期中复习易错题（第1-3章）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

高一上期中复习易错题 一、集合与逻辑用语 ．已知集合 ，则集合 用列举法表示为______． ．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（　　） （A） （B） （C） （D） ．钱大姐常说“好货不便宜”，她这话的意思是：“好货”是“不便宜”的（　　） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ．设 ，则“”是“ 且 ”的（　　） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ．设 ，关于 的方程组 ​ 对于命题：①存在 ，使该方程组有无数组解；②对任意 ，方程组均有一组解．下列判断正确的是（　　） （A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 ．已知 或 ， 或 ． （）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围； （）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． ．全集 ，已知集合 ，．若“”是“”的必要非充分条件，则 的取值范围是______． ．已知命题 ：关于 的方程 在 上有解；命题 ：只有一个实数 满足不等式 ．若命题 和 中有且仅有一个是真命题，则实数 的取值范围是______． ．关于 的方程 的解集中只含有一个元素，则 的可能取值构成的集合为______． ．若集合 中有且只有 个元素，且这 个元素恰为直角三角形的三边，则 ______． 二、一元二次不等式与恒成立问题 ．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为______． ．若关于 的不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是______． ．若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是______． ．设关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则实数 的取值范围是______． ．设 为实数，已知二次函数 有两个零点，且都在区间 内，则 的取值范围是______． ．已知关于 的不等式 的解集为 或 ． （）求 的值； （）当 且 时，有 恒成立，求实数 的取值范围． ．已知集合 ，关于 的不等式 的解集为 ，若 中恰有三个正整数，则实数 的取值范围是（　　） （A） （B） （C） （D） ．若对于任意的实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有解，则实数 的取值范围是______． ．“”的必要非充分条件是“ 或 ”，则 的取值范围是______． ．若关于 的不等式 的解集中恰好含有 个整数，则实数 的取值集合是______． 三、基本不等式与最值 ．设 为正数，且 ，则 的最大值为______． ．已知 且满足 ，则 的最小值为______． ．若 ，则 的最小值为______． ．已知正实数 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______． ．已知 ，且 ，不等式 ​ 恒成立，则正实数 的取值范围是（　　） （A） （B） （C） （D） ．已知 ，若命题“存在 ，使得 ”为假命题，则 的最小值为______． ．某单位建造一间地面面积为 的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为 元，房屋侧面的造价为 元，屋顶的造价为 元．如果墙高为 ，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为 ． （）设房屋总造价为 元，请写出 与 之间的函数关系式； （）怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少？ ．已知 均为正实数，且 ，则 的最小值为______． 四、指数与对数的运算 ．如果 ，那么 ______． ．已知 ，则 ______． ．已知 ，且 ，则 的值为______． ．已知 ，，则 ______（用含 的式子表示）． ．已知 ，若 ，且 ，则 ______． ．已知 ，，，则 ______． ．已知 ，，试用 表示 ______． ．若 是方程 的两个实根，求 的值． ．已知 均为正实数，若 ，则 的值为______． ．已知实数 满足 ，以及 ，则 ______． ．已知 ，求 的值． ．已知 ，，证明：． 五、新定义与综合应用 ．已知关于 和 的方程组 ​ （）当 时，求方程组的解集； （）设 和 是方程组的两组不同的解，若 ，求实数 的取值范围． ．已知集合 为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的 ，任意的 ，都有 ； （ⅲ）对任意的 且 ，都有 ． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意 ，都有 ；④对任意 且 ，都有 ． 其中正确的序号为______． ．对于非空实数集 ，若满足以下两个条件，则称 为“极闭集”： ① 中至少含有 个元素，且 ； ②对于 中任意两个不相等的元素 ，定义 ，且 ． （）判断集合 与区间 是否为“极闭集”，并说明理由； （）若 是“极闭集”，证明：集合 中不可能所有元素都小于 ； （）证明：不存在任何有限的“极闭集”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上期中复习易错题 （答案与解析） 一、集合与逻辑用语 ．已知集合 ，则集合 用列举法表示为______． 【答案】 【解析】 因为 ，所以 是 的正约数，即 ． 解得 ，逐个检验均使 为正整数． 故 ． ．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B） 【解析】 ①错： 是集合，不是 的元素； ②对：两个集合的元素完全相同，故相等； ③对：空集是任何集合的子集； ④错： 不含任何元素，而 含一个元素 ； ⑤错： 是数集， 是以有序数对为元素的集合； ⑥错： 是一个数， 是集合，两者不能相等． 所以正确的只有 ②③ 共 个，选（B）． ．钱大姐常说“好货不便宜”，她这话的意思是：“好货”是“不便宜”的（　　） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】（A） 【解析】 “好货不便宜”的意思是：只要是好货，就一定不便宜，即“好货”“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分条件； 但“不便宜”的东西未必是好货，即“不便宜”“好货”，故不是必要条件． 所以选（A）． ．设 ，则“”是“ 且 ”的（　　） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】（B） 【解析】 若 且 ，则必有 ：否则 且 会推出 ，矛盾．所以“”是必要条件； 取 ，此时 ，但 ，说明“”推不出“ 且 ”，故不是充分条件． 所以选（B）． ．设 ，关于 的方程组 ​ 对于命题：①存在 ，使该方程组有无数组解；②对任意 ，方程组均有一组解．下列判断正确的是（　　） （A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题 （C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 【答案】（D） 【解析】 方程组的系数行列式 ， 故对任意 ，方程组都有唯一的一组解，②是真命题； 又 恒成立，方程组不可能有无数组解，①是假命题． 所以选（D）． ．已知 或 ， 或 ． （）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围； （）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（）；（）． 【解析】 记 或 ， 或 ． （） 是 的充分条件，即 ． 需 且 ， 即 且 ，所以 ． （） 是 的必要条件，即 ． 需 ，即 ，得 ； 此时 ， 也成立，故 ． ．全集 ，已知集合 ，．若“”是“”的必要非充分条件，则 的取值范围是______． 【答案】 或 【解析】 即 ，故 ． “”是“”的必要非充分条件，即 且 ． 由 得 且 ，即 ． 当 时 ，符合“非充分”，所以 或 ． ．已知命题 ：关于 的方程 在 上有解；命题 ：只有一个实数 满足不等式 ．若命题 和 中有且仅有一个是真命题，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 即 ，两根为 与 ． 真 或 ，即 ． 真 不等式 的解集为单元素集 ，即 或 ． 若 真 假： 且 且 ，得 ； 若 假 真： 且 ，无解． 综上，． ．关于 的方程 的解集中只含有一个元素，则 的可能取值构成的集合为______． 【答案】 【解析】 方程两边同乘 （需 且 ），得 ，即 ． ① 当 ，即 时， 符合要求； ② 当 时，需两根中恰有一个是增根： 若 是根，则 ，另一根 ，解集为 ； 若 是根，则 ，即 ，另一根 ，解集为 ． 所以 ． ．若集合 中有且只有 个元素，且这 个元素恰为直角三角形的三边，则 ______． 【答案】 【解析】 即 或 ． 记 ，，则 ． 恰有 个元素，必是一个方程有两个不等实根、另一个方程有两个相等实根． 若 ，则 ，另一方程无实根，只有 个元素，不合题意； 故 ，此时 ，． 三个元素为 ，，，成公差为 的等差数列． 直角三角形三边成等差，只能是 ，故中间元素为 ；若 ，则三个元素为 ，不能作边长，舍去． 所以 ，，，． 二、一元二次不等式与恒成立问题 ．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为______． 【答案】 【解析】 原不等式即 ，其解集为 ， 故 且 ． 由 得 ，即 或 ； 结合 得 ． ．若关于 的不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 当 时，不等式为 ，恒成立； 当 时，需 且 ，得 ． 综上，． ．若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 当 时，不等式为 ，恒成立； 当 时，需 且 ， 即 ，得 ． 综上，． ．设关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 等价于： 时该分式的值不小于 ，或分母为 （此时分式无意义）． 即 或 ． 由 得 ， 合并得 ． ．设 为实数，已知二次函数 有两个零点，且都在区间 内，则 的取值范围是______． 【答案】 或 【解析】 两零点都在 内，等价于方程 有两个负根． 由 且 得 ； 又 ，得 或 ． 与 取交集，得 或 ． ．已知关于 的不等式 的解集为 或 ． （）求 的值； （）当 且 时，有 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（），；（）． 【解析】 （）由解集的形式知 ，且 、 是方程 的两根． 由韦达定理 ，，代入得 ，解得 ，． （）由（）得 （）， 所以 ， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ． 由 得 ，即 ． ．已知集合 ，关于 的不等式 的解集为 ，若 中恰有三个正整数，则实数 的取值范围是（　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B） 【解析】 当 时，，不等式两边同除以 ，得 ． 故 ；又 ，所以 ． 记 ，则 ，，，． 要使 中恰有 个正整数（即 ），需 ，即 ． 所以选（B）． ．若对于任意的实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有解，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 “对任意 ，在 上总有解”，即对任意 ， 在 上的最大值都不小于 ． 而 在 上的最大值为 ， 当 时取到最小值 ， 所以只需 ． ．“”的必要非充分条件是“ 或 ”，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 记命题 ：，命题 ： 或 ． 是 的必要非充分条件，即 且 ． 等价于：当 时，恒有 ， 即对一切 ，． 设 ，在 处取得最大值 ； 设 ，在 上单调递减，其值恒大于 ． 所以 ； 另一方面， 时 ，即 满足 但不满足 ，故 恒成立． ．若关于 的不等式 的解集中恰好含有 个整数，则实数 的取值集合是______． 【答案】 【解析】 若 ，抛物线开口向下，解集为 ，含无穷多个整数，不合； 若 ，解集为 ，也不合；故 ． 设 ，则方程两根为 与 ，解集为 ． 记 ，，解集即 ． 其中整数为 ，共 个（因 ，非负整数只有 ）． 由 得 ，即 ， 所以 ． 三、基本不等式与最值 ．设 为正数，且 ，则 的最大值为______． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当 ，即 时取等号． ．已知 且满足 ，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 由 两边同除以 得 ． 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号． ．若 ，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 令 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号． ．已知正实数 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 由 两边同除以 得 ． 所以 ， 当且仅当 时取等号，即 的最小值为 ． 由 恒成立，得 ． ．已知 ，且 ，不等式 ​ 恒成立，则正实数 的取值范围是（　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】（C） 【解析】 由 得 ，记 ． 原不等式即 ，即 对一切 恒成立． 设 ，当 时取得最大值 ， 所以 ，选（C）． ．已知 ，若命题“存在 ，使得 ”为假命题，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 命题为假，即对任意 都有 ， 故两个零点必须重合，即 ，也就是 （此时 ）． 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号． ．某单位建造一间地面面积为 的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为 元，房屋侧面的造价为 元，屋顶的造价为 元．如果墙高为 ，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为 ． （）设房屋总造价为 元，请写出 与 之间的函数关系式； （）怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少？ 【答案】（）（）；（）房屋长 、宽 时总造价最低，最低为 元． 【解析】 （）设与墙平行的边长为 ，则另一边长为 ． 正面面积为 ，造价为 ； 两个侧面面积共 ，造价为 ； 屋顶造价为 ． 所以 （）． （）由基本不等式，， 当且仅当 ，即 时取等号，此时另一边长为 ． 答：房屋长 、宽 时总造价最低，最低为 元． ．已知 均为正实数，且 ，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 记 ，则 ， 原式 ． 令 ，则原式 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 四、指数与对数的运算 ．如果 ，那么 ______． 【答案】 【解析】 由外向内逐层去掉对数符号： ， ． ．已知 ，则 ______． 【答案】 【解析】 由对数的定义，真数等于底数，且底数大于 且不等于 ： ，即 ，解得 或 ． 当 时，底数 ，舍去； 当 时，底数为 ，真数为 ，符合题意．故 ． ．已知 ，且 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 由 （ 且 ）得 ，． 所以 ， 故 ． ．已知 ，，则 ______（用含 的式子表示）． 【答案】 【解析】 ，故 ． 所以 ． ．已知 ，若 ，且 ，则 ______． 【答案】 【解析】 设 ，则 ，即 ，得 ，． 又 ，故 ，． 所以 ． ．已知 ，，，则 ______． 【答案】 【解析】 设 ，则 ，即 ，得 或 ． 由 得 ． 当 时 ，代入得 ，由 得 ，故 ，； 当 时 ，同理得 ，． 综上，． ．已知 ，，试用 表示 ______． 【答案】 【解析】 由 得 ；又 ， 故 ，． ． ．若 是方程 的两个实根，求 的值． 【答案】 【解析】 原方程即 ． 由题意 、 是该方程的两根，故 ，． 所以 ． 又 ． 所以原式 ． ．已知 均为正实数，若 ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 设 ，则 ，，． ， 所以 ， 故 ． ．已知实数 满足 ，以及 ，则 ______． 【答案】 【解析】 令 ，，则 ； 由第二式得 ，即 ． 由基本不等式 ， 而 ，故两处不等号都取等号： 且 ，得 ． 即 ，，所以 ，，，． 故 ． ．已知 ，求 的值． 【答案】 【解析】 由 知 ，故 ． ，． ． ． 所以原式 ． ．已知 ，，证明：． 【答案】证明见解析． 【解析】 由换底公式，，， 所以 ． 于是 ， ． 所以 ，得证． 五、新定义与综合应用 ．已知关于 和 的方程组 ​ （）当 时，求方程组的解集； （）设 和 是方程组的两组不同的解，若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（）；（）． 【解析】 （） 时 ，代入得 ，即 ， 解得 ，对应 ， 故解集为 ． （）把 代入得 ． 有两组不同解，需 ，即 ． 由韦达定理 ， ． 所以 ， 得 ；由 得 ． ．已知集合 为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的 ，任意的 ，都有 ； （ⅲ）对任意的 且 ，都有 ． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意 ，都有 ；④对任意 且 ，都有 ． 其中正确的序号为______． 【答案】①③④ 【解析】 ①在（ⅱ）中取 ，得 ，正确； ③在（ⅱ）中取 ，得 ；再取 为 与 ，得 ，正确； ②由 及（ⅱ）得 ，进而 ；由（ⅲ）得 ，再由③得 ，故②错误； ④当 且 时， 且 ， 由（ⅲ）得 ，， 再由（ⅱ）得 ，正确． 所以正确的是①③④． ．对于非空实数集 ，若满足以下两个条件，则称 为“极闭集”： ① 中至少含有 个元素，且 ； ②对于 中任意两个不相等的元素 ，定义 ，且 ． （）判断集合 与区间 是否为“极闭集”，并说明理由； （）若 是“极闭集”，证明：集合 中不可能所有元素都小于 ； （）证明：不存在任何有限的“极闭集”． 【答案】（） 不是“极闭集”， 是“极闭集”；（）（）证明见解析． 【解析】 （）对 ：，故 不是“极闭集”． 对 ：任取 ，则 ， 故 ，即 ；又 ，且 中元素多于 个，所以 是“极闭集”． （）用反证法．若 中所有元素都小于 ，任取 中两个不同元素 （均小于 ）， 则 ，即 ， 而 ，与“ 中所有元素都小于 ”矛盾， 所以 中不可能所有元素都小于 ． （）设 是“极闭集”．由（）及 知， 中存在大于 的元素，记为 ． 取 且 ，令 （），． 因 对运算 封闭，故 全部属于 ． ①若 ：由 得 ， 又 ，即 ． ②若 ：由 得 ， 又 ，即 ． 而方程 即 ，在 上只有解 ，故数列中不会出现相等的情形． 所以 是严格单调的无穷数列， 中含有无穷多个元素，即不存在有限的“极闭集”． 学科网（北京）股份有限公司 $