CD就是一个电源，D端为正极，C端为负极，自由电子受洛伦兹力的作用，从D端被搬运到C端；也可以看作是正电荷受洛伦兹力的作用从C端搬运到D端．这里，洛伦兹力就相当于电源中的非静电力． 根据电动势的定义，电动势等于单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极非静电力所做的功．作用在单位正电荷上的洛伦兹力F＝＝vB，于是，动生电动势就是：E＝Fl＝Blv. 2.导体棒平动切割产生感应电动势 对于导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式E＝Blv的理解和掌握： (1)正交性 本公式是在一定条件下得出的，除了磁场是匀强磁场，还需B、l、v三者相互垂直。当它们不相互垂直时，应取垂直的分量进行计算。 (2)平均性 导体平动切割磁感线时，若v为平均速度，则E为平均感应电动势，即＝Bl。 (3)瞬时性 导体平动切割磁感线时，若v为瞬时速度，则E为相应的瞬时感应电动势。 (4)有效性 公式中的l为导体有效切割长度，即导体在与v共同所在平面上垂直于v的方向上的投影长度。下图中有效长度分别为： 甲图：l＝cd sin β(容易错算成l＝ab sin β)。 乙图：沿v1方向运动时，l＝MN；沿v2方向运动时，l＝0。 丙图：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R。 (5)相对性 E＝Blv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动时，应注意速度间的相对关系。 3.导体棒旋转切割产生感应电动势 当导体棒在垂直于磁场的平面内，绕导体棒上某一点以角速度ω匀速转动时，则： (1)以导体棒中点为轴时，E＝0(相同两段的代数和)。 (2)以导体棒端点为轴时，E＝Bωl2。 (3)以导体棒上任意一点为轴时，E＝Bω(l－l)(不同两段的代数和，其中l1>l2) 规律总结： (1)求瞬时电动势(电流)时，E＝Blv（E＝Bωl2）为首选式，并同时注意有效长度l。 (2)对于转动切割，如果记不住公式或情况复杂(如转动中心不在导体棒上)时，可用E＝Bl计算，也可以用假想的导线将导体棒连接，组成回路，用E＝B计算。 (3)如果在导体切割磁感线时，磁感应强度B也在变化，则只能用E＝计算。 4.线圈旋转切割产生感应电动势--交变电流 (1)产生：在匀强磁场中，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动产生的电流是正弦式交变电流。 (2)中性面规律： 中性面 峰值面 含义 与磁场方向 垂直的平面 与磁场方向 平行的平面 穿过线圈的磁通量 最大(BS) 0 磁通量的变化率 0 最大 感应电动势 0 最大(NBSω) 电流方向 发生改变 不变 (3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因此电流的方向改变两次。 (4)正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置： 图示 位置 中性面位置 与中性面垂直的位置 特点 B⊥S B∥S Φ＝BS，最大 Φ＝0，最小 e＝n＝0，最小 e＝n＝nBSω，最大 感应电流为零， 方向改变 感应电流最大， 方向不变 知识点四：动生电动势与感生电动势的区别与联系 1.相当于电源的部分不同： 由于导体运动产生感应电动势时，运动部分的导体相当于电源，而由于磁场变化产生感应电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源． 2.ΔΦ的含义不同： 导体运动产生电动势，ΔΦ是由于导体线框本身的面积发生变化产生的．所以ΔΦ＝BΔS；而感生电动势，ΔΦ是由于ΔB引起的，所以ΔΦ＝SΔB. 3.动生电动势和感生电动势的相对性： 动生电动势和感生电动势的划分．在某些情况下只有相对意义，将条形磁铁插入线圈中，如果在相对于磁铁静止的参考系内观察．磁铁不动，空间中各点的磁场也没有发生变化．而线圈在运动，线圈中产生的是动生电动势，如果在相对线圈静止的参考系内观察，则看到磁铁在运动．引起空间磁场发生变化．因而，线圈中产生的是感生电动势．究竟把电动势看作动生电动势还是感生电动势，决定于观察者所在的参考系． 4.感生电动势与动生电动势的对比 感生电动势 动生电动势 产生原因 磁场的变化 导体做切割磁感线运动 移动电荷的非静电力 感生电场对自由电荷的电场力 导体中自由电荷所受洛伦兹力沿导体方向的分力 回路中相当于电源的部分　 处于变化磁场中的线圈部分 做切割磁感线运动的导体 方向判断方法 由楞次定律判断 通常由右手定则判断，也可由楞次定律判断 大小计算方法 由E＝n计算 通常由E＝Blvsin θ计算，也可由E＝n计算 知识点五：电磁感应中的电路问题 1.电磁感应中电路知识的关系图 2.“三步走”分析电路为主的电磁感应问题 策略1：第一步先分类（最关键）看磁通量ΔΦ来自哪里： ①只有B变，S不变 → 感生电动势E＝n ②B不变，导体运动、面积改变 → 动生电动势E=BLv（平动切割，瞬时）；E＝Bl2ω （转动切割） ③B在变、导体同时在动 → 两种电动势都存在，分开算，再看方向叠加（叠加规则：同向相加，反向相减） 策略2：感生电动势标准解题流程 ①读出； ②代入 E＝n； ③ 闭合电路欧姆定律求电流 I＝； ④楞次定律判断电流环绕方向； 重点：感生电场是闭合涡旋场，不存在电势高低，不要强行比较两点电势（高频坑）。 策略3：动生电动势标准解题流程 ①判断B、L、v是否两两垂直，不垂直取垂直分量；弯曲导体取两端连线为有效L； ②代入E=BLv（瞬时值）； ③ 导体棒=电源，右手定则：棒内部电流从低电势→高电势； ④后续：安培力、受力、动量定理、能量守恒（克服安培力做功等于焦耳热）。 策略4：混合叠加题型（难点） B随时间变，S随位移变 总电动势：E＝n=nS+n 第一项：感生贡献；第二项：动生贡献； 先分别算出两个电动势，再根据环绕方向判断正负，再求和。 策略5：图像题快速思路 B-t图像：斜率代表，斜率恒定→感生E恒定，电流恒定；斜率正负对应感应电流方向。 题型01：感生电动势 （一）磁场强度变化产生的感生电动势 【典型例题1】电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈。下列说法正确的是（　　） A．穿过线圈的磁通量为 B．永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大 C．永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小 D．永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向 【典型例题2】近场通信（NFC）器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC线圈共3匝，其边长分别为、和，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为，则线圈产生的感应电动势最接近（    ）      A． B． C． D． 【典型例题3】如图所示，面积为S闭合线圈放在磁场中，线圈平面与磁场垂直，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律是B＝Bmsint，则在一个周期内线圈中产生感应电动势最大的时刻（含0与T时刻）是（　　） A．0、0.25T B．0.75T C．0、0.5T、T D．0.25T、0.5T、T 【典型例题4】如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻。金属棒与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导 轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，始终保持静 止，下列说法正确的是（　　） A．中的感应电流方向由到逐渐减小 B．中的感应电流逐渐减小 C．所受的安培力保持不变 D．所受的静摩擦力逐渐减小 【典型例题5】如图所示，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝B0+kt，其中B0和k都是定值且均大于0。导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴的夹角均为θ，一电容为C的电容器（在磁场外）与导轨左端相连，电容器中静止一带电粒子A（受到的重力不计，图中未画出）。金属棒与x轴垂直并固定在导轨上，O点到金属棒的距离为x0。下列说法正确的是（　　） A．电容器的上极板带负电 B．电容器的电荷量为Ckx02tanθ C．带电粒子A运动到极板上之前的加速度越来越小 D．带电粒子A运动到极板上之前的加速度越来越大 【典型例题6】将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为，小圆面积均为，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小，和均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题7】（多选）如图所示，a、b两个闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，边长la＝4lb，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀增大，不考虑线圈之间的相互影响，则（　　） A．两线圈内产生顺时针方向的感应电流 B．a、b线圈中感应电动势之比为16∶1 C．a、b线圈中感应电流之比为16∶1 D．a、b线圈中电功率之比为64∶1 【典型例题8】面积、匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是，，，线圈电阻，求： （1）通过R的电流大小和方向； （2）电容器的电荷量。 【变式训练1-1-1】如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为，、k为常量，则图中半径为R的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1-2】拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带，两条平行长边镶有铜丝，将纸带一端扭转180°，与另一端连接，形成拓扑结构的莫比乌斯环，如图所示。连接后，纸环边缘的铜丝形成闭合回路，纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过，磁场区域的边界是半径为r的圆（r < R）。若磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B = kt（k为常量），则回路中产生的感应电动势大小为（　　） A．0 B．kπR2 C．2kπr2 D．2kπR2 【变式训练1-1-3】图为无线充电技术中使用的受电线圈示意图，线圈匝数为n，面积为S.若在t1到t2时间内，匀强磁场平行于线圈轴线向右穿过线圈，其磁感应强度大小由B1均匀增加到B2，则该段时间线圈两端a和b之间的电势差φa－φb(　　) A．恒为 B．从0均匀变化到 C．恒为－ D．从0均匀变化到－ 【变式训练1-1-4】三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1-6】将一根均匀电阻丝绕成半径为r的闭合圆环，其总电阻为R，置于匀强磁场中，如图所示，磁感应强度随时间变化的规律为B=kt，其中k为正的常数。弧ac所对圆心角为θ，则（　　） A．环中感应电流大小为 B．a、c两点间电压为 C．ac段的电功率为 D．t时刻ac段所受安培力大小为 【变式训练1-1-7】如图是简化的某种旋转磁极式发电机原理图。定子是仅匝数n不同的两线圈，n1＞n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是（　　） A．两线圈产生的电动势的有效值相等 B．两线圈产生的交变电流频率相等 C．两线圈产生的电动势同时达到最大值 D．两电阻消耗的电功率相等 【变式训练1-1-8】如图所示，线圈匝数为，横截面积为，线圈电阻为，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为，两个电阻的阻值均为。下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．通过线圈的电流强度为 C．电容器所带的电荷量为 D．电容器所带的电荷量为 【变式训练1-1-9】如图所示，将一通电螺线管竖直放置，螺线管内部形成方向竖直向上、磁感应强度大小B=kt的匀强磁场，在内部用绝缘轻绳悬挂一与螺线管共轴的金属薄圆管，其电阻率为、高度为h、半径为r、厚度为d（d≪r），则（　　） A．从上向下看，圆管中的感应电流为逆时针方向 B．圆管的感应电动势大小为 C．圆管的热功率大小为 D．轻绳对圆管的拉力随时间减小 【变式训练1-1-10】如图所示，间距为d的甲、乙两块水平金属板与一个匝数未知的线圈用导线连接，两板间有一台压力测量仪，在其水平表面静置一个质量为m、带电量为q的小球。线圈中无磁场，甲、乙板间无电场时，测量仪有示数；当线圈中存在方向竖直向下、磁通量变化率为k（k为常数）的磁场B时，测量仪示数变为原来的2倍。小球电荷量保持不变、重力加速度为g，线圈的电阻不计，则（　　） A．小球一定带正电 B．线圈的匝数为 C．在线圈中磁场B增大过程，甲极板电势低于乙极板电势 D．在线圈中磁场B减小过程，甲、乙极板电势相等 【变式训练1-1-11】如图所示，面积为0.2m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，已知磁感应强度随时间变化的规律为，与线圈相连的定值电阻，线圈电阻。其余电阻不计，求： （1）线圈磁通量的变化率为多少？回路中的感应电动势为多少？ （2）通过定值电阻R1的电流大小和方向？ （3）a、b两点间的电压为多少？ 【变式训练1-1-12】如图所示，质量为m、电阻为R的单匝矩形线框置于光滑水平面上，线框边长ab=L、ad=2L。虚线MN过ad、bc边中点。一根能承受最大拉力F0的细线沿水平方向拴住ab边中点O。从某时刻起，在MN右侧加一方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小按B=kt的规律均匀变化。 一段时间后，细线被拉断，线框向左运动，ab边穿出磁场时的速度为v。 求： (1)细线断裂前线框中的感应电动势大小E (2)细线断裂后瞬间线框的加速度大小a (3)线框离开磁场的过程中安培力所做的功W (4)线框穿出磁场过程中通过导线截面的电量 q 【变式训练1-1-13】如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P点和N、Q点间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯L1足够远。现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯恰好常工作。棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。 （1）求磁场移动的速度； （2）若保持磁场不移动（仍在cdfe矩形区域），而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯中有一灯正常工作且都有电流通过，设t=0时，磁感应强度为B0。试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt。 【变式训练1-1-14】如图所示，两个同种金属制成的正方形金属框和都放在纸面内，其边长分别为和，、两金属框金属丝的横截面积分别为和，的电阻为。金属框右端的小缺口和金属框左端的小缺口用导线相连，金属框右端的另一个小缺口用导线与滑动变阻器（最大阻值）连接。金属框左半边处在重直纸面向里的匀强磁场中，金属框内都存在垂直纸面向里的匀强磁场，导线电阻不计。 （1）若金属框中磁场的磁感应强度随时间均匀增大，其变化率为一已知常量，中磁场的磁感应强度不变，滑动变阻器接入电路阻值为，求流过滑动变阻器的电流； （2）若两金属框中磁场的磁感应强度均随时间均匀增大，其变化率都为已知常量，求金属框的最大功率； （3）若金属框中磁场方向变为垂直纸面向外，且两金属框中的磁场的磁感应强度均随时间均匀增大，其变化率都为已知常量，求滑动变阻器两端的最大电压。 【变式训练1-1-15】如图所示，固定在匀强磁场中的水平导轨ab、cd的间距L1=0.5m，金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2=0.8m，整个闭合回路的电阻为R=0.2Ω，t=0时磁感应强度为B0=1T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路。ad杆通过滑轮和轻绳连接着一个质量为m=0.04kg的物体，不计一切摩擦，现使磁场以=0.2T/s的变化率均匀地增大。（g=10m/s2）求： (1)感应电动势的大小和金属棒上电流的方向？ (2)经过多长时间物体刚好离开地面？ （二）其它变化产生的感生电动势 【典型例题】如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求 （1）在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值； （2）在时刻t（t＞t0）穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。 （3）如果面积为S的区域的均匀磁场的磁感应强度B1随时间t的变化关系为B1＝B0﹣kt，式中k为大于0的常量，在t＝0时刻，均匀磁场垂直于纸面向里。MN（虚线）右侧磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。在t0时刻金属棒以速度v越过MN时，撤掉外力，此后（t＞t0）金属棒恰好向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求速度v的大小（用k、S、B0、l表示）。 【变式训练1-2-1】某眼动仪可以根据其微型线圈在磁场中随眼球运动时所产生的电流来追踪眼球的运动。若该眼动仪线圈面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈平面最初平行于磁场，经过时间t后线圈平面逆时针转动至与磁场夹角为θ处，则在这段时间内，线圈中产生的平均感应电动势的大小和感应电流的方向（从左往右看）为（　　） A．，逆时针 B．，逆时针 C．，顺时针 D．顺时针 【变式训练1-2-2】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻。可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定（过程Ⅰ）；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于（　　） A． B． C． D．2 【变式训练1-2-3】如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3m2、电阻R＝0.6Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2T．现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在△t＝1.0s时间内合到一起。求线圈在上述过程中 （1）感应电动势的平均值E； （2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向； （3）通过导线横截面的电荷量q。 （3） 感生电动势的图像计算 【典型例题1】如图甲所示，一个环形导线线圈电阻为r，其面积为S，位于一垂直于环形面向里的匀强磁场中，磁场磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。有一电阻R将其两端分别与图中的环形线圈a、b相连，其余电阻不计，在时间内，下列说法正确的是（　　） A．a、b间的电压大小，a点电势高于b点 B．a、b间的电压大小，a点电势低于b点 C．流过R的电流大小，方向从上到下 D．流过R的电流大小，方向从下到上 【典型例题2】如图甲所示，在水平桌面上，一个面积为S、电阻为r的圆形金属框置于磁场中，线框平面与磁场垂直，磁感应强度B1随时间t的变化关系如图乙所示。在0~1 s内磁场方向垂直线框平面向下，圆形金属框与一个电阻不计的水平平行金属导轨相连接，水平导轨上放置一根导体棒，导体棒的长为L、电阻为R，且与导轨接触良好，导体棒处于另一匀强磁场中，其磁感应强度值为B2，方向垂直导轨平面向下。若导体棒始终保持静止，则其所受的静摩擦力Ff随时间变化的图像是下图中的（设水平向右为静摩擦力的正方向）（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】(多选) 如图甲所示，边长为10cm、电阻为的单匝闭合正方形导线框abcd放在粗糙绝缘的水平面上。线框对称轴右侧处于方向竖直、分布均匀的磁场中，磁感应强度B随时间t变化的正弦规律如图乙所示（以竖直向上为正，线框始终处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．t=1s时刻，穿过线框的磁通量为40Wb B．t=2s时刻，线框中的感应电流方向为adcba C．t=2.5s时刻，线框有向右运动的趋势 D．0~1s内，通过线框某一横截面的电荷量为0.02C 【典型例题4】(多选) 如图所示，半径为r、电阻为R的单匝圆形线框静止于绝缘水平面上，以圆形线框的一条直径为界，其左、右两侧分别存在着方向如图甲所示的匀强磁场，以垂直纸面向里的磁场为正，两部分磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律分别如图乙所示。 则0~t0时间内，下列说法正确的是（  ） A．时刻线框中磁通量为零 B．线框中电流方向为顺时针方向 C．线框中的感应电流大小为 D．线框受到地面向右的摩擦力为 【典型例题5】如图甲所示的螺线管，线圈匝数n=2000，横截面积为S=10cm2，电阻r=1Ω，与螺线管串联的外电阻R1=4Ω，R2=3Ω，向右穿过螺线管的匀强磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。求： （1）螺线管产生的感应电动势大小； （2）电路中电流的大小； （3）螺线管两端的电压大小，并说明M、P两点哪点相当于电源正极。 【典型例题6】如图甲所示，MN、PQ是两根间距为L＝0.5 m，倾角为θ＝30°的平行导轨，导轨顶端连接阻值为R＝0.2 Ω的电阻。一根质量为m＝0.5 kg的导体棒ab，垂直于导轨静置，与导轨顶端距离也为L，导体棒跨接在两导轨间的电阻也为R，其与导轨间的动摩擦因数μ＝。磁场垂直于斜面且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示，规定垂直斜面向上为正方向，整个过程导体棒ab恰好保持静止。导轨电阻不计，重力加速度g＝10 m/s2。试求： (1)磁感应强度的最大值B1； (2)经过t＝4 s导体棒产生的焦耳热。 【变式训练1-3-1】图甲为一闭合线圈，匝数为1000匝、面积为20cm2、电阻为3Ω，线圈处于一垂直纸面向里的匀强磁场中，从t＝0开始磁场按如图乙所示规律变化，则（　　） A．t＝1s时线圈中电流为逆时针方向 B．线圈中感应电动势大小为3V C．前4s通过导线某截面的电荷量为0C D．第2s瞬间无感应电流 【变式训练1-3-2】如图甲所示，正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直。磁感应强度B随时间t变化规律如图乙所示。在0～0.2s时间内与0.2s～0.6s时间内（　　） A．通过金属框的电荷量之比为2∶1 B．金属框中电流的电功率之比为4∶1 C．金属框中产生的焦耳热之比为4∶1 D．金属框ab边受到安培力方向相反，大小之比为3∶1 【变式训练1-3-3】用电阻率为ρ、横截面积为S的硬质导线，做成边长为2R的正方形导线框，垂直导线框所在平面的磁场充满其内接圆形区域。时磁感应强度的方向如图甲所示，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，则在到的时间内（　　） A．时刻磁通量大小为 B．导线框中产生的热量为 C．导线框中的感应电流大小为 D．导线框中的感应电流方向先沿顺时针方向后沿逆时针方向 【变式训练1-3-4】三角形导线框abc固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，规定线框中感应电流i沿顺时针方向为正方向，下列i﹣t图象中正确的是（　　） A．B． C．D． 【变式训练1-3-5】如图甲所示，单匝矩形金属线框ab d处在垂直于线框平面的匀强磁场中，线框面积S＝0.3m2，线框连接一个阻值R＝3Ω的电阻，其余电阻不计，线框cd边位于磁场边界上。取垂直于线框平面向外为磁感应强度B的正方向，磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．0﹣0.4s内线框中感应电流沿逆时针方向 B．0.4﹣0.8s内线框有扩张的趋势 C．0﹣0.8s内线框中的电流为0.1A D．0～0.4s内ab边所受安培力保持不变 【变式训练1-3-6】将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面内。回路的ab边置于磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场I中，回路的圆环区域内有竖直方向的磁场II，以竖直向下为磁场II的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示，导线的总电阻为R，圆环面积为S，ab边长为L，则下列说法正确的是（　　） A．在0~时间内，通过ab边的电流方向先从b→a再从a→b B．在0~时间内，流过ab边的电荷量为 C．在0~T时间内，ab边受到的安培力大小始终为 D．在0~T时间内，ab边受到的安培力方向先向右再向左 【变式训练1-3-7】(多选) 如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（　　） A．在时，金属棒受到安培力的大小为 B．在t=t0时，金属棒中电流的大小为 C．在时，金属棒受到安培力的方向竖直向上 D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右 【变式训练1-3-8】(多选) 如图1所示，匝数为10、面积为0.04m2的线圈与光滑平行斜导轨连接（且共面），导轨的倾角θ=30°，间距为0.5m，导轨间存在磁感应强度大小B1=0.8T、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场。一长为0.5m、质量为0.8kg的导体棒ab由静止释放，ab最终以5m/s的速度沿导轨匀速运动。若把ab轻放在图示位置，在线圈处加上方向垂直线圈平面的匀强磁场，其磁感应强度大小B2随时间t变化的关系图像如图2所示，导轨处磁场不变，则ab恰好保持静止状态。整个过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度g取10m/s2.则下列说法正确的是（　　） A．导体棒ab沿导轨匀速运动时产生的感应电动势为2V B．导体棒ab的电阻为0.2Ω C．线圈处的磁场方向垂直线圈平面向上 D．图2中B0=14T 【变式训练1-3-9】(多选) 轻质细线吊着一质量为m=0.32kg、边长为L=0.8m、匝数n=10的正方形线圈，总电阻为R=1Ω。如图甲所示，边长为的正方形磁场区域对称分布在线圈下方的两侧，磁场方向垂直纸面向里，大小随时间变化如图乙所示。从t=0开始经t0时间细线开始松弛，则（g取10m/s2）（　　） A．t=0时刻穿过线圈的磁通量为0.8Wb B．在前t0时间内线圈中产生的电动势为0.4V C．t=0时刻的线圈受到的安培力为0.016N D．t0的数值为2s 【变式训练1-3-10】 如图甲所示，虚线左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为；左侧匀强磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一硬质细导线的电阻率为、横截面积为，将该导线做成半径为的圆环固定在纸面内，圆心在上。求： （1）时，圆环受到的安培力； （2）在内，通过圆环的电荷量。 【变式训练1-3-11】 如图甲所示，用粗细均匀的导线制成的一只单匝正方形金属框，现被一根绝缘丝线悬挂在竖直平面内处于静止状态，已知金属框的质量为m，边长L，金属框的总电阻为R，金属框的上半部分处在方向垂直框面向里的有界磁场中（磁场均匀分布），下半部分在磁场外，磁场的磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，丝线能承受的最大拉力为F，从t＝0时刻起，测得经过t0=5s，丝线刚好被拉断，金属框由静止开始下落。金属框在下落过程中上边框离开磁场前已开始做匀速直线运动，金属框始终在竖直平面内且未旋转，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)0-5s内，金属框产生感应电流方向以及磁感应强度B0的大小； (2)金属框的上边框离开磁场前做匀速直线运动的速度v的大小。 【变式训练1-3-12】 如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨、固定在水平面内，相距为L，轨道端点M、P间接有阻值为R的电阻，导轨电阻不计长度为L、质量为m、电阻为r的金属棒垂直于、静止放在导轨上，与间的距离为d，棒与导轨接触良好。时刻起，整个空间加一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t的变化规律如图乙所示，图中、已知。 (1)若时刻棒的速度大小为v，求时间内安培力对棒所做的功W； (2)在时间内，若棒在外力作用下保持静止，求此时间内电阻R产生的焦耳热Q。 【变式训练1-3-13】 如图甲所示，N匝线圈b与阻值为R的电阻构成闭合回路，已知线圈b的半径为2r，总电阻为R0。半径为r的圆形区域a内存在周期性变化的磁场，磁场与线圈b垂直，规定图中所示磁场方向为正方向。磁感应强度变化规律如图乙所示，最大值为B0，周期为T。 (1)求时刻回路中感应电动势的大小； (2)通过计算在图丙中画出i­-t图像（规定回路中逆时针方向为电流正方向）； (3)求一个周期T内电阻R产生的热量Q。 【变式训练1-3-14】 如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路，线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计，在0至t1时间（R、n、r1、r2、t0、B0π为已知量） （1）判断a、b两点的电势高低； （2）求a、b两点的电势差Uab。 【变式训练1-3-15】 如图甲所示，质量m=6.0×10-3g、边长L=0.20m、电阻R=1.0Ω的正方形单匝金属线框abcd，置于倾角α=30°的绝缘斜面上，ab边沿水平方向，线框的上半部分处在垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t按图乙所示的规律周期性变化，若线框在斜面上始终保持静止，取g=10m/s2。试求： (1)在0-2.0×10-2s间内线框中产生的感应电流大小； (2)在t=1.0×10-2s时线框受到斜面的摩擦力； (3)一个周期内感应电流在线框中产生的平均电功率。 【变式训练1-3-16】 如图甲所示，在一倾角为37°的粗糙绝缘面上，静止地放置着一个正方形单匝线圈ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，线圈总电阻R=2.0Ω、总质量m=0.02kg、正方形边长L=0.4m。如果向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑。现在将线圈静止放在斜面上后，在虚线EF以下的区域中，加上垂直斜面向内的、磁感应强度大小按图乙中所示规律变化的磁场，（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)t=0.1s时刻，线圈中的感应电流的大小I； (2)从t=0时刻开始经过多少时间t线圈刚要开始运动； (3)从t=0时刻开始到线圈刚要运动，线圈中产生的热量Q。 题型02：动生电动势 （一）导体棒平动切割产生感应电动势 【典型例题1】如图所示，水平面内光滑的平行长直金属导轨间距为，左端接电阻，导轨上静止放有一金属棒。正方形虚线框内有竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场，该磁场正以速度匀速向右移动，则（　　） A．电阻两端的电压恒为 B．电阻中有从向的电流 C．导体棒以速度向左运动 D．导体棒也向右运动，只是速度比小 【典型例题2】如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是（　　） A．通过金属棒的电流为 B．金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为 C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电 D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定 【典型例题3】如图所示，两条电阻不计的平行导轨与水平面成θ角，导轨的一端连接定值电阻R1，匀强磁场垂直穿过导轨平面．一根质量为m、电阻为R2的导体棒ab，垂直导轨放置，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，且R2＝2R1．如果导体棒以速度v匀速下滑，导体棒此时受到的安培力大小为F，则棒匀速运动过程中以下判断正确的是（　　） A．电阻R1消耗的电功率为Fv B．通过棒的电流方向为a到b C．重力做功的功率为mgvcosθ D．运动过程中棒减少的机械能全部转化为电能、摩擦热和焦耳热 【典型例题4】如图，固定于水平面上的金属架处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒沿框架以速度向右做匀速运动。时，磁感应强度为，此时到达的位置恰好使构成一个边长为的正方形。为使棒中不产生感应电流，磁感应强度变化规律的图像为（　　） A． B． C． D． 【典型例题5】如图，足够长的间距d＝1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B＝0.5T，方向如图所示。一根质量ma＝0.1kg，阻值Ra＝1.0Ω的金属棒a以v0＝4m/s的初速度从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb＝0.2kg，阻值Rb＝1.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。 （1）求金属棒a刚进入磁场时棒a两端的电压U0； （2）求金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量Q； （3）通过计算判断金属棒a能否再次穿过磁场区域。 【典型例题6】如图，一边长为l0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大小随x（）变化的关系式。 【变式训练2-1-1】浮桶式灯塔模型如图甲，其由带空腔的磁体和一个连着灯泡的线圈组成，磁体在空腔产生的磁场如图乙所示，磁体通过支柱固磁体定在暗礁上，线圈随波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，则浮桶线圈（　　） A．当海面平静时，灯泡稳定发光 B．当海水水平匀速流动时，灯泡稳定发光 C．海水上下震荡幅度越大，灯泡发光越亮 D．海水上下震荡速度越快，灯泡发光越亮 【变式训练2-1-2】飞机在北半球的上空以速度v从东向西水平飞行，飞机机身长为a，机翼两端点的距离为b。该空间地磁场的磁感应强度的竖直分量为，水平分量为。设驾驶员左侧机翼的端点为C，右侧机翼的端点为D，两点间的电压为U，则（　　） A．，且C点电势高于D点电势 B．，且C点电势低于D点电势 C．，且C点电势高于D点电势 D．，且C点电势低于D点电势 【变式训练2-1-3】如图所示，abcd为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场、磁感应强度大小为B，导轨电阻不计．已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)，则(　　) A．电路中感应电动势的大小为 B．电路中感应电流的大小为 C．金属杆所受安培力的大小为 D．金属杆的热功率为 【变式训练2-1-4】如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E；将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′．则等于(　 　) A． B． C．1 D． 【变式训练2-1-5】如图所示，MN、PQ为两平行金属导轨，M、P间连有一阻值为R的电阻，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度为B，磁场方向与导轨所在平面垂直，图中磁场垂直纸面向里.有一金属圆环沿两导轨滑动，速度为v，与导轨接触良好，圆环的直径d与两导轨间的距离相等.设金属环与导轨的电阻均可忽略，当金属环向右做匀速运动时 A．有感应电流通过电阻R，大小为 B．有感应电流通过电阻R，大小为 C．有感应电流通过电阻R，大小为 D．没有感应电流通过电阻R 【变式训练2-1-6】水平导轨左端接电阻R，导轨电阻不计，垂直导轨方向有匀强磁场，导轨宽为d，垂直导轨放一不计电阻的导体棒，当导体棒以速度v匀速向右运动时，回路会有一个电流，之后把导体棒固定在离电阻距离也是d的地方，磁感应强度随时间均匀变化，在回路中也产生相同的电流，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度的变化率磁场一定增加，与磁场的方向无关 B．磁感应强度的变化率磁场一定减少，与磁场的方向无关 C．磁感应强度的变化率磁场一定增加，与磁场的方向无关 D．磁感应强度的变化率磁场增加减少与磁场的方向有关 【变式训练2-1-7】迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为，地球半径为R，质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1-8】某电子天平原理如图所示，“E”形磁铁的两侧为N极，中心为S极。两极间的磁感应强度大小均为B（其余空间的磁场忽略不计），磁极宽度均为L，—正方形线圈套于中心磁极上，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接，当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动（骨架与磁铁不接触）。随后通过CD两端对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量。已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．秤盘和线圈一起向下运动过程中，C点电势低于D点电势 B．外电路对线圈供电电流I要从C端流入 C．称盘和线圈下落过程中线圈的磁通量为零，所以不产生感应电动势 D．若线圈静止时消耗的最大电功率为P，该电子天平能称量的最大质量为 【变式训练2-1-9】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，导体棒静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好，电容足够大，原来不带电；现使导体棒沿导轨向右运动，初速度为，设导体棒的速度为、动能为、两端的电压为，电容器上的电荷量为。下列图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1-10】如图，空间中存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2 T，足够长的“U”形金属导轨与电阻R连接后倾斜放置，导轨间距L=1 m，与水平面的夹角θ=37°，现将质量m=0.1 kg 的金属棒从导轨上由静止释放。已知R=6 Ω，金属棒的阻值r=2 Ω，导轨的电阻不计，金属棒与导轨间的摩擦不计，sin37°=0.6， cos37°=0.8， g=10 m/s2，则（　　） A．金属棒的最大加速度为6 m/s2 B．金属棒的最大速度为1. 875 m/s C．金属棒的最大速度为2.5 m/s D．1秒钟内通过电阻R的最大电量为0.375 C 【变式训练2-1-11】如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中．一导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动．质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态．不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力． (1)通过ab边的电流Iab是多大？ (2)导体杆ef的运动速度v是多大？ 【变式训练2-1-12】如图所示，bacd为静止于水平面上宽度为L，而长度足够长的U型金属滑轨，ac边接有电阻R，其他部分电阻不计．ef为一可在滑轨平面上滑动，质量为m的均匀导体棒．整个滑轨面处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，忽略所有摩擦． (1)若用恒力F沿水平方向向右拉棒，使其平动，求导体棒的最大速度． (2)若导体棒从开始运动到获得最大速度发生的位移为s，求这一过程中电阻R上产生的热量Q. 【变式训练2-1-13】如图甲所示，两根相距、电阻不计的平行且足够长光滑金属导轨水平放置，一端与阻值的电阻相连。导轨间存在磁感应强度沿轴正方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直且垂直纸面向内，图像如图乙所示。一根电阻的金属棒置于导轨上，始终与导轨垂直并接触良好。金属棒在外力作用下从处以初速度沿导轨向右运动，运动过程中通过电阻的电流不变，求： （1）金属棒端和端，哪一端的电势高，及通过金属棒的电流大小； （2）金属棒运动到处的速度大小； （3）金属棒从处运动到处的过程中克服安培力做功的大小。 【变式训练2-1-14】如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。 （1）求金属杆中的电流和水平外力的功率； （2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为，求： （i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热； （ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。 【变式训练2-1-15】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦． (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的最大速度． 【变式训练2-1-16】如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度．已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计． （二）线框平动切割磁感线产生电动势 【典型例题】(多选)如图所示，在0≤x≤3L的区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，粗细均匀的正方形金属线框abcd位于xOy平面内，线框的bc边与x轴重合，cd边与y轴重合，线框的边长为L，每条边的电阻为R。现让线框从图示位置由静止开始沿x轴正方向以加速度a做匀加速直线运动，则下列说法正确的是(　　) A．进入磁场时，线框中的电流沿abcda方向，出磁场时，线框中的电流沿adcba方向 B．进入磁场时，c端电势比d端电势高，出磁场时，b端电势比a端电势高 C．a、b两端电压的最大值为BL D．线框中的最大电功率为 【变式训练2-2-1】如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（   ）    A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【变式训练2-2-2】如图所示，一个边长为l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框．在t＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域．以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正．下列表示i—t关系的图示中，可能正确的是(　　) 【变式训练2-2-3】（多选）如图所示，将一个与匀强磁场垂直的正方形多匝线圈从磁场中匀速拉出的过程中，拉力做功的功率(　　) A．与线圈匝数成正比 B．与线圈边长的平方成正比 C．与导线的电阻率成正比 D．与导线横截面积成正比 【变式训练2-2-4】（多选）如图是一种精确测量质量的装置原理示意图，竖直平面内，质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度不变。测量分两个步骤，步骤①：托盘内放置待测物块，其质量用m表示，线圈中通大小为I的电流，使称重框架受力平衡；步骤②：线圈处于断开状态，取下物块，保持线圈不动，磁场以速率v匀速向下运动，测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值，重力加速度为g。下列说法正确的有（    ） A．线圈电阻为 B．I越大，表明m越大 C．v越大，则E越小 D． 【变式训练2-2-5】如图所示，电阻为的正方形单匝线圈的边长为，边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为。在水平拉力作用下，线圈以的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中： (1)感应电动势的大小E； (2)所受拉力的大小F； (3)感应电流产生的热量Q。 （三） 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 【典型例题1】如图，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面（纸面）向里，磁感应强度大小为B0。使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小从B0开始在Δt时间内均匀减小到零。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，Δt应为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘。现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动。O、A、C点电势分别为φ0、φA、φC，则（   ）    A．φO > φC B．φC > φA C．φO = φA D．φO－φA = φA－φC 【典型例题3】如图所示，边长为L、电阻为R的正方形单匝导线框abcd放于纸面内，在ad边的左侧有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，现使导线框绕过a点且平行于磁场方向的轴以角速度沿顺时针方向匀速转动，在导线框转过45º的过程中（　　） A．导线框产生沿逆时针方向的感应电流 B．导线框经过虚线位置时产生的瞬时感应电动势大小为 C．导线框受到的安培力逐渐增大，方向不断变化 D．流过导线框的电荷量为 【典型例题4】（多选）如图所示，将半径分别为和的同心圆形金属导轨固定在同一绝缘水平面内，两导轨之间接有阻值为的定值电阻和一个电容为的电容器，整个装置处于磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场中。将一个长度为、阻值为的金属棒置于圆导轨上面，、、三点共线，在外力的作用下金属棒以为转轴顺时针匀速转动，转动周期为，假设金属棒在转动过程中与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属棒在经过和时互不干扰。下列说法正确的是（　　） A．点的电势高于点的电势 B．电容器的上极板带正电 C．通过电阻的电流为 D．电容器的电荷量为 【典型例题5】如图甲所示，ACD是固定在水平面上的半径为2r、圆心为O的金属半圆弧导轨，EF是半径为r、圆心也为O的半圆弧，在半圆弧EF与导轨ACD之间的半圆环区域内存在垂直导轨平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，B随时间t变化的图象如图乙所示．OA间接有电阻P，金属杆OM可绕O点转动，M端与轨道接触良好，金属杆OM与电阻P的阻值均为R，其余电阻不计。 （1）0～t0时间内，OM杆固定在与OA夹角为θ1＝的位置不动，求这段时间内通过电阻P的感应电流大小和方向； （2）t0～2t0时间内，OM杆在外力作用下以恒定的角速度逆时针转动，2t0时转过角度θ2＝到OC位置，求电阻P在这段时间内产生的焦耳热Q。 【变式训练2-3-1】空间存在范围足够大、竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，在其间竖直固定两个相同的、彼此正对的金属细圆环a、b，圆环a在前、圆环b在后。圆环直径为d，两环间距为L、用导线与阻值为R的外电阻相连，如图所示。一根细金属棒保持水平、沿两圆环内侧做角速度为ω的逆时针匀速圆周运动（如图），金属棒电阻为r。棒与两圆环始终接触良好，圆环电阻不计。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒在最低点时回路电流为零 B．金属棒在圆环的上半部分运动时（不包括最左和最右点），a环电势低于b环 C．从最高点开始计时，回路电流的瞬时值为isinωt D．电阻R两端电压的有效值为U 【变式训练2-3-2】连接一电阻M。金属棒一端固定在O点，另一端P绕过O点的轴，在水平面内以角速度为逆时针匀速转动，该过程棒与圆弧良好接触。半圆弧内磁场垂直纸面向外，半圆弧外磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B，已知金属棒由同种材料制成且粗细均匀，棒长为2l、总电阻为2r，M阻值为r，其余电阻忽略不计。当棒转到图中所示的位置时，棒与圆弧的接触处记为Q点，则（　　） A．通过M的电流方向为 B．通过M的电流大小为 C．QO两点间电压为 D．PQ两点间电压为 【变式训练2-3-3】如图，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-4】如图所示，一导体圆环位于纸面内，O为圆心。环内两个圆心角为90°的扇形区域内分别有匀强磁场，两磁场磁感应强度的大小相等，方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM可绕O转动，M端通过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻R。杆OM以匀角速度逆时针转动，时恰好在图示位置。规定从b到a流经电阻R的电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从开始转动一周的过程中，电流随变化的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3-5】如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（　　）    A．  B．  C．  D．   【变式训练2-3-6】如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，随轴以角速度匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其它电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．棒产生的电动势为 B．微粒的电荷量与质量之比为 C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为 【变式训练2-3-7】（多选）如图所示，用粗细均匀的铜导线制成半径为r、电阻为4R的圆环，PQ为圆环的直径，在PQ的左右两侧均存在垂直圆环所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，但方向相反。一根长为2r、电阻为R的金属棒MN绕着圆心O以角速度ω顺时针匀速转动，金属棒与圆环紧密接触。下列说法正确的是（　　） A．金属棒MN中的电流大小为 B．图示位置金属棒MN两端的电压为 C．金属棒MN在转动一周的过程中电流方向不变 D．在转动一周的过程中，金属棒MN上产生的焦耳热为 【变式训练2-3-8】（多选）如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨和，与平行，是以O为圆心的圆弧导轨，圆弧左侧和扇形内有方向如图的匀强磁场，金属杆的O端与e点用导线相接，P端与圆弧接触良好，初始时，可滑动的金属杆静止在平行导轨上，若杆绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（　　） A．杆产生的感应电动势恒定 B．杆受到的安培力不变 C．杆做匀加速直线运动 D．杆中的电流逐渐减小 【变式训练2-3-9】（多选）如图所示是圆盘发电机的示意图：铜盘安装在水平的铜轴上，两块铜片C与D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为L，垂直于铜盘下半部分的匀强磁场的磁感应强度为B，回路的总电阻为R，从左往右看，铜盘以角速度沿顺时针方向匀速转动，则（　　） A．由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流 B．回路中感应电流大小不变，为 C．回路中有周期性变化的感应电流 D．回路中感应电流方向不变，为 【变式训练2-3-10】（多选）如图，过P点的虚线上方存在方向垂直于纸面的匀强磁场。一金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动，O为圆环的圆心，OP为圆环的半径。则（   ） A．圆环中感应电流始终绕O逆时针流动 B．OP与虚线平行时圆环中感应电流最大 C．圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同 D．圆环在磁场内且OP与虚线垂直时环中感应电流最大 【变式训练2-3-11】（多选）将一均匀导线围成一圆心角为的扇形导线框，其中，圆弧的圆心为点，将导线框的点置于如图所示的直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小均为，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度大小为。从时刻开始让导线框以点为圆心，以恒定的角速度沿逆时针方向做匀速圆周运动，假定沿方向的电流为正，则线框中的电流随时间变化的规律描绘不正确的是（　　） A．B．C．D． 【变式训练2-3-12】如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值。 （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 （四）线圈转动切割磁感线产生电动势 【典型例题1】如图所示，边长为1m、电阻为0.04Ω的刚性正方形线框 abcd 放在强磁场中，线框平面与磁场B垂直。若线框固定不动，磁感应强度以均匀增大时，线框的发热功率为P；若磁感应强度恒为0.2T，线框以某一角速度绕其中心轴匀速转动时，线框的发热功率为2P，则ab边所受最大的安培力为（　　） A． N B． C．1N D． 【典型例题2】如图所示，边界MN的左侧区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。磁感应强度大小为B，等腰梯形铜线框HIPQ的HI和PQ边的中点位于MN上，从上往下看线框绕MN顺时针匀速转动，角速度为。已知铜线框粗细均匀，上底长为a，下底长为2a，，从垂直于纸面的方向看，当线框HIPQ与MN重合的瞬间，感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】(多选)如图所示，闭合的矩形导体线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿顺时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈匝数为n，ab边的边长为L1，ad边的边长为L2，线圈电阻为R，转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时(　　) A．线圈中感应电流的方向为abcda B．线圈中的感应电动势为2nBL2ω C．穿过线圈的磁通量随时间的变化率最大 D．线圈ad边所受安培力的大小为，方向垂直纸面向里 【变式训练2-4-1】如图所示，N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L，线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动，ab边距轴。线圈中感应电动势的有效值为(　　) A．NBL2ω B．NBL2ω C．NBL2ω D．NBL2ω 【变式训练2-4-2】如图甲所示为一台小型旋转电枢式交流发电机的构造示意图，内阻r＝1 Ω，外电路电阻R1＝R2＝18 Ω，电路中其余电阻不计。发电机的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴转动，线圈匝数n＝10，转动过程中穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按正弦规律变化，如图乙所示，取π＝3.14，则(　　) A．t＝1.57×10－2 s时，该小型发电机的电动势为零 B．t＝3.14×10－2 s时，矩形线圈转到中性面位置 C．串联在外电路中的交流电流表的示数为2 A D．感应电动势的最大值为20 V 【变式训练2-4-3】如图所示，甲→乙→丙→丁→甲过程是交流发电机发电的示意图，线圈的ab边连在金属滑环K上，cd边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上，线圈在匀速转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。已知线圈转动的角速度为ω，转动过程中电路中的最大电流为Im。下列选项正确的是(　　) A．在图甲位置时，线圈中的磁通量最大，感应电流为零 B．从图乙位置开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系式为i＝Imsin ωt C．在图丙位置时，线圈中的磁通量最大，磁通量的变化率也最大 D．在图丁位置时，感应电动势最大，cd边电流方向为c→d 【变式训练2-4-4】（多选)发电机的示意图如图甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，图乙中的Um为已知量。则金属框转动一周(　　) A．框内电流方向不变 B．电动势的最大值为Um C．流过电阻的电荷量q＝ D．电阻产生的焦耳热Q＝ 题型03：感生和动生综合问题 【典型例题1】如图甲所示，固定在水平面上电阻不计的光滑金属导轨，间距d=3m，导轨右端连接一阻值为的小灯泡L。在CDEF矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化如图乙所示，CF长为2m。在时刻，电阻不计的金属棒ab在水平恒力F作用下，由静止开始沿导轨向右运动。金属棒从图中位置运动到EF位置的整个过程中，通过小灯泡的电流强度始终没有发生变化。求： (1)通过小灯泡的电流强度； (2)恒力F的大小； (3)金属棒进入磁场前做匀加速直线运动的加速度大小。 【典型例题2】如图甲所示，水平放置的平行长直金属导轨MN、PQ，间距为L，导轨右端接有阻值为R的电阻，导体棒EF垂直放置在两导轨上并与导轨接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计。导轨间直径为L的圆形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示。在外力作用下，导体棒EF从t=0时开始向右运动，在t=t0时进入圆形磁场区域，通过磁场区域的速度大小始终为v。求： （1）0~t0时间内，流过R的电流大小I及方向； （2）导体棒通过圆形磁场区域的过程中受到安培力的最大值Fm； （3）导体棒通过圆形磁场区域的过程中，通过电阻R的电荷量q。 【典型例题3】如图甲所示，水平面上固定一个10匝的边长为、电阻为的正方形线圈，线圈端点a、b通过导线与间距为的足够长平行倾斜金属导轨相连，导轨与水平方向的夹角，金属杆质量为，电阻为，放在导轨足够高处与导轨垂直且接触良好。已知整个线圈处于竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，从时刻起该磁场不再变化；倾斜导轨处于垂直于轨道平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，忽略其余电阻，重力加速度为，已知时间内金属杆刚好不下滑，设最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，求： (1)时间内，两点之间的电势差； (2)时刻后，从静止开始下滑，求所能达到的最大速度； (3)从开始下滑到速度过程中，沿导轨下滑的距离为，求该过程上产生的焦耳热Q。 【典型例题4】如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二者的交线与轨道垂直，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向下为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，区域I（−2L ≤ x < −L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t均匀增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R的匀质正方形闭合金属框epqf时放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自感。 (1)若金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v和释放时pq边与区域I上边界的距离s； (2)金属框沿轨道下滑，当ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为v0，若，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef边移动的距离d。 【变式训练3-1】 “福建号”航母装备了最先进的电磁弹射装置，某兴趣小组设计制作了该电磁弹射装置的简易模型，其加速和减速过程如下所述。如图所示，两根足够长的平直轨道和固定在水平面上，轨道电阻忽略不计，其中左侧为光滑金属轨道，右侧为粗糙绝缘轨道，间接有定值电阻。沿轨道建立轴，坐标原点与点重合。左侧分布有垂直于轨道平面向下的匀强磁场，右侧分布有垂直于轨道平面向下、沿轴渐变的磁场。现将一质量为、长度为、电阻为的金属棒垂直放置在轨道上，放置位置位于的左侧。的右方还有质量为、各边长均为的形框，其电阻为，开始时形框恰好不与左侧的光滑金属轨道接触。棒在恒力作用下向右运动，到达前已匀速。当棒运动到处时撤去恒力，随后与形框发生碰撞，碰后连接成“”字形闭合线框，并一起运动，后续运动中受到与运动方向相反的阻力，阻力大小与速度大小满足。已知，，，，，。 （1）金属棒在左侧运动时，比较、两点的电势高低，___________（填写“>” “<”或“ =”）； （2）求金属棒与形框碰撞前速度的大小； （3）①求“”字形线框停止运动时，边的坐标； ②求形框在运动过程中产生的焦耳热。 【变式训练3-2】如图甲所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨PQF、MNE相距L=1.6m，轨道的PQ和MN段为圆弧轨道，分别与固定在水平面上的QF段和NE段平滑连接，轨道右端足够长。金属杆ab和cd锁定在图示位置，此时杆ab距离水平轨道的竖直高度为h=0.8m，杆cd到圆弧轨道末端的距离为x=2.5m，杆ab和cd与两金属导轨垂直且接触良好，已知杆ab、cd的质量均为m=0.4kg、电阻均为R=0.4Ω，金属导轨的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，取重力加速g=10m/s2。 (1)求0～2s内通过杆ab感应电流的大小和方向； (2)t=2s时刻自由释放杆ab，保持杆cd处于锁定状态，待杆ab进入磁场运动x1=0.125m时，立即解除杆cd锁定，求：从t=0开始计时杆cd中产生的焦耳热。 【变式训练3-3】如图所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距L，导轨下端连接电阻R，质量为m、金属杆ab与导轨垂直并接触良好，金属杆及导轨电阻不计，在矩形区域cdfe内有垂直于纸面向里的匀强磁场，ce距离为H，cdfe区域内磁场的磁感应强度B随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0时刻，将金属杆从ab位置由静止释放，在t1时刻进入磁场，离开磁场时的速度为进入磁场时速度的一半，已知重力加速度为g，求： (1)金属杆刚进入磁场时的加速度大小； (2)从金属杆开始下落到离开磁场的过程，回路中产生的焦耳热。 【变式训练3-4】如图所示，水平面内固定两根间距L=1m的长直平行光滑金属导轨PQ、MN，其Q、N端接有阻值R=1.5Ω的电阻，一质量m=0.1kg、阻值r=0.5Ω的导体棒ab垂直于导轨放置于距QN端d=2m处，且与两导轨保持良好接触。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示。在0~1s内，为了保持ab棒静止，在棒的中点施加一平行于导轨平面的外力F0（未知）；1s后改用F=0.5N的水平向左的恒力拉动ab棒，ab棒从静止开始沿导轨运动距离x=4.8m时速度恰好达到最大值。ab棒运动过程中始终与导轨保持垂直，导轨电阻不计。求： (1)t=1s时外力F0的大小和方向； (2)ab棒的最大速度vm； (3)从t=0到ab棒运动距离x=4.8m的过程，电阻R上产生的焦耳热QR。 【变式训练3-5】如题图所示，两根固定的平行金属导轨由光滑的倾斜部分与粗糙的水平部分组成（c、d处平滑连接），两部分导轨的间距均为L=0.5m，导轨的右端、间接有定值电阻R1=1Ω，金属导轨的电阻忽略不计。倾斜导轨与水平面夹角为，整个导轨所在空间存在竖直向上的匀强磁场B1=2T。在ab位置处垂直导轨横放一导体棒与金属导轨构成回路，导体棒接入回路中的电阻为R2=1Ω、质量为m=0.4kg，导体棒与水平导轨的动摩擦因数为=0.5。在金属导轨ab两端通过开关K与电阻为r=0.5Ω的多匝金属线圈相连（图中只画了一匝线圈表示），线圈匝数为N=100匝，线圈面积为S=0.6m2，线圈内存在竖直向上的均匀变化的磁场B2已知重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）若将开关K闭合，导体棒恰能静止在ab位置，则磁场B2是在增强，还是减弱？并求出其变化率的大小； （2）将开关K断开，撤去磁场B2，使导体棒由静止释放，棒在运动过程中始终与导轨垂直，棒在到达cd处之前已达到稳定速度，求的大小； （3）在第（2）问的前提下，导体棒在足够长的水平导轨上滑行一段距离后停止。从导体棒到达位置开始直至停止这一过程中，通过定值电阻R1的电荷量为q=0.5625C，求导体棒在这一过程中产生的焦耳热Q。 【变式训练3-6】如图所示，间距为的两条平行光滑竖直金属导轨、足够长，底部Q、N之间连有一阻值为的电阻，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为的10匝线圈的两端连接，线圈的轴线与大小均匀变化的匀强磁场平行，开关K闭合后，质量为、电阻值为的金属棒恰能保持静止。金属棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，g取。求： （1）金属棒恰能保持静止时，匀强磁场的磁感应强度的变化率； （2）开关K断开后，金属棒下落时能达到的最大速度v； （3）开关K断开后，金属棒下落时恰好运动至最大速度，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q. 【变式训练3-7】如图甲所示，固定平行金属导轨、与水平面成角倾斜放置，其电阻不计，相距为，导轨顶端与电阻R相连，。在导轨上垂直导轨水平放置一根质量为、电阻为的导体棒。距离导轨顶端，导体棒与导轨间的动摩擦因数；在装置所在区域加一个垂直导轨平面向上的磁场，其磁感应强度B和时间t的函数关系如图乙所示。（g取） （1）前内，施加外力使导体棒保持静止，求通过导体棒的电流I的大小和方向； （2）后静止释放导体棒，已知棒滑到底部前已达到最大速度并匀速下滑到底部，此过程中通过的电量。求的大小、以及此过程中导体棒的位移。 （3）在第2问的过程中电阻R上产生的热量Q。 【变式训练3-8】如下图甲所示，倾角的光滑倾斜导轨MN、PQ相互平行，导轨长为4m、间距为0.5m，已知两根导轨单位长度的电阻都为，导轨上端用电阻不计的导线连接一个阻值为的定值电阻。虚线MP下方有匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上，磁感应强度大小随时间变化关系图象如图乙所示。有一根电阻不计、质量为0.01kg的导体棒在沿斜面方向的外力F（图中未画出）作用下，从时刻开始由导轨顶端MP处沿斜面以的速度匀速下滑。重力加速度g取，，求： (1)时，通过导体棒的电流大小； (2)时，外力F的大小和方向； (3)导体棒从顶端运动到底端过程中，外力F所做的功。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 电磁感应中的感生与动生 目 录 第03讲 电磁感应中的感生与动生 1 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 10 题型归纳 11 题型01：感生电动势 11 （一）磁场强度变化产生的感生电动势 11 （二）其它变化产生的感生电动势 28 （三） 感生电动势的图像计算 32 题型02：动生电动势 53 （一）导体棒平动切割产生感应电动势 53 （二）线框平动切割磁感线产生电动势 70 （三） 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 74 （四）线圈转动切割磁感线产生电动势 87 题型03：感生和动生综合问题 91 1. 高考定位 选择题高频考点，经常放在B-t图像、线框、导轨模型；计算题第一问必考，压轴大题（单棒、双棒）绝大多数是动生；磁场变化类、涡旋电场是新高考热点难点。二者可以单独考，也可以同时叠加考查（B变+导体同时运动），区分度高。 2. 考查重点 ①本质区分：B变化→感生；导体切割、面积变化→动生 ②公式选用： 感生：E=n（平均电动势，均匀变化时等于瞬时值） 动生：E=BLv（平动切割，瞬时）；E＝Bl2ω （转动切割） ③感生的特殊点：涡旋电场（感生电场），电场线闭合，无电势高低； ④动生的特殊点：洛伦兹力作为非静电力，切割导体是电源，有正负极、电势差； ⑤混合模型：磁场随时间变，同时导体棒在导轨滑动，电动势叠加； ⑥配套考点：电荷量、I-t图像、电路、安培力、动量、能量。 3. 命题陷阱 ①不分平均、瞬时，拿E=n硬算瞬时切割电动势； ②混淆电源：感生是整个磁场区域内回路为电源；动生只有切割的导体是电源； ③感生电场不是静电场，不能用等势面、电势高低常规思路； ④B和S同时变化时，不会分开算两个电动势再叠加。 4. 分值：选择4–6分；大题里面作为基础计算，是后续动力学、能量的前提，大题总分8–14分。 一：基础目标 1. 分清产生机理： ①感生：磁场B随时间变化，涡旋电场推动电荷 ②动生：导体在磁场运动，洛伦兹力分力充当非静电力 2. 选对对应公式，会独立计算两种电动势； 3. 会用楞次定律/右手定则判断感应电流方向； 4. 会做电路分析，分清内、外电路，计算电流、路端电压。 二：进阶目标 1. 识别B-t图像，用斜率求感生电动势； 2. 处理同时有感生+动生的叠加问题，判断两个电动势同向反向，代数相加； 3. 理解涡旋电场特点，能解磁场均匀变化圆环、带电粒子圆周运动小题； 4. 动生里面会找有效切割长度、处理倾斜切割、转动切割。 三：素养目标 明白：法拉第定律是统一形式 E=n，只是磁通量变化的原因分成两类；参考系不同，动生、感生可以转化。 知识点一：磁通量的理解 1.磁通量 (1)定义：匀强磁场中，磁感应强度(B)与垂直磁场方向的面积(S)的乘积叫作穿过这个面积的磁通量，简称磁通。我们可以用穿过这一面积的磁感线条数的多少来形象地理解。 (2)公式：Φ＝BS。 (3)公式的适用条件：①匀强磁场；②S是垂直磁场方向的有效面积。 (4)单位：韦伯(Wb)，1 Wb＝1_T·m2。 (5)标量性：磁通量是标量，但有正负之分。磁通量的正负是这样规定的：任何一个平面都有正、反两面，若规定磁感线从正面穿出时磁通量为正，则磁感线从反面穿出时磁通量为负。 2.磁通量的变化量 在某个过程中，穿过某个平面的磁通量的变化量等于末磁通量Φ2与初磁通量Φ1的差值，即ΔΦ＝Φ2－Φ1。 3.磁通量的变化率(磁通量的变化快慢) 磁通量的变化量与发生此变化所用时间的比值，即。在图像问题中磁通量的变化率是Φ­t图像上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确定感应电动势的大小 磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率的比较 　　 物理量 项目　　 磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率 意义 某时刻穿过某个面的磁感线的条数 某段时间内穿过某个面的磁通量变化的多少 穿过某个面的磁通量变化的快慢 大小 Φ＝BS ΔΦ＝Φ2－Φ1＝Δ(B·S) 两种特例：　 ①ΔΦ＝B·ΔS ②ΔΦ＝S·ΔB ＝ 两种特例： 　 ①＝B ②＝S 注意 若有相反方向的磁场，磁通量可抵消；S为有效面积 转过180°前后穿过平面的磁通量是一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零 等于单匝线圈上产生的感应电动势，即E＝ 注意：①Φ、ΔΦ、的大小之间没有必然的联系，Φ＝0，不一定等于0； ②感应电动势E与线圈匝数n有关，但Φ、ΔΦ、的大小均与线圈匝数无关。 知识点二：感生电动势 1.感生电动势的产生： 由感应电场使导体产生的电动势叫感生电动势．感生电动势在电路中的作用就是充当电源，其电路就是内电路，当它与外电路连接后就会对外电路供电．变化的磁场在闭合导体所在空间产生电场，导体内自由电荷在电场力作用下产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势．由此可见，感生电场就相当于电源内部的所谓的非静电力，对电荷产生力的作用． 2.感生电动势的三种情况： (1)磁通量的变化是由有效面积变化引起时，ΔΦ＝B·ΔS，则E＝n。 (2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔB·S，则E＝n，S是磁场范围内的有效面积。 ①＝k（k为常数）. ②磁感应强度的变化率为一常数. ③磁感应强度随时间均匀变化（线性变化）.   ④B-t的变化关系满足：B=B0±kt. ⑤B-t的函数图形为正比例或一次函数：斜率的大小反映感应电动势、感应电流的大小. 斜率的正负反映感应电动势、感应电流的方向. (3)磁通量的变化是由有效面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ末－Φ初，E＝n。 知识点三：动生电动势 1.动生电动势原因分析 导体在磁场中做切割磁感线运动时，产生动生电动势，它是由于导体中自由电子受洛伦兹力作用而引起的．如图甲所示，一条直导线CD在匀强磁场B中以速度v向右运动，并且导线CD与B、v的方向垂直．由于导体中的自由电子随导体一起以速度v运动，因此每个电子受到的洛伦兹力为F＝evB. F的方向竖直向下．在力F的作用下，自由电子沿导体向下运动，使导体下端出现过剩的负电荷，导体上端出现过剩的正电荷．结果使导体上端D的电势高于下端C的电势，出现由D指向C的静电场．此电场对电子的作用力F′是向上的，与洛伦兹力的方向相反．随着导体两端正、负电荷的积累，场强不断增强，当作用在自由电子上的静电力F′与洛伦兹力F互相平衡时，DC两端便产生了一个稳定的电势差．如果用另外的导线把CD两端连接起来，由于D端电势比C端高，自由电子在静电力的作用下将在导线框中沿顺时针方向流动，形成逆时针方向的感应电流如图乙所示．电荷的流动使CD两端积累的电荷减少，洛伦兹力又不断地使电子从D端运动到C端，从而在CD两端维持一个稳定的电动势． 可见，运动的导体CD就是一个电源，D端为正极，C端为负极，自由电子受洛伦兹力的作用，从D端被搬运到C端；也可以看作是正电荷受洛伦兹力的作用从C端搬运到D端．这里，洛伦兹力就相当于电源中的非静电力． 根据电动势的定义，电动势等于单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极非静电力所做的功．作用在单位正电荷上的洛伦兹力F＝＝vB，于是，动生电动势就是：E＝Fl＝Blv. 2.导体棒平动切割产生感应电动势 对于导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式E＝Blv的理解和掌握： (1)正交性 本公式是在一定条件下得出的，除了磁场是匀强磁场，还需B、l、v三者相互垂直。当它们不相互垂直时，应取垂直的分量进行计算。 (2)平均性 导体平动切割磁感线时，若v为平均速度，则E为平均感应电动势，即＝Bl。 (3)瞬时性 导体平动切割磁感线时，若v为瞬时速度，则E为相应的瞬时感应电动势。 (4)有效性 公式中的l为导体有效切割长度，即导体在与v共同所在平面上垂直于v的方向上的投影长度。下图中有效长度分别为： 甲图：l＝cd sin β(容易错算成l＝ab sin β)。 乙图：沿v1方向运动时，l＝MN；沿v2方向运动时，l＝0。 丙图：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R。 (5)相对性 E＝Blv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动时，应注意速度间的相对关系。 3.导体棒旋转切割产生感应电动势 当导体棒在垂直于磁场的平面内，绕导体棒上某一点以角速度ω匀速转动时，则： (1)以导体棒中点为轴时，E＝0(相同两段的代数和)。 (2)以导体棒端点为轴时，E＝Bωl2。 (3)以导体棒上任意一点为轴时，E＝Bω(l－l)(不同两段的代数和，其中l1>l2) 规律总结： (1)求瞬时电动势(电流)时，E＝Blv（E＝Bωl2）为首选式，并同时注意有效长度l。 (2)对于转动切割，如果记不住公式或情况复杂(如转动中心不在导体棒上)时，可用E＝Bl计算，也可以用假想的导线将导体棒连接，组成回路，用E＝B计算。 (3)如果在导体切割磁感线时，磁感应强度B也在变化，则只能用E＝计算。 4.线圈旋转切割产生感应电动势--交变电流 (1)产生：在匀强磁场中，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动产生的电流是正弦式交变电流。 (2)中性面规律： 中性面 峰值面 含义 与磁场方向 垂直的平面 与磁场方向 平行的平面 穿过线圈的磁通量 最大(BS) 0 磁通量的变化率 0 最大 感应电动势 0 最大(NBSω) 电流方向 发生改变 不变 (3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因此电流的方向改变两次。 (4)正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置： 图示 位置 中性面位置 与中性面垂直的位置 特点 B⊥S B∥S Φ＝BS，最大 Φ＝0，最小 e＝n＝0，最小 e＝n＝nBSω，最大 感应电流为零， 方向改变 感应电流最大， 方向不变 知识点四：动生电动势与感生电动势的区别与联系 1.相当于电源的部分不同： 由于导体运动产生感应电动势时，运动部分的导体相当于电源，而由于磁场变化产生感应电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源． 2.ΔΦ的含义不同： 导体运动产生电动势，ΔΦ是由于导体线框本身的面积发生变化产生的．所以ΔΦ＝BΔS；而感生电动势，ΔΦ是由于ΔB引起的，所以ΔΦ＝SΔB. 3.动生电动势和感生电动势的相对性： 动生电动势和感生电动势的划分．在某些情况下只有相对意义，将条形磁铁插入线圈中，如果在相对于磁铁静止的参考系内观察．磁铁不动，空间中各点的磁场也没有发生变化．而线圈在运动，线圈中产生的是动生电动势，如果在相对线圈静止的参考系内观察，则看到磁铁在运动．引起空间磁场发生变化．因而，线圈中产生的是感生电动势．究竟把电动势看作动生电动势还是感生电动势，决定于观察者所在的参考系． 4.感生电动势与动生电动势的对比 感生电动势 动生电动势 产生原因 磁场的变化 导体做切割磁感线运动 移动电荷的非静电力 感生电场对自由电荷的电场力 导体中自由电荷所受洛伦兹力沿导体方向的分力 回路中相当于电源的部分　 处于变化磁场中的线圈部分 做切割磁感线运动的导体 方向判断方法 由楞次定律判断 通常由右手定则判断，也可由楞次定律判断 大小计算方法 由E＝n计算 通常由E＝Blvsin θ计算，也可由E＝n计算 知识点五：电磁感应中的电路问题 1.电磁感应中电路知识的关系图 2.“三步走”分析电路为主的电磁感应问题 策略1：第一步先分类（最关键）看磁通量ΔΦ来自哪里： ①只有B变，S不变 → 感生电动势E＝n ②B不变，导体运动、面积改变 → 动生电动势E=BLv（平动切割，瞬时）；E＝Bl2ω （转动切割） ③B在变、导体同时在动 → 两种电动势都存在，分开算，再看方向叠加（叠加规则：同向相加，反向相减） 策略2：感生电动势标准解题流程 ①读出； ②代入 E＝n； ③ 闭合电路欧姆定律求电流 I＝； ④楞次定律判断电流环绕方向； 重点：感生电场是闭合涡旋场，不存在电势高低，不要强行比较两点电势（高频坑）。 策略3：动生电动势标准解题流程 ①判断B、L、v是否两两垂直，不垂直取垂直分量；弯曲导体取两端连线为有效L； ②代入E=BLv（瞬时值）； ③ 导体棒=电源，右手定则：棒内部电流从低电势→高电势； ④后续：安培力、受力、动量定理、能量守恒（克服安培力做功等于焦耳热）。 策略4：混合叠加题型（难点） B随时间变，S随位移变 总电动势：E＝n=nS+n 第一项：感生贡献；第二项：动生贡献； 先分别算出两个电动势，再根据环绕方向判断正负，再求和。 策略5：图像题快速思路 B-t图像：斜率代表，斜率恒定→感生E恒定，电流恒定；斜率正负对应感应电流方向。 题型01：感生电动势 （一）磁场强度变化产生的感生电动势 【典型例题1】电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈。下列说法正确的是（　　） A．穿过线圈的磁通量为 B．永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大 C．永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小 D．永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向 【答案】D 【解析】A．根据图乙可知此时穿过线圈的磁通量为0，故A错误； BC．根据法拉第电磁感应定律可知永磁铁相对线圈上升越快，磁通量变化越快，线圈中感应电动势越大，故BC错误； D．永磁铁相对线圈下降时，根据安培定则可知线圈中感应电流的方向为顺时针方向，故D正确。 故选D。 【典型例题2】近场通信（NFC）器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC线圈共3匝，其边长分别为、和，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为，则线圈产生的感应电动势最接近（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据法拉第电磁感应定律可知 故选B。 【典型例题3】如图所示，面积为S闭合线圈放在磁场中，线圈平面与磁场垂直，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律是B＝Bmsint，则在一个周期内线圈中产生感应电动势最大的时刻（含0与T时刻）是（　　） A．0、0.25T B．0.75T C．0、0.5T、T D．0.25T、0.5T、T 【答案】C 【解析】解：线圈面积一定，B的周期性变化使穿过线圈的磁场量发生变化，Φ＝BmSsin•t．根据法拉第电磁感应律，E＝n，可见电动势最大时也就是最大。 我们可将Φ＝BmSsint的函数关系用Φ﹣t图来表示（如右图）。在该图上，曲线的斜率反映了的大小。由图可见，当t等于0、0.5T、T时，切线的斜率最大，因此，在这些时刻线圈产生的感应电动势最大。 故ABD错误，C正确； 故选：C。 【典型例题4】如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻。金属棒与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导 轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，始终保持静 止，下列说法正确的是（　　） A．中的感应电流方向由到逐渐减小 B．中的感应电流逐渐减小 C．所受的安培力保持不变 D．所受的静摩擦力逐渐减小 【答案】D 【解析】A．磁感应强度均匀减小，磁通量减小，根据楞次定律得，ab中的感应电流方向由a到b，A错误； B．由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律 得，感应电动势恒定，则ab中的感应电流不变，B错误； C．根据安培力公式 知，电流不变，B均匀减小，则安培力减小，C错误； D．导体棒受安培力和静摩擦力处于平衡 安培力减小，则静摩擦力减小，D正确．故选D。 【典型例题5】如图所示，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝B0+kt，其中B0和k都是定值且均大于0。导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴的夹角均为θ，一电容为C的电容器（在磁场外）与导轨左端相连，电容器中静止一带电粒子A（受到的重力不计，图中未画出）。金属棒与x轴垂直并固定在导轨上，O点到金属棒的距离为x0。下列说法正确的是（　　） A．电容器的上极板带负电 B．电容器的电荷量为Ckx02tanθ C．带电粒子A运动到极板上之前的加速度越来越小 D．带电粒子A运动到极板上之前的加速度越来越大 【答案】B 【解析】A、穿过回路的磁通量向下增加，根据楞次定律判断可知，回路中感应电动势沿逆时针方向，则电容器的上极板带正电，故A错误； B、由B＝B0+kt得k，根据法拉第电磁感应定律得：ES，又S•（2x0tanθ）＝x02tanθ，可得E＝kx02tanθ，则电容器板间电压U＝E＝kx02tanθ，电容器的电荷量为Q＝CU＝Ckx02tanθ，故B正确； CD、电容器板间电压为U＝kx02tanθ，板间场强为E，带电粒子受到的电场力大小为F＝qE，联立可得F，可知F恒定不变，则带电粒子的合力不变，加速度不变，故CD错误。 故选：B。 【典型例题6】将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为，小圆面积均为，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小，和均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由法拉第电磁感应定律可得大圆线圈产生的感应电动势 每个小圆线圈产生的感应电动势 由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应电动势方向相同，故线圈中总的感应电动势大小为，故D正确，ABC错误。 故选D。 【典型例题7】（多选）如图所示，a、b两个闭合正方形线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，边长la＝4lb，图示区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀增大，不考虑线圈之间的相互影响，则（　　） A．两线圈内产生顺时针方向的感应电流 B．a、b线圈中感应电动势之比为16∶1 C．a、b线圈中感应电流之比为16∶1 D．a、b线圈中电功率之比为64∶1 【答案】BD 【解析】A．根据楞次定律可知，两线圈内均产生逆时针方向的感应电流，选项A错误； B．因磁感应强度随时间均匀增大，则 根据法拉第电磁感应定律可知 则 选项B正确； C．根据 故a、b线圈中感应电流之比为4:1，选项C错误； D．电功率 故a、b线圈中电功率之比为64:1，选项D正确； 故选BD． 【典型例题8】面积、匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是，，，线圈电阻，求： （1）通过R的电流大小和方向； （2）电容器的电荷量。 【答案】（1）0.2A，电流方向从b到a；（2）6×10-5C 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律可得： 则电路中电流： 根据楞次定律可知，通过R的电流方向从b到a。 （2）由欧姆定律可得，R两端的电压 U=IR=1V 则电容器的电量： Q=UC=6×10-5C 即电容器的电荷量为6×10-5C。 【变式训练1-1-1】如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为，、k为常量，则图中半径为R的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知磁场的变化率为 根据法拉第电磁感应定律可知 故选A。 【变式训练1-1-2】拓扑结构在现代物理学中具有广泛的应用。现有一条绝缘纸带，两条平行长边镶有铜丝，将纸带一端扭转180°，与另一端连接，形成拓扑结构的莫比乌斯环，如图所示。连接后，纸环边缘的铜丝形成闭合回路，纸环围合部分可近似为半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过，磁场区域的边界是半径为r的圆（r < R）。若磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B = kt（k为常量），则回路中产生的感应电动势大小为（　　） A．0 B．kπR2 C．2kπr2 D．2kπR2 【答案】C 【解析】由题意可知，铜丝构成的“莫比乌斯环”形成了两匝（n = 2）线圈串联的闭合回路，穿过回路的磁场有效面积为 根据法拉第电磁感应定律可知，回路中产生的感应电动势大小为 故选C。 【变式训练1-1-3】图为无线充电技术中使用的受电线圈示意图，线圈匝数为n，面积为S.若在t1到t2时间内，匀强磁场平行于线圈轴线向右穿过线圈，其磁感应强度大小由B1均匀增加到B2，则该段时间线圈两端a和b之间的电势差φa－φb(　　) A．恒为 B．从0均匀变化到 C．恒为－ D．从0均匀变化到－ 【答案】　C 【解析】根据法拉第电磁感应定律得，感应电动势E＝n＝n，由楞次定律和右手螺旋定则可判断b点电势高于a点电势，因磁场均匀变化，所以感应电动势恒定，因此a、b两点电势差恒为φa－φb＝－n，选项C正确。 【变式训练1-1-4】三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为 面积为 同理可知正方形线框的周长和面积分别为 ， 正六边形线框的周长和面积分别为 ， 三线框材料粗细相同，根据电阻定律 可知三个线框电阻之比为 根据法拉第电磁感应定律有 可得电流之比为 即 故选C。 【变式训练1-1-5】如图所示，匀强磁场中有两个由相同导线绕成的圆形线圈a、b，磁场方向与线圈所在平面垂直，磁感应强度B随时间均匀增大。a、b两线圈的半径之比为2：1，匝数之比为1：4，线圈中产生的感应电动势分别为Ea和Eb，某时刻磁通量分别为Φa和Φb，不考虑两线圈间的相互影响。下列说法正确的是（　　） A．Ea：Eb=1：1，Φa：Φb=4：1，感应电流均沿逆时针方向 B．Ea：Eb=2：1，Φa：Φb=2：1，感应电流均沿逆时针方向 C．Ea：Eb=2：1，Φa：Φb=2：1，感应电流均沿顺时针方向 D．Ea：Eb=1：1，Φa：Φb=4：1，感应电流均沿顺时针方向 【答案】D 【解析】设磁感应强度的变化率为k，由法拉第电磁感应定律有可得； 所以磁通量与匝数无关，故磁感应强度B随时间均匀增大，根据楞次定律可知，感应电流的磁场与原磁场方向相反，则由安培定则可知，感应电流方向沿顺时针方向。 故选D。 【变式训练1-1-6】将一根均匀电阻丝绕成半径为r的闭合圆环，其总电阻为R，置于匀强磁场中，如图所示，磁感应强度随时间变化的规律为B=kt，其中k为正的常数。弧ac所对圆心角为θ，则（　　） A．环中感应电流大小为 B．a、c两点间电压为 C．ac段的电功率为 D．t时刻ac段所受安培力大小为 【答案】A 【解析】A．根据感生电动势公式可知，则有 所以电流为A正确。 BC．由于无法得知哪一段导体相当于电源，从而也就无法得知ac段的电压和功率，BC错误。 D．安培力中的有效长度等效于首尾相连的直导线，则有 D错误。 故选A。 【变式训练1-1-7】如图是简化的某种旋转磁极式发电机原理图。定子是仅匝数n不同的两线圈，n1＞n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是（　　） A．两线圈产生的电动势的有效值相等 B．两线圈产生的交变电流频率相等 C．两线圈产生的电动势同时达到最大值 D．两电阻消耗的电功率相等 【答案】B 【解答】AD、在转子匀速转动的过程中，通过两个线圈的磁通量均在做周期性变化，所以两个线圈均会产生感应电动势。根据法拉第电磁感应定律E＝n可知，即使在磁通量的变化率相同时，由于匝数不同，产生的感应电动势也不会相等。同样的有效值也不相等。再根据功率的计算公式可知，电阻消耗的电功率也不相等，故AD错误； B、两线圈产生的交变电流均受转子的运动情况影响，转子在做匀速圆周运动，周期固定，频率固定，故两线圈产生的交变电流频率也相等，故B正确； C、电动势达到最大值时磁通量最小，结合题图可知，两个线圈的磁通量无法同时达到最小，故产生的电动势无法同时达到最大值，故C错误。 故选：B。 【变式训练1-1-8】如图所示，线圈匝数为，横截面积为，线圈电阻为，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为，两个电阻的阻值均为。下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．通过线圈的电流强度为 C．电容器所带的电荷量为 D．电容器所带的电荷量为 【答案】D 【解析】A．由楞次定律知，电容器上极板带正电，A错误； B．因 故B错误； CD．又 C错误，D正确； 故选D。 【变式训练1-1-9】如图所示，将一通电螺线管竖直放置，螺线管内部形成方向竖直向上、磁感应强度大小B=kt的匀强磁场，在内部用绝缘轻绳悬挂一与螺线管共轴的金属薄圆管，其电阻率为、高度为h、半径为r、厚度为d（d≪r），则（　　） A．从上向下看，圆管中的感应电流为逆时针方向 B．圆管的感应电动势大小为 C．圆管的热功率大小为 D．轻绳对圆管的拉力随时间减小 【答案】C 【解析】A．穿过圆管的磁通量向上逐渐增加，则根据楞次定律可知，从上向下看，圆管中的感应电流为顺时针方向，选项A错误； B．圆管的感应电动势大小为 选项B错误； C．圆管的电阻 圆管的热功率大小为 选项C正确； D．根据左手定则可知，圆管中各段所受的受安培力方向指向圆管的轴线，则轻绳对圆管的拉力的合力始终等于圆管的重力，不随时间变化，选项D错误。 故选C。 【变式训练1-1-10】如图所示，间距为d的甲、乙两块水平金属板与一个匝数未知的线圈用导线连接，两板间有一台压力测量仪，在其水平表面静置一个质量为m、带电量为q的小球。线圈中无磁场，甲、乙板间无电场时，测量仪有示数；当线圈中存在方向竖直向下、磁通量变化率为k（k为常数）的磁场B时，测量仪示数变为原来的2倍。小球电荷量保持不变、重力加速度为g，线圈的电阻不计，则（　　） A．小球一定带正电 B．线圈的匝数为 C．在线圈中磁场B增大过程，甲极板电势低于乙极板电势 D．在线圈中磁场B减小过程，甲、乙极板电势相等 【答案】B 【解析】ACD．由题意可知小球所受电场力竖直向下，在线圈中磁场B增大过程，根据楞次定律可知甲极板带正电、乙极板带负电，即此时甲极板电势高于乙极板电势，小球带正电；在线圈中磁场B减小过程，同理可知甲极板带负电、乙极板带正电，即此时甲极板电势低于乙极板电势，小球带负电，故ACD错误； B．设线圈的匝数为N，根据法拉第电磁感应定律可知两极板间电压大小为 两极板间电场强度大小为 由题意可得 联立解得 故B正确。故选B。 【变式训练1-1-11】如图所示，面积为0.2m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，已知磁感应强度随时间变化的规律为，与线圈相连的定值电阻，线圈电阻。其余电阻不计，求： （1）线圈磁通量的变化率为多少？回路中的感应电动势为多少？ （2）通过定值电阻R1的电流大小和方向？ （3）a、b两点间的电压为多少？ 【答案】（1），4V；（2）电流方向由下向上，0.4A；（3）2.4V 【解析】(1)磁感应强度随时间变化规律为 可得 则磁通量变化率为 由法拉第电磁感应定律得 代入数据得 (2)因磁感应强度均匀增加，磁通量均匀增大，根据楞次定律，回路感应电流为逆时针方向，通过R1的电流方向有下向上； 通过R1的电流大小为 (3)ab两点间的电压即电路的路端电压，可得 【变式训练1-1-12】如图所示，质量为m、电阻为R的单匝矩形线框置于光滑水平面上，线框边长ab=L、ad=2L。虚线MN过ad、bc边中点。一根能承受最大拉力F0的细线沿水平方向拴住ab边中点O。从某时刻起，在MN右侧加一方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小按B=kt的规律均匀变化。 一段时间后，细线被拉断，线框向左运动，ab边穿出磁场时的速度为v。 求： (1)细线断裂前线框中的感应电动势大小E (2)细线断裂后瞬间线框的加速度大小a (3)线框离开磁场的过程中安培力所做的功W (4)线框穿出磁场过程中通过导线截面的电量 q 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)。 【解析】(1) 根据法拉第定律： (2) 细线断裂瞬间安培力：FA=F0，线框的加速度 (3) 线框离开磁场过程中，由动能定理： (4) 设细线断裂时刻磁感应强度为B1，则有：ILB1=F0，其中 线圈穿出磁场过程： 电流 通过的电量：解得 【变式训练1-1-13】如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P点和N、Q点间各连接一个额定电压为U、阻值恒为R的灯泡，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B0，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上，离灯L1足够远。现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚处于磁场时两灯恰好常工作。棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。 （1）求磁场移动的速度； （2）若保持磁场不移动（仍在cdfe矩形区域），而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯中有一灯正常工作且都有电流通过，设t=0时，磁感应强度为B0。试求出经过时间t时磁感应强度的可能值Bt。 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）当ab刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯刚好正常发光工作，则电路中路端电压 内电压由电路的分压之比得 则感应电动势为由可得 （2）若保持磁场不移动（仍在cdfe矩形区域），而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒与并联后再与串联，所以要保证不被烧坏，所以两端的电压为U，电路中的总电动势为 根据法拉第电磁感应定律得 联立解得的值 所以t时磁感应强度的可能值t 【变式训练1-1-14】如图所示，两个同种金属制成的正方形金属框和都放在纸面内，其边长分别为和，、两金属框金属丝的横截面积分别为和，的电阻为。金属框右端的小缺口和金属框左端的小缺口用导线相连，金属框右端的另一个小缺口用导线与滑动变阻器（最大阻值）连接。金属框左半边处在重直纸面向里的匀强磁场中，金属框内都存在垂直纸面向里的匀强磁场，导线电阻不计。 （1）若金属框中磁场的磁感应强度随时间均匀增大，其变化率为一已知常量，中磁场的磁感应强度不变，滑动变阻器接入电路阻值为，求流过滑动变阻器的电流； （2）若两金属框中磁场的磁感应强度均随时间均匀增大，其变化率都为已知常量，求金属框的最大功率； （3）若金属框中磁场方向变为垂直纸面向外，且两金属框中的磁场的磁感应强度均随时间均匀增大，其变化率都为已知常量，求滑动变阻器两端的最大电压。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）金属框相当于电源，根据法拉第电磁感应定律可知，产生的电动势为 根据电阻定律可知金属框的电阻为 根据闭合电路欧姆定律有解得 （2）和两金属框相当于电源，产生的电动势为 根据电阻定律可知两金属框的总电阻为 根据可知滑动变阻器接入电路的阻值为0时电路中电流最大，金属框的功率最大根据闭合电路欧姆定律有 金属框的功率为解得 （3）和两金属框相当于电源，产生的电动势为 当滑动变阻器接入电路阻值最大，即时滑动变阻器两端电压最大 设滑动变阻器两端最大电压为，根据串联电路特点可知 解得 【变式训练1-1-15】如图所示，固定在匀强磁场中的水平导轨ab、cd的间距L1=0.5m，金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2=0.8m，整个闭合回路的电阻为R=0.2Ω，t=0时磁感应强度为B0=1T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路。ad杆通过滑轮和轻绳连接着一个质量为m=0.04kg的物体，不计一切摩擦，现使磁场以=0.2T/s的变化率均匀地增大。（g=10m/s2）求： (1)感应电动势的大小和金属棒上电流的方向？ (2)经过多长时间物体刚好离开地面？ 【答案】(1)0.08V，电流由a到d；(2)5s 【解析】(1)由法拉第电磁感应定律得 由楞次定律可以判断，金属棒上的电流由a到d。 (2)物体刚好离开地面时，其受到的拉力F=mg 而拉力F又等于棒所受的安培力。即mg=F安=BIL1 其中解得t=5s （二）其它变化产生的感生电动势 【典型例题】如图，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1＝kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求 （1）在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值； （2）在时刻t（t＞t0）穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。 （3）如果面积为S的区域的均匀磁场的磁感应强度B1随时间t的变化关系为B1＝B0﹣kt，式中k为大于0的常量，在t＝0时刻，均匀磁场垂直于纸面向里。MN（虚线）右侧磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。在t0时刻金属棒以速度v越过MN时，撤掉外力，此后（t＞t0）金属棒恰好向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求速度v的大小（用k、S、B0、l表示）。 【答案】（1）在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值为。 （2）在时刻t（t＞t0）穿过回路的总磁通量为ktS+B0v0（t﹣t0）l，金属棒所受外加水平恒力的大小为。 （3）速度v的大小为。 【解析】解：（1）在t＝0到t＝t0时间间隔内，根据法拉第电磁感应定律有：E1kS 回路中感应电流为：I 在t＝0到t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值为：q＝It0。 （2）根据题图可知，MN左边的磁场方向与右边的磁场方向相同，那么总磁通量即为两种情况之和，即在时刻t（t＞t0）穿过回路的总磁通量为： Φ＝Φ1+Φ2＝ktS+B0v0（t﹣t0）l； 根据楞次定律判断可知，回路中产生的感生电动势与动生电动势方向相同，依据法拉第电磁感应定律得回路中产生总的感应电动势为： E＝E1+E2＝kS+B0lv0； 回路中产生的感应电流大小为：I 那么安培力大小为：FA＝B0Il； 金属棒匀速运动，根据平衡条件知水平恒力大小等于安培力大小，即为：F＝FA。 联立可得 F （3）在t0时刻金属棒以速度v越过MN时，撤掉外力，此后（t＞t0）金属棒恰好向右做匀速运动，说明金属棒不受安培力，动生电动势与感生电动势抵消，则有： kS＝B0lv 可得：v 【变式训练1-2-1】某眼动仪可以根据其微型线圈在磁场中随眼球运动时所产生的电流来追踪眼球的运动。若该眼动仪线圈面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈平面最初平行于磁场，经过时间t后线圈平面逆时针转动至与磁场夹角为θ处，则在这段时间内，线圈中产生的平均感应电动势的大小和感应电流的方向（从左往右看）为（　　） A．，逆时针 B．，逆时针 C．，顺时针 D．顺时针 【答案】A 【解析】经过时间t，面积为S的线圈平面逆时针转动至与磁场夹角为θ处，磁通量变化为 由法拉第电磁感应定律，线圈中产生的平均感应电动势的大小为 由楞次定律可判断出感应电流方向为逆时针方向。 故选A。 【变式训练1-2-2】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻。可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定（过程Ⅰ）；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】解：设圆的半径为R，金属杆从Q到S的过程中：△Φ 根据法拉第电磁感应定律有：E1 设回路的总电阻为r，第一次通过线圈某一横截面的电荷量为：q1＝I1△t1① 磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′的过程中设时间为△t2，△Φ′ 第二次通过线圈某一横截面的电荷量为：q2＝I2△t2② 由题，q1＝q2③ 联立①②③可得：．故B正确，ACD错误， 故选：B。 【变式训练1-2-3】如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3m2、电阻R＝0.6Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2T．现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在△t＝1.0s时间内合到一起。求线圈在上述过程中 （1）感应电动势的平均值E； （2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向； （3）通过导线横截面的电荷量q。 【答案】（1）感应电动势的平均值为0.06V； （2）感应电流的平均值为0.1A，电流方向见解析； （3）通过导线横截面的电荷量为0.1C。 【解析】（1）感应电动势的平均值E＝n， 磁通量的变化△Φ＝B△S， 解得， 代入数据得0.06 V。 （2）根据闭合电路欧姆定律可知，平均电流， 代入数据得0.1A， （3）根据电荷量定义可知，q， 代入数据得q＝0.1 C。 （3） 感生电动势的图像计算 【典型例题1】如图甲所示，一个环形导线线圈电阻为r，其面积为S，位于一垂直于环形面向里的匀强磁场中，磁场磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。有一电阻R将其两端分别与图中的环形线圈a、b相连，其余电阻不计，在时间内，下列说法正确的是（　　） A．a、b间的电压大小，a点电势高于b点 B．a、b间的电压大小，a点电势低于b点 C．流过R的电流大小，方向从上到下 D．流过R的电流大小，方向从下到上 【答案】C 【解析】根据楞次定律可知感应电流产生的磁场方向垂直纸面向外，再根据右手螺旋定则可知环形导线中的感应电流为顺时针，即a点为电源的正极，所以a点电势高于b点，流经R的电流方向为从上到下。 感应电动势 则流过R的电流大小为 a、b间的电压大小为路端电压 故选C。 【典型例题2】如图甲所示，在水平桌面上，一个面积为S、电阻为r的圆形金属框置于磁场中，线框平面与磁场垂直，磁感应强度B1随时间t的变化关系如图乙所示。在0~1 s内磁场方向垂直线框平面向下，圆形金属框与一个电阻不计的水平平行金属导轨相连接，水平导轨上放置一根导体棒，导体棒的长为L、电阻为R，且与导轨接触良好，导体棒处于另一匀强磁场中，其磁感应强度值为B2，方向垂直导轨平面向下。若导体棒始终保持静止，则其所受的静摩擦力Ff随时间变化的图像是下图中的（设水平向右为静摩擦力的正方向）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在0到1秒内磁感应强度B随时间t的均匀增加，则由法拉第电磁感应定律得感应电动势恒定不变，则电流也不变。再由楞次定律可得感应电流方向逆时针，则根据左手定则可得导体棒受到的安培力的方向为向左，大小恒定，所以棒受到的静摩擦力方向为向右，即为正方向。且大小 f=F安=BIL 大小不变；而在1秒到2秒内磁感应强度大小不变，则线圈中没有感应电动势，所以没有感应电流，则也没有安培力。因此棒不受静摩擦力。在2到3秒内磁感应强度B随时间t的均匀减小，则由法拉第电磁感应定律得感应电动势恒定不变，则电流也不变。再由楞次定律可得感应电流方向顺时针，则根据左手定则可得导体棒受到的安培力的方向为向右，大小恒定，所以棒受到的静摩擦力方向为向左，即为负方向。且大小 f=F安=BIL 大小不变。 故选A。 【典型例题3】(多选) 如图甲所示，边长为10cm、电阻为的单匝闭合正方形导线框abcd放在粗糙绝缘的水平面上。线框对称轴右侧处于方向竖直、分布均匀的磁场中，磁感应强度B随时间t变化的正弦规律如图乙所示（以竖直向上为正，线框始终处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．t=1s时刻，穿过线框的磁通量为40Wb B．t=2s时刻，线框中的感应电流方向为adcba C．t=2.5s时刻，线框有向右运动的趋势 D．0~1s内，通过线框某一横截面的电荷量为0.02C 【答案】BD 【解析】A．边长为10cm=0.1m，t=1s时刻穿过线框的磁通量为 故A错误； B． t=2s时刻，磁场方向竖直向上减小到0的时刻，根据楞次定律知感应电流的磁场方向竖直向上，根据右手螺旋定则知线框中的感应电流方向为adcba，故B正确； C．t=2.5s时刻，磁场方向竖直向下不断增大的过程，根据楞次定律知为阻碍磁通量的增大，线框有向左运动的趋势，故C错误； D．0~1s内，通过线框某一横截面的电荷量为 故D正确。 故选BD。 【典型例题4】(多选) 如图所示，半径为r、电阻为R的单匝圆形线框静止于绝缘水平面上，以圆形线框的一条直径为界，其左、右两侧分别存在着方向如图甲所示的匀强磁场，以垂直纸面向里的磁场为正，两部分磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律分别如图乙所示。 则0~t0时间内，下列说法正确的是（  ） A．时刻线框中磁通量为零 B．线框中电流方向为顺时针方向 C．线框中的感应电流大小为 D．线框受到地面向右的摩擦力为 【答案】ACD 【解析】A．时刻，两部分磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，线框中的磁通量为零，A正确。 B．根据楞次定律可知，左侧的导线框的感应电流是逆时针，而右侧的导线框的感应电流也是逆时针，则整个导线框的感应电流方向为逆时针，B错误。 C．由法拉第电磁感应定律，因磁场的变化，导致导线框内产生感应电动势，结合题意可知整个导线框产生感应电动势为左、右两侧电动势之和，即 由闭合电路欧姆定律，得感应电流大小 故C正确。 D．由左手定则可知，左、右两侧的导线框均受到向左的安培力，则所受地面的摩擦力方向向右、大小与线框所受的安培力大小相等，即 故D正确。 故选ACD。 【典型例题5】如图甲所示的螺线管，线圈匝数n=2000，横截面积为S=10cm2，电阻r=1Ω，与螺线管串联的外电阻R1=4Ω，R2=3Ω，向右穿过螺线管的匀强磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。求： （1）螺线管产生的感应电动势大小； （2）电路中电流的大小； （3）螺线管两端的电压大小，并说明M、P两点哪点相当于电源正极。 【答案】（1）4V；（2）0.5A；（3）3.5V，M点 【解析】（1）由题图乙可知B随t的变化率为 根据法拉第电磁感应定律可得螺线管产生的感应电动势大小为 （2）根据闭合电路欧姆定律可知电路中的电流大小为 （3）螺线管两端的电压大小为 根据楞次定律可知电流从M点流出螺线管，所以M点相当于电源正极。 【典型例题6】如图甲所示，MN、PQ是两根间距为L＝0.5 m，倾角为θ＝30°的平行导轨，导轨顶端连接阻值为R＝0.2 Ω的电阻。一根质量为m＝0.5 kg的导体棒ab，垂直于导轨静置，与导轨顶端距离也为L，导体棒跨接在两导轨间的电阻也为R，其与导轨间的动摩擦因数μ＝。磁场垂直于斜面且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示，规定垂直斜面向上为正方向，整个过程导体棒ab恰好保持静止。导轨电阻不计，重力加速度g＝10 m/s2。试求： (1)磁感应强度的最大值B1； (2)经过t＝4 s导体棒产生的焦耳热。 【答案】(1)2 T；(2)1.25 J 【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝＝·L2 由图乙可知磁感应强度的变化率＝B1 由闭合电路欧姆定律得电流I＝ 电流大小不变且方向前半个周期由b指向a，后半个周期由a指向b，对ab导体棒受力分析，安培力随磁感应强度增大而增大，随磁感应强度减小而减小，且磁感应强度减小时，安培力沿斜面向下；磁感应强度增大时，安培力沿斜面向上。当安培力沿斜面向下且取最大值时是本题保持静止的临界条件，受力分析，如图所示。 mgsin θ＋B1IL－μmgcos θ＝0联立以上各式解得B1＝2 T (2)联立解得电流I＝1.25 A 由焦耳定律得经过4 s导体棒产生的焦耳热Q＝I2Rt 代入数据解得Q＝1.25 J 【变式训练1-3-1】图甲为一闭合线圈，匝数为1000匝、面积为20cm2、电阻为3Ω，线圈处于一垂直纸面向里的匀强磁场中，从t＝0开始磁场按如图乙所示规律变化，则（　　） A．t＝1s时线圈中电流为逆时针方向 B．线圈中感应电动势大小为3V C．前4s通过导线某截面的电荷量为0C D．第2s瞬间无感应电流 【答案】B 【解析】A．t＝1s时通过线圈的磁通量减少，根据楞次定律可知线圈中产生的电流为顺时针方向，故A错误； B．根据法拉第电磁感应定律 带入数据可得 故B正确； C．根据 可得 故C错误； D．由图可知，第2s瞬间磁场的变化率和全过程一样，故感应电动势为3V，故D错误。 故选B。 【变式训练1-3-2】如图甲所示，正方形硬质金属框abcd放置在磁场中，金属框平面与磁场方向垂直。磁感应强度B随时间t变化规律如图乙所示。在0～0.2s时间内与0.2s～0.6s时间内（　　） A．通过金属框的电荷量之比为2∶1 B．金属框中电流的电功率之比为4∶1 C．金属框中产生的焦耳热之比为4∶1 D．金属框ab边受到安培力方向相反，大小之比为3∶1 【答案】B 【解析】设线框的面积为，电阻为，根据法拉第电磁感应定律可得，在0～0.2s时间内，感应电动势为，0.2s～0.6s时间内，感应电动势为根据可知，在0～0.2s时间内与0.2s～0.6s时间内感应电流之比为 A．根据可知，通过金属框的电荷量之比为故A错误； B．根据可知，金属框中电流的电功率之比为故B正确； C．根据可知，金属框中产生的焦耳热之比为故C错误； D．根据楞次定律可知，电流方向相反，由左手定则可知，金属框ab边受到安培力方向相反，根据,由于对应时间B相同，则安培力大小之比为故D错误。 【变式训练1-3-3】用电阻率为ρ、横截面积为S的硬质导线，做成边长为2R的正方形导线框，垂直导线框所在平面的磁场充满其内接圆形区域。时磁感应强度的方向如图甲所示，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，则在到的时间内（　　） A．时刻磁通量大小为 B．导线框中产生的热量为 C．导线框中的感应电流大小为 D．导线框中的感应电流方向先沿顺时针方向后沿逆时针方向 【答案】C 【解析】A．时刻磁通量大小为故A错误； BC．由法拉第电磁感应定律，矩形线框中的感应电动势大小为感应电流大小为 导线框中产生的热量为 故B错误，C正确； D．0~t0时间内穿过圆环的磁感应强度向里减小，根据楞次定律可知，感应磁场的方向也向里，所以感应电流的方向为顺时针，同理，t0~2t0时间内由楞次定律可知，感应电流的方向为顺时针，故圆环中感应电流的方向始终为顺时针，故D错误。故选C。 【变式训练1-3-4】三角形导线框abc固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，规定线框中感应电流i沿顺时针方向为正方向，下列i﹣t图象中正确的是（　　） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】由图可知，0~1s内，线圈中磁通量的变化率相同，由法拉第电磁感应定律知 可知，电路中电流大小恒定不变；由楞次定律可知，电路中电流方向为逆时针，即电流为负方向； 同理可知，1~2s内电路中的电流为顺时针，2~3s内，电路中的电流为顺时针，即电流为正方向；由于线圈中磁通量的变化率相同，则1~3s内电路中电流大小恒定不变； 3~4s内，电路中的电流为逆时针，即电流为负方向，电流大小恒定不变。 故选A。 【变式训练1-3-5】如图甲所示，单匝矩形金属线框ab d处在垂直于线框平面的匀强磁场中，线框面积S＝0.3m2，线框连接一个阻值R＝3Ω的电阻，其余电阻不计，线框cd边位于磁场边界上。取垂直于线框平面向外为磁感应强度B的正方向，磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．0﹣0.4s内线框中感应电流沿逆时针方向 B．0.4﹣0.8s内线框有扩张的趋势 C．0﹣0.8s内线框中的电流为0.1A D．0～0.4s内ab边所受安培力保持不变 【答案】C 【解析】A、由图乙所示图线可知，0﹣0.4s内磁感应强度垂直于纸面向里，磁通量减小，由楞次定律可知，感应电流沿顺时针方向，故A错误。 B、由图乙所示图线可知，0.4﹣0.8s内穿过线框的磁通量增加，由楞次定律可知，线框有收缩的趋势，故B错误。 C、由图示图线可知，0﹣0.8s内的感应电动势为：EV＝0.3V，线框中的电流为：I0.1A，故C正确。 D、在0﹣0.4s内感应电流I保持不变，由图乙所示图线可知，磁感应强度B大小不断减小，由F＝ILB可知，ab边所受安培力不断减小，故D错误。 故选：C。 【变式训练1-3-6】将一段导线绕成如图甲所示的闭合回路，并固定在水平面内。回路的ab边置于磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场I中，回路的圆环区域内有竖直方向的磁场II，以竖直向下为磁场II的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示，导线的总电阻为R，圆环面积为S，ab边长为L，则下列说法正确的是（　　） A．在0~时间内，通过ab边的电流方向先从b→a再从a→b B．在0~时间内，流过ab边的电荷量为 C．在0~T时间内，ab边受到的安培力大小始终为 D．在0~T时间内，ab边受到的安培力方向先向右再向左 【答案】C 【解析】A．在0~时间内，磁感应强度先向下减小再反向增大，由楞次定律可知，感应电流方向不变，均由b→a，A错误； B．0~时间内，回路产生的感应电动势为感应电流为流过ab边的电荷量为 联立可得，B错误； C．因在0~T时间内大小不变，则感应电流大小不变，ab边通过的电流大小恒定，故受到的安培力大小恒为联立可解得，C正确。 D．在0~时间内，由左手定则可知，ab边受到的安培力方向水平向左，~T时间内，ab边的电流由a→b，受到的安培力方向水平向右，D错误；故选C。 【变式训练1-3-7】(多选) 如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0时磁场方向垂直纸面向里。在t=0到t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（　　） A．在时，金属棒受到安培力的大小为 B．在t=t0时，金属棒中电流的大小为 C．在时，金属棒受到安培力的方向竖直向上 D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右 【答案】BC 【解析】AB．由图可知在0~t0时间段内产生的感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律有此时间段的电流为 在时磁感应强度为，此时安培力为 故A错误，B正确； C．由图可知在时，磁场方向垂直纸面向外并逐渐增大，根据楞次定律可知产生顺时针方向的电流，再由左手定则可知金属棒受到的安培力方向竖直向上，故C正确； D．由图可知在时，磁场方向垂直纸面向外，金属棒向下掉的过程中磁通量增加，根据楞次定律可知金属棒中的感应电流方向向左，故D错误。 故选BC。 【变式训练1-3-8】(多选) 如图1所示，匝数为10、面积为0.04m2的线圈与光滑平行斜导轨连接（且共面），导轨的倾角θ=30°，间距为0.5m，导轨间存在磁感应强度大小B1=0.8T、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场。一长为0.5m、质量为0.8kg的导体棒ab由静止释放，ab最终以5m/s的速度沿导轨匀速运动。若把ab轻放在图示位置，在线圈处加上方向垂直线圈平面的匀强磁场，其磁感应强度大小B2随时间t变化的关系图像如图2所示，导轨处磁场不变，则ab恰好保持静止状态。整个过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度g取10m/s2.则下列说法正确的是（　　） A．导体棒ab沿导轨匀速运动时产生的感应电动势为2V B．导体棒ab的电阻为0.2Ω C．线圈处的磁场方向垂直线圈平面向上 D．图2中B0=14T 【答案】AC 【解析】A．ab向下匀速运动时，产生的感应电动势 E=B1Lv=2V 选项A正确； B．ab沿导轨匀速运动时受力平衡，有 解得 R总=0.2Ω 即ab与线圈的总电阻为0.2Ω，B错误； C．ab恰好保持静止状态，说明ab受到的安培力方向沿导轨向上，根据左手定则判断知：ab中的电流方向沿ab方向，线圈中的感应电流方向沿逆时针方向，根据楞次定律判断知：线圈处的磁场方向垂直线圈平面向上，C正确； D．ab静止受力平衡，则 mgsinθ=B1I2L 其中t2=0.28s，解得 B0=1.4T D错误。 故选AC。 【变式训练1-3-9】(多选) 轻质细线吊着一质量为m=0.32kg、边长为L=0.8m、匝数n=10的正方形线圈，总电阻为R=1Ω。如图甲所示，边长为的正方形磁场区域对称分布在线圈下方的两侧，磁场方向垂直纸面向里，大小随时间变化如图乙所示。从t=0开始经t0时间细线开始松弛，则（g取10m/s2）（　　） A．t=0时刻穿过线圈的磁通量为0.8Wb B．在前t0时间内线圈中产生的电动势为0.4V C．t=0时刻的线圈受到的安培力为0.016N D．t0的数值为2s 【答案】BD 【解析】A．t=0时刻穿过线圈的磁通量 A错误； B．由法拉第电磁感应定律得 B正确； C．线圈中的电流为 t=0时刻的线圈受到的安培力 C错误； D．分析线圈受力可知，当细线松弛时有 又 联立解得 由图象知 解得 D正确。 故选BD。 【变式训练1-3-10】 如图甲所示，虚线左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为；左侧匀强磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一硬质细导线的电阻率为、横截面积为，将该导线做成半径为的圆环固定在纸面内，圆心在上。求： （1）时，圆环受到的安培力； （2）在内，通过圆环的电荷量。 【答案】（1），安培力方向垂直于向左；（2） 【解析】(1)根据法拉第电磁感定律，圆环中产生的感应电动势 上式中 由图乙可知 根据欧姆定律有 根据电阻定律有 时，圆环受到的安培力 联立解得安培力方向垂直于向左。 (2)通过圆环的电荷量 根据欧姆定律和法拉第电磁感应定律有 在内，圆环磁通量的变化量为 联立解得 【变式训练1-3-11】 如图甲所示，用粗细均匀的导线制成的一只单匝正方形金属框，现被一根绝缘丝线悬挂在竖直平面内处于静止状态，已知金属框的质量为m，边长L，金属框的总电阻为R，金属框的上半部分处在方向垂直框面向里的有界磁场中（磁场均匀分布），下半部分在磁场外，磁场的磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，丝线能承受的最大拉力为F，从t＝0时刻起，测得经过t0=5s，丝线刚好被拉断，金属框由静止开始下落。金属框在下落过程中上边框离开磁场前已开始做匀速直线运动，金属框始终在竖直平面内且未旋转，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)0-5s内，金属框产生感应电流方向以及磁感应强度B0的大小； (2)金属框的上边框离开磁场前做匀速直线运动的速度v的大小。 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由楞次定律可知，0～5s时间内金属框中感应电流为逆时针方向；由法拉第电磁感应定律 ① 感应电流大小为 ② 5s时受到的安培力为 ③ 丝线刚好被拉断，则有F=F安+mg ④ 联立①②③④解得 ⑤ (2)由题意可知，5s后磁感应强度为B0不变。金属框在上边框离开磁场前做匀速运动，即有 ⑥ 金属框做匀速运动产生的感应电动势大小为 ⑦ 由闭合电路欧姆定律可得 ⑧ 解得 ⑨ 【变式训练1-3-12】 如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨、固定在水平面内，相距为L，轨道端点M、P间接有阻值为R的电阻，导轨电阻不计长度为L、质量为m、电阻为r的金属棒垂直于、静止放在导轨上，与间的距离为d，棒与导轨接触良好。时刻起，整个空间加一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t的变化规律如图乙所示，图中、已知。 (1)若时刻棒的速度大小为v，求时间内安培力对棒所做的功W； (2)在时间内，若棒在外力作用下保持静止，求此时间内电阻R产生的焦耳热Q。 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)对导体棒，由动能定理得，安培力对导体棒做的功为 (2)电路中产生的电动势 导体棒中的电流 导体棒在外力作用下保持静止，时间内电阻R上产生的焦耳热 解得 【变式训练1-3-13】 如图甲所示，N匝线圈b与阻值为R的电阻构成闭合回路，已知线圈b的半径为2r，总电阻为R0。半径为r的圆形区域a内存在周期性变化的磁场，磁场与线圈b垂直，规定图中所示磁场方向为正方向。磁感应强度变化规律如图乙所示，最大值为B0，周期为T。 (1)求时刻回路中感应电动势的大小； (2)通过计算在图丙中画出i­-t图像（规定回路中逆时针方向为电流正方向）； (3)求一个周期T内电阻R产生的热量Q。 【答案】(1)6Nπr2； (2)；(3) 【解析】(1) 时刻回路中感应电动势的大小为E=NS=6Nπr2 (2)0~内I==6Nπr2方向为顺时针方向； ~内E′=3Nπr2 I′=3Nπr2方向为逆时针方向； ~T内I=6Nπr2方向为顺时针方向。 如图所示 (3)一个周期的发热量为 Q=Q1＋Q2＋Q3=I2R·×2＋I′2R·= 【变式训练1-3-14】 如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路，线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计，在0至t1时间（R、n、r1、r2、t0、B0π为已知量） （1）判断a、b两点的电势高低； （2）求a、b两点的电势差Uab。 【答案】（1）a点电势比b点低；（2） 【解析】（1）由B-t图象知，穿过线圈的磁通量均匀减小，根据楞次定律可知a点电势比b点低； （2）由法拉第电磁感应定律得 又有 S=πr22 由欧姆定律得 线圈两端的电压为电路的路端电压，有 Uba=IR1= Uab=-Uba=- 【变式训练1-3-15】 如图甲所示，质量m=6.0×10-3g、边长L=0.20m、电阻R=1.0Ω的正方形单匝金属线框abcd，置于倾角α=30°的绝缘斜面上，ab边沿水平方向，线框的上半部分处在垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t按图乙所示的规律周期性变化，若线框在斜面上始终保持静止，取g=10m/s2。试求： (1)在0-2.0×10-2s间内线框中产生的感应电流大小； (2)在t=1.0×10-2s时线框受到斜面的摩擦力； (3)一个周期内感应电流在线框中产生的平均电功率。 【答案】(1)0.20A；(2)；(3)0.06W 【解析】(1)线框中产生的感应电动势E1，感应电流I1，则 解得 (2)此时受到的安培力解得 此时线框受到的摩擦力为f，则解得方向沿斜面向上； (3)在时间内线框中产生的感应电动势 解得E2=0.40V 设磁场变化的周期为T，线圈中的电功率为P，则 解得P=0.06W 【变式训练1-3-16】 如图甲所示，在一倾角为37°的粗糙绝缘面上，静止地放置着一个正方形单匝线圈ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，线圈总电阻R=2.0Ω、总质量m=0.02kg、正方形边长L=0.4m。如果向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑。现在将线圈静止放在斜面上后，在虚线EF以下的区域中，加上垂直斜面向内的、磁感应强度大小按图乙中所示规律变化的磁场，（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)t=0.1s时刻，线圈中的感应电流的大小I； (2)从t=0时刻开始经过多少时间t线圈刚要开始运动； (3)从t=0时刻开始到线圈刚要运动，线圈中产生的热量Q。 【答案】（1）0.2A；（2）0.4s；（3）0.032J 【解析】(1)根据图乙可得 由法拉第电磁感应定律得感应电动势 根据闭合电路得欧姆定律可得，线圈中得电流为 感应电流恒定不变，所以t=0.1s时刻，线圈中的感应电流的大小为0.2A； (2)由法拉第电磁感应定律判断可知，线圈中的感应电流方向为逆时针方向，根据左手定则判断线圈AD边受到的安培力方向沿斜面向上，当线圈刚要开始运动时，线圈受到摩擦力为最大静摩擦力，且方向沿斜面向下，由 根据题意，有 解得 代入解得 (2)由焦耳定律 同理内 两次电流方向相反，故 可得 题型02：动生电动势 （一）导体棒平动切割产生感应电动势 【典型例题1】如图所示，水平面内光滑的平行长直金属导轨间距为，左端接电阻，导轨上静止放有一金属棒。正方形虚线框内有竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场，该磁场正以速度匀速向右移动，则（　　） A．电阻两端的电压恒为 B．电阻中有从向的电流 C．导体棒以速度向左运动 D．导体棒也向右运动，只是速度比小 【答案】D 【解析】CD．根据楞次定律，磁场正以速度匀速向右移动，磁通量减小，则导体棒也向右运动，阻碍磁通量的减小，但由于要产生感应电流，棒的速度比小，C错误，D正确； B．由此可认为磁场不动棒向左切割，感应电流方向从向流过，B错误； A．产生感应电动势的大小看棒与磁场的相对速度，故电阻两端的电压小于，A错误。故选D。 【典型例题2】如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是（　　） A．通过金属棒的电流为 B．金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为 C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电 D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定 【答案】A 【解析】C．根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误； A．由题知导体棒匀速切割磁感线，根据几何关系切割长度为L = 2xtanθ，x = vt 则产生的感应电动势为E = 2Bv2ttanθ 由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q = CE = 2BCv2ttanθ 则流过导体棒的电流I = = 2BCv2tanθ A正确； B．当金属棒到达x0处时，导体棒产生的感应电动势为 E′ = 2Bvx0tanθ 则电容器的电荷量为 Q = CE′ = 2BCvx0tanθ B错误； D．由于导体棒做匀速运动则 F = F安 = BIL 由选项A可知流过导体棒的电流I恒定，但L与t成正比，则F为变力，再根据力做功的功率公式 P = Fv 可看出F为变力，v不变则功率P随力F变化而变化； D错误； 故选A。 【典型例题3】如图所示，两条电阻不计的平行导轨与水平面成θ角，导轨的一端连接定值电阻R1，匀强磁场垂直穿过导轨平面．一根质量为m、电阻为R2的导体棒ab，垂直导轨放置，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，且R2＝2R1．如果导体棒以速度v匀速下滑，导体棒此时受到的安培力大小为F，则棒匀速运动过程中以下判断正确的是（　　） A．电阻R1消耗的电功率为Fv B．通过棒的电流方向为a到b C．重力做功的功率为mgvcosθ D．运动过程中棒减少的机械能全部转化为电能、摩擦热和焦耳热 【答案】A 【解析】A、当导体棒以速度v匀速下滑时，由I、E＝BLv、F＝BIL，得安培力F，电阻R1消耗的热功率为P＝I2R1＝（）2 R1，R2＝2R1，联立解得，P，故A正确； B、根据右手定则，可以判断通过棒的电流方向为b到a，故B错误； C、棒在竖直方向的分速度为vsinθ，根据瞬时功率公式P＝Fv可得，重力做功的功率为P＝mgvsinθ，故C错误； D、根据功能关系可知，运动过程中棒减少的机械能全部转化为电能和摩擦热，电能最终又转化为焦耳热，故D错误； 【典型例题4】如图，固定于水平面上的金属架处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒沿框架以速度向右做匀速运动。时，磁感应强度为，此时到达的位置恰好使构成一个边长为的正方形。为使棒中不产生感应电流，磁感应强度变化规律的图像为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为使棒中不产生感应电流，即经过时间线圈的磁通量不变，有 可得 即磁感应强度与构成正比例函数关系。 故选D。 【典型例题5】如图，足够长的间距d＝1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B＝0.5T，方向如图所示。一根质量ma＝0.1kg，阻值Ra＝1.0Ω的金属棒a以v0＝4m/s的初速度从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb＝0.2kg，阻值Rb＝1.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。 （1）求金属棒a刚进入磁场时棒a两端的电压U0； （2）求金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量Q； （3）通过计算判断金属棒a能否再次穿过磁场区域。 【答案】（1）金属棒a刚进入磁场时棒a两端的电压为1.2V； （2）金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量为0.35J； （3）金属棒a刚好穿过左边界。 【解析】（1）金属棒a刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有：E＝Bdv0＝0.5×1×4V＝2V 此时棒a两端的电压U0E 代入数据解得：U0＝1.2V （2）设金属棒a第一次离开磁场时速度大小为va。金属棒a第一次穿过磁场中，以初速度方向为正方向，对金属棒a，根据动量定理，有﹣Bd•t＝mava−mav0 此过程回路产生的总焦耳热为Q，则有Qmav02−mava2 金属棒a第一次穿过磁场过程中，通过b棒的电荷量为qt 根据闭合电路的欧姆定律有 利用法拉第电磁感应定律可得 又磁通量变化量为ΔΦ＝B•dL 联立解得Q＝0.35J， （3）金属棒a与金属棒b发生弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律有mava＝mav'a+mbvb 由机械能守恒定律得：mava2mava′2mbvb2 解得v'a＝﹣1m/s，金属棒a反弹重新进入磁场，设金属棒a最终停在距磁场左边界距离为x。 对金属棒a第二次在磁场中运动的过程，取向左为正方向，根据动量定理得： Bd•t′＝0−mav′a 此过程中通过金属棒a的电荷量为q′t' 解得x＝1m，则金属棒a最终停在距磁场左边界s＝L﹣x＝1m﹣1m＝0m，即刚好穿过左边界。 【典型例题6】如图，一边长为l0的正方形金属框abcd固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率v自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与ac垂直且中点位于ac上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大小随x（）变化的关系式。 【答案】 【解析】当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l时，由法拉第电磁感应定律知，导体棒上感应电动势的大小为 ① 由欧姆定律，流过导体棒的感应电流为 ②式中，R为这一段导体棒的电阻。 按题意有 ③ 此时导体棒所受安培力大小为 ④ 由题设和几何关系有⑤ 联立①②③④⑤式得⑥ 【变式训练2-1-1】浮桶式灯塔模型如图甲，其由带空腔的磁体和一个连着灯泡的线圈组成，磁体在空腔产生的磁场如图乙所示，磁体通过支柱固磁体定在暗礁上，线圈随波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，则浮桶线圈（　　） A．当海面平静时，灯泡稳定发光 B．当海水水平匀速流动时，灯泡稳定发光 C．海水上下震荡幅度越大，灯泡发光越亮 D．海水上下震荡速度越快，灯泡发光越亮 【答案】D 【解析】A．当海面平静时，线圈静止不动，不切割磁感线，不产生电动势，灯泡不亮，故A错误； B．当海水水平匀速流动时，线圈不切割磁感线，不产生电动势，灯泡不亮，故B错误； CD．线圈随海水上下震荡，切割磁感线产生的电动势可知：电动势的大小与海水上下震荡速度有关，与震荡幅度无关，v越大，E越大，则灯泡发光越亮，故C错误，D正确。故选D。 【变式训练2-1-2】飞机在北半球的上空以速度v从东向西水平飞行，飞机机身长为a，机翼两端点的距离为b。该空间地磁场的磁感应强度的竖直分量为，水平分量为。设驾驶员左侧机翼的端点为C，右侧机翼的端点为D，两点间的电压为U，则（　　） A．，且C点电势高于D点电势 B．，且C点电势低于D点电势 C．，且C点电势高于D点电势 D．，且C点电势低于D点电势 【答案】A 【解析】飞机水平飞行机翼切割磁场竖直分量，由导体棒切割磁感线公式E=BLv可知，飞机产生的感应电动势E=B1bvCD两点间的电压为U=B1bv由右手定则可知，在北半球，不论沿何方向水平飞行，都是飞机的左方机翼电势高，右方机翼电势低，即C点电势高于D点电势，故A符合题意，BCD不符合题意。故选A。 【变式训练2-1-3】如图所示，abcd为水平放置的平行“”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场、磁感应强度大小为B，导轨电阻不计．已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)，则(　　) A．电路中感应电动势的大小为 B．电路中感应电流的大小为 C．金属杆所受安培力的大小为 D．金属杆的热功率为 【答案】B 【解析】　当杆滑动时，动生电动势E＝Blv，A错误．金属杆长为，所以金属杆的电阻R＝，由欧姆定律可知I＝＝，B正确．安培力F＝＝，C错误．金属杆的热功率P＝I2R＝，D错误． 【变式训练2-1-4】如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E；将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′．则等于(　 　) A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由法拉第电磁感应定律知直金属棒运动时其两端电动势E＝BLv， 而E′＝B· Lv，则＝＝，因此B正确，A、C、D错误． 【变式训练2-1-5】如图所示，MN、PQ为两平行金属导轨，M、P间连有一阻值为R的电阻，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度为B，磁场方向与导轨所在平面垂直，图中磁场垂直纸面向里.有一金属圆环沿两导轨滑动，速度为v，与导轨接触良好，圆环的直径d与两导轨间的距离相等.设金属环与导轨的电阻均可忽略，当金属环向右做匀速运动时 A．有感应电流通过电阻R，大小为 B．有感应电流通过电阻R，大小为 C．有感应电流通过电阻R，大小为 D．没有感应电流通过电阻R 【答案】B 【解析】当金属圆环运动时，相当于电源。即两个电动势相等的电源并联，根据法拉第电磁感应定律，则电路中电动势为： 根据闭合电路欧姆定律，则通过电阻电流的大小为： 故B正确，ACD错误。 故选B． 【变式训练2-1-6】水平导轨左端接电阻R，导轨电阻不计，垂直导轨方向有匀强磁场，导轨宽为d，垂直导轨放一不计电阻的导体棒，当导体棒以速度v匀速向右运动时，回路会有一个电流，之后把导体棒固定在离电阻距离也是d的地方，磁感应强度随时间均匀变化，在回路中也产生相同的电流，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度的变化率磁场一定增加，与磁场的方向无关 B．磁感应强度的变化率磁场一定减少，与磁场的方向无关 C．磁感应强度的变化率磁场一定增加，与磁场的方向无关 D．磁感应强度的变化率磁场增加减少与磁场的方向有关 【答案】C 【解析】当导体棒以速度v匀速向右运动时，闭合回路中磁通量增加，磁感应强度随时间均匀变化时，在回路中也产生相同方向的电流，此时闭合回路中磁通量也要增加，则磁感应强度一定增加；当导体棒以速度v匀速向右运动时，产生的感应电动势为磁感应强度随时间均匀增大，产生的感应电动势为 在回路中也产生相同电流，感应电动势也相等，故即可得 故C正确。故选C。 【变式训练2-1-7】迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为，地球半径为R，质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据 可得卫星做圆周运动的线速度 根据右手定则可知，导体绳产生的感应电动势相当于上端为正极的电源，其大小为 因导线绳所受阻力f与安培力F平衡，则安培力与速度方向相同，可知导线绳中的电流方向向下，即电池电动势大于导线绳切割磁感线产生的电动势 ，可得 解得 故选A。 【变式训练2-1-8】某电子天平原理如图所示，“E”形磁铁的两侧为N极，中心为S极。两极间的磁感应强度大小均为B（其余空间的磁场忽略不计），磁极宽度均为L，—正方形线圈套于中心磁极上，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接，当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动（骨架与磁铁不接触）。随后通过CD两端对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量。已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．秤盘和线圈一起向下运动过程中，C点电势低于D点电势 B．外电路对线圈供电电流I要从C端流入 C．称盘和线圈下落过程中线圈的磁通量为零，所以不产生感应电动势 D．若线圈静止时消耗的最大电功率为P，该电子天平能称量的最大质量为 【答案】D 【解析】AC．由图知，线圈向下运动，线圈切割磁感线，根据右手定则可知，线圈产生感应电动势，感应电流从C端流出，D端流入，C点电势高于D点电势，故AC错误； B．根据左手定则可知，若想使弹簧恢复形变，安培力必须向上，根据左手定则可知外电流应从D端流入，故B错误； D．由平衡条件知 mg=2nBIL 得重物质量与电流的关系为 根据 P=I2R 可得最大质量为 故D正确。 故选D。 【变式训练2-1-9】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，导体棒静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好，电容足够大，原来不带电；现使导体棒沿导轨向右运动，初速度为，设导体棒的速度为、动能为、两端的电压为，电容器上的电荷量为。下列图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】开始时，导体棒向右运动，产生感应电动势，同时电容器充电，回路中有感应电流，导体棒受到向左的安培力而做减速运动，随速度的减小，根据 E=BLv 可知感应电动势减小，充电电流减小，安培力减小，则棒的加速度 减小，当加速度减为零时导体棒做匀速运动，此时电容器两板间电压恒定不变；此过程中电容器一直充电，电量一直增加，MN间电压一直增加，最后不变，则选项A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练2-1-10】如图，空间中存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=2 T，足够长的“U”形金属导轨与电阻R连接后倾斜放置，导轨间距L=1 m，与水平面的夹角θ=37°，现将质量m=0.1 kg 的金属棒从导轨上由静止释放。已知R=6 Ω，金属棒的阻值r=2 Ω，导轨的电阻不计，金属棒与导轨间的摩擦不计，sin37°=0.6， cos37°=0.8， g=10 m/s2，则（　　） A．金属棒的最大加速度为6 m/s2 B．金属棒的最大速度为1. 875 m/s C．金属棒的最大速度为2.5 m/s D．1秒钟内通过电阻R的最大电量为0.375 C 【答案】ABD 【解析】A．根据右手定则可知：流过金属棒的电流垂直于导轨向外，受到的安培力方向向右，根据 再由牛顿第二定律 得 初始时刻 加速度最大，为 故A正确； BC．金属棒做加速度减小的加速运动，当加速度为0时速度最大，为 故B正确，C错误； D．当速度最大时，1秒钟内通过电阻R的电量最大，为 故D正确。 故选ABD。 【变式训练2-1-11】如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中．一导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动．质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态．不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力． (1)通过ab边的电流Iab是多大？ (2)导体杆ef的运动速度v是多大？ 【答案】(1)　(2) 【解析】　(1)设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为Iab，dc边的电流为Idc， 则Iab＝I① Idc＝I② 金属框受重力和安培力，处于静止状态，有mg＝B2IabL2＋B2IdcL2③ 由①②③，解得Iab＝④ (2)由(1)可得I＝⑤ 设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有E＝B1L1v⑥ 设ad、dc、bc三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则R＝r⑦ 根据闭合电路欧姆定律，有I＝⑧ 由⑤～⑧，解得v＝⑨ 【变式训练2-1-12】如图所示，bacd为静止于水平面上宽度为L，而长度足够长的U型金属滑轨，ac边接有电阻R，其他部分电阻不计．ef为一可在滑轨平面上滑动，质量为m的均匀导体棒．整个滑轨面处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，忽略所有摩擦． (1)若用恒力F沿水平方向向右拉棒，使其平动，求导体棒的最大速度． (2)若导体棒从开始运动到获得最大速度发生的位移为s，求这一过程中电阻R上产生的热量Q. 【答案】(1)　(2)Fs－ 【解析】　(1)方法1：导体棒受到恒力F后的运动情况，可用如下式子表示： F―→v↑E↑I↑F安↑F合↓a↓ 当a＝0时，速度达到最大值，即F＝BIL＝BL，解得v＝ 方法2：从能量角度看，当棒稳定时P外＝P电，即F·v＝＝，解得v＝ (2)导体棒受到恒力F后的能量转化情况如下： F做功 根据能量转化与守恒定律得：Fs＝mv2＋Q，解得Q＝Fs－ 【变式训练2-1-13】如图甲所示，两根相距、电阻不计的平行且足够长光滑金属导轨水平放置，一端与阻值的电阻相连。导轨间存在磁感应强度沿轴正方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直且垂直纸面向内，图像如图乙所示。一根电阻的金属棒置于导轨上，始终与导轨垂直并接触良好。金属棒在外力作用下从处以初速度沿导轨向右运动，运动过程中通过电阻的电流不变，求： （1）金属棒端和端，哪一端的电势高，及通过金属棒的电流大小； （2）金属棒运动到处的速度大小； （3）金属棒从处运动到处的过程中克服安培力做功的大小。 【答案】（1）端， （2） （3） 【解析】(1)根据右手定则可知感应电流的方向由到，可以等效为电源的金属棒上电流方向由低电势到高电势，所以端电势高金属棒切割磁感线时的感应电动势， 根据闭合电路欧姆定律可知感应电流，解得 (2)金属棒运动过程中感应电流不变，则， 由题图乙可知， 代入数据解得金属棒运动到处时的速度大小 (3)金属棒受到的安培力大小为， 金属棒从处运动到处过程中克服安培力做功，其中， 代入数据解得 【变式训练2-1-14】如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。 （1）求金属杆中的电流和水平外力的功率； （2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为，求： （i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热； （ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。 【答案】（1）I = ，P = ；（2）（i）Q = mv02，（ii）d = 【解析】（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势E = Blv0 则金属杆中的电流I = = 由题知，金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动则有F = F安 = BIl = 根据功率的计算公式有P = Fv0 = （2）（i）设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，则金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为I = nSeu0 = 则解得nSe = 此时电子沿金属杆定向移动的速率变为，则I′ = nSe = 解得v′ = 则能量守恒有mv′ = mv02 - Q 解得Q = mv02 （ii）由（i）可知在这段时间内金属杆的速度由v0变到，则根据动量定理有 - Bqlt = m - mv0 = - BlnSe = - BlnSed（取向右为正） 由于nSe = 化简得d = 【变式训练2-1-15】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦． (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的最大速度． 【答案】 (1)重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直斜面向上；安培力F，方向平行斜面向上，如图所示 (2)I＝　a＝gsin θ－ (3) 【解析】 (1)重力mg，方向竖直向下；支撑力FN，方向垂直斜面向上；安培力F，平行斜面向上． (2)当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流． I＝ ＝， ab杆所受安培力F＝BIL＝. 根据牛顿运动定律，有 ma＝mgsin θ－F＝mgsin θ－， a＝gsin θ－. (3)当＝mgsin θ时，ab杆达到最大速度vm， vm＝. 【变式训练2-1-16】如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度．已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计． 【答案】见解析 【解析】 ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg、支持力FN 、摩擦力Ff、安培力F安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是 v↑→E↑→I↑→F安↑→a↓(↑为增大符号)，所以这是个变加速过程，当加速度减到a＝0时，其速度即增到最大v＝vm，此时必将处于平衡状态，以后将以vm匀速下滑． ab下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律： E＝BLv ① 闭合电路AC ba中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律：I＝② 根据右手定则可判定感应电流方向为aACba，再根据左手定则判断它受的安培力 F安方向如图所示，其大小为：F安＝BIL③ 取平行和垂直导轨的两个方向对ab所受的力进行正交分解，应有： FN＝mgcos θ　Ff＝μmgcos θ 由①②③可得：F安＝. 以ab为研究对象，根据牛顿第二定律应有： mgsin θ－μmgcos θ－＝ma； ab做加速度减小的变加速运动，当a＝0时速度达最大．因此，ab达到vm时应有： mgsin θ－μmgcos θ－＝0④ 由④式可解得 vm＝. （二）线框平动切割磁感线产生电动势 【典型例题】(多选)如图所示，在0≤x≤3L的区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，粗细均匀的正方形金属线框abcd位于xOy平面内，线框的bc边与x轴重合，cd边与y轴重合，线框的边长为L，每条边的电阻为R。现让线框从图示位置由静止开始沿x轴正方向以加速度a做匀加速直线运动，则下列说法正确的是(　　) A．进入磁场时，线框中的电流沿abcda方向，出磁场时，线框中的电流沿adcba方向 B．进入磁场时，c端电势比d端电势高，出磁场时，b端电势比a端电势高 C．a、b两端电压的最大值为BL D．线框中的最大电功率为 【答案】AD 【解析】由右手定则，可判断感应电流方向，A正确；进入磁场时，cd相当于电源，d是正极，c端电势比d端电势低，出磁场时，ab相当于电源，a是正极，b端电势比a端电势低，B错误；ab边与磁场右边界重合时，线框的速度最大，a、b两端电压最大，由匀变速直线运动规律有4L＝at2，v＝at，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv，又Uabmax＝E，联立得Uabmax＝BL，C错误；ab边与磁场右边界重合时，线框中的电功率最大，Pmax＝＝＝，D正确。 【变式训练2-2-1】如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（   ）    A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【答案】D 【解析】A．线框进磁场的过程中由楞次定律知电流方向为逆时针方向，A错误； B．线框出磁场的过程中，根据E = Blv 联立有 由于线框出磁场过程中由左手定则可知线框受到的安培力向左，则v减小，线框做加速度减小的减速运动，B错误； C．由能量守恒定律得线框产生的焦耳热 Q = FAL 其中线框进出磁场时均做减速运动，但其进磁场时的速度大，安培力大，产生的焦耳热多，C错误； D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量 其中， 则联立有 由于线框在进和出的两过程中线框的位移均为L，则线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故D正确。 故选D。 【变式训练2-2-2】如图所示，一个边长为l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框．在t＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域．以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正．下列表示i—t关系的图示中，可能正确的是(　　) 【答案】C 【解析】解析　从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，所以感应电流也逐渐增大，A项错误．从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界时，切割磁感线有效长度不变，故感应电流不变，B项错．当正方形线框下边离开磁场，上边未进入磁场的过程比正方形线框上边进入磁场过程中，磁通量减少的稍慢，故这两个过程中感应电动势不相等，感应电流也不相等，D项错，故正确选项为C. 答案　C 【变式训练2-2-3】（多选）如图所示，将一个与匀强磁场垂直的正方形多匝线圈从磁场中匀速拉出的过程中，拉力做功的功率(　　) A．与线圈匝数成正比 B．与线圈边长的平方成正比 C．与导线的电阻率成正比 D．与导线横截面积成正比 【答案】AD 【解析】磁感应强度为B，导线的横截面积为S，电阻率为ρ，拉出磁场时的速度为v，设线圈边长为L，匀速拉出时E＝nBLv，I＝E/R，R＝，l＝4nL所以P＝Fv＝nBILv＝nB2L2v2/R＝，所以A、D正确． 【解析】　AD 【变式训练2-2-4】（多选）如图是一种精确测量质量的装置原理示意图，竖直平面内，质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度不变。测量分两个步骤，步骤①：托盘内放置待测物块，其质量用m表示，线圈中通大小为I的电流，使称重框架受力平衡；步骤②：线圈处于断开状态，取下物块，保持线圈不动，磁场以速率v匀速向下运动，测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值，重力加速度为g。下列说法正确的有（    ） A．线圈电阻为 B．I越大，表明m越大 C．v越大，则E越小 D． 【答案】BD 【解析】A．根据题意电动势E是线圈断开时切割磁感线产生的感应电动势，I为线圈闭合时通入的电流，故不是线圈的电阻；故A错误； B．根据平衡条件有①，故可知I越大，m越大；故B正确； C．根据公式有②故可知v越大，E越大；故C错误； D．联立①②可得，故D正确。 故选BD。 【变式训练2-2-5】如图所示，电阻为的正方形单匝线圈的边长为，边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为。在水平拉力作用下，线圈以的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中： (1)感应电动势的大小E； (2)所受拉力的大小F； (3)感应电流产生的热量Q。 【答案】(1)0.8V；(2)0.8N；(3)0.32J 【解析】(1)由题意可知当线框切割磁感线是产生的电动势为 (2)因为线框匀速运动故所受拉力等于安培力，有 根据闭合电路欧姆定律有 结合(1)联立各式代入数据可得F=0.8N； (3)线框穿过磁场所用的时间为 故线框穿越过程产生的热量为 （三） 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 【典型例题1】如图，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面（纸面）向里，磁感应强度大小为B0。使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小从B0开始在Δt时间内均匀减小到零。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，Δt应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设半圆弧的半径为，线框从静止开始绕圆心O以角速度ω匀速转动时，线圈中产生的感应电动势大小为 线框保持图中所示位置，磁感应强度大小从B0开始在Δt时间内均匀减小到零，根据法拉第电磁感应定律可得线圈中产生的感应电动势大小为 为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，则有 联立解得 故选C。 【典型例题2】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘。现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动。O、A、C点电势分别为φ0、φA、φC，则（   ）    A．φO > φC B．φC > φA C．φO = φA D．φO－φA = φA－φC 【答案】A 【解析】ABC．由题图可看出OA导体棒转动切割磁感线，则根据右手定则可知φO > φA 其中导体棒AC段不在磁场中，不切割磁感线，电流为0，则φC = φA，A正确、BC错误； D．根据以上分析可知φO－φA > 0，φA－φC = 0 则φO－φA > φA－φC，D错误。 故选A。 【典型例题3】如图所示，边长为L、电阻为R的正方形单匝导线框abcd放于纸面内，在ad边的左侧有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，现使导线框绕过a点且平行于磁场方向的轴以角速度沿顺时针方向匀速转动，在导线框转过45º的过程中（　　） A．导线框产生沿逆时针方向的感应电流 B．导线框经过虚线位置时产生的瞬时感应电动势大小为 C．导线框受到的安培力逐渐增大，方向不断变化 D．流过导线框的电荷量为 【答案】B 【解析】A．由楞次定律可知，导线框产生沿顺时针方向的感应电流，选项A错误； B．导线框经过虚线位置时产生的瞬时感应电动势大小为选项B正确； C．导线框线框转动时，切割磁感线的有效长度逐渐增加，则感应电动势逐渐变大，感应电流逐渐变大，则受到的安培力逐渐增大，但是方向不变，总是垂直边界线向左，选项C错误。 D．流过导线框的电荷量为选项D错误。故选B。 【典型例题4】（多选）如图所示，将半径分别为和的同心圆形金属导轨固定在同一绝缘水平面内，两导轨之间接有阻值为的定值电阻和一个电容为的电容器，整个装置处于磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场中。将一个长度为、阻值为的金属棒置于圆导轨上面，、、三点共线，在外力的作用下金属棒以为转轴顺时针匀速转动，转动周期为，假设金属棒在转动过程中与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属棒在经过和时互不干扰。下列说法正确的是（　　） A．点的电势高于点的电势 B．电容器的上极板带正电 C．通过电阻的电流为 D．电容器的电荷量为 【答案】AD 【解析】AB．由右手定则可知，点的电势高于点的电势，电容器的下极板带正电，B错误A正确； C．角速度大小为 所以金属棒产生的感应电动势大小为 通过电阻的电流为 C错误； D．电容器两端电压 电容器的电荷量为 D正确。 故选AD。 【典型例题5】如图甲所示，ACD是固定在水平面上的半径为2r、圆心为O的金属半圆弧导轨，EF是半径为r、圆心也为O的半圆弧，在半圆弧EF与导轨ACD之间的半圆环区域内存在垂直导轨平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，B随时间t变化的图象如图乙所示．OA间接有电阻P，金属杆OM可绕O点转动，M端与轨道接触良好，金属杆OM与电阻P的阻值均为R，其余电阻不计。 （1）0～t0时间内，OM杆固定在与OA夹角为θ1＝的位置不动，求这段时间内通过电阻P的感应电流大小和方向； （2）t0～2t0时间内，OM杆在外力作用下以恒定的角速度逆时针转动，2t0时转过角度θ2＝到OC位置，求电阻P在这段时间内产生的焦耳热Q。 【答案】（1）；感应电流方向为：A→O；（2） 【解析】（1）0～t0时间内的感应电动势 E1＝＝·S1 其中 ＝ S1＝·π（2r）2－πr2＝ 感应电流 I1＝ 联立解得 I1＝ 由楞次定律可判断通过电阻P的感应电流方向为：A→O。 （2）t0～2t0时间内，OM转动的角速度为 ω＝ 感应电动势为 E2＝B0r 其中 ＝ 又 I2＝ 则电阻P在这段时间内产生的焦耳热 Q＝I22Rt0 联立得 Q＝ 【变式训练2-3-1】空间存在范围足够大、竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，在其间竖直固定两个相同的、彼此正对的金属细圆环a、b，圆环a在前、圆环b在后。圆环直径为d，两环间距为L、用导线与阻值为R的外电阻相连，如图所示。一根细金属棒保持水平、沿两圆环内侧做角速度为ω的逆时针匀速圆周运动（如图），金属棒电阻为r。棒与两圆环始终接触良好，圆环电阻不计。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒在最低点时回路电流为零 B．金属棒在圆环的上半部分运动时（不包括最左和最右点），a环电势低于b环 C．从最高点开始计时，回路电流的瞬时值为isinωt D．电阻R两端电压的有效值为U 【答案】D 【解析】解：A、金属杆做圆周运动的线速度，设金属杆的速度方向与磁场间的夹角为θ，从最高点开始计时，感应电动势，感应电流 L、R、ω、r都是定值，从最高点到最低点的过程中sinθ先减小后增大，金属棒在最低点时回路电流最大，故A错误； B、金属棒在圆环的上半部分运动时（不包括最左和最右点），根据右手定则可知a环电势高于b环，故B错误； C、金属棒在最高点时垂直切割磁感线，感应电流最大，则从最高点开始计时，回路电流的瞬时值为，故C错误； D、电流的有效值为，电阻R两端电压的有效值为，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-3-2】连接一电阻M。金属棒一端固定在O点，另一端P绕过O点的轴，在水平面内以角速度为逆时针匀速转动，该过程棒与圆弧良好接触。半圆弧内磁场垂直纸面向外，半圆弧外磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B，已知金属棒由同种材料制成且粗细均匀，棒长为2l、总电阻为2r，M阻值为r，其余电阻忽略不计。当棒转到图中所示的位置时，棒与圆弧的接触处记为Q点，则（　　） A．通过M的电流方向为 B．通过M的电流大小为 C．QO两点间电压为 D．PQ两点间电压为 【答案】C 【解析】A．根据右手定则可知金属棒O端为负极，Q端为正极，则M的电流方向从a→O，A错误； B．金属棒转动产生的电动势为根据欧姆定律有，B错误； C．由于其余电阻忽略不计，则OQ两点间电压，即电阻M的电压，根据欧姆定律有，C正确； D．金属棒PQ转动产生的电动势为由于PQ没有连接闭合回路，则PQ两点间电压，即金属棒PQ转动产生的合电动势，D错误。故选C。 【变式训练2-3-3】如图，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，相当于Oa、Ob、Oc导体棒转动切割磁感线，根据右手定则可知O点电势最高；根据 同时有 可得得 故选C。 【变式训练2-3-4】如图所示，一导体圆环位于纸面内，O为圆心。环内两个圆心角为90°的扇形区域内分别有匀强磁场，两磁场磁感应强度的大小相等，方向相反且均与纸面垂直。导体杆OM可绕O转动，M端通过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻R。杆OM以匀角速度逆时针转动，时恰好在图示位置。规定从b到a流经电阻R的电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从开始转动一周的过程中，电流随变化的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】杆OM以匀角速度逆时针转动，时恰好进入磁场，故内有感应电流通过电阻，根据右手定则可以判断，感应电流方向从M指向圆心O，再经b到电阻R到a，故电流方向与规定的正方向相反，为负值。在内，由于没有磁场，则没有感应电流产生。在内，杆OM又进入磁场切割磁感线，产生感应电流，根据右手定则可以判断电流方向为从圆心O指向M，再经过a到电阻R到b，与规定正方向相同，为正值。在内，由于没有磁场，则没有感应电流产生。 故选C。 【变式训练2-3-5】如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（　　）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【解析】如图所示    导体棒匀速转动，设速度为v，设导体棒从到过程，棒转过的角度为，则导体棒垂直磁感线方向的分速度为 可知导体棒垂直磁感线的分速度为余弦变化，根据左手定则可知，导体棒经过B点和B点关于P点的对称点时，电流方向发生变化，根据 可知导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像为余弦图像。 故选C。 【变式训练2-3-6】如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，随轴以角速度匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其它电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．棒产生的电动势为 B．微粒的电荷量与质量之比为 C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为 【答案】B 【解析】A．如图所示，金属棒绕轴切割磁感线转动，棒产生的电动势 A错误； B．电容器两极板间电压等于电源电动势，带电微粒在两极板间处于静止状态，则 即 B正确； C．电阻消耗的功率 C错误； D．电容器所带的电荷量 D错误。 故选B。 【变式训练2-3-7】（多选）如图所示，用粗细均匀的铜导线制成半径为r、电阻为4R的圆环，PQ为圆环的直径，在PQ的左右两侧均存在垂直圆环所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，但方向相反。一根长为2r、电阻为R的金属棒MN绕着圆心O以角速度ω顺时针匀速转动，金属棒与圆环紧密接触。下列说法正确的是（　　） A．金属棒MN中的电流大小为 B．图示位置金属棒MN两端的电压为 C．金属棒MN在转动一周的过程中电流方向不变 D．在转动一周的过程中，金属棒MN上产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】A．金属棒MN产生的感应电动势为 电路的总电阻为 金属棒MN中的电流大小为 选项A错误； B．图示位置金属棒MN两端的电压为路端电压，即 选项B正确； C．由右手定则可知，在图示时刻，金属棒中电流方向由M到N；当OM在右侧磁场ON在左侧磁场时，感应电流由N流向M，由此可知金属棒在转动一周过程中电流方向是发生变化的，选项C错误； D．在转动一周的过程中，金属棒MN上产生的焦耳热为 又 解得 选项D正确； 故选BD。 【变式训练2-3-8】（多选）如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨和，与平行，是以O为圆心的圆弧导轨，圆弧左侧和扇形内有方向如图的匀强磁场，金属杆的O端与e点用导线相接，P端与圆弧接触良好，初始时，可滑动的金属杆静止在平行导轨上，若杆绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（　　） A．杆产生的感应电动势恒定 B．杆受到的安培力不变 C．杆做匀加速直线运动 D．杆中的电流逐渐减小 【答案】AD 【解析】A．OP转动切割磁感线产生的感应电动势为 因为OP匀速转动，所以杆OP产生的感应电动势恒定，故A正确； BCD．杆OP匀速转动产生的感应电动势产生的感应电流由M到N通过MN棒，由左手定则可知，MN棒会向左运动，MN棒运动会切割磁感线，产生电动势与原来电流方向相反，让回路电流减小，MN棒所受合力为安培力，电流减小，安培力会减小，加速度减小，故D正确，BC错误。 故选AD。 【变式训练2-3-9】（多选）如图所示是圆盘发电机的示意图：铜盘安装在水平的铜轴上，两块铜片C与D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为L，垂直于铜盘下半部分的匀强磁场的磁感应强度为B，回路的总电阻为R，从左往右看，铜盘以角速度沿顺时针方向匀速转动，则（　　） A．由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流 B．回路中感应电流大小不变，为 C．回路中有周期性变化的感应电流 D．回路中感应电流方向不变，为 【答案】BD 【解析】A．将圆盘看成由无数条辐向分布的导体棒组成的，圆盘在外力作用下这些导体棒切割磁感线，从而产生感应电动势，出现感应电流，故A错误； BC．根据法拉第电磁感应定律，则有 所以产生的感应电动势大小不变，感应电流大小不变，感应电流大小为 故B正确，C错误； D．根据右手定则可知，电流从D点流出，流向C点，因此电流方向为从D向R再到C，即为，故D正确。 故选BD。 【变式训练2-3-10】（多选）如图，过P点的虚线上方存在方向垂直于纸面的匀强磁场。一金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动，O为圆环的圆心，OP为圆环的半径。则（   ） A．圆环中感应电流始终绕O逆时针流动 B．OP与虚线平行时圆环中感应电流最大 C．圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同 D．圆环在磁场内且OP与虚线垂直时环中感应电流最大 【答案】BC 【解析】A．在圆环进入磁场的过程中圆环中感应电流绕O逆时针流动，圆环出磁场的过程中圆环中感应电流绕O顺时针流动，故A错误； BCD．由几何关系可知圆环进入磁场的过程中，圆环的圆心轨迹是以P点为圆心且半径与圆环的半径大小相等的圆，则圆环切割磁感线的有效长度为l = 2rcos(90°－ωt)，其中ω为圆环匀速转动的角速度，90°－ωt为OP与虚线的夹角 则金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动产生的感应电动势瞬时值为 化简得e = Bωr2[1－cos(2ωt)] 可见OP与虚线平行时即ωt = 90°或270°圆环中感应电流最大；分析可知当环转动一圈的过程中，圆环中的感应电流先逆时针增大再减小，后顺时针增大再减小，故圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同；而圆环在磁场内且OP与虚线垂直时ωt = 180°此时环中感应电流为零，故BC正确、D错误。 故选BC。 【变式训练2-3-11】（多选）将一均匀导线围成一圆心角为的扇形导线框，其中，圆弧的圆心为点，将导线框的点置于如图所示的直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小均为，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度大小为。从时刻开始让导线框以点为圆心，以恒定的角速度沿逆时针方向做匀速圆周运动，假定沿方向的电流为正，则线框中的电流随时间变化的规律描绘不正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】ACD 【解析】在0～t0时间内，线框沿逆时针方向从图示位置开始（t=0）转过90°的过程中，产生的感应电动势为E1=BωR2由闭合电路欧姆定律得，回路中的电流为根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向为逆时针方向（沿ONM方向）．在t0～2t0时间内，线框进入第三象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向（沿OMN方向）。回路中产生的感应电动势为 感应电流为I2=3I1在2t0～3t0时间内，线框进入第四象限的过程中，回路中的电流方向为逆时针方向（沿ONM方向），回路中产生的感应电动势为感应电流为I3=3I1在3t0～4t0时间内，线框出第四象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向（沿OMN方向），回路中产生的感应电动势为E4=BωR2回路电流为I4=I1故B正确，ACD错误。故选ACD。 【变式训练2-3-12】如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值。 （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）当OA运动到正方形细框对角线瞬间，切割的有效长度最大，，此时感应电流最大，CD棒所受的安培力最大，根据法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 故CD棒所受的安培力最大为 当OA运动到与细框一边平行时瞬间，切割的有效长度最短，感应电流最小，CD棒受到的安培力最小，得，故CD棒所受的安培力最小为 （2）当CD棒受到的安培力最小时根据平衡条件得 当CD棒受到的安培力最大时根据平衡条件得 联立解得 撤去推力瞬间，根据牛顿第二定律得 解得 （四）线圈转动切割磁感线产生电动势 【典型例题1】如图所示，边长为1m、电阻为0.04Ω的刚性正方形线框 abcd 放在强磁场中，线框平面与磁场B垂直。若线框固定不动，磁感应强度以均匀增大时，线框的发热功率为P；若磁感应强度恒为0.2T，线框以某一角速度绕其中心轴匀速转动时，线框的发热功率为2P，则ab边所受最大的安培力为（　　） A． N B． C．1N D． 【答案】C 【解析】磁场均匀增大时，产生的感应电动势为，可得 线框以某一角速度绕其中心轴匀速转动时电动势的最大值为 此时有 解得 分析可知当线框平面与磁场方向平行时感应电流最大为 故ab边所受最大的安培力为 故选C。 【典型例题2】如图所示，边界MN的左侧区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。磁感应强度大小为B，等腰梯形铜线框HIPQ的HI和PQ边的中点位于MN上，从上往下看线框绕MN顺时针匀速转动，角速度为。已知铜线框粗细均匀，上底长为a，下底长为2a，，从垂直于纸面的方向看，当线框HIPQ与MN重合的瞬间，感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从垂直于纸面的方向看，当线框HIPQ与MN重合的瞬间，相当于有效长度为等腰梯形的高切割磁感线，切割的有效长度为 感应电动势大小为 故A正确，BCD错误。 故选A 【典型例题3】(多选)如图所示，闭合的矩形导体线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿顺时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈匝数为n，ab边的边长为L1，ad边的边长为L2，线圈电阻为R，转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时(　　) A．线圈中感应电流的方向为abcda B．线圈中的感应电动势为2nBL2ω C．穿过线圈的磁通量随时间的变化率最大 D．线圈ad边所受安培力的大小为，方向垂直纸面向里 【答案】AC 【解析】由右手定则知图示位置线圈中感应电流的方向为abcda，故A正确。 此时线圈中的感应电动势为E＝nBL2L1ω，故B错误。 此位置穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大，故C正确。 线圈ad边所受安培力大小为F＝nB·L2＝，方向垂直纸面向里，故D错误。 【变式训练2-4-1】如图所示，N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L，线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动，ab边距轴。线圈中感应电动势的有效值为(　　) A．NBL2ω B．NBL2ω C．NBL2ω D．NBL2ω 【答案】B 【解析】线圈绕垂直于磁感线且与线圈共面的轴匀速转动，产生正弦式交变电流，且感应电动势的最大值Em＝NBSω＝NBL2ω，则线圈中感应电动势的有效值为E＝＝NBL2ω，B正确。 【变式训练2-4-2】如图甲所示为一台小型旋转电枢式交流发电机的构造示意图，内阻r＝1 Ω，外电路电阻R1＝R2＝18 Ω，电路中其余电阻不计。发电机的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴转动，线圈匝数n＝10，转动过程中穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按正弦规律变化，如图乙所示，取π＝3.14，则(　　) A．t＝1.57×10－2 s时，该小型发电机的电动势为零 B．t＝3.14×10－2 s时，矩形线圈转到中性面位置 C．串联在外电路中的交流电流表的示数为2 A D．感应电动势的最大值为20 V 【答案】D 【解析】t＝1.57×10－2 s时，磁通量Φ的变化率最大，该小型发电机的电动势最大，故A错误； t＝3.14×10－2 s时，磁通量Φ的变化率最大，线圈平面与磁场平行，故B错误； 从Φ­t图线可以看出Φm＝1.0×10－2 Wb，T＝3.14×10－2 s，ω＝， 感应电动势的最大值为Em＝nωΦm＝20 V，电路中电流最大值为Im＝＝2 A， 串联在外电路中的交流电流表的读数是正弦式电流的有效值，为＝ A，故C错误，D正确。 【变式训练2-4-3】如图所示，甲→乙→丙→丁→甲过程是交流发电机发电的示意图，线圈的ab边连在金属滑环K上，cd边连在金属滑环L上，用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上，线圈在匀速转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。已知线圈转动的角速度为ω，转动过程中电路中的最大电流为Im。下列选项正确的是(　　) A．在图甲位置时，线圈中的磁通量最大，感应电流为零 B．从图乙位置开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系式为i＝Imsin ωt C．在图丙位置时，线圈中的磁通量最大，磁通量的变化率也最大 D．在图丁位置时，感应电动势最大，cd边电流方向为c→d 【答案】A 【解析】在图甲位置时，线圈中的磁通量最大，线圈处于中性面的位置，故线圈的感应电流为零，A正确；图乙位置时的电流最大，故从此时开始计时，线圈中电流i随时间t变化的关系式应为i＝Imcos ωt，B错误； 在图丙位置时，线圈中的磁通量最大，磁通量的变化率为0，C错误； 在图丁位置时，感应电动势最大，由右手定则可知，cd边向右运动，磁场方向向下，故电流方向为d→c，D错误。 【变式训练2-4-4】（多选)发电机的示意图如图甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，图乙中的Um为已知量。则金属框转动一周(　　) A．框内电流方向不变 B．电动势的最大值为Um C．流过电阻的电荷量q＝ D．电阻产生的焦耳热Q＝ 【答案】BD 【解析】金属框转动一周，经过中性面两次，框内电流方向改变两次，故A错误； 电路中除电阻R，其他电阻不计，则电动势的最大值Em＝Um，故B正确； 金属框转过半周，流过电阻的电荷量q′＝Δt＝Δt＝＝，由于流过电阻的电流方向不变，则金属框转过一周，流过电阻的电荷量为q＝2q′＝，故C错误； 因为Um＝BωL2，则ω＝，根据焦耳定律，金属框转动一圈， 电阻产生的焦耳热为Q＝T＝·＝，故D正确。 题型03：感生和动生综合问题 【典型例题1】如图甲所示，固定在水平面上电阻不计的光滑金属导轨，间距d=3m，导轨右端连接一阻值为的小灯泡L。在CDEF矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化如图乙所示，CF长为2m。在时刻，电阻不计的金属棒ab在水平恒力F作用下，由静止开始沿导轨向右运动。金属棒从图中位置运动到EF位置的整个过程中，通过小灯泡的电流强度始终没有发生变化。求： (1)通过小灯泡的电流强度； (2)恒力F的大小； (3)金属棒进入磁场前做匀加速直线运动的加速度大小。 【答案】(1)1A；(2)6N；(3)0.125m/s2 【解析】(1)金属棒没有进入磁场时，回路中感应电动势为 灯泡中的电流强度为 (2)因小灯泡的电流强度始终没有发生变化，故在t=4s末金属棒刚好进入磁场，且做匀速运动，此时金属棒中的电流强度 则安培力为且 则 (3)因灯泡亮度不变，金属棒中产生的感应电动势为 所以金属棒进入磁场前的加速度为 【典型例题2】如图甲所示，水平放置的平行长直金属导轨MN、PQ，间距为L，导轨右端接有阻值为R的电阻，导体棒EF垂直放置在两导轨上并与导轨接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计。导轨间直径为L的圆形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示。在外力作用下，导体棒EF从t=0时开始向右运动，在t=t0时进入圆形磁场区域，通过磁场区域的速度大小始终为v。求： （1）0~t0时间内，流过R的电流大小I及方向； （2）导体棒通过圆形磁场区域的过程中受到安培力的最大值Fm； （3）导体棒通过圆形磁场区域的过程中，通过电阻R的电荷量q。 【答案】（1），方向为N→Q （2） （3） 【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律可知，在棒进入磁场前 回路中的电动势为 依题意 又 可见，流过R的电流大小 联立得： 方向为N→Q （2）当棒进入磁场后，磁场磁感应强度 恒定不变，根据法拉第电磁感应定律可知， 当棒运动到圆心时，感应电动势达到最大 回路中的感应电流最大为： 可见棒在运动过程中受到的最大安培力为： 联立得 （3）在棒通过圆形过程中，由法拉第电磁感应定律 又 可得流经的电量 【解析】(1)感应电动势为 感应电流为联立可得 (2)导体棒匀速运动时，同时产生感生和动生电动势，由楞次定律可知，两电动势方向相同，则有 E1=+B1Lv面积为s1=Lvt1 感应电流为I1=电阻为R1=R+2vt1R0安培力为FA1=B1I1L 联立解得FA1=0.01N 根据平衡条件有 mgsinα=FA1+F1可得F1=0.05N方向沿斜面向上 （3）根据法拉第电磁感应定律，t时刻的总电动势 Et=St+BtLv t时刻回路的总电阻 Rt=R+2vtR0 t时刻通过导体棒的电流It=解得It=0.1A 即回路电流为定值，与时间无关，导体棒运动的总时间 整个回路电阻随时间均匀变化，整个过程整个回路电阻的平均值 解得Q=0.06J 根据平衡条件有 mgsinα=FAt+Ft FAt=BtItL可得Ft=0.055-0.005t 由于导体棒匀速运动，则外力随位移也是均匀变化，则外力所做的功 W=-x解得W=-0.2J 【典型例题3】如图甲所示，水平面上固定一个10匝的边长为、电阻为的正方形线圈，线圈端点a、b通过导线与间距为的足够长平行倾斜金属导轨相连，导轨与水平方向的夹角，金属杆质量为，电阻为，放在导轨足够高处与导轨垂直且接触良好。已知整个线圈处于竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，从时刻起该磁场不再变化；倾斜导轨处于垂直于轨道平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，忽略其余电阻，重力加速度为，已知时间内金属杆刚好不下滑，设最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，求： (1)时间内，两点之间的电势差； (2)时刻后，从静止开始下滑，求所能达到的最大速度； (3)从开始下滑到速度过程中，沿导轨下滑的距离为，求该过程上产生的焦耳热Q。 【答案】(1)0.4V；(2)2.4m/s；(3)0.2J 【解析】(1)时间内线圈内产生的感应电动势 回路中的电流 两点之间的电势差 (2)设MN与导轨间的滑动摩擦力为f，时间内刚好不下滑，满足 解得，时刻后，MN由静止开始下滑，当达到最大速度时，受力平衡，则 解得vm=2.4m/s。 (3)整个过程由能量守恒可得 电流相同的情况下，产生的焦耳热与电阻成正比，即 联立解得QMN=0.2J。 【典型例题4】如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二者的交线与轨道垂直，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向下为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，区域I（−2L ≤ x < −L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t均匀增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R的匀质正方形闭合金属框epqf时放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自感。 (1)若金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v和释放时pq边与区域I上边界的距离s； (2)金属框沿轨道下滑，当ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为v0，若，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef边移动的距离d。 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中，金属框只有一条边切割磁感线，根据楞次定律可得，安培力水平向左，则 切割磁感线产生的电动势 线框中电流 线框做匀速直线运动，则 解得金属框从开始进入到完全离开区域I的过程的速率 金属框开始释放到pq边进入磁场的过程中，只有重力做功，由动能定理可得 可得释放时pq边与区域I上边界的距离 （2）当ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），设线框ef边到O点的距离为s时，线框中产生的感应电动势，其中 此时线路中的感应电流 线框pq边受到沿轨道向上的安培力，大小为 线框ef边受到沿轨道向下的安培力，大小为 则线框受到的安培力 代入 化简得 当线框平衡时，可知此时线框速率为0。 则从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，根据动量定理可得 即 对时间累积求和可得 可得 【变式训练3-1】 “福建号”航母装备了最先进的电磁弹射装置，某兴趣小组设计制作了该电磁弹射装置的简易模型，其加速和减速过程如下所述。如图所示，两根足够长的平直轨道和固定在水平面上，轨道电阻忽略不计，其中左侧为光滑金属轨道，右侧为粗糙绝缘轨道，间接有定值电阻。沿轨道建立轴，坐标原点与点重合。左侧分布有垂直于轨道平面向下的匀强磁场，右侧分布有垂直于轨道平面向下、沿轴渐变的磁场。现将一质量为、长度为、电阻为的金属棒垂直放置在轨道上，放置位置位于的左侧。的右方还有质量为、各边长均为的形框，其电阻为，开始时形框恰好不与左侧的光滑金属轨道接触。棒在恒力作用下向右运动，到达前已匀速。当棒运动到处时撤去恒力，随后与形框发生碰撞，碰后连接成“”字形闭合线框，并一起运动，后续运动中受到与运动方向相反的阻力，阻力大小与速度大小满足。已知，，，，，。 （1）金属棒在左侧运动时，比较、两点的电势高低，___________（填写“>” “<”或“ =”）； （2）求金属棒与形框碰撞前速度的大小； （3）①求“”字形线框停止运动时，边的坐标； ②求形框在运动过程中产生的焦耳热。 【答案】（1）＞ （2）4m/s （3）① ② 【解析】（1）由右手定则可判定金属棒产生的感应电流的方向为b到a，可知a端为电源正极，所以。 （2）金属棒做切割磁感线运动，由电磁感应定律得 回路中的电流，由欧姆定律得 金属棒受到安培力与平衡，则 联立代入数据解得 （3）①金属棒与形框发生碰撞，由动量守恒得 此后任意时刻闭合线框的速度为，边处磁场为，边处磁场为，回路中的电流，由欧姆定律得 其中 “口”字形线框所受安培力的大小为 根据动量定理有 解得 ②根据功能关系得回路运动过程中产生的总热量 任意时刻安培力与摩擦力大小之比为，焦耳热与摩擦热之比也为，且U形框产生的焦耳热是整个回路产生焦耳热的， 故得 【变式训练3-2】如图甲所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨PQF、MNE相距L=1.6m，轨道的PQ和MN段为圆弧轨道，分别与固定在水平面上的QF段和NE段平滑连接，轨道右端足够长。金属杆ab和cd锁定在图示位置，此时杆ab距离水平轨道的竖直高度为h=0.8m，杆cd到圆弧轨道末端的距离为x=2.5m，杆ab和cd与两金属导轨垂直且接触良好，已知杆ab、cd的质量均为m=0.4kg、电阻均为R=0.4Ω，金属导轨的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，取重力加速g=10m/s2。 (1)求0～2s内通过杆ab感应电流的大小和方向； (2)t=2s时刻自由释放杆ab，保持杆cd处于锁定状态，待杆ab进入磁场运动x1=0.125m时，立即解除杆cd锁定，求：从t=0开始计时杆cd中产生的焦耳热。 【答案】(1)，感应电流的方向为由；(2)6.15J 【解析】(1)内，杆与形成的闭合回路中 联立解得由楞次定律判断感应电流的方向为由 (2)内棒内为稳恒电流，产生的热量 杆由静止开始下滑至水平轨道时速度设为，对由机械机械能守恒定律得解得 发生位移过程中通过闭合回路的电荷量设为q 经过位移时设的速度为，对棒，由动量定理，有 解得 解除锁定后，直到最后稳定时，设两棒共同速度为。对两个导体棒组成的系统应用动量守恒定律有 解得 以后系统生热 则导体棒上产生热量为 全过程导体棒生热总量 代入数值，解得 【变式训练3-3】如图所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距L，导轨下端连接电阻R，质量为m、金属杆ab与导轨垂直并接触良好，金属杆及导轨电阻不计，在矩形区域cdfe内有垂直于纸面向里的匀强磁场，ce距离为H，cdfe区域内磁场的磁感应强度B随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0时刻，将金属杆从ab位置由静止释放，在t1时刻进入磁场，离开磁场时的速度为进入磁场时速度的一半，已知重力加速度为g，求： (1)金属杆刚进入磁场时的加速度大小； (2)从金属杆开始下落到离开磁场的过程，回路中产生的焦耳热。 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)金属杆进入磁场之前有 刚进入磁场时安培力大小为 根据牛顿第二定律可知解得。 (2)进入磁场之前，有 产生的焦耳热为 进入磁场之后，由能量守恒，得 所以从金属杆开始下落到离开磁场的过程，回路中产生的焦耳热为 【变式训练3-4】如图所示，水平面内固定两根间距L=1m的长直平行光滑金属导轨PQ、MN，其Q、N端接有阻值R=1.5Ω的电阻，一质量m=0.1kg、阻值r=0.5Ω的导体棒ab垂直于导轨放置于距QN端d=2m处，且与两导轨保持良好接触。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示。在0~1s内，为了保持ab棒静止，在棒的中点施加一平行于导轨平面的外力F0（未知）；1s后改用F=0.5N的水平向左的恒力拉动ab棒，ab棒从静止开始沿导轨运动距离x=4.8m时速度恰好达到最大值。ab棒运动过程中始终与导轨保持垂直，导轨电阻不计。求： (1)t=1s时外力F0的大小和方向； (2)ab棒的最大速度vm； (3)从t=0到ab棒运动距离x=4.8m的过程，电阻R上产生的焦耳热QR。 【答案】(1)0.25N，方向向左；(2)4m/s；(3)1.575J 【解析】 (1)1s时，电动势 根据楞次定律，电流从b到a，电流的大小为 根据左手定则，安培力方向向右 外力F0与平衡，两者等大反向， 所以F0大小为0.25N，方向向左。 (2)ab棒达最大速度时为匀速，拉力F向左，安培力F1向右，二力平衡。 其中安培力 电流 电动势解得 (3)在第一秒内 在运动的距离x内 从t=0到ab棒运动距离x=4.8m的过程，电阻R上产生的焦耳热解得 【变式训练3-5】如题图所示，两根固定的平行金属导轨由光滑的倾斜部分与粗糙的水平部分组成（c、d处平滑连接），两部分导轨的间距均为L=0.5m，导轨的右端、间接有定值电阻R1=1Ω，金属导轨的电阻忽略不计。倾斜导轨与水平面夹角为，整个导轨所在空间存在竖直向上的匀强磁场B1=2T。在ab位置处垂直导轨横放一导体棒与金属导轨构成回路，导体棒接入回路中的电阻为R2=1Ω、质量为m=0.4kg，导体棒与水平导轨的动摩擦因数为=0.5。在金属导轨ab两端通过开关K与电阻为r=0.5Ω的多匝金属线圈相连（图中只画了一匝线圈表示），线圈匝数为N=100匝，线圈面积为S=0.6m2，线圈内存在竖直向上的均匀变化的磁场B2已知重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）若将开关K闭合，导体棒恰能静止在ab位置，则磁场B2是在增强，还是减弱？并求出其变化率的大小； （2）将开关K断开，撤去磁场B2，使导体棒由静止释放，棒在运动过程中始终与导轨垂直，棒在到达cd处之前已达到稳定速度，求的大小； （3）在第（2）问的前提下，导体棒在足够长的水平导轨上滑行一段距离后停止。从导体棒到达位置开始直至停止这一过程中，通过定值电阻R1的电荷量为q=0.5625C，求导体棒在这一过程中产生的焦耳热Q。 【答案】（1）增强；；（2）；（3）4.5J 【解析】（1）安培力方向水平向左，由左手定则得电流方向：b→a，再由楞次定律得，线圈中磁场B2在增强，设通过棒的电流为I0，由受力平衡得 流过干路的电流为2I0，由闭合电路欧姆定律得 由法拉第电磁感应定律得代入数据得 （2）感应电动势 感应电流 由受力平衡得 代入数据得 （3） 由以上三式得 代入数据得 这一过程产生的总焦耳热 棒与定值电阻的阻值相等，由焦耳定律得 解得Q=4.5J 【变式训练3-6】如图所示，间距为的两条平行光滑竖直金属导轨、足够长，底部Q、N之间连有一阻值为的电阻，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨的上端点P、M分别与横截面积为的10匝线圈的两端连接，线圈的轴线与大小均匀变化的匀强磁场平行，开关K闭合后，质量为、电阻值为的金属棒恰能保持静止。金属棒始终与导轨接触良好，其余部分电阻不计，g取。求： （1）金属棒恰能保持静止时，匀强磁场的磁感应强度的变化率； （2）开关K断开后，金属棒下落时能达到的最大速度v； （3）开关K断开后，金属棒下落时恰好运动至最大速度，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q. 【答案】（1）；（2）；（3）0.072J 【解析】（1）金属棒ab保持静止，根据平衡条件得 可得 则线圈产生的感应电动势为 由电磁感应定律可知 解得 （2）断开开关K后，金属棒ab向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度是0（即合外力是0）时速度最大，此时恰能匀速下降，根据平衡条件得 此时金属棒ab中产生的感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律得 联立解得金属棒的最大速度为 （3）根据动能定理得 金属棒产生的焦耳热 【变式训练3-7】如图甲所示，固定平行金属导轨、与水平面成角倾斜放置，其电阻不计，相距为，导轨顶端与电阻R相连，。在导轨上垂直导轨水平放置一根质量为、电阻为的导体棒。距离导轨顶端，导体棒与导轨间的动摩擦因数；在装置所在区域加一个垂直导轨平面向上的磁场，其磁感应强度B和时间t的函数关系如图乙所示。（g取） （1）前内，施加外力使导体棒保持静止，求通过导体棒的电流I的大小和方向； （2）后静止释放导体棒，已知棒滑到底部前已达到最大速度并匀速下滑到底部，此过程中通过的电量。求的大小、以及此过程中导体棒的位移。 （3）在第2问的过程中电阻R上产生的热量Q。 【答案】（1）0.4A，由b到a；（2），；（3）0.29J 【解析】（1）由题意知，根据法拉第电磁感应定律可得前2s产生的感应电动势 根据闭合电路欧姆定律有电流为 根据楞次定律可知感应电流的方向为b到a。 （2）导体棒所受摩擦力为 2s时，静止释放导体棒，导体棒沿导轨方向受到重力沿导轨的分力、沿导轨向上的滑动摩擦力、安培力，导体棒做加速度减小的加速运动，当速度最大时有 ， 解得 当导体棒下滑时， 计算可得导体棒的位移 （3）下滑过程中根据功能关系可知系统产生的热量Q 代入数据解得 所以电阻R产生的热量为 【变式训练3-8】如下图甲所示，倾角的光滑倾斜导轨MN、PQ相互平行，导轨长为4m、间距为0.5m，已知两根导轨单位长度的电阻都为，导轨上端用电阻不计的导线连接一个阻值为的定值电阻。虚线MP下方有匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上，磁感应强度大小随时间变化关系图象如图乙所示。有一根电阻不计、质量为0.01kg的导体棒在沿斜面方向的外力F（图中未画出）作用下，从时刻开始由导轨顶端MP处沿斜面以的速度匀速下滑。重力加速度g取，，求： (1)时，通过导体棒的电流大小； (2)时，外力F的大小和方向； (3)导体棒从顶端运动到底端过程中，外力F所做的功。 【答案】(1)；(2)，方向沿斜面向上；(3) 【解析】(1)时，导体棒上产生的感应电动势为① 感应电流为② 解得 (2)导体棒匀速下滑时，同时产生感生和动生电动势，t时刻的总电动势为：③ 而④ 时刻回路的总电阻为⑤ 代入数据，③④⑤联立得t时刻的感应电流为： 即回路电流为定值。时，导体棒受力平衡有⑥ 解得 方向沿斜面向上，设t时刻受外力为，导体棒受力平衡有⑦ 解得⑧ 说明外力随时间均匀变化。由于导体棒匀速运动，则外力随位移也是均匀变化。则外力所做的功为： 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $