期中复习专题4——期中创新题专项训练- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

期中复习专题4——期中创新题专项训练 目 录 【题型1】数轴动点与绝对值最值（数形结合） 1 【题型2】有理数混合运算巧算 2 【题型3】乘方实际模型与个位数字周期规律 4 【题型4】新定义运算求值 5 【题型5】数值转换机（程序框图）输入输出 6 【题型6】整体代入求值 8 【题型7】数字与图形规律探究 9 【题型8】整式加减错看还原与“与某字母无关” 11 【题型9】一元一次方程巧解与含参方程 12 【题型10】实际情境建模应用（阶梯计费、打折销售、行程） 13 【题型1】数轴动点与绝对值最值（数形结合） 考查方向：已知两点表示的数求距离、比较大小；把｜a−b｜理解为两点间距离，求绝对值之和的最小值；动点分段表示位置或用方程求相遇、追及的时间与位置。 1.（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知，，满足，． （1）求出，，的值； （2），，在数轴上所对应的点分别为，，，为数轴上一动点，其对应的数为，当点在点与点之间时，化简式子（写出化简过程） 2.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足|a+2|+（c﹣7）2=0.P是数轴上一动点，P点表示的数是x，当PA+PB+PC=10时，x=___________. 4.（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________． （2）【阅读】 点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． 【应用】 数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________； 若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________． 当代数式取最小值时，相应的的值是__________． 【题型2】有理数混合运算巧算 考查方向：凑整、拆项相消、乘法分配律正用与逆用，简化含分数、小数的混合运算，并辨析运算步骤正误。 1.（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）用简便算法进行计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 2.（26-27七年级上·山东滨州·阶段检测）有下列计算过程： ①； ②； ③． 其中，恰当运用运算律的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果是________． 4.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）老师为了强化同学们的运算思维，提高数学运算能力，布置了一道有意思的计算题，鼓励大家用不同的方法计算．以下是三名同学的计算过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数，所以原式． （1）比较他们的做法，其中_______的做法是错误的． （2）选择合适的方法计算：． （3）求:的值． 【题型3】乘方实际模型与个位数字周期规律 考查方向：折纸、拉面、细胞分裂等情境用乘方表示；观察乘方的个位数字循环周期，求某一项的个位数字。 1.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）把一张厚度为0.1毫米的长方形纸对折，每对折一次，纸的厚度就变为原来的2倍，如图所示． （1）对折6次后，纸的厚度是多少毫米？（先列出乘方算式，再写出结果） （2）对折10次后，纸的厚度是多少厘米？ （3）有人说“一张纸对折20次后，它的厚度会超过100米”，你认为这可能吗？请结合计算与生活经验说明理由． 2.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）二进制在计算机技术中应用广泛．二进制数以2为基数，通常用0和1两个数码来表示，进位规则是从最右面的数位依次向左满二进一，已知二进制数与十进制数之间的换算关系如下表所示： 十进制数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制数 1 10 11 100 101 110 111 1000 … 观察上表中二进制数分别为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数．当二进制数为6位数时，对应的十进制数中的最大数为 ____ ． 4.（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 （1）用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； （2）第几天浮萍覆盖的面积为？ （3）若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 【题型4】新定义运算求值 考查方向：按自定义符号或规则代入计算，读懂规则、注意运算顺序，含参数时分类讨论，或与整式化简结合。 1.（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）已知整式，其中“◇”数字印刷不清． （1）若“◇”数字是3，请化简整式． （2）若的值与无关，求出“◇”代表的数字． （3）在（2）的条件下，定义新整式：．若是关于的单项式，且系数为负整数，直接写出所有满足要求的正整数的值：____________． 2.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式______． 4.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． （1）若，求的值． （2）若，求的值． （3）计算：． （4）若，直接写出的值． 【题型5】数值转换机（程序框图）输入输出 考查方向：按框图运算顺序由输入求输出，或由输出反求输入，考查列代数式与逆运算。 1.（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： （1）若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； （2）若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； （3）若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 2.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江西吉安·期中）按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的值为，转换后输出的结果是_____． 4.（24-25七年级下·北京顺义·阶段检测）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入时，求输出M的值为多少？ （2）若输入，b为正数，输出M的值为5，求b的值． 【题型6】整体代入求值 考查方向：已知某个代数式的整体值，不分别求字母，直接整体代入化简求值。 1.（25-26七年级上·安徽淮南·期中）整体代换是数学中常用的一种方法，例如，若，则． （1）若，则_________． （2）若，，则_________． 2.（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是一个程序框图，当输入任意值后，会发现输出的结果值是一个固定值，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·陕西延安·期中）在求代数式的值时，可以用整体代入求值的方法，化繁为简．若，则的值为______________． 4.（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，要求的值，有以下两种方法： （法一）把代入，得： 原式 （法二）把整体代入，得： 原式 根据以上材料，已知，求的值． 【题型7】数字与图形规律探究 考查方向：等差、等比、周期数列或递推算式，以及餐桌摆椅、点阵、拼图等图形，归纳第 n 项的代数式并验证。 1.（26-27七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若，定义的差倒数为．如的差倒数为．已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推． （1）求、、； （2）直接写出； （3）计算； （4）求的值． 2.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 3.（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如图所示，一条数轴按图示方式折转形成折线，其中底部水平线段的长度为，右侧竖直线段的长度为，圆的周长为且圆周上的，，，四点将圆周四等分，保持折线位置不变，圆紧贴折线沿折线的正方向滚动，若在滚动过程中，数轴上表示的点与圆周上的某个标记点重合，则该标记点的字母是________． 4.（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． （1）第5个图案中，棋子一共有___________枚； （2）摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： （3）通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【题型8】整式加减错看还原与“与某字母无关” 考查方向：看错系数或符号据错解反推正确结果；多项式不含某项或结果与某字母无关，由系数定参数。 1.（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简再求值：，其中▓，▓．黑色部分是小明不小心用墨水污染的条件，可是小亮却认为无需知道x、y的值，也能求出代数式的值．你同意小亮同学的说法吗？请说明理由． （1）我 （填“同意”或“不同意”） （2）理由： 2.（25-26七年级上·广西河池·期中）已知整式，整式，若a是常数，且的值与x无关，则a的值是（    ） A．4 B．12 C． D．6 3.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某商场计划购进甲、乙两种羽绒服共50件进行销售，其中甲种羽绒服每件进价700元，售价1020元；乙种羽绒服每件进价600元，售价880元．而且商场决定：销售时每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．若商场购进甲种羽绒服的数量不影响销售完这50件羽绒服所获得利润，则a的值为_________________． 4.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． （1）当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； （2）若W的值与x无关，且，求m的值． 【题型9】一元一次方程巧解与含参方程 考查方向：去分母、去括号、移项等步骤辨析与改错；方程含参数时，由同解、解的正负、无解或无数解确定参数值。 1.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：． 2.（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 3.（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 4.（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 （1）请用材料中介绍的方法解方程：． （2）已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． （3）【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【题型10】实际情境建模应用（阶梯计费、打折销售、行程） 考查方向：分段计费、折扣优惠方案、顺逆水与追及相遇等情境，正确列代数式或方程并比较求值。 1.（26-27七年级上·广东珠海·开学考试）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 2.（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析数量关系，直观分析是解决问题的一种重要策略．如图，是小明用直观分析策略解决实际问题时画的框图，若设成本价为，根据此框图对应的等量关系，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是___________． 4.（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 （1）二月份小晶家用水多少吨？ （2）若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． （3）在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题4——期中创新题专项训练 目 录 【题型1】数轴动点与绝对值最值（数形结合） 1 【题型2】有理数混合运算巧算 6 【题型3】乘方实际模型与个位数字周期规律 10 【题型4】新定义运算求值 14 【题型5】数值转换机（程序框图）输入输出 18 【题型6】整体代入求值 23 【题型7】数字与图形规律探究 26 【题型8】整式加减错看还原与“与某字母无关” 32 【题型9】一元一次方程巧解与含参方程 36 【题型10】实际情境建模应用（阶梯计费、打折销售、行程） 39 【题型1】数轴动点与绝对值最值（数形结合） 考查方向：已知两点表示的数求距离、比较大小；把｜a−b｜理解为两点间距离，求绝对值之和的最小值；动点分段表示位置或用方程求相遇、追及的时间与位置。 1.（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知，，满足，． （1）求出，，的值； （2），，在数轴上所对应的点分别为，，，为数轴上一动点，其对应的数为，当点在点与点之间时，化简式子（写出化简过程） 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、数轴、整式的加减等知识点，熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质是解题关键． （1）先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得a、c的值，再根据可得b的值； （2）先画出数轴，再根据点P的位置分别判断出的正负，然后化简绝对值、计算整式的加减即可得． 解：（1）由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，， 解得，， ， ， 综上，； （2）由题意，画数轴如下： 由数轴的定义得：， 则， 因此， ， ， ． 2.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两段讨论动点的位置，把三点距离之和转化为含的式子，结合取值范围确定距离和的最大与最小值，再计算． 解：当点在上，即， ， 由，可知； 当点在上，即， ， 由，可知， 则，， 故． 3.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足|a+2|+（c﹣7）2=0.P是数轴上一动点，P点表示的数是x，当PA+PB+PC=10时，x=___________. 【答案】0或2 【分析】由非负数的性质列出方程求出的值，由有理数的概念求出值，根据两点之间线段最短判断出最小即可求值． 解：由题意可知：，， 解得：，， ∵b是最小的正整数， ∴， 所以最小值为：， ∵， ， 解得：或， 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，熟练掌握非负数的性质是解决本题的关键． 4.（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________． （2）【阅读】 点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． 【应用】 数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________； 若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________． 当代数式取最小值时，相应的的值是__________． 【答案】（），，；（）；或；；． 【分析】本题考查了绝对值和偶次幂非负性，数轴上两点的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值和偶次幂非负性，有理数概念即可求解； （）根据阅读材料得出，然后再解绝对值方程即可； 根据表示点到和的距离之和即可求解； 根据表示点到，和的距离之和即可求解． 解：（）∵， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， ∴， 故答案为：，，； （）数轴上表示和的两点和之间的距离是， ∵， ∴， ∴或， 解得：或 故答案为：；或； ∵表示点到和的距离之和， ∴取最小值时，， 则的最小值为， 故答案为：； ∵表示点到，和的距离之和， ∴当时，最小值为， 故答案为：． 【题型2】有理数混合运算巧算 考查方向：凑整、拆项相消、乘法分配律正用与逆用，简化含分数、小数的混合运算，并辨析运算步骤正误。 1.（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）用简便算法进行计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据有理数的加减运算法则，结合加法运算律和绝对值的意义求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2.（26-27七年级上·山东滨州·阶段检测）有下列计算过程： ①； ②； ③． 其中，恰当运用运算律的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】逐一判断各计算过程是否符合加法运算律的要求，即变形前后加数不变，仅交换位置或改变结合方式，且能简化计算． 解：①等号左边的加数为，右边的加数为，将正数、负数分别结合，符合加法交换律与结合律，且简化计算，恰当运用运算律． ②等号两边加数均为，将同分母分数、负数分别结合，符合加法交换律与结合律，且简化计算，恰当运用运算律． ③等号两边加数均为，将能凑整的数分别结合，符合加法交换律与结合律，且简化计算，恰当运用运算律． 故恰当运用运算律的有3个． 3.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果是________． 【答案】 【分析】先判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后相邻项可相互抵消，简化计算即可得到结果． 解： ． 4.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）老师为了强化同学们的运算思维，提高数学运算能力，布置了一道有意思的计算题，鼓励大家用不同的方法计算．以下是三名同学的计算过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数，所以原式． （1）比较他们的做法，其中_______的做法是错误的． （2）选择合适的方法计算：． （3）求:的值． 【答案】（1）甲；（2）；（3） 【分析】（1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的； （2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值； （3）利用（2）的计算结果计算即可． （1）解：根据题目中的解答方法，可知甲的做法是错误的； （2）解：原式的倒数 ， 故； （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 【题型3】乘方实际模型与个位数字周期规律 考查方向：折纸、拉面、细胞分裂等情境用乘方表示；观察乘方的个位数字循环周期，求某一项的个位数字。 1.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）把一张厚度为0.1毫米的长方形纸对折，每对折一次，纸的厚度就变为原来的2倍，如图所示． （1）对折6次后，纸的厚度是多少毫米？（先列出乘方算式，再写出结果） （2）对折10次后，纸的厚度是多少厘米？ （3）有人说“一张纸对折20次后，它的厚度会超过100米”，你认为这可能吗？请结合计算与生活经验说明理由． 【答案】（1）6.4毫米；（2）10.24厘米；（3）计算上会超过100米，实际上不可能实现 （1）解：∵纸的厚度是0.1毫米， ∴对折1次，厚度为：毫米， 对折2次，厚度为：毫米， 对折3次，厚度为：毫米， … 则对折次，厚度为：毫米， 那么对折6次，厚度为 （毫米）． （2）解：由（1）可知，对折10次，厚度为（毫米）（厘米）． （3）解：由（1）可知，若对折20次，厚度为 （毫米） （米），确实超过100米．但在实际生活中，纸对折到一定次数后就不能再对折了（一般不超过七八次），所以实际上不可能对折20次． 2.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】分别求出的末位数字，再相加即可． 解：由题知， ，，，，，，，，， 所以的末位数字按循环出现， 又余2， 所以的末位数字是4． ，，，，，，，，…， 所以的末位数字按循环出现， 又余3， 所以的末位数字是7． 的末位数字是3 故选：A． 【点睛】本题考查尾数特征，能根据所给的2的乘方和3的乘方的尾数发现其出现的规律是解题的关键． 3.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）二进制在计算机技术中应用广泛．二进制数以2为基数，通常用0和1两个数码来表示，进位规则是从最右面的数位依次向左满二进一，已知二进制数与十进制数之间的换算关系如下表所示： 十进制数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制数 1 10 11 100 101 110 111 1000 … 观察上表中二进制数分别为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数．当二进制数为6位数时，对应的十进制数中的最大数为 ____ ． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二进制和十进制之间的转化，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握进制之间的关系． n位二进制数的最大值为，因此6位二进制数的最大值为． 解：根据二进制数的表示规则，n位二进制数中，所有位均为1时对应的十进制数最大，其值为， 当时，计算， 故答案为：63． 4.（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 （1）用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； （2）第几天浮萍覆盖的面积为？ （3）若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 【答案】（1）第8天浮萍覆盖的面积为，结果是；（2）第10天浮萍覆盖的面积为；（3）第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 【分析】（1）先总结出第n天浮萍的覆盖面积是，把代入规律计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据乘方的意义作答即可． （1）解：第1天面积是， 第2天是， 第3天是， ∴第n天浮萍的覆盖面积是， 当时，； （2）解：∵面积为，， ∴， 即， ∴； （3）解：∵浮萍每天覆盖面积是前一天的2倍，第20天长满池塘， ∴第20天的面积第19天的面积， 即第19天的面积就是第20天满池面积的一半， ∴第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 【题型4】新定义运算求值 考查方向：按自定义符号或规则代入计算，读懂规则、注意运算顺序，含参数时分类讨论，或与整式化简结合。 1.（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）已知整式，其中“◇”数字印刷不清． （1）若“◇”数字是3，请化简整式． （2）若的值与无关，求出“◇”代表的数字． （3）在（2）的条件下，定义新整式：．若是关于的单项式，且系数为负整数，直接写出所有满足要求的正整数的值：____________． 【答案】（1）；（2）2；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了整式加减运算，单项式定义，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）设“◇”代表的数字为m，化简整式A得出，再根据的值与无关，得出； （3）根据解析（2）可得：，从而得出，再根据是关于的单项式，且系数为负整数，得出答案即可． （1）解：当“◇”数字是3时， ； （2）解：设“◇”代表的数字为m，则： ， ∵的值与无关， ∴， 解得：， ∴“◇”代表的数字为2． （3）解：根据解析（2）可得：， ∴， ∵是关于的单项式，且系数为负整数， ∴正整数或或． 2.（25-26七年级上·安徽合肥·期中）对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，属于中档题．根据新运算定义，先计算内层运算 ，再计算． 解：根据题意：， ∴， 故选：B． 3.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式______． 【答案】20 【分析】本题考查代数式求值，根据“天平数”的定义可得，进而可得，再利用整体代入法求解． 解：与互为“天平数”， ， ， ， 故答案为：20． 4.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． （1）若，求的值． （2）若，求的值． （3）计算：． （4）若，直接写出的值． 【答案】（1）或2；（2）5或1；（3）2或0或；（4）6或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题． （1）分和两种情况，结合绝对值的定义即可获得答案； （2）根据的几何意义进行分析，即可获得答案； （3）分且，且，且，且四种情况，分别求解即可； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9，然后分，，三种情况，分别求解即可． （1）解：∵， ∴当时，可有， 当时，可有，即， ∴的值是或2； （2）根据题意，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离为2， 则的值是5或1； （3）根据题意，可知且， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 综上所述，的值为2或0或； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9， 当时，可知， 则有，解得， 当时，可知， 则有，故此种情况不存在， 当时，可知， 则有，解得， 综上所述，m的值为6或． 【题型5】数值转换机（程序框图）输入输出 考查方向：按框图运算顺序由输入求输出，或由输出反求输入，考查列代数式与逆运算。 1.（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： （1）若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； （2）若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； （3）若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）1；（3）1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． （1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 2.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 3.（25-26七年级上·江西吉安·期中）按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的值为，转换后输出的结果是_____． 【答案】28 【分析】本题考查了代数式求值与循环计算的逻辑，解题的关键是按照数值转换机的流程多次代入计算，直到结果满足条件． 先代入计算，若结果不大于7，则将该结果作为新的再次计算，直到结果大于7时输出． 解：输入，计算： 因为，所以返回重新输入． 输入，计算： 因为，所以返回重新输入． 输入，计算： 因为，所以输出结果． 故答案为：28 4.（24-25七年级下·北京顺义·阶段检测）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入时，求输出M的值为多少？ （2）若输入，b为正数，输出M的值为5，求b的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，看懂流程图，列出正确的式子是解题的关键． （1）按照流程图代入求值即可； （2）分类讨论，分或，分别列方程，即可解答． （1）解：当输入时， ， ； （2）解：当，即时， 可得， 解得或，与题意不符，故舍去； 当，即时， 可得， 解得，符合题意， 故． 【题型6】整体代入求值 考查方向：已知某个代数式的整体值，不分别求字母，直接整体代入化简求值。 1.（25-26七年级上·安徽淮南·期中）整体代换是数学中常用的一种方法，例如，若，则． （1）若，则_________． （2）若，，则_________． 【答案】 18 16 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值以及整体思想，正确掌握整体代入法是解题的关键． （1）先整理，再把代入，即可作答； （2）先整理，再把，代入，即可作答． 解：（1）∵， ∴ ， 故答案为：18； （2）∵，， ∴ ， 故答案为：16． 2.（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是一个程序框图，当输入任意值后，会发现输出的结果值是一个固定值，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减运算以及代数式的值与未知数取值无关的条件．解题关键在于理解“输出结果为固定值”这一条件的含义，即化简后的式子中的系数为，从而建立关于的等式．首先根据程序框图列出关于的代数式，即先计算，然后对得到的式子进行化简，得到一个关于的一次多项式形式（、为常数）．由于输出的结果值是一个固定值，意味着化简后式子中的系数，由此求出的值．最后将的值代入多项式，求出该多项式的值即可． 解： ∵输出的结果值是一个固定值 ∴ 当时，原式 故选C． 3.（25-26七年级上·陕西延安·期中）在求代数式的值时，可以用整体代入求值的方法，化繁为简．若，则的值为______________． 【答案】29 【分析】本题主要考查代数式求值，由已知方程可得，整体代入代数式 即可求值． 解：∵， ∴， 则 ． 故答案为：29． 4.（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，要求的值，有以下两种方法： （法一）把代入，得： 原式 （法二）把整体代入，得： 原式 根据以上材料，已知，求的值． 【答案】2017 【分析】题目主要考查已知式子的值，求代数式的值，理解题意是解题关键． 利用已知条件推导出，进而求出，然后代入原表达式化简求值即可． 解：由，得， 则， 将代入，得 ∴原式 ． 【题型7】数字与图形规律探究 考查方向：等差、等比、周期数列或递推算式，以及餐桌摆椅、点阵、拼图等图形，归纳第 n 项的代数式并验证。 1.（26-27七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若，定义的差倒数为．如的差倒数为．已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推． （1）求、、； （2）直接写出； （3）计算； （4）求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）把新定义“ 的差倒数为 ”翻译成运算，由 依次求出 、、，并发现 ； （2）由 知数列每 项循环一次，把 除以 ，由余数确定 与哪一项相等； （3）把三个数通分后相加； （4）先算每 项的积为 ，再把 项分成 组与余下的一项，用乘方的意义求值． （1）解：由定义， 的差倒数为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解：由（1）知 ， ∴ 数列 ，，，， 每 项循环一次，即以 为周期． ∵ ， ∴ ． （3）解：． （4）解：∵ ， ∴ 每 项的积都等于 ． ∵ ， ∴ ． 2.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 【答案】C 【分析】先观察发现第1～4个图形需要杯子的数量分别为个、个、个、个，则归纳类推得第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数，再将代入计算即可得． 解：观察发现：第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数， 所以第10个图形需要杯子的数量为（个） 3.（26-27七年级上·重庆·阶段检测）如图所示，一条数轴按图示方式折转形成折线，其中底部水平线段的长度为，右侧竖直线段的长度为，圆的周长为且圆周上的，，，四点将圆周四等分，保持折线位置不变，圆紧贴折线沿折线的正方向滚动，若在滚动过程中，数轴上表示的点与圆周上的某个标记点重合，则该标记点的字母是________． 【答案】 【分析】根据点对应的数可知四个数一个循环，即可得出答案． 解：由题意可知点A对应的数是1，点B对应的数是2，点C对应的数是3，点D对应的数是4， ∴四个数一个循环， 即， 所以数轴上表示1007的点与圆周上的点C重合． 4.（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． （1）第5个图案中，棋子一共有___________枚； （2）摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： （3）通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【答案】（1）15；（2）7；（3）①；② 【分析】（1）直接对1到5连续整数求和． （2）先求出x、y、z的值，再代入代数式计算． （3）观察题中给出的式子，归纳得到棋子数的通项表达式，利用裂项相消，中间项全部抵消，简化分数求和． （1）解：第5个图案棋子总数： （2）解：由题意得： ，，， ， （3）解：①根据题意得 ， ， ， ， 由此归纳可得：． 当时， ． ②， ， ． 【题型8】整式加减错看还原与“与某字母无关” 考查方向：看错系数或符号据错解反推正确结果；多项式不含某项或结果与某字母无关，由系数定参数。 1.（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简再求值：，其中▓，▓．黑色部分是小明不小心用墨水污染的条件，可是小亮却认为无需知道x、y的值，也能求出代数式的值．你同意小亮同学的说法吗？请说明理由． （1）我 （填“同意”或“不同意”） （2）理由： 【答案】（1）同意；（2） ， 化简后结果为2021，与、的取值无关，故无需知道、的值，也能求出代数式的值． 【分析】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是通过去括号、合并同类项，判断化简结果是否与、有关． （1）解：我同意． 故答案为：同意． （2）略 2.（25-26七年级上·广西河池·期中）已知整式，整式，若a是常数，且的值与x无关，则a的值是（    ） A．4 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算及与未知数无关的条件应用，计算，合并同类项后，令x的系数为零，解出a． 解：∵，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3.（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某商场计划购进甲、乙两种羽绒服共50件进行销售，其中甲种羽绒服每件进价700元，售价1020元；乙种羽绒服每件进价600元，售价880元．而且商场决定：销售时每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．若商场购进甲种羽绒服的数量不影响销售完这50件羽绒服所获得利润，则a的值为_________________． 【答案】40 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中无关项的计算方法，理解材料提示含义，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据题意，商场购进甲种羽绒服的数量不影响总利润，意味着总利润与甲种羽绒服的数量无关．因此，在总利润的表达式中，甲种羽绒服数量的系数必须为零，从而建立方程求解a． 解：设购进甲种羽绒服x件，则乙种羽绒服为件． 每件甲种羽绒服的利润为元，即元； 每件乙种羽绒服的利润为元，即280元． 总利润， 化简得：， 由于P与x无关，故x的系数为零，即，解得． 故答案为：40． 4.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． （1）当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； （2）若W的值与x无关，且，求m的值． 【答案】（1）①；②，；（2） 【分析】本题考查整式的化简和求值，掌握整式的化简的步骤是解题的关键． （1）①根据题意，化简即可求解； ②根据题意，先计算，再根据，即得，求解即可； （2）化简，根据题意，可得一次项系数和常数项都为零，计算即可求解． （1）解：当时， ①当，，时， ； 即； ②，， ，， 则， ， ， 解得， 则； （2） 与x无关，，即， ， ，即， ，即， ， ． 【题型9】一元一次方程巧解与含参方程 考查方向：去分母、去括号、移项等步骤辨析与改错；方程含参数时，由同解、解的正负、无解或无数解确定参数值。 1.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】或 解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 2.（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且，则所有满足条件的x的和为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题利用数轴上两点间距离的性质，即两点距离等于两点所表示数的差的绝对值，列出绝对值方程求解x，再计算所有x的和，即可得到答案． 解：∵数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，点P表示的数为x，点Q表示的数为，且， ∴，整理得， 分两种情况讨论： 当时，解得， 当时，解得， 则所有满足条件的的和为 ． 3.（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 【答案】 【分析】先提取后，根据题目信息拆分方程左边各项，抵消中间项，将原方程化简为一元一次方程求解． 解： ． 4.（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 （1）请用材料中介绍的方法解方程：． （2）已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． （3）【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． （1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 【题型10】实际情境建模应用（阶梯计费、打折销售、行程） 考查方向：分段计费、折扣优惠方案、顺逆水与追及相遇等情境，正确列代数式或方程并比较求值。 1.（26-27七年级上·广东珠海·开学考试）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【答案】平均速度至少要达到米/分 【分析】先设起点到第一个补给站的时间为分钟，表示出两段路程，利用第一个补给站到第二个补给站路程为米列方程求出，再算出第二个补给站到终点的距离，最后根据求出最小平均速度． 解：设小杰从起点跑到第一个补给站用时分钟，则起点到第一个补给站路程为米， 从第一个补给站到第二个补给站用时分钟，这段路程为米． 由图可知第一个补给站到第二个补给站总路程为米： ， 解得， 起点到第一个补给站路程：​（米）， 总路线长米，所以第二个补给站到终点路程：（米）， 要求分钟内跑完，则这段路程的最低平均速度为（米/分）． 2.（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析数量关系，直观分析是解决问题的一种重要策略．如图，是小明用直观分析策略解决实际问题时画的框图，若设成本价为，根据此框图对应的等量关系，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设成本价为，根据亏本，列出方程，即可求解． 解：设成本价为，依题意， 故选：C． 3.（26-27七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是___________． 【答案】 【分析】设A与B相遇时间为小时，20分钟换算为小时，根据总路程不变，利用两次相遇的路程和相等列方程求解． 解：设汽车A出发小时后与汽车B相遇，20分钟小时，甲乙两站路程为， ∵ A与B相遇时，两车行驶的路程和等于甲乙两站的总路程， ∴ ； ∵ A与B相遇后再经过小时后与C相遇，此时A和C行驶的总时间为小时，路程和也等于总路程， ∴ ， 联立两式得： ， 故， 整理，得 ， 解得 ， 将代入，得； 故甲乙两站的路程为． 4.（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 （1）二月份小晶家用水多少吨？ （2）若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． （3）在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】（1）6吨；（2）6吨；（3）77.4吨 【分析】（1）由2月底读数196减去1月底读数190，得二月份用水量； （2）由一月份用水量及"一月份比六月份少 ​"先求出六月份用水量为14吨，再设标准量为 吨，由六月份水费54元列方程求解； （3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少 "求出下半年水费，设下半年用水量 吨，标准内部分按3元/吨，超标部分按元/吨列方程求解． （1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 学科网（北京）股份有限公司 $