期中复习压轴专题03 基本不等式及其应用（10种类型67道题）高一数学沪教版必修第一册

期中复习压轴专题03 基本不等式及其应用 （沪教版高一，10种类型67道题） 范围：第一章—第二章 目录 题型一 利用基本不等式判断结论的正误 题型二 直接用基本不等式求最值或取值范围 题型三 基本不等式求最值之配凑法 题型四 基本不等式求最值之常数代换法 题型五 基本不等式求最值之换元法 题型六 基本不等式求最值之多次运用 题型七 用基本不等式证明不等式 题型八 三角不等式的应用之等号成立条件的应用 题型九 三角不等式的应用之求最值 题型十 三角不等式的应用之证明不等式 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 说明：风华11 表示风华中学2025—2026学年期中考试第11题 知识点一 利用基本不等式判断结论的正误 例1（风华11） 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 【变式1-1】（天山16） 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出和，由可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，，， 由勾股定理可得， 在中，由可得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题. 【变式1-2】（南模6）已知函数，又，试写出的大小关系______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式得，进而结合函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，，当且仅当时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 又在单调递减，所以， 所以， 故答案为：. 【变式1-3】（上中15）若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 例2 （延安16）对三个正实数、、，下列说法正确的是 A. 存在（、、）的一组值，使得、、均小于2 B. 存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C. 对（、、）任意值，、、都不小于2 D. 对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2 【答案】B 【解析】 【分析】假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误. 【详解】若、、均小于，则， 但由基本不等式可得 、、不能均小于，则错误 当，，时 ，， 存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确 当，时 ，， 存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误 当时， 存在的一组值，使得、、均不小于，则错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论. 【变式2-1】（松二16）设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值. 【详解】因为为正实数，所以， 当且仅当时等号成立， 从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以， 所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，， 同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得， 若取，则，即，假设成立，C正确，D错误. 故选：. 【变式2-2】（行知15）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 【变式2-3】基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题干中的知识，参照基本不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以（）的最小值为. 故选：B. 知识点二 直接用基本不等式求最值或取值范围 例3（延安6）已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 【变式3-1】（上大附中10） 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由海伦秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值． 【详解】由，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此三角形面积的最大值为． 故答案为：． 例4（嘉一5）若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】（上中16）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可. 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 【变式4-2】（华一10）已知，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：，，且， 当时， 当且仅当或时等号成立， ，当且仅当或时等号成立， 当时，不妨设，则，满足题意， 当时，, , , 当且仅当，，或，时等号成立， , 综上所述，的取值范围是． 故答案为． 【变式4-3】（风华18） 对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. （1）根据定义作出函数和在的大致图象； （2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； （3）求下列方程的解集：①； 【答案】（1） （2）的最小值为8，此时的取值范围为 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意化简函数解析式，进而作出函数图象； （2）根据题意结合基本不等式求最小值，并结合成立的条件求的取值范围； （3）分类讨论，结合的定义化简方程，进而分析求解. 【小问1详解】 因为，则， 所以函数在的大致图象如图所示： 且， 所以函数在的大致图象如图所示： 【小问2详解】 因为，且，可得， 又因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为8，此时的取值范围为. 【小问3详解】 对于①：，可得， 若，则， 可得，解得； 若，则，不合题意； 若，则， 可得，解得； 综上所述：的解集为； 例5（建平19）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，占地面积为平方米.现需要对母婴室三面外墙进行装修.其中外墙正面进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为元；外墙两个侧面普通装修即可，因此外墙侧面每平方米造价元，母婴室墙高米.若游乐场母婴室正面长设为米，该游乐场母婴室的外墙正面和侧面装修的总造价为（元），请问如何设计能使得总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】正面长为米，侧面长为米，总造价最低，且最低为元 【解析】 【分析】表示出侧面长后可表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】设游乐场母婴室侧面长为米，则，即， ， 当且仅当时，等号成立，则， 故游乐场母婴室正面长为米，侧面长为米时，总造价最低， 且总造价最低为元. 【变式5-1】（延安20）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【解析】 【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式； （2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得： 当时，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9； 当时，， 此时，当即时，取得最大值. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 【变式5-2】（上实17） 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 【变式5-3】（久隆6）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为___千米/时时车流量最大，最大车流量为___千辆/时（精确到0.01）. 【答案】 ①. 40 ②. 11.08 【解析】 【分析】变形后由基本不等式求出答案. 【详解】因为，，当且仅当，即时，等号成立， 即当汽车的平均速度为40千米/时时车流量最大，最大车流量为千辆/时. 故答案为：40，11.08 【变式5-4】（嘉一19）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行． （1）求的值及每小时的总费用H； （2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值． 【答案】（1）k=0.96，；（2）2400. 【解析】 【分析】（1）由题意设，再根据船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元求解k，然后由每小时的总费用为燃料费和航行运作费用的总和求解； （2）根据（1）每小时的总费用乘以该轮船航行100海里的时间，建立总费用模型，然后利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比， 设， 因为船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元， 所以，解得， 则每小时的总费用； （2）该轮船航行100海里的总费用， 当且仅当，即时，等号成立， 所以总费用W的最小值是2400． 知识点三 基本不等式求最值之配凑法 例6（1）（格致5）当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. （2）若，求的最大值. 【答案】. 【解析】 【分析】先配凑系数，使得相乘的两项的和为定值，再利用基本不等式求最值 【详解】（2），故， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 【变式6-1】（1）设；求函数的最大值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将变形为，利用均值不等式即可求出结果； （2）将变形为，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因此，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为； （2）因为，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. 【变式6-2】 （川沙19）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． （1）求m的值及用x表示S； （2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 【答案】（1），（）； （2）当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和. （2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度. 【小问1详解】 设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，， 则，解得， 显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： （）. 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元． 【变式6-3】（行知19）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 （1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ （2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）万元，万元，万元 （2）当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可； （2）由（1）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得． 【小问1详解】 设利润为 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，， 所以 当， 当， 当． 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 【变式6-4】（位育19）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元 【解析】 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值. 【小问1详解】 由题意得， 令即， 整理得：， 即， 解得， 所以设备占地面积x的取值范围为； 【小问2详解】 ，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元. 【变式6-5】（金中7）若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】由x，y，z均为正数，， 得， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 知识点四 基本不等式求最值之常数代换法 例7（天山8）若正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由题意可得，， 当且仅当时，取到最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 【变式7-1】（奉贤9）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 【变式7-2】（川沙18）设集合，集合． （1）若且，求集合． （2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合即可求解； （2）由题可得，再结合基本不等式可得，从而可求解. 【小问1详解】 由，可得，则可得， 又因为，所以， 当时，得，此时， 当时，得，此时， 综上所述：或. 【小问2详解】 因为且，则，即，且, 则， 当且仅当时，即，时取等号，所以， 所以，所以集合的所有真子集为，，. 【变式7-3】（交附9）已知，且满足，则的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】由可得， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：8. 【变式7-4】（复附10）已知正数满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 令，则，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】令，则， ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意根据题设和目标代数式之间的联系做合适的换元，再对目标代数式做合适变形以便产生积为定值，本题为中档题. 例8（格致19）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； 【答案】（1）；【解析】 【分析】（1）通过构造“1”的代换结合均值不等式求最值，再解不等式得参数范围； 【详解】（1）因为正实数，满足，则. ， 当且仅当即时取等号. 由恒成立，得，即，解得. 【变式8-1】（育才11）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对任意的，不等式恒成立，等价于求的最小值，利用基本不等式求解出最小值后解一元二次不等式即可. 【详解】对任意的，不等式恒成立， 则等价于求的最小值， 由， 所以 ， 当且仅当，即等式成立， 所以有， 解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（曹二15）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 可得， 因为恒成立，即恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式8-3】（延安21）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: （1）若正实数满足，求的最小值 （2）若实数，正实数满足，求证: （3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【答案】（1） （2） ， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （3）设，构造，利用（2）的结论求解. 【小问1详解】 解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，由，解得， ，又，则， 构造，由，得，则， 所以由（2）得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以取最小值为，此时m的值为. 【变式8-4】（南模12）已知，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用把化成，利用基本不等式可求的最小值，再根据不等式的性质把目标代数式放缩为与有关的代数式，再利用基本不等式可求题设中目标代数式的最小值. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时等号成立． 又因为，由不等式的性质可得 . 又因为， 当且仅当时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查多元代数式的最值，处理这类问题的基本策略是降元处理，降元时要结合目标代数式的结构特点，找出能整体处理的部分，本题属于难题. 知识点五 基本不等式求最值之换元法 的 例9（南模19）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】（1） （2）米时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. 【小问2详解】 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 【变式9-1】求在时的最小值． 【答案】． 【解析】 【分析】设分母为t，然后裂项构造成积为定值的两项的和，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】 （3）， 令，则， 所以，化为， 而，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 【变式9-2】（华二12）已知，，则的最小值是___ 【答案】## 【解析】 【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 【变式9-3】（上外云间21）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【答案】（1）7 （2）；， （3） 【解析】 【分析】（1）通过1的代换得到，结合基本不等式即可求解； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 ， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 【例10】（延安12） 已知实数满足且，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质分析可知，可解出的范围，再将转化为关于的式子，再结合基本不等式，即可得解. 【详解】由可知， ，不等式两边时乘以，得，解得. 令，即. 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是. 【变式10-1】（川沙12） 已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由二次函数恒成立得到，再令，将所求分式变成关于的分式，然后利用基本不等式可求. 【详解】因为对任意实数，二次函数恒成立， 则，且， 令，则， 当且仅当时取等号. 故答案为：3． 【变式10-2】（上中12）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 知识点六 基本不等式求最值之多次运用 的 例11（格致19）（2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 【答案】（2）①甲两次均值不等式等号条件不一致，正确最小值为；②乙误用均值不等式，正确最大值为. 【解析】 【分析】（2）分析均值不等式等号条件的一致性，给出正确求解过程. 【详解】 （2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同， 第一次需，第二次需，无法同时满足. 正确解法：由，， 当且仅当时取等号，故最小值为. ②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）. 正确解法：由，， 当且仅当即，时取等号，故最大值为. 【变式11-1】有这样一道利用基本不等式求最值的题： 已知且求的最小值. 小明和小华两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 小明的解法：由于所以 而那么则最小值为 小华的解法：由于所以 而则最小值为 （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？ （2）请说明你判断的理由. 【答案】（1）小华的解法正确；小明的解法错误； （2）理由如下： 在小明的解法中，，等号成立时； ，等号成立时， 那么取得最小值时，， 这与已知条件是相矛盾的. 在小华的解法中，，等号成立的条件为，即， 再由已知条件，即可解得满足条件的的值，都是合理的. 【分析】（1）小华的解法正确；小明的解法错误； （2）根据等号成立的条件判断. 【详解】（1）小华的解法正确；小明的解法错误 （2）理由略. 【11-2】已知x，，求的最值． 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲： 乙： 你认为甲、乙两人解法正确的是______． 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确． 【答案】①甲 ②见解析 【分析】乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误，甲正确． 【详解】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同； ②已知x，，求的最小值． 甲：， 乙：． 故答案为甲． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误，属中档题． 【变式11-3】（南模14）如果正数满足，那么（　　） A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 【解析】 【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A． 知识点七 用基本不等式证明不等式 例12（华一20）（2）已知，用基本不等式证明：，并注明等号成立条件； 【答案】 （2） ，当且仅当时取等号； 【解析】 【分析】 （2） ，利用均值不等式计算得到证明. 【详解】 （2）见答案 【变式12-1】 （建平17）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】见答案 【变式12-2】（七宝20）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. （1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） （2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； （3）证明：. 【答案】（1）证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； （2） （3）证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，以及题干所给条件，证明不等式即可. （2）根据题干条件，写出不等式，再利用不等式求出最小值即可. （3）对不等式进行换元，再根据题目定义，证明结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 知识点八 三角不等式的应用之等号成立条件的应用 例13（曹二4）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将绝对值中的式子变号凑出2，利用三角不等式取等号的条件即可解决. 【详解】由三角不等式得， 等号成立当且仅当， 解得. 【变式13-1】（建平10） 已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【答案】或 【解析】 【分析】 根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解. 【详解】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 【变式13-2】（华二15）已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】通过举例子得到充分性不成立，对进行化简得到从而证明必要性成立，再利用必要非充分条件的判定方法即可得到答案. 【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立， 故不能保证成立，充分性不成立. 必要性：当时，两边同时平方得：， 即，即，故能推出，故必要性成立. 综上，是的必要非充分条件. 故选：B. 例14（七宝6）设，则方程的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求解即得. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号， 所以方程的解集为. 故答案为： 【变式14-1】（金中5） 设，方程的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式取等的条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为， 当且仅当，解得或， 故方程的解集为. 故答案为：. 【变式14-2】（上中东6）关于的方程的解集为______． 【答案】 【分析】根据绝对值不等式可得，结合等号成立条件分析求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即或， 所以由，可得或， 所以的方程的解集为. 故答案为：. 知识点九 三角不等式的应用之求最值 例15（存志11）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角不等式求出的最小值，然后利用解出的取值范围即可． 【详解】由三角不等式得，当且仅当时取等号，所以 对一切恒成立，只需， .故答案为：. 【变式15-1】（川沙10）若对一切都成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由绝对值三角不等式求出左侧的最小值，然后解一元二次不等式可得. 【详解】， 要使不等式对一切都成立，须满足， 即，解得. 故答案为：. 【变式15-2】（交附18）已知，关于的不等式． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）分段讨论求解不等式； （2）用三角不等式求的最小值，由求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，无解； 当 时，不等式可化为，解得； 综上，不等式的解集为，或. 【小问2详解】 由三角不等式得，当且仅当即时等号成立，所以， 因为不等式的解集为，则， 解得， 所以的取值范围为. 【变式15-3】（风华15）用三角不等式求解下列问题： （1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件； （2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件. 【答案】（1）最小值为，； （2） 证明：函数的定义域为R，， 当且仅当，即时取等号， 而当时，，当且仅当时取等号， 所以，当且时取等号. 【解析】 【分析】（1）利用三角不等式求出最小值，并求出等号成立的条件. （2）利用三角不等式求出最小值，再利用基本不等式计算得证，进而求出等号成立条件. 【小问1详解】 函数的定义域为R，， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为，此时. 【小问2详解】 略 【变式15-4】（格致16）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 例16（上大附中9） 不等式对一切都成立，则实数的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】变形可得对一切都成立，根据绝对值的三角不等式，可得，代入化简，即可求得答案. 【详解】由题意得对一切都成立， 因为， 所以， 所以，即， 解得. 故答案为： 【变式16-1】（复附15）若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值不等式来求最小值，利用存在性思想得到参数不等式，即可求解. 【详解】不等式， 因为，取等号条件是与异号或有一个为0， 所以要使得不等式成立， 则， 解得， 故选：A. 例17（育才21） 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【答案】（1）最小值2， （2） 1，4，2，3的波动距离为； 实数，，，满足， 则 ， 因为， 所以， 即. （3）32，理由如下： ， 其中，，，， 因为当或时，， 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理， 所以或， 可知的最大值是. 【解析】 【分析】（1）根绝绝对值三角不等式的知识求得最小值以及此时对应的的取值范围. （2）先求得波动距离，然后利用差比较法以及绝对值三角不等式证得. （3）先求得，然后结合（2）求得的最大值. 【小问1详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【变式17-1】（松二9）若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求出最小值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 因此，由不等式的解集不是空集，得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式17-2】（徐汇11）已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由已知变形，展开后利用基本不等式求最小值，结合绝对值的三角不等式可得，将问题转化为即可. 【详解】∵, , ， ∴, 当且仅当时等号成立，即的最小值为2， ∵， ∴，解得. 实数的取值范围为. 故答案为： 知识点十 三角不等式的应用之证明不等式 例18（浦东新区六校联考18）（2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 【答案】 （2）由三角不等式有：， 当且仅当取等号， 同理， 当且仅当取等号， 两式相加， 当且仅当取等号， 即：，当且仅当取等号. 【分析】 （2）利用绝对值三角不等式可得，，由此可证. 【详解】 （2）见答案 【变式18-1】（23-24高一上·上海·期中）基本不等式和三角不等式是高中数学中学习不等式的重要知识点. (1)已知，，求证：； (2)对于问题“已知正数x、y满足，求的最小值.”同学小明有如下解法： 因为，， 所以，即. 由，得所求最小值为. 试判断上述解法是否正确.若不正确，请指出错误之处，并加以改正. 【答案】(1) 因为，，且， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. (2)错误，改正如下： 因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【分析】（1）根据结合绝对值不等式分析证明； （2）根据基本不等式的条件分析判断，根据“1”的灵活运算结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）略 （2）因为， 则，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 两者等号成立条件不一致，所以解析错误， 正解略. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题03 基本不等式及其应用 （沪教版高一，10种类型67道） 范围：第一章—第二章 目录 题型一 利用基本不等式判断结论的正误 题型二 直接用基本不等式求最值或取值范围 题型三 基本不等式求最值之配凑法 题型四 基本不等式求最值之常数代换法 题型五 基本不等式求最值之换元法 题型六 基本不等式求最值之多次运用 题型七 用基本不等式证明不等式 题型八 三角不等式的应用之等号成立条件的应用 题型九 三角不等式的应用之求最值 题型十 三角不等式的应用之证明不等式 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 说明：风华11 表示风华中学2025—2026学年期中考试第11题 知识点一 利用基本不等式判断结论的正误 例1（风华11） 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】（天山16） 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【变式1-2】（南模6）已知函数，又，试写出的大小关系______. 【变式1-3】（上中15）若实数满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 例2 （延安16）对三个正实数、、，下列说法正确的是 A. 存在（、、）的一组值，使得、、均小于2 B. 存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C. 对（、、）任意值，、、都不小于2 D. 对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2 【变式2-1】（松二16）设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【变式2-2】（行知15）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【变式2-3】基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点二 直接用基本不等式求最值或取值范围 例3（延安6）已知，，且，则的最大值为______． 【变式3-1】（上大附中10） 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为__________． 例4（嘉一5）若，且，则的取值范围是___________． 【变式4-1】（上中16）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【变式4-2】（华一10）已知，，若，则的取值范围是______． 【变式4-3】（风华18） 对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. （1）根据定义作出函数和在的大致图象； （2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； （3）求下列方程的解集：①； 例5（建平19）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，占地面积为平方米.现需要对母婴室三面外墙进行装修.其中外墙正面进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为元；外墙两个侧面普通装修即可，因此外墙侧面每平方米造价元，母婴室墙高米.若游乐场母婴室正面长设为米，该游乐场母婴室的外墙正面和侧面装修的总造价为（元），请问如何设计能使得总造价最低？总造价最低为多少？ 【变式5-1】（延安20）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式5-2】（上实17） 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【变式5-3】（久隆6）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为___千米/时时车流量最大，最大车流量为___千辆/时（精确到0.01）. 【变式5-4】（嘉一19）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行． （1）求的值及每小时的总费用H； （2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值． 知识点三 基本不等式求最值之配凑法 例6（1）（格致5）当时，的最小值为________． （2）若，求的最大值. 【变式6-1】（1）设；求函数的最大值； （2）当时，求函数的最小值． 【变式6-2】 （川沙19）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． （1）求m的值及用x表示S； （2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值． 【变式6-3】（行知19）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 （1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ （2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【变式6-4】（位育19）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 【变式6-5】（金中7）若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值为__________． 知识点四 基本不等式求最值之常数代换法 例7（天山8）若正实数满足，则的最小值为__________. 【变式7-1】（奉贤9）已知，，且，则的最小值为__________． 【变式7-2】（川沙18）设集合，集合． （1）若且，求集合． （2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集． 【变式7-3】（交附9）已知，且满足，则的最小值为_______． 【变式7-4】（复附10）已知正数满足，则的最小值为________. 例8（格致19）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； 【变式8-1】（育才11）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【变式8-2】（曹二15）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式8-3】（延安21）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: （1）若正实数满足，求的最小值 （2）若实数，正实数满足，求证: （3）求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【变式8-4】（南模12）已知，且，则的最小值为________. 知识点五 基本不等式求最值之换元法 的 例9（南模19）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【变式9-1】求在时的最小值． 【变式9-2】（华二12）已知，，则的最小值是___ 【变式9-3】（上外云间21）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【例10】（延安12） 已知实数满足且，则的最大值是______． 【变式10-1】（川沙12） 已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______． 【变式10-2】（上中12）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 知识点六 基本不等式求最值之多次运用 的 例11（格致19） （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 【变式11-1】有这样一道利用基本不等式求最值的题： 已知且求的最小值. 小明和小华两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 小明的解法：由于所以 而那么则最小值为 小华的解法：由于所以 而则最小值为 （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？ （2）请说明你判断的理由. 【11-2】已知x，，求的最值． 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲： 乙： 你认为甲、乙两人解法正确的是______． 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确． 【变式11-3】（南模14）如果正数满足，那么（　　） A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 知识点七 用基本不等式证明不等式 例12（华一20）（2）已知，用基本不等式证明：，并注明等号成立条件； 【变式12-1】 （建平17）已知，都是正实数，证明：. 【变式12-2】（七宝20）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. （1）证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） （2）请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； （3）证明：. 知识点八 三角不等式的应用之等号成立条件的应用 例13（曹二4）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【变式13-1】（建平10） 已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【变式13-2】（华二15）已知，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 例14（七宝6）设，则方程的解集为__________. 【变式14-1】（金中5） 设，方程的解集为________ 【变式14-2】（上中东6）关于的方程的解集为______． 知识点九 三角不等式的应用之求最值 例15（存志11）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______. 【变式15-1】（川沙10）若对一切都成立，则的取值范围是______． 【变式15-2】（交附18）已知，关于的不等式． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的取值范围． 【变式15-3】（风华15）用三角不等式求解下列问题： （1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件； （2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件. 【变式15-4】（格致16）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例16（上大附中9） 不等式对一切都成立，则实数的取值范围是______. 【变式16-1】（复附15）若存在，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例17（育才21） 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）；对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立.若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值，并简要说明理由. 【变式17-1】（松二9）若不等式的解集不是空集，则的取值范围是______． 【变式17-2】（徐汇11）已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 知识点十 三角不等式的应用之证明不等式 例18（浦东新区六校联考18）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 【变式18-1】（23-24高一上·上海·期中）基本不等式和三角不等式是高中数学中学习不等式的重要知识点. (1)已知，，求证：； (2)对于问题“已知正数x、y满足，求的最小值.”同学小明有如下解法： 因为，， 所以，即. 由，得所求最小值为. 试判断上述解法是否正确.若不正确，请指出错误之处，并加以改正. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $