2026-2027学年上海市高一上学期数学期中模拟试卷（拔尖卷）

2026-2027学年上海高一第一学期期中模拟试卷 数 学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是______. 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂互化及运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为：. 2.设全集为，，，则________． 【答案】 【详解】对于，有，解得，即. 因为全集为，由补集的定义可得. 则 . 3.已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用判别式和韦达定理并结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 4.不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据题意可得，结合二次不等式可得，结合绝对值的几何意义分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，，则， 整理得，解得或（舍去）， 由，可得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当时，即， 若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； ②当时，即， 若的解集是空集，则有，解得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为； 6.关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】去绝对值分类讨论即可解出不等式. 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 7.已知，且满足，则的最小值为_______． 【答案】8 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】由可得， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：8. 8.不等式对一切都成立，则实数的取值范围是______. 【答案】. 【分析】变形可得对一切都成立，根据绝对值的三角不等式，可得，代入化简，即可求得答案. 【详解】由题意得对一切都成立， 因为， 所以， 所以，即， 解得. 故答案为： 9. 已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解即可. 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 10.已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 【答案】24 【解析】 【分析】结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 11. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________ 【答案】 【分析】先由函数图像，得到函数关于对称，推出，化原函数为，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果. 【详解】由图像可得：函数关于对称， 所以有，即，因此， 又函数图像经过和两点， 所以，解得：，因此， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型. 12. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________. 【答案】## 【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可. 【详解】均为正实数，， 当，即时，，即， ， 当时，取到最大值； 当时，； 综上所述，的最大值为. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13.已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】C 【分析】利用指对数的性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】当，时，，充分性成立； 当，时，则，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 14. 已知，函数与的图象如图所示，则（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 15.中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ） A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 【答案】D 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 16.若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17. 已知集合，全集为. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集，并集定义结合题意可得答案； （2）分，两种情况，结合题意可得答案. 【小问1详解】 此时，则，； 【小问2详解】 当时显然满足要求，故，即 当时，则有，即 综上得. 18. 已知幂函数为关于轴对称，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）可得，再根据奇偶性与单调性求解即可. 【小问1详解】 由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. 【小问2详解】 由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 故，且，即， 解得或，所以的取值范围是. 19. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】（1）20元 （2）当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【小问1详解】 设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元． 20. 设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3），，M的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. 【小问2详解】 ①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. 【小问3详解】 由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 21. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】（1）为“1距”增函数. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【小问1详解】 因为，故， 故为“1距”增函数. 【小问2详解】 由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. 【小问3详解】 因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海高一第一学期期中模拟试卷 数 学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是______. 2.设全集为，，，则________． 3.已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 4.不等式的解集为__________. 5.若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为______ 6.关于的不等式的解集为__________. 7.已知，且满足，则的最小值为_______． 8.不等式对一切都成立，则实数的取值范围是______. 9. 已知均为正实数，若，则的值为______. 10.已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 11. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则________ 12. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13.已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 已知，函数与的图象如图所示，则（ ） A. B. 且 C. 且 D. 15.中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（ ） A. 5000 B. 6000 C. 7000 D. 8000 16.若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17. 已知集合，全集为. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知幂函数为关于轴对称，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 19. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 20.设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 21. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $