2026-2027学年北师大版七年级数学上册第一至四章 期中练习

七上期中练习·优（第一至四章） 数学　北师大版　七年级上册（新教材） 分档练习　共 50 题　建议用时 120 分钟　｜　练习范围：第一至四章（丰富的图形世界　有理数及其运算　整式及其加减　基本平面图形） 一、丰富的图形世界（共 9 题） 1. 一个棱柱的棱数比它的顶点数多 10，则这个棱柱是（　　）。 A. 六棱柱　　　　B. 八棱柱 C. 十棱柱　　　　D. 十二棱柱 2. 把一个两条直角边分别长 4 cm、6 cm 的直角三角形，绕较长的直角边所在直线旋转一周，得到的几何体的底面半径是（　　）。 A. 4 cm　　　　B. 6 cm C. 2 cm　　　　D. 10 cm 3. 用一个平面去截一个几何体，截出的面是圆，则这个几何体不可能是（　　）。 A. 圆柱　　　　B. 圆锥 C. 球　　　　D. 三棱柱 4. 一个正方体的六个面上分别写着 1、2、3、−1、−2、−3，且相对两个面上的数互为相反数。如图是它的表面展开图，则与写着 1 的面相对的面上的数是（　　）。 5. 钟表上的秒针旋转一周，扫过的痕迹是一个圆面。这一现象说明（　　）。 6. 一个棱柱的顶点数与面数之和是 32，则它是（　　）棱柱。 7. 用一个平面去截一个六棱柱，截面最多是（　　）边形。 A. 6　　　　B. 7 C. 8　　　　D. 9 8. 如图，由 5 个大小相同的小正方体搭成一个几何体，下面 A、B、C、D 四幅图是从不同方向看到的形状图。从上面看这个几何体得到的形状图是（　　）（填字母）。 9. 用若干个同样大小的小立方块搭成一个几何体，从上面看和从正面看得到的形状图如图。 （1）搭成这个几何体最少需要多少个小立方块？ （2）最多需要多少个小立方块？ 二、有理数及其运算（共 19 题） 10. 数轴上点 A 表示的数是 −3，点 B 到点 A 的距离是 5，且点 B 在原点左侧，则点 B 表示的数是（　　）。 A. 2　　　　B. −8 C. 2 或 −8　　　　D. −2 11. 在 −|−3|、−(−2)、−2²、(−2)² 这四个数中，最大的数是（　　）。 A. −|−3|　　　　B. −(−2) C. −2²　　　　D. (−2)² 12. 若 |a－2|＋|b＋3|＝0，则 a＋b 的值是（　　）。 A. 5　　　　B. −5 C. 1　　　　D. −1 13. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 2a＋2b－3cd 的值是（　　）。 14. 计算：−5－(−12)＋(−3)－8。 15. 计算：(−2)³×(−)²。 16. 计算：−2²＋(−2)²－(−2)³。 17. 计算：(−＋－)×(−24)。 18. 已知 |a|＝4，|b|＝6。 （1）写出 a、b 各自可能取的值； （2）若 a＞b，求 a＋b 的所有可能的值。 19. 近似数 3.14×10⁴ 精确到（　　）位。 20. 规定一种新运算：a⊗b＝a²−|b|。例如：2⊗3＝4−3＝1。 （1）计算 (−3)⊗(−2)； （2）若 x⊗3＝1，求 x 的值。 21. 数轴上点 A 表示的数是 −6，点 B 表示的数是 6。点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动。 （1）出发多少秒后两点相遇？ （2）出发多少秒后两点相距 3 个单位长度？ 22. 已知 a＝−2²，b＝−(−3)，c＝|−4|，则 a、b、c 的大小关系是（　　）。 A. a＜b＜c　　　　B. b＜a＜c C. a＜c＜b　　　　D. c＜b＜a 23. 数轴上点 A 表示的数是 −2，点 B 表示的数是 4。点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右移动。当 PA＝PB 时，点 P 表示的数是（　　）。 A. 1　　　　B. 0 C. 2　　　　D. 3 24. 计算 (−1)¹＋(−1)²＋(−1)³＋…＋(−1)²⁰²⁵ 的值是（　　）。 A. −1　　　　B. 0 C. 1　　　　D. 2025 25. 把 −3200000 用科学记数法表示为（　　）。 A. −3.2×10⁶　　　　B. −32×10⁵ C. −3.2×10⁵　　　　D. −0.32×10⁷ 26. 近似数 2.5 万精确到（　　）位。 27. 计算：−1⁴＋(−2)³÷(−4)。 28. 计算：(−＋)×(−12)。 三、整式及其加减（共 12 题） 29. 化简 −2(3x－y)＋3(2x＋y) 的结果是（　　）。 A. 5y　　　　B. −5y C. 12x＋5y　　　　D. 5y－6x 30. 已知 x²＋x＝3，则 2x²＋2x－5 的值是（　　）。 A. 1　　　　B. 6 C. −2　　　　D. 11 31. 当 x＝−2 时，代数式 x³－2x²＋1 的值是（　　）。 32. 当 x＝2 时，代数式 ax³＋bx－4 的值是 6。 （1）求 8a＋2b 的值； （2）当 x＝−2 时，求这个代数式的值。 33. 已知 A＝3x²－2x＋5，B＝x²－4x－1。 （1）化简 A－2B； （2）当 x＝−2 时，求 A－2B 的值。 34. 化简：3x²−[5x−(2x−3)＋2x²]。 35. 先化简，再求值：2(a²b−ab²)−3(a²b−2ab²)，其中 a＝−1，b＝2。 36. 化简 2(a²−2ab)−3(ab−a²) 的结果是（　　）。 A. 5a²−7ab　　　　B. 5a²−ab C. −a²−7ab　　　　D. 5a²＋7ab 37. 若 (2x²＋ax−y＋6)−(bx²−2x＋5y−1) 的值与 x 的取值无关，则 a、b 的值分别是（　　）。 A. a＝−2，b＝2　　　　B. a＝2，b＝−2 C. a＝−2，b＝−2　　　　D. a＝2，b＝2 38. 一列单项式按如下规律排列：x，−2x²，4x³，−8x⁴，…。按此规律，第 10 个单项式是（　　）。 A. 512x¹⁰　　　　B. −512x¹⁰ C. 1024x¹⁰　　　　D. −1024x¹⁰ 39. 一个长方形的长是 a＋2b，宽是 a−b，则它的周长是（　　）。 A. 4a＋2b　　　　B. 2a＋b C. 4a＋b　　　　D. 2a＋2b 40. 化简：2(x²−3x)−[3x²−(2x−1)]。 四、基本平面图形（共 10 题） 41. 计算 32°15′＋47°55′ 的结果是（　　）。 A. 79°70′　　　　B. 80°10′ C. 80°70′　　　　D. 79°10′ 42. 从一个多边形的某一个顶点出发可以画出 6 条对角线，则这个多边形共有（　　）条对角线。 A. 27　　　　B. 54 C. 24　　　　D. 36 43. 点 C 在线段 AB 上，M、N 分别是线段 AC、BC 的中点，AB＝24 cm，则 MN＝（　　）cm。 44. 3 点 30 分时，钟面上时针与分针所夹的锐角是（　　）度。 45. 已知 ∠AOB＝120°，OC 是 ∠AOB 的平分线，射线 OD 在 ∠AOC 的内部，且 ∠COD－∠AOD＝20°。 （1）求 ∠AOC 的度数； （2）求 ∠BOD 的度数。 46. 钟表上 4 时 15 分，时针与分针所夹的角（小于平角的角）是（　　）。 A. 37.5°　　　　B. 30° C. 45°　　　　D. 52.5° 47. 把 3.75° 化成度、分的形式是（　　）。 48. 从十五边形的一个顶点出发画对角线，可以把十五边形分成（　　）个三角形。 49. 计算：15°24′×3。 50. 点 C 在直线 AB 上，AB＝10 cm，AC＝4 cm，M 是线段 AB 的中点。 （1）求 BC 的长； （2）求 MC 的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 七上期中练习·优（第一至四章） 数学　北师大版　七年级上册（新教材） 分档练习　共 50 题　建议用时 120 分钟　｜　练习范围：第一至四章（丰富的图形世界　有理数及其运算　整式及其加减　基本平面图形） 班级　　　　　　姓名　　　　　　学号　　　　 本册为答案与解析，题面与学生版一致。 使用说明 本练习 50 题，本档为优档（另两档同范围、同考点、不同难度）。这份答案与解析配合学生版使用，题面与学生版一一对应。本档面向优秀学生：每题都要走两步，而且两步之间要学生自己做一次判断——该分类、该反向、该选哪条路；照常规走两步就能对的题是「稳中上」档的口径，本档不重复。全卷有两道标志题：第 21 题要把绝对值给出的一正一负两种取值摆全，再用 a＞b 逐一筛，a＋b 有两个值；第 22 题要从 x＝2 时的结果反推 8a＋2b，再用相反数关系整体代入求 x＝−2 时的值，硬求 a、b 是走不通的。每题的解析按三段写——第一段给最终结果，第二段说清两步各自的依据，第三段点出学生最容易在第几步上判断错。每个大题前面另有「考点与易错」，写明这一节的考点、常见错法，可以照着讲评。 一、丰富的图形世界（共 9 题） 考点与易错　本模块考法与近年真题对齐：正方体展开图折叠找相对面、三视图、小立方块搭建、面动成体、截面、n 棱柱的面与棱。最常错的三处：展开图把「相邻」当成「相对」；三视图把「从上面看」当成「从正面看」；立方块把两个视图的格子数相加。 1. 一个棱柱的棱数比它的顶点数多 10，则这个棱柱是（　　）。 A. 六棱柱　　　　B. 八棱柱 C. 十棱柱　　　　D. 十二棱柱 【答案】C 【解析】设底面是 n 边形。n 棱柱的顶点分上、下两圈，每圈 n 个，共 2n 个；棱分三处——侧棱 n 条、上底面边 n 条、下底面边 n 条，共 3n 条。 棱数比顶点数多 10 就是 3n－2n＝10，得 n＝10。底面是十边形，所以是十棱柱（这时它有 12 个面、20 个顶点、30 条棱）。 【易错】把棱数记成 2n、顶点数记成 3n（两者搞反），3n－2n 变成了 2n－3n＝−n，算不出正数就弃题；或者只凭「多 10」猜一个，不去写 3n 与 2n。错在第一步——先把 n 棱柱的棱数 3n 与顶点数 2n 各自写出来，作差才能落到 n 上。 2. 把一个两条直角边分别长 4 cm、6 cm 的直角三角形，绕较长的直角边所在直线旋转一周，得到的几何体的底面半径是（　　）。 A. 4 cm　　　　B. 6 cm C. 2 cm　　　　D. 10 cm 【答案】A 【解析】直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的是一个圆锥：这条直角边是轴，也正好是圆锥的高。 圆锥的底面是另一条直角边扫出来的圆，所以底面半径等于另一条直角边。题目绕的是较长的 6 cm，那么半径就是 4 cm（高是 6 cm）。 【易错】把被绕的 6 cm 当成半径（错选 B），或者把两条直角边加起来当成半径（错选 D）。错在第一步——轴上的那条边转起来不动，它只是高；离开轴的那条边才扫出面，它的长度才是半径。 3. 用一个平面去截一个几何体，截出的面是圆，则这个几何体不可能是（　　）。 A. 圆柱　　　　B. 圆锥 C. 球　　　　D. 三棱柱 【答案】D 【解析】截面要截出圆，几何体上必须有曲面：圆柱、圆锥、球都有曲面（平行底面截圆柱、平行底面截圆锥，或者直接截球，截出的都是圆）。 三棱柱的五个面全是平的，一个平面截下去，截面只能是多边形，边数最多等于它的面数，永远截不出圆。 【易错】凭「三棱柱也能截出很多形状」就排除它，反把圆柱当成全是平面的（错选 A）。错在第一步——先问这个几何体上有没有曲面：有曲面才可能截出圆；全是平面的棱柱，怎么截都是多边形。 4. 一个正方体的六个面上分别写着 1、2、3、−1、−2、−3，且相对两个面上的数互为相反数。如图是它的表面展开图，则与写着 1 的面相对的面上的数是（　　）。 【答案】−1 【解析】先按展开图找相对面：中间一行四个面围成一圈，第 1 个与第 3 个相对、第 2 个与第 4 个相对；一上一下的那两个面也相对。 「1」在中间一行的第 1 格，与它相对的是第 3 格，那一格写着「−1」。1 与 −1 互为相反数，与题目给的条件相符，所以答案是 −1。 【易错】按「挨着就相对」找到「2」或「−2」，或者只看数字的绝对值随便挑一个。错在第一步——先在展开图里定位相对面（中间行第 1 与第 3、第 2 与第 4，另有一上一下一对），再用「互为相反数」核对。 5. 钟表上的秒针旋转一周，扫过的痕迹是一个圆面。这一现象说明（　　）。 【答案】线动成面 【解析】先看动的是什么：秒针是一根有长度的线，不是点，也不是一个面。 这根线绕一端转一周，扫出的痕迹是一个圆面。起点是线、结果是面，所以是线动成面。 【易错】看见「圆」就填面动成体（那是面转一圈扫出体），或者填点动成线。错在第一步——先认出动的对象：秒针是线，线动成面；只有面转一圈才成体。 6. 一个棱柱的顶点数与面数之和是 32，则它是（　　）棱柱。 【答案】十 【解析】n 棱柱的顶点数是 2n，面数是 n＋2。 2n＋(n＋2)＝32，即 3n＝30，n＝10，所以是十棱柱。 【易错】把「顶点数与面数之和」直接当成顶点数 32 去解 2n＝32，得 n＝16；或者把面数记成 n（漏了两个底面）。错在第一步——先用含 n 的式子把两个量分别写出来（2n 与 n＋2），再相加。 7. 用一个平面去截一个六棱柱，截面最多是（　　）边形。 A. 6　　　　B. 7 C. 8　　　　D. 9 【答案】C 【解析】截面是平面与几何体各个面的交线围成的多边形，一条交线对应几何体的一个面。 六棱柱有 6 个侧面加 2 个底面，共 8 个面，所以截面最多与 8 个面各交一条边，最多是 8 边形。 【易错】只数 6 个侧面，答成六边形；或者把「n 棱柱最多 n＋2 边形」记成「n＋1」。错在第 2 步——截面最多边形的边数等于这个几何体的面数，六棱柱 6＋2＝8 个面。 8. 如图，由 5 个大小相同的小正方体搭成一个几何体，下面 A、B、C、D 四幅图是从不同方向看到的形状图。从上面看这个几何体得到的形状图是（　　）（填字母）。 【答案】B 【解析】从上面看，是把前后与左右两个方向摊平，看到的是每个「位置」有没有方块，与高度无关。 这个几何体在底层摆成一个「横三格、左后方还多一格」的形状，上面再摞了一个方块——但摞高的那个位置，从上面看仍然只是那一格。 所以从上面看是横着三格、左边一格后面再加一格；A 只有横两格、C 是竖两格、D 是两格横排，只有 B 对得上。 【易错】把「从上面看」当成「从正面看」，选 A；或者看到有方块摞起来，就以为上面看会出现多一层（选 C 那种竖格）。错在第 1 步——从上面看只分位置、不分高度，几层都压成一个格子。 9. 用若干个同样大小的小立方块搭成一个几何体，从上面看和从正面看得到的形状图如图。 （1）搭成这个几何体最少需要多少个小立方块？ （2）最多需要多少个小立方块？ 【答案】（1）最少 6 个；（2）最多 7 个。 【解析】从上面看有 4 个位置（左边一列 2 个、中间 1 个、右边 1 个）；从正面看三列的高度分别是 2、2、1。 （1）最少：4 个位置各放 1 块共 4 块，再让左边与中间两列各有一个位置摞到 2 层，补 1＋1＝2 块，共 4＋2＝6（个）。 （2）最多：左边一列的 2 个位置都能摞到 2 层（2×2＝4 块），中间 1 个位置摞到 2 层（2 块），右边 1 个位置 1 层（1 块），共 4＋2＋1＝7（个）。 答：最少 6 个，最多 7 个。 【易错】（1）把每列高度直接相加 2＋2＋1＝5，答成 5（漏了「位置数」这个基准）；错在第 1 小问第一步——最少 ＝ 位置总数 ＋ 每列（高度−1）的和。（2）把三列高度乘以三个位置 3×3，答成 9；错在忘了右边那一列只有 1 个位置、且它在正面看只有 1 层。 二、有理数及其运算（共 19 题） 考点与易错　重点在符号与法则：正负数的意义、科学记数法、数轴上的距离、绝对值、乘方与四则混合。最常错的三处：乘方的负号在括号里还是括号外；减去一个数没变成加相反数；绝对值里的式子没当成整体。 10. 数轴上点 A 表示的数是 −3，点 B 到点 A 的距离是 5，且点 B 在原点左侧，则点 B 表示的数是（　　）。 A. 2　　　　B. −8 C. 2 或 −8　　　　D. −2 【答案】B 【解析】只要说「距离是 5」，要的数就有两个：从 −3 往右数 5 个单位得 2，从 −3 往左数 5 个单位得 −8。 再用条件筛：点 B 在原点左侧，表示数必须是负数，2 不合，只剩 −8。 【易错】只想到往右的那个，答成 2（错选 A）；或者两个可能都留着（错选 C），没把「原点左侧」用上。错在第二步——第一步按距离写出左右两个位置，第二步用条件筛掉一个；两个都留等于没筛。 11. 在 −|−3|、−(−2)、−2²、(−2)² 这四个数中，最大的数是（　　）。 A. −|−3|　　　　B. −(−2) C. −2²　　　　D. (−2)² 【答案】D 【解析】四个式子先各自化简：−|−3|＝−3；−(−2)＝2；−2² 只把 2 平方再接负号，得 −4；(−2)² 是括号里整个 −2 一起平方，得 4。 四个数化成 −3、2、−4、4，正数里 4 最大，所以选 (−2)²。 【易错】把 −2² 与 (−2)² 看成一回事，两个都写成 4 或者都写成 −4，于是比大小比错（错选 C）；或者把 −(−2) 读成 −2，四个数里只剩负数，乱挑一个。错在第一步——乘方定符号先看「负号在括号里还是括号外」：(−2)²＝4，−2²＝−4。 12. 若 |a－2|＋|b＋3|＝0，则 a＋b 的值是（　　）。 A. 5　　　　B. −5 C. 1　　　　D. −1 【答案】D 【解析】绝对值表示距离，永远不是负数，所以 |a－2| 与 |b＋3| 都是非负数。两个非负数相加得 0，只有一种可能：两个都等于 0。 由 a－2＝0 得 a＝2；由 b＋3＝0 得 b＝−3；a＋b＝2＋(−3)＝−1。 【易错】看到「和等于 0」就直接令 a＝0、b＝0（把绝对值里的式子当成 a、b 本身），答 0；或者解 b＋3＝0 时漏了负号，得 b＝3，答成 5（错选 A）。错在第二步——令每个绝对值里的整个式子为 0，a－2＝0 才得 a＝2，b＋3＝0 才得 b＝−3。 13. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 2a＋2b－3cd 的值是（　　）。 【答案】−3 【解析】互为相反数的两个数和为 0：a＋b＝0，所以 2a＋2b＝2(a＋b)＝0。互为倒数的两个数积为 1：cd＝1。 代进去：0－3×1＝−3。 【易错】把「互为倒数」当成和为 0（或者把「互为相反数」当成积为 1），两件事混成一件；或者忘了 2a＋2b 要先提成 2(a＋b)。错在第一步——相反数看和（和为 0），倒数看积（积为 1），这一步错了后面全错。 14. 计算：−5－(−12)＋(−3)－8。 【答案】−4 【解析】第一步，把两个减法统一成加法：−5－(−12)＋(−3)－8＝−5＋12－3－8。 第二步，正数与负数分开凑：正数只有 12，负数 −5－3－8＝−16；12＋(−16)＝−4。 【易错】第一步漏变号，把 −(−12) 写成 −12，结果变成 −28；或者把 (−3)－8 算成 −3＋8。错在第一步——减去一个数等于加上它的相反数，括号一去掉符号就翻。 15. 计算：(−2)³×(−)²。 【答案】−2 【解析】第一步，两个乘方各自定符号：(−2)³ 是负数的奇次幂，等于 −8；(−)² 是负数的偶次幂，等于。 第二步相乘：(−8)×＝−2（异号得负，8×＝2）。 【易错】把 (−2)³ 算成 8，或者把 (−)² 算成 −，结果就多出一个负号。错在第一步——两个幂的符号要先各自定好：奇次幂为负，偶次幂为正，定完再乘。 16. 计算：−2²＋(−2)²－(−2)³。 【答案】8 【解析】第一步，三个幂分别写出来：−2²＝−4（只有 2 参与平方，负号留在外面）；(−2)²＝4；(−2)³＝−8。 第二步，最后一项前面是减号，减 −8 等于加 8：－(−2)³＝＋8。 第三步相加：−4＋4＋8＝8。 【易错】把 −2² 与 (−2)² 都算成 4，得 4＋4＋8＝16；或者忘了最后一项的减号，算成 −4＋4－8＝−8。错在第一步——三个幂要一个一个定符号：负号在括号里才是底数的一部分。 17. 计算：(−＋－)×(−24)。 【答案】14 【解析】第一步用分配律，把 −24 乘给括号里每一项并各自定符号：(−)×(−24)＝12；×(−24)＝−16；(−)×(−24)＝18。 第二步相加：12－16＋18＝14。 也可以先算括号：括号里通分得 −，再乘 −24 得 14，两条路结果相同。 【易错】分配时漏掉第三项的负号，把 (−)×(−24) 算成 −18，得 12－16－18＝−22；或者只把 −24 乘到第一项。错在第二步——每一项都要乘 −24，并且每一项的符号单独定。 18. 已知 |a|＝4，|b|＝6。 （1）写出 a、b 各自可能取的值； （2）若 a＞b，求 a＋b 的所有可能的值。 【答案】（1）a＝4 或 a＝−4，b＝6 或 b＝−6；（2）a＋b 的值是 −2 或 −10。 【解析】（1）绝对值表示到原点的距离：到原点 4 个单位的点有两个，所以 a＝4 或 a＝−4；到原点 6 个单位的点也有两个，所以 b＝6 或 b＝−6。a、b 各有两种取法。 （2）a、b 的搭配一共四种，逐一用 a＞b 筛：a＝4、b＝6 时 4＜6，不合；a＝4、b＝−6 时 4＞−6，合；a＝−4、b＝6 时 −4＜6，不合；a＝−4、b＝−6 时 −4＞−6，合。 合条件的两组分别求和：4＋(−6)＝−2；(−4)＋(−6)＝−10。 答：a 的值是 4 或 −4，b 的值是 6 或 −6；当 a＞b 时，a＋b 的值是 −2 或 −10。 【易错】（2）只取两个都是正数的一组，得 4＋6＝10；或者只写 −2 一个值就交卷，漏掉 −10。错在第 2 小问第一步——带绝对值又带大小条件的题，必须把四种搭配全摆出来再用 a＞b 逐一筛：四组里有两组合条件，答案就有两个值，只写一个算漏解。 19. 近似数 3.14×10⁴ 精确到（　　）位。 【答案】百 【解析】先把科学记数法还原：3.14×10⁴＝31400。 末位的 4 落在百位，所以这个近似数精确到百位。 【易错】看「3.14」的两位小数就答百分位或十分位。错在第一步——先乘回原数再数位，3.14×10⁴ 是 31400，末位在百位。 20. 规定一种新运算：a⊗b＝a²−|b|。例如：2⊗3＝4−3＝1。 （1）计算 (−3)⊗(−2)； （2）若 x⊗3＝1，求 x 的值。 【答案】（1）7；（2）x＝2 或 x＝−2。 【解析】（1）(−3)⊗(−2)＝(−3)²−|−2|＝9−2＝7。 （2）x⊗3＝x²−3＝1，得 x²＝4，所以 x＝2 或 x＝−2（平方等于 4 的数有两个）。 【易错】（2）只写 x＝2，漏了负的那个。错在第二步——x²＝4 有两个解，正负都要写；题目没有限定 x 的符号。 21. 数轴上点 A 表示的数是 −6，点 B 表示的数是 6。点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动。 （1）出发多少秒后两点相遇？ （2）出发多少秒后两点相距 3 个单位长度？ 【答案】（1）4 秒；（2）3 秒或 5 秒。 【解析】设出发 t 秒。P 表示 −6＋2t，Q 表示 6−t。 （1）相遇就是两个数相等：−6＋2t＝6−t，得 3t＝12，t＝4（秒）。 （2）相距 3：|(−6＋2t)−(6−t)|＝|3t−12|＝3，得 3t−12＝3 或 3t−12＝−3，t＝5 或 t＝3。相遇前（3 秒）和相遇后（5 秒）各一次。 【易错】（2）只算出 t＝5（相遇之后），漏了相遇之前的 t＝3。错在第三步——「相距 3」是距离，要加绝对值，相遇前后各有一个时刻。 22. 已知 a＝−2²，b＝−(−3)，c＝|−4|，则 a、b、c 的大小关系是（　　）。 A. a＜b＜c　　　　B. b＜a＜c C. a＜c＜b　　　　D. c＜b＜a 【答案】A 【解析】先把三个数算出来：a＝−2²＝−4；b＝−(−3)＝3；c＝|−4|＝4。 −4＜3＜4，所以 a＜b＜c。 【易错】把 −2² 算成 4（当成 (−2)²），得 b＜a＝c 之类的错序。错在第 1 步——−2² 的负号在乘方之外，结果是 −4；只有 (−2)² 才是 4。 23. 数轴上点 A 表示的数是 −2，点 B 表示的数是 4。点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右移动。当 PA＝PB 时，点 P 表示的数是（　　）。 A. 1　　　　B. 0 C. 2　　　　D. 3 【答案】A 【解析】PA＝PB 表示点 P 到 A、B 的距离相等，即 P 是线段 AB 的中点。 中点表示的数是两端数之和的一半：(−2＋4)÷2＝1。 验一验：P 在 1 时，PA＝1−(−2)＝3，PB＝4−1＝3，确实相等。 【易错】把「速度每秒 1 个单位」当成答案（选 1 只是碰巧）；或者用 (4−(−2))÷2＝3 求成半段长度（选 D）。错在第 2 步——PA＝PB 定的是中点位置，位置用两端之和的一半，半段长度用差的一半。 24. 计算 (−1)¹＋(−1)²＋(−1)³＋…＋(−1)²⁰²⁵ 的值是（　　）。 A. −1　　　　B. 0 C. 1　　　　D. 2025 【答案】A 【解析】(−1) 的奇次幂是 −1、偶次幂是 1，所以这一串是 −1、1、−1、1…交替出现。 相邻两项 −1＋1＝0 可以两两抵消。从 1 到 2025 共 2025 项，前 2024 项正好配成 1012 对、每对为 0。 剩下最后一项 (−1)²⁰²⁵＝−1，所以总和是 −1。 【易错】看到「奇数个」就猜答案是 −1 之前没算抵消；或者把 2025 项当成偶数项、答 0。错在第 2 步——先判断项数是奇数还是偶数：2025 是奇数，两两抵消后必剩一项，这项的符号由它的指数决定。 25. 把 −3200000 用科学记数法表示为（　　）。 A. −3.2×10⁶　　　　B. −32×10⁵ C. −3.2×10⁵　　　　D. −0.32×10⁷ 【答案】A 【解析】科学记数法写成 a×10ⁿ，其中 1≤|a|＜10；负数把负号放在最前面。 3200000 是 7 位数，指数 n＝7−1＝6，系数是 3.2，所以 −3200000＝−3.2×10⁶。 【易错】B、D 的数值也是 −3200000，但系数 32 不小于 10、0.32 小于 1，形式不合规；C 是位数数错一位（3.2×10⁵＝320000）。错在第 2 步——先数位数定 n，再看系数是否落在 [1,10)。 26. 近似数 2.5 万精确到（　　）位。 【答案】千 【解析】先把 2.5 万还原成原数：2.5 万＝25000。 末位数字 5 落在 25000 的千位上，所以精确到千位。 【易错】看到 2.5 有一位小数就填「十分位」，或者把「万」当成单位、答成「万位」。错在第 1 步——带「万」「亿」这类单位的近似数，要先还原成原数，再看末位数字落在哪一位；2.5 万精确到的是千位，不是十分位。 27. 计算：−1⁴＋(−2)³÷(−4)。 【答案】1 【解析】第一步先算乘方：−1⁴＝−1（负号在乘方之外，1⁴＝1）；(−2)³＝−8。 第二步算除法：(−8)÷(−4)＝2（同号得正）。 第三步算加法：−1＋2＝1。 【易错】把 −1⁴ 算成 (−1)⁴＝1，得 3；或者把 (−2)³ 算成 8，得 −3。错在第 1 步——负号在括号外时不参与乘方，−1⁴ 是 1⁴ 的相反数；负数的奇次幂为负。 28. 计算：(−＋)×(−12)。 【答案】−1 【解析】第一步算括号里，通分成分母 12：−＝−，＝，相加得 。 第二步算乘法：×(−12)＝−1（异号得负）。 也可以用分配律验一验：×(−12) 的相反数是 9，×(−12)＝−10，9＋(−10)＝−1。 【易错】通分时把 写成 却忘了它前面有负号，括号里得 ；或者乘法时漏掉负号答成 1。错在第 1 步——负号跟着分数走，−＝−。 三、整式及其加减（共 12 题） 考点与易错　重点是辨认与化简：单项式的系数与次数、同类项、去括号、合并同类项、化简求值。最常错的三处：系数漏乘括号里后面的项；括号前是负号时只变第一项；把「同类项」判成「字母相同」而不管指数。 29. 化简 −2(3x－y)＋3(2x＋y) 的结果是（　　）。 A. 5y　　　　B. −5y C. 12x＋5y　　　　D. 5y－6x 【答案】A 【解析】两个括号各乘各的：−2(3x－y)＝−6x＋2y（−2 要乘括号里的两项）；3(2x＋y)＝6x＋3y。 四项相加：−6x＋6x＋2y＋3y。x 项 −6x 与 6x 互为相反数，抵消成 0；y 项 2y＋3y＝5y。结果是 5y。 【易错】第一个括号只把 −2 乘到 3x 上，写成 −6x－y（漏乘 −y），化简得 −4y＋12x 一类的结果（错选 C）；或者没看出 x 项能抵消。错在第一步——括号前的数要乘括号里的每一项，负号也要跟着乘进去。 30. 已知 x²＋x＝3，则 2x²＋2x－5 的值是（　　）。 A. 1　　　　B. 6 C. −2　　　　D. 11 【答案】A 【解析】先看要求值的式子与前一个式子的关系：2x²＋2x＝2(x²＋x)，前两项正好是已知式的 2 倍。 把 x²＋x 整体换成 3，代入计算得 2×3－5＝6－5＝1。不用求出 x 是多少。 【易错】想把 x 解出来再去代入（x²＋x＝3 解不出好算的数，卡住）；或者只把 x² 换成 3、x 留着，得 6＋x－5。错在第一步——把 x²＋x 当成一个整体，先提出公因数 2，整体代入就只剩一步。 31. 当 x＝−2 时，代数式 x³－2x²＋1 的值是（　　）。 【答案】−15 【解析】两个幂各自定符号：(−2)³ 是负数的奇次幂，等于 −8；(−2)² 是负数的偶次幂，等于 4。 代入：x³－2x²＋1＝−8－2×4＋1＝−8－8＋1＝−15。 【易错】把 (−2)³ 算成 8（奇次幂的负号丢了），得 8－8＋1＝1；或者 −2x² 里漏了那个负号，算成 −8＋8＋1。错在第一步——负数的奇次幂为负、偶次幂为正，两个幂先各自带符号算出来，再代入。 32. 当 x＝2 时，代数式 ax³＋bx－4 的值是 6。 （1）求 8a＋2b 的值； （2）当 x＝−2 时，求这个代数式的值。 【答案】（1）8a＋2b＝10；（2）当 x＝−2 时，这个代数式的值是 −14。 【解析】（1）把 x＝2 代进去：a×2³＋b×2－4＝8a＋2b－4。已知它的值是 6，所以 8a＋2b－4＝6，移项得 8a＋2b＝10。 （2）把 x＝−2 代进去：a×(−2)³＋b×(−2)－4＝−8a－2b－4。 −8a－2b 正好是 8a＋2b 的相反数，所以可以整体替换：−8a－2b－4＝−(8a＋2b)－4＝−10－4＝−14。 答：8a＋2b 的值是 10；当 x＝−2 时，这个代数式的值是 −14。 【易错】（2）把 x＝−2 代进去后想分别求出 a、b（条件只有一个，求不出来，就卡死）；或者符号只变了一半，写成 8a＋2b－4＝6 后再答 6。错在第 2 小问第二步——x 由 2 换成 −2，三次项与一次项同时变号，整个 8a＋2b 变成 −(8a＋2b)；用第（1）问的结果整体代入，不必求出 a、b。 33. 已知 A＝3x²－2x＋5，B＝x²－4x－1。 （1）化简 A－2B； （2）当 x＝−2 时，求 A－2B 的值。 【答案】（1）A－2B＝x²＋6x＋7；（2）当 x＝−2 时，A－2B 的值是 −1。 【解析】（1）先算 2B：2B＝2(x²－4x－1)＝2x²－8x－2，三项都要乘 2。 再作差并去括号：A－2B＝(3x²－2x＋5)－(2x²－8x－2)＝3x²－2x＋5－2x²＋8x＋2（减去 2B，括号里每一项都变号）。 合并同类项：3x²－2x²＝x²，－2x＋8x＝6x，5＋2＝7，所以 A－2B＝x²＋6x＋7。 （2）把 x＝−2 代入化简后的式子：(−2)²＋6×(−2)＋7＝4－12＋7＝−1。 答：A－2B 化简得 x²＋6x＋7；当 x＝−2 时，它的值是 −1。 【易错】（1）只把 2 乘到 x² 上，算成 2B＝2x²－4x－1，化简得 x²－6x＋4；或者去括号时只变了第一项的号，写成 3x²－2x＋5－2x²－8x－2＝x²－10x＋3。错在第 1 小问第一步——乘 2 与去负号两件事都要逐项做。（2）不化简就把 −2 分别代进 A、B 再相减，容易在 −2B 的符号上出错；用第（1）问的化简式代入只要一步。 34. 化简：3x²−[5x−(2x−3)＋2x²]。 【答案】x²−3x−3 【解析】先去小括号：5x−(2x−3)＝5x−2x＋3。 再去中括号并变号：3x²−(5x−2x＋3＋2x²)＝3x²−5x＋2x−3−2x²。 合并同类项：3x²−2x²＝x²，−5x＋2x＝−3x，得 x²−3x−3。 【易错】去中括号时只变第一项，写成 3x²−5x＋2x−3＋2x²，得 5x²−3x−3。错在第二步——中括号前是负号，括号里每一项都要变号，包括 ＋2x²。 35. 先化简，再求值：2(a²b−ab²)−3(a²b−2ab²)，其中 a＝−1，b＝2。 【答案】−a²b＋4ab²；当 a＝−1、b＝2 时，值是 −18 【解析】去括号：2a²b−2ab²−3a²b＋6ab²。 合并同类项：a²b 项 2−3＝−1，ab² 项 −2＋6＝4，得 −a²b＋4ab²。 代入 a＝−1、b＝2：−1×2＋4×(−1)×4＝−2−16＝−18。 【易错】把 (−1)×4 算成 ＋4（漏了 a 的负号），得 −2＋16＝14。错在第三步——ab² 里 a＝−1、b²＝4，乘积是 −4，前面还有系数 4。 36. 化简 2(a²−2ab)−3(ab−a²) 的结果是（　　）。 A. 5a²−7ab　　　　B. 5a²−ab C. −a²−7ab　　　　D. 5a²＋7ab 【答案】A 【解析】去括号：2(a²−2ab)＝2a²−4ab；−3(ab−a²)＝−3ab＋3a²（负号乘进去，两项都变号）。 合并同类项：2a²＋3a²＝5a²；−4ab−3ab＝−7ab，结果是 5a²−7ab。 【易错】第二个括号只把第一项变号，得 2a²−4ab−3ab−3a²＝−a²−7ab（选 C）。错在第 1 步——括号前是 −3，括号里的 ab 与 −a² 两项都要乘 −3，−3×(−a²)＝＋3a²。 37. 若 (2x²＋ax−y＋6)−(bx²−2x＋5y−1) 的值与 x 的取值无关，则 a、b 的值分别是（　　）。 A. a＝−2，b＝2　　　　B. a＝2，b＝−2 C. a＝−2，b＝−2　　　　D. a＝2，b＝2 【答案】A 【解析】先化简：去括号得 2x²＋ax−y＋6−bx²＋2x−5y＋1，按 x 的次幂归并成 (2−b)x²＋(a＋2)x−6y＋7。 「值与 x 的取值无关」意味着含 x 的项的系数都为 0，即 2−b＝0 得 b＝2；a＋2＝0 得 a＝−2。 验一验：a＝−2、b＝2 时原式＝−6y＋7，确实不含 x。 【易错】只让 x² 的系数为 0（b＝2），却以为 x 的系数自动抵消，答成 a＝2（选 D）。错在第 2 步——「与 x 无关」要把 x²、x 两项的系数都令为 0，a 的方程是 a＋2＝0，不是 a−2＝0。 38. 一列单项式按如下规律排列：x，−2x²，4x³，−8x⁴，…。按此规律，第 10 个单项式是（　　）。 A. 512x¹⁰　　　　B. −512x¹⁰ C. 1024x¹⁰　　　　D. −1024x¹⁰ 【答案】B 【解析】系数是从 x 的系数 1 起、每项乘 −2，即 1、−2、4、−8…第 n 个系数的绝对值是 2 的 (n−1) 次方，符号由 n 的奇偶定（奇正偶负）。 指数就是序号 n。第 10 个：系数 (−2)⁹＝−512（10 是偶数，符号为负），指数 10，即 −512x¹⁰。 【易错】把系数当成每项乘 2（得 512 或 1024，符号也丢）。错在第 1 步——相邻两项的系数之比是 −2，不是 2；第 n 个的系数是 (−2) 的 (n−1) 次方，指数才是 n。 39. 一个长方形的长是 a＋2b，宽是 a−b，则它的周长是（　　）。 A. 4a＋2b　　　　B. 2a＋b C. 4a＋b　　　　D. 2a＋2b 【答案】A 【解析】周长＝(长＋宽)×2＝[(a＋2b)＋(a−b)]×2。 括号里合并同类项：a＋a＝2a，2b−b＝b，得 2a＋b；再乘 2 得 4a＋2b。 【易错】漏乘 2，答成 2a＋b（选 B）；或者合并时把 2b−b 算成 3b。错在第 2 步——周长是四条边，长加宽之后还要乘 2。 40. 化简：2(x²−3x)−[3x²−(2x−1)]。 【答案】−x²−4x−1 【解析】第一步去小括号：−(2x−1)＝−2x＋1，方括号里是 3x²−2x＋1。 第二步去方括号：−[3x²−2x＋1]＝−3x²＋2x−1，原式＝2x²−6x−3x²＋2x−1。 第三步合并同类项：2x²−3x²＝−x²；−6x＋2x＝−4x；常数项 −1，结果是 −x²−4x−1。 【易错】去方括号时只把第一项变号，写成 2x²−6x−3x²−2x＋1，得 −x²−8x＋1；或者 2 漏乘 −3x。错在第 1、2 步——括号前是负号，括号里每一项都变号，从里往外一层层来。 四、基本平面图形（共 10 题） 考点与易错　重点在线段与角的运算：线段中点与和差、角平分线与倍分关系、钟面角、度分秒、多边形对角线、扇形圆心角、方位角。最常错的三处：分满 60 没进 1°；点的位置未定时不分类讨论；角平分线算成整角的一半而不看它在哪个角里。 41. 计算 32°15′＋47°55′ 的结果是（　　）。 A. 79°70′　　　　B. 80°10′ C. 80°70′　　　　D. 79°10′ 【答案】B 【解析】度与度、分与分各自相加：分 15′＋55′＝70′，度 32°＋47°＝79°。 度、分、秒是六十进制，分满 60′ 要进 1°：70′＝1°10′，把进的 1° 加到 79° 上得 80°，分剩 10′。结果是 80°10′。 【易错】分相加得 70′ 就停手写成 79°70′（错选 A），没进位；或者既进位又留着 70′（错选 C）。错在第一步——60′＝1°，分超过 60 要先向前进 1°，剩下的才算分。 42. 从一个多边形的某一个顶点出发可以画出 6 条对角线，则这个多边形共有（　　）条对角线。 A. 27　　　　B. 54 C. 24　　　　D. 36 【答案】A 【解析】n 边形从一个顶点出发，n－3 条是它的对角线（去掉它自己，再去掉左右两个相邻顶点），所以 n－3＝6，n＝9，这是九边形。 对每个顶点都数一遍是 6 条，九个顶点共 9×6＝54 条；但每条对角线的两个端点各数了一次，数重了一半，54÷2＝27 条。 【易错】把 9×6＝54 直接当答案（错选 B），忘了每条被数了两次；或者求出 n＝9 就停手，忘了题目问的是总条数。错在第二步——从一个顶点数出的条数要乘以顶点数，再除以 2。 43. 点 C 在线段 AB 上，M、N 分别是线段 AC、BC 的中点，AB＝24 cm，则 MN＝（　　）cm。 【答案】12 【解析】中点把线段分成相等的两半：MC＝AC 的一半，CN＝BC 的一半。 MN＝MC＋CN＝AC 的一半＋BC 的一半＝(AC＋BC) 的一半；而 AC＋BC 就是全长 AB＝24，所以 MN＝24÷2＝12（cm）。不用知道 C 具体在哪。 【易错】想先求出 AC、BC 各是多长（题目没给，卡住）；或者把「一半」加「一半」当成全长，答 24。错在第二步——两个中点各取一半，合起来正好是全长的一半，与 C 的位置无关。 44. 3 点 30 分时，钟面上时针与分针所夹的锐角是（　　）度。 【答案】75 【解析】分针 30 分指向 6，从 12 起算转了 30×6＝180°。 时针每小时走 30°，30 分钟再走 15°，所以时针从 12 起算转了 3×30＋15＝105°（它停在 3 与 4 的正中间）。 两针夹角＝180°－105°＝75°，是锐角。 【易错】把时针当成停在 3 上，用 180°－90°＝90°；或者两针都按整点算。错在第二步——分针走了 30 分，时针也跟着走了半小时即 15°，时针不在 3 上。 45. 已知 ∠AOB＝120°，OC 是 ∠AOB 的平分线，射线 OD 在 ∠AOC 的内部，且 ∠COD－∠AOD＝20°。 （1）求 ∠AOC 的度数； （2）求 ∠BOD 的度数。 【答案】（1）∠AOC＝60°；（2）∠BOD＝100°。 【解析】（1）OC 平分 ∠AOB，把 120° 分成两个相等的角：∠AOC＝120°÷2＝60°。 （2）OD 在 ∠AOC 内部，所以两个角拼成整个 ∠AOC：∠AOD＋∠COD＝60°。 题里还给了它们的差：∠COD－∠AOD＝20°。和是 60°、差是 20°，把两式相减得 2∠AOD＝40°，∠AOD＝20°；再代回和的式子得 ∠COD＝40°。 ∠BOD 是 ∠AOB 里去掉 ∠AOD 剩下的那一块：∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝120°－20°＝100°。 答：∠AOC＝60°，∠BOD＝100°。 【易错】（2）把「∠COD－∠AOD＝20°」读成两个角相加，直接拿 60° 与 20° 一减一加凑数；或者求出 ∠AOD＝20° 后又用 60°－40° 求 ∠BOD，把整角当成了 ∠AOC。错在第 2 小问第一步——一个条件和、一个条件是差，要联立求两个角；∠BOD 必须用整个 ∠AOB 去减 ∠AOD。 46. 钟表上 4 时 15 分，时针与分针所夹的角（小于平角的角）是（　　）。 A. 37.5°　　　　B. 30° C. 45°　　　　D. 52.5° 【答案】A 【解析】分针 15 分钟走 15×6°＝90°（指向 3）。 时针 4 小时走 4×30°＝120°，这 15 分钟又走了 15×0.5°＝7.5°，共 127.5°。 两针夹角＝127.5°−90°＝37.5°。 【易错】把时针当成正指 4（120°），得 30°（选 B）；或者忘了分针的位置、只算 90°。错在第 2 步——不是整点时，时针要加上「分钟数×0.5°」这一块，4 时 15 分的时针在 120° 与 127.5° 之间。 47. 把 3.75° 化成度、分的形式是（　　）。 【答案】3°45′ 【解析】整数部分 3 就是 3°，剩下 0.75°。 0.75°×60＝45′，所以 3.75°＝3°45′。 【易错】把 0.75 当成 75′（答成 3°75′），或者只取整数部分答 3°。错在第 2 步——小数部分的度要乘 60 才变成分，0.75×60＝45。 48. 从十五边形的一个顶点出发画对角线，可以把十五边形分成（　　）个三角形。 【答案】13 【解析】从一个顶点出发可以画 n−3 条对角线，十五边形是 15−3＝12 条。 这些对角线把这个多边形分成 n−2 个三角形，即 15−2＝13 个（也可以直接数：12 条对角线把多边形切出 12＋1＝13 块）。 【易错】用 n−3＝12 当三角形的个数；或者用 n＝15 直接当答案。错在第 2 步——对角线把多边形分成的三角形比对角线多 1 个，是 n−2；画几条对角线是 n−3，两个数别混。 49. 计算：15°24′×3。 【答案】46°12′ 【解析】第一步度与分分别乘 3，得 15°×3＝45°，24′×3＝72′。 第二步把分满 60 的进位：72′＝60′＋12′＝1°12′，所以 45°＋1°12′＝46°12′。 【易错】直接把分写成 72′，答成 45°72′；或者进位时算成 46°2′（72−60 算成 2）。错在第 2 步——分满 60 要进 1° 到度的位置，剩下的 12′ 才是分。 50. 点 C 在直线 AB 上，AB＝10 cm，AC＝4 cm，M 是线段 AB 的中点。 （1）求 BC 的长； （2）求 MC 的长。 【答案】（1）BC＝6 cm 或 14 cm；（2）MC＝1 cm 或 9 cm。 【解析】题目只说「点 C 在直线 AB 上」，没说在线段上，所以要分两种情况。 情况一：C 在线段 AB 上。BC＝AB−AC＝10−4＝6（cm）；M 是 AB 的中点，AM＝5，MC＝AM−AC＝5−4＝1（cm）。 情况二：C 在 BA 的延长线上（A 的左侧）。BC＝AB＋AC＝10＋4＝14（cm）；MC＝MA＋AC＝5＋4＝9（cm）。 答：BC 的长是 6 cm 或 14 cm；MC 的长是 1 cm 或 9 cm。 【易错】只答一种情况（默认 C 在线段上），漏掉 14 cm 与 9 cm。错在第 1 小问第一步——题面写的是「直线 AB」，C 可以落在 A、B 之间，也可以落在 A 的外侧；两种情况都要画图写出来，只写一种最多得一半分。 —— 全卷完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $