期中复习专题4——期中测试创新题专项训练- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

期中复习专题4——期中测试创新题专项训练 范围：第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章代数式、第4章整式的加减 目 录 【题型1】自定义新运算（含递推与嵌套） 1 【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出 7 【题型3】数轴动点与绝对值分类综合 11 【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展 15 【题型5】数阵与数表规律 19 【题型6】图形计数与代数规律结合 25 【题型7】情境创新应用（分段计费、最优方案） 29 【题型8】整体代入与整体换元 33 【题型9】错看条件逆向还原 37 【题型10】阅读理解型开放探究 41 【题型1】自定义新运算（含递推与嵌套） 考查方向：不限于单次代入，含连乘、分组、递推嵌套等自定规则，先读懂运算本质再按序求值，突出对新规则的迁移运用。 1.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读下列材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法： 解：设S＝2+22+23+…22020①， ①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2， 即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2． 然后解决下列问题． （1）等比数列3，6，12，…的公比q为______，第4项是______． （2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝_____（用a1和q的代数式表示）． （3）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． （4）请你用上述方法求的值． 【答案】（1）2，24；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可； （2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可； （3）求出第一项和公比q,再计算第10项即可； （4）类比给出的方法求得答案即可． （1）解： ， 第4项为 ； （2） ； （3）设第1项为 ，公比为q，则： ，解得 ， ∴ ； （4）设 得： ， 得： ，即 ， ∴ ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，理解题意，理清数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题． 2.（25-26七年级上·河南周口·期中）对于任意式子A，B，定义：．当时，的值是（    ） A．2 B．8 C．10 D．16 【答案】C 解：当时， ． 3.（24-25七年级上·四川乐山·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是___________； （2）若是“相伴有理数对”，则___________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对”的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 解：（1），， ，， ， 成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”， ∴是“相伴有理数对”的有； （2）∵是“相伴有理数对”， ， ， 故答案为：， 4.（26-27七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若，定义的差倒数为．如的差倒数为．已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推． （1）求、、； （2）直接写出； （3）计算； （4）求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）把新定义“ 的差倒数为 ”翻译成运算，由 依次求出 、、，并发现 ； （2）由 知数列每 项循环一次，把 除以 ，由余数确定 与哪一项相等； （3）把三个数通分后相加； （4）先算每 项的积为 ，再把 项分成 组与余下的一项，用乘方的意义求值． （1）解：由定义， 的差倒数为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解：由（1）知 ， ∴ 数列 ，，，， 每 项循环一次，即以 为周期． ∵ ， ∴ ． （3）解：． （4）解：∵ ， ∴ 每 项的积都等于 ． ∵ ， ∴ ． 【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出 考查方向：按框图运算顺序由输入求输出，或由输出逆向反推输入，含多分支选择与循环取整。 1.（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： （1）当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ （2）当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】（1）；（2）或11 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． （1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 2.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2026次输出的结果是（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出前面若干次输出的结果，找出规律即可求解． 解：第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，第3次输出的结果为，第4次输出的结果为8，第5次输出的结果为4，第6次输出的结果为2，第7次输出的结果为1，第8次输出的结果为8，第9次输出的结果为4，第10次输出的结果为2，第11次输出的结果为1，…， 从第4次开始，每4次循环一次，而，则第2026次输出的结果与第6次输出的结果相同，且为2． 3.（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为___________． 【答案】 【分析】根据运算程序图，先将代入列算式，再根据计算结果是否大于0进行判断即可． 解：当输入，则， 当输入，则， ∴输出的结果为． 4.（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： （1）若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； （2）若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； （3）若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）1；（3）1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． （1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 【题型3】数轴动点与绝对值分类综合 考查方向：动点在不同时段速度、方向变化，分段表示位置，求距离相等、相遇、追及的时间或位置，多解需分类讨论。 1.（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知数轴上两点、对应的数分别为、，点为数轴上一动点． （1）线段的长度为 ； （2）若点到点、点的距离相等，求点对应的数； （3）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，求运动秒后点对应的数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据点、对应的数即可求出线段的长度； （2）因为点到点、点的距离相等，所以点是的中点，根据点、对应的数即可求出点表示的数； （3）根据点表示的数和点运动的速度和时间即可求出运动秒后点对应的数． （1）解：点、对应的数分别为、， ； （2）解：点到点、点的距离相等， 点表示的数为； （3）解：运动秒后点对应的数为． 2.（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1，若将A，B，C三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先求出点B和点A对应的数，再将A，B，C三点表示的数进行混合运算得出结果进行判断即可． 解：数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1， ∴点B表示的数为－2，点A表示的数为2， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了数轴以及有理数的乘方，解题的关键是利用数轴确定A、B的值． 3.（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）在数轴上，点A表示的数为，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时对应的数为__________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，有理数的加减，有理数的乘法，正确的列式，合理的应用加法的结合律计算是解题的关键． 根据运动规律列式计算即可得解． 解：由题意，第2025次运动到点时对应的数为 ， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒． （1），两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______； （2）点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度； （3）①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数； （4）请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【答案】（1），3，9；（2）0；（3）①，；②；（4）运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度 【分析】（1）根据，得，，解得a和b，利用数轴上两点之间的距离求得，两点的距离即可； （2）由题意知，点运动2秒后，即可知与原点O的距离为0个单位长度； （3）①根据题意可知点P表示的数是，同理表示出点Q表示的数； ②点与点表示的数互为相反数，则有解得t即可； （4）分情况求解，点在点前面和点在点后面，分别求解即可． （1）解：∵， ∴，， 解得，， 则，两点的距离为， 故答案为：，3，9； （2）解：由题意知，点运动2秒后， 则与原点O的距离为0个单位长度， 故答案为：0； （3）解：①因为点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动， 所以点P表示的数是； 因为点Q从点B同时出发，以1个单位/秒的速度向右运动， 所以点Q表示的数， 故答案为：，； ②点与点表示的数互为相反数，则， 解得； （4）解：当点在点前面，则，解得； 当点在点后面，则，解得； 则运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【点睛】此题考查绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、解一元一次方程、数轴的动点问题的求解等知识与方法，解题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展 考查方向：把｜a−b｜当作数轴上两点距离，求多个绝对值之和的最小值与对应区间。 1.（25-26七年级上·江西九江·阶段检测）【引入】 （1）若点A，B表示的数分别为，4，则A，B两点间的距离为________；若点A，B表示的数分别为2，，则A，B两点间的距离为________． 【归纳】 （2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为________． 【应用】 （3）数轴上一点表示有理数m，若，求有理数m的值． （4）数轴上一点表示有理数n，则是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）有，最小值为 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及数轴上两点之间的距离； （1）计算、即可求解； （2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为：； （3）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离为，据此即可求解； （4）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点和表示的点的距离之和；据此即可求解． 解：（1）若点A，B表示的数分别为，4，则A，B两点间的距离为：； 若点A，B表示的数分别为2，，则A，B两点间的距离为：； （2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为：； （3）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离为， ∴或； （4）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点和表示的点的距离之和； 当数表示的点在表示的点和表示的点之间时（包括端点），有最小值，且最小值为：． 2.（25-26七年级上·浙江湖州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，有理数的减法运算．由题意知，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数和的点之间的距离和，据此求解作答即可． 解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 的最小值是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 故选：D． 3.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点和点在数轴上表示的数分别是，，若的绝对值是的绝对值的倍，则的值为________． 【答案】 【分析】根据数轴得：，，，根据的绝对值是的绝对值的倍，即可得，即可得，进而得的值为． 解：如图， 根据数轴得：，，， ∵的绝对值是的绝对值的倍， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为． 4.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D；（2）；（3）1；（4）1，0；（5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． （1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 【题型5】数阵与数表规律 考查方向：行列、斜线、回形或按周期排列的数阵，找出某行、某列、斜线上数的规律并用代数式表达。 1.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）【阅读材料】观察下列一组等式：，，，，……每个等式左边分数的分母都是两个相邻整数的乘积（，，，……）．像这样把一个分数拆成两个分数的差，使中间的项相互抵消，这种方法叫做“裂项相消”． 计算： （1）； （2）； （3）拓展：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据所给等式列式求解即可； （2）根据题意可得（n为正整数），据此裂项求解即可； （3）根据题意可得（n为正整数），据此裂项求解即可． （1）解： ； （2）解：，，，，……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴ ； （3）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴ ． 2.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每个数是它下一行相邻两个数的和，求出第6、7行的第二个数，即可得出答案． 解：设第n行第m个数为a（n，m）， 由题意可知，， ， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的找规律的知识，主要考查的是学生的归纳推理能力，正确理解题意是解题的关键． 3.（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）对于下列数排成的数阵： 该数阵第六行所有数的和为________． 【答案】 【分析】观察图中规律发现，第行数字分别是：，对其求和即可． 解：观察图中规律发现： 规律：第行,就有个数字； 规律：数字是连续整数的平方； 规律：符号规律：从开始，依次是：负、正、负、正即：基数为奇数时带负号，偶数时带正号； 规律：每行开头数字是几的平方？第行的总数字个数,故第行 的第一个数是：,再带上正负号； 由此，第行一共个数： 先算前行的数字总个数：, 第行从第个数开始，数字依次是：， 求和： ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是根据图形找出规律、并利用平方差公式进行计算． 4.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历，在月历中按照一定规则选定若干个日期数，它们的和或差总是呈现某种规律： 规律1：中间三行中任意一行的7个数的和都是中间的那个数的7倍； 规律2：任意一个九宫格（的方阵）中九个数的和都是中间那个数的9倍； 规律3：任意一条自左上到右下的对角线上的若干个数组成一列数（至少两个数），相邻两数的差是8． 类似这样的规律还有很多，请你写出几条，试试看． 【答案】（1）任意一条自右上到左下的对角线上的若干个数组成一列数（至少两个数），相邻两数的差是6． （2）任意一列从上到下的若干个数依次相差7． （3）任意的方阵的四个数中，对角两数之和相等． （4）任意一行中连续3个数的和是3的倍数． （5）从左起，第二列、第三列、第四列中，每一列5个数的和是中间的那个数的5倍． 解：略 【题型6】图形计数与代数规律结合 考查方向：点阵、拼图、摆桌椅等图形中数量随序号的递变，归纳第 n 个图形的代数表达式并验证。 1.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有多少颗？ 思考： （1）一位同学小杰，观察变化规律是：两颗白珠子之间黑珠子的数量依次为1颗，2颗．．．，因此被遮住部分有_____颗； （2）另一位同学小磊，可以跳一级找规律：依次为1颗，3颗，紧跟着是5颗，．．．，9，因此被遮住部分的珠子有_____颗． 请你按照上述两位同学的思路，列式计算出（或表述出）相应结果． 【答案】（1）27；（2）27 【分析】（1）白珠间隔的黑珠数依次递增，盒左到4颗黑珠段，盒右露出8颗黑珠中的2颗，中间被遮挡部分包含5、6、7段黑珠及间隔白珠． （2）跳一级观察奇数段黑珠数1，3，5，7，仅为找规律的观察方式，偶数段珠子仍存在，遮挡珠子总数不变． （1）解：两颗白珠子之间黑珠子数量依次：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 盒子左边相邻白珠间黑珠是颗，盒子右边相邻白珠间黑珠是颗， 盒子内包含：黑珠子5，6，7，8颗；右边8颗黑珠露出颗， 所以8里面遮住（颗）． 黑珠子总数： （颗）， 盒子内还有颗白珠子， （颗）； （2）解：跳一级找规律，隔一段选取黑珠段，取出奇数段黑珠数量依次为1，3，5，7，9； 跳一级只是观察规律的方式，原数列被跳过的偶数段2，4，6，8仍然真实存在，珠子实际排列不变． 盒子左侧结束在4颗黑珠这一段之后，盒子右侧露出8颗黑珠中的2颗， 盒子遮住部分包含：5黑、1白、6黑、1白、7黑、1白，以及8黑剩下颗黑珠， 被遮住珠子总数：（颗）． 2.（26-27七年级·全国·小升初衔接）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（     ） A．37 B．33 C．20 D．29 【答案】A 【分析】先列举前三幅图中点的个数，以此类推即可解答． 解：第1幅图中的点数为1； 第2幅图中的点数为； 第3幅图中的点数为； …… 第10幅图中的点数为． 3.（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）个正六边形的点数总共有________个． 【答案】 解：当时，； 当时，； 当时，， 按照上述规律，个正六边形的点数总共有． 4.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）项目式学习：围棋棋子图案中的规律探究． 【项目任务】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形的黑、白两色棋 子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，观察围棋棋子的排列规律． 【项目探究】三位同学采用了不同方法进行探究． （1）小军将这些棋子分为两类，一类是黑子构成的正方形点阵，一类是白子构成的正方形点阵，这样图1中棋子总数可表示为，图2中棋子总数可表示为，，按照这样的规律，摆放第个图案，需要 个棋子； （2）小明用虚线将这些棋子连接成“回”字图形，他结合小军的探究，由图1得等式，由图2得等式，，由图得等式 ； （3）小红用虚线将这些棋子斜着连接，这样图1中棋子总数可以表示为，图2中棋子总数可表示为，，图中最长虚线上共有 个棋子，她结合小军的探究，由此得到从1开始，连续个奇数的和，即 ．（按照要求列出式子，不需要化简） 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）根据给出的表示方法，作答即可； （2）根据已有等式，得到相应的规律即可； （3）观察可知，图1中最长虚线上共有个棋子，图2中最长虚线上共有个棋子，图3中最长虚线上共有个棋子，进而得到图中最长虚线上共有 个棋子，结合（1）中的规律，得到图建立的等式，再根据等式求出的值即可． （1）解：由图可知，图中棋子总数可表示为， ∴摆放第个图案，需要个棋子； （2）解：由图1得等式， 由图2得等式， 由图3得等式， ， ∴由图得等式； （3）解：由图可知，图1中最长虚线上共有个棋子， 图2中最长虚线上共有个棋子， 图3中最长虚线上共有个棋子， ， ∴图中最长虚线上共有个棋子； 由（1）知，， ∴． 【题型7】情境创新应用（分段计费、最优方案） 考查方向：阶梯计费、折扣优惠、盈亏比较等真实情境，列代数式表示并比较大小确定最优方案或求平衡点。 1.（2026·天津河东·模拟预测）水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． （1）小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． （2）设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） （3）若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 【答案】（1）49元；（2）①时，水费为；②当时，水费为：；（3）吨 【分析】（1）根据九月份用了16吨水和收费标准进行列式计算即可； （2）分和两种情况进行列式即可； （3）按照收费标准进行列式计算即可． （1）解：根据题意可得，（元）， 即应缴水费49元； （2）解：分两种情况： ①当时，水费为； ②当时，水费为：； （3）解：（吨）， 答：小强家十一月的用水量是吨． 2.（24-25七年级上·重庆·期中）小南在淘宝某旗舰店购买了一个篮球，每个篮球的价格为x元，且．不久，该旗舰店开始进行“双十一”预售活动：预售活动方案是全场打8折，折后价每满100元可直接减10元．于是小南又在该旗舰店买了一个同样的篮球作为礼物送给朋友，则小南两次购买篮球总共花费的金额为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的应用和整式的加法运算，解题关键是理解题意．本题先设第一个篮球花费x元，第二个篮球先打8折得元，再根据折后价每满100元减10元，由于在128到160之间，故减10元，实际支付元，总花费为两者之和，即可求解． 解：∵第一个篮球花费为x元， 第二个篮球折后价为元， 又∵， ∴， ∴实际支付元， ∴总花费为（元）， 故选：C． 3.（25-26七年级下·山西运城·期末）某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 4.（25-26七年级上·重庆黔江·期末）我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市某区居民生活用水收费标准如下（通常以整数计）： 第一阶梯2.5元／立方米（水量每户每年至）； 第二阶梯3.5元／立方米（水量每户每年至）； 第三阶梯5元／立方米（水量每户每年及以上）； 人口较多的家庭，若人口超过4人，则每增加1人每户每年各阶梯基础水量增加． （1）已知某户居民户内人口为3人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ （2）已知某户居民户内人口为6人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ （3）已知某户居民户内人口为3人，设年用水量为，请用含的代数式表示当在不同范围内取值时的水费． 【答案】（1）这户居民需交水费元.；（2）这户居民需交水费950元；（3）解：当时， 水费元； 当时， 水费元； 当时， 水费元． 【分析】本题考查列代数式、有理数的四则混合运算的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据第二阶梯收费标准列式计算即可； （2）先求得第一阶梯基础水量，再根据第一阶梯收费标准列式计算即可； （3）根据各阶梯收费标准分别列代数式即可求解． （1）解：水费（元）， 答：这户居民需交水费元； （2）解：由题意知，居民户内人口为人，第一阶梯基础水量（）， 年用水量第一阶梯基础水量， 水费=（元） 答：这户居民需交水费950元； （3）略 【题型8】整体代入与整体换元 考查方向：已知某个代数式的整体值，不分别求字母，整体代入、整体换元或逆用公式化简求值。 1.（25-26七年级上·辽宁大连·期中）阅读材料： 我们把看成一个整体， 则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，则将合并的结果为________； （2）如果，求的值； （3）拓广探索：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）将所求式子变形为，然后根据已知条件进行求解即可； （3）先把所求式子化简，然后根据进行求解即可． （1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． 2.（25-26八年级上·河南洛阳·期中）消元是数学学习中重要的思想方法，思路是多元化单元，多元化少元．已知、、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方的非负性和代数式求值，根据已知条件得到，得到，再根据非负性求出，再得到，即可得解，准确计算是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴ 根据非负性的性质， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴原式， 故选：． 3.（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，若，则，所以．运用类似的方法，解决下列问题： （1）______； （2）则代数式的值为______ 【答案】 64 31 【分析】本题考查了乘方的综合运算，利用特值法分别代入即可求解；                                              （1）令，代入原式可得所有系数和； （2）令，结合的结果，求出，再减去的值，即可求解. 解：（1）令，则，即 故答案为：64.       （2）令，则，即 将和的结果相加，得，所以 又， ∴ 故答案为：31. 4.（25-26七年级上·北京大兴·期中）小张同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．”由题目中的已知条件不能求出和的值．小张同学对进行如下变形： ． 小张同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减和整体代入法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简，再整体代入计算即可； （2）先前两项化为，再整体代入计算即可． （1）解：原式 当时，原式； （2）解：原式 当，时，原式． 【题型9】错看条件逆向还原 考查方向：看错系数、符号或数值后据错误结果反推正确结果，考查整式加减、有理数运算的逆向思维。 1.（25-26七年级上·吉林长春·期中）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题，“已知，当时，求的值．” （1）嘉嘉准确的计算出了正确答案，小明把“”看成了“”，只是把x的值看错了，其余计算正确，通过计算说明小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系． （2）淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了16，通过计算说明淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ 【答案】（1）小明的计算结果与嘉嘉的结果互为相反数；（2） 【分析】（1）本题主要考查了整式的加减、代数式求值等知识点，先计算A+B，然后把x=2代入求值，从而作出判断．掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （2）本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，设淇淇把B式中的一次项系数看成了m,根据题意得出，然后把代入得到关于m的方程求解即可；根据题意列出关于m的方程是解题的关键． （1）解：∵， ∴ 当时，原式， ∵18与互为相反数， ∴小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数． （2）解：设淇淇把B式中的一次项系数看成了m, 根据题意得：， ∴， ∴， 把代入可得：，解得， ∴淇淇把B式中的一次项系数看成了． 2.（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．原式正确计算结果为95，而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错，据此分析即可． 解：， 而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错， 则看错的情况可能共有：①看成，看成； ②看成，看成； ③看成，看成． 所以，看错的情况可能共有3种． 故选：C． 3.（25-26七年级上·北京石景山·期中）小林是个小马虎，他在计算与某个整式相减时，把减法看成了加法，结果为，那么正确的结果应该是____________． 【答案】 【分析】利用整式的减法运算先求出该整式为，再用减去，即可求解． 解：根据题意得： 该整式为 ， 所以正确的结果应该是 ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 4.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）学习了《整式的加减》这节课后，李老师设计了一个小游戏：已知X，Y两个多项式，，，其中m，n为有理数，请同学们为m，n选择一组喜欢的数值代入，并计算出的值，大家兴致高涨，积极参与： （1）小明选择了一组数值，发现计算的结果是一个常数，请你求出他所选择的m，n的值； （2）小亮选择了另一组数值，在计算的过程中，误将Y多项式中的“”看成了“”，得出的结果为，请你帮小亮计算出正确的结果． 【答案】（1），；（2）正确结果为： 【分析】本题考查了整式的加减，无关型问题，看错问题． （1）化简后，令含有字母的系数为零列式计算即可． （2）化简后，比较恒等式对应项的系数，得到字母的值，再列式计算即可． 解：（1）由题意得： 因为结果是一个常数，则，， 所以， ． （2）由题意得： 因为结果是，则，， 所以， 正确结果为： ． 【题型10】阅读理解型开放探究 考查方向：给一段新材料或新规则（如新运算、计数法、新概念），先读懂定义再迁移应用，开放设问求值或说理。 1.（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读材料：由绝对值的几何意义可知：式子表示a、b两数在数轴上对应的两点之间的距离．如：表示数轴上5和2对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上4和对应的两点之间的距离． 利用数轴解决下列问题： （1）数轴上表示6和的两点之间的距离为______；（填结果） （2）表示数轴上m和______对应的两点之间的距离，若，则m的值为_____； （3）有理数a和b在数轴上对应的点分别为A和B，若，，则A、B两点之间的最大距离为_____，最小距离为____； （4）式子的最小值是_____，此时x可取的负整数有____． 【答案】（1）；（2）或；（3），；（4）， 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上两点距离即可解答； （3）解绝对值方程，求出的值，分情况利用数轴上两点距离即可解答； （4）根据绝对值的几何应用得到当数轴上表示数x的点位于与2之间时，的值最小，即可求解． （1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴表示数轴上m和对应的两点之间的距离， ∵， ∴或， 解得或， 则m的值为或； （3）解：∵， ∴或， 解得或， ∵， ∴或， 解得或， 当时，A、B两点之间的距离为， 当时，A、B两点之间的距离为， 当时，A、B两点之间的距离为， 当时，A、B两点之间的距离为， ∵， ∴,A、B两点之间的最大距离为，最小距离为， 故答案为：，； （4）解：∵表示数轴上表示数x的点到表示和这两个点之间距离之和， ∴当数轴上表示数x的点位于与2之间时，的值最小，且最小值为， ∴， ∴此时x可取的负整数有， 故答案为：，． 2.（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理数除法运算，根据《九章算术》中的“经分术”，分数除法需先将两数通分，再用分子相除，需判断选项中哪一方法符合此步骤 解：《九章算术》的“经分术”要求将分数除法转化为同分母分数后，直接分子相除， 故选：D． 3.（25-26七年级上·全国·期末）根据综合与实践“进位制的认识与探究”可知，进位制约定“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：（规定当时，）．相反地，若要将十进制数46转换为三进制数，因为，即，所以．所以46转换为三进制数为．仿照前面对进制的相互转化，则十进制数262转化为七进制数是__________；若与的和能被6整除，且与的和能被5整除（，，且m、n为整数），则的值为________． 【答案】 523 4 【分析】本题主要考查有理数乘方与整式加减的应用，解题的关键是理解题意；第一部分通过除基取余法将十进制数262转换为七进制数；第二部分将各进制数转换为十进制后，利用模运算条件求解m和n的值． 解：对于十进制数262转换为七进制数：余3，余2，余5，故七进制数为． 对于第二部分，首先将转换为十进制：； 将转换为十进制：． ∴它们的和为必须被6整除， ∴， ∵， ∴当时，是6的倍数； 再将转换为十进制：； 将转换为十进制：． 它们的和必须被5整除， ∴．代入，得， ∵， ∴当时，则是5的倍数， ∴； 故答案为523，4． 4.（25-26七年级上·北京·期中）阅读以下材料并回答问题： 在代数式的研究中，为了统一表述，定义整式的“标准式”与“偏差值”． ◇定义1（标准式）：关于字母x的整式，若满足以下条件，则称为“标准式”： ①式子中不含同类项； ②各项按照 x 的降幂排列； ③最高次项的系数为正数； 例如，整式的标准式推导过程为：先合并同类项得，再调整最高次项系数为其绝对值，得标准式为． ◇定义2（偏差值）：对于非标准式的整式，将其转化为标准式后，原整式中各项系数的绝对值之和与标准式中各项系数的绝对值之和的差的绝对值，称为该整式的“偏差值”．例如，整式中各项系数的绝对值之和为，其标准式系数绝对值之和为，则该整式的偏差值为．请根据以上材料回答下列问题： （1）请将整式转化为标准式 ， 其偏差值为 （2）若整式（其中m为常数）的偏差值为8，则m的值为 （3）若整式（其中a 、b 为常数）的标准式是关于x 的一次多项式，且偏差值为8，则 ， ． 【答案】（1），；（2）或；（3）， 【分析】本题考查整式运算和新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． （1）仿照题干中的例子，先合并同类项，调整最高次项系数为其绝对值，得到标准式；计算原整式中 各项系数的绝对值之和与标准式中各项系数的绝对值之和的差的绝对值，计算偏差值即可； （2）先去括号、合并同类项得到标准式，再根据原式的各系数的绝对值之和减去标准式中各项系数的绝对值之和等于8，进行列方程求解即可； （3）先化简整式，根据标准式是一次多项式确定的值，再根据偏差值求解即可． （1）解： 合并同类项得：， 最高次项系数为其绝对值，得标准式为：， 整式中各项系数的绝对值之和为，其标准式系数绝对值之和为， 则偏差值为， 故答案为：，； （2）解： 合并同类项得：， 最高次项系数为其绝对值，得标准式为：， 整式中各项系数的绝对值之和为， 其标准式系数绝对值之和为， 偏差值为， 即， 去绝对值得：或（舍去）， 则， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或； （3）解： 去括号、合并同类项得：， 由于原整式的标准式是关于x 的一次多项式， 则，解得， 因此原整式为， 原整式的各项系数的绝对值之和为， 当时，其标准式系数绝对值之和为， 根据偏差值为8得，， 即， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍去）， 当时，即，其标准式系数绝对值之和为， 根据偏差值为8得，， 即，无解， 综上所述，的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题4——期中测试创新题专项训练 范围：第1章有理数、第2章有理数的运算、第3章代数式、第4章整式的加减 目 录 【题型1】自定义新运算（含递推与嵌套） 1 【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出 3 【题型3】数轴动点与绝对值分类综合 4 【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展 6 【题型5】数阵与数表规律 7 【题型6】图形计数与代数规律结合 9 【题型7】情境创新应用（分段计费、最优方案） 11 【题型8】整体代入与整体换元 12 【题型9】错看条件逆向还原 14 【题型10】阅读理解型开放探究 15 【题型1】自定义新运算（含递推与嵌套） 考查方向：不限于单次代入，含连乘、分组、递推嵌套等自定规则，先读懂运算本质再按序求值，突出对新规则的迁移运用。 1.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读下列材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中a1＝2，公比为q＝2．若要求这个等比数列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法： 解：设S＝2+22+23+…22020①， ①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2， 即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2． 然后解决下列问题． （1）等比数列3，6，12，…的公比q为______，第4项是______． （2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1•q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝_____（用a1和q的代数式表示）． （3）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． （4）请你用上述方法求的值． 2.（25-26七年级上·河南周口·期中）对于任意式子A，B，定义：．当时，的值是（    ） A．2 B．8 C．10 D．16 3.（24-25七年级上·四川乐山·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数、为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是___________； （2）若是“相伴有理数对”，则___________． 4.（26-27七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若，定义的差倒数为．如的差倒数为．已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推． （1）求、、； （2）直接写出； （3）计算； （4）求的值． 【题型2】程序框图（数值转换机）输入输出 考查方向：按框图运算顺序由输入求输出，或由输出逆向反推输入，含多分支选择与循环取整。 1.（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： （1）当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ （2）当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 2.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2026次输出的结果是（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 3.（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为___________． 4.（25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： （1）若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； （2）若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； （3）若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【题型3】数轴动点与绝对值分类综合 考查方向：动点在不同时段速度、方向变化，分段表示位置，求距离相等、相遇、追及的时间或位置，多解需分类讨论。 1.（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知数轴上两点、对应的数分别为、，点为数轴上一动点． （1）线段的长度为 ； （2）若点到点、点的距离相等，求点对应的数； （3）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，求运动秒后点对应的数． 2.（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1，若将A，B，C三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 3.（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）在数轴上，点A表示的数为，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时对应的数为__________． 4.（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒． （1），两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______； （2）点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度； （3）①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数； （4）请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度． 【题型4】绝对值几何意义的图形化拓展 考查方向：把｜a−b｜当作数轴上两点距离，求多个绝对值之和的最小值与对应区间。 1.（25-26七年级上·江西九江·阶段检测）【引入】 （1）若点A，B表示的数分别为，4，则A，B两点间的距离为________；若点A，B表示的数分别为2，，则A，B两点间的距离为________． 【归纳】 （2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为________． 【应用】 （3）数轴上一点表示有理数m，若，求有理数m的值． （4）数轴上一点表示有理数n，则是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 2.（25-26七年级上·浙江湖州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点和点在数轴上表示的数分别是，，若的绝对值是的绝对值的倍，则的值为________． 4.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【题型5】数阵与数表规律 考查方向：行列、斜线、回形或按周期排列的数阵，找出某行、某列、斜线上数的规律并用代数式表达。 1.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）【阅读材料】观察下列一组等式：，，，，……每个等式左边分数的分母都是两个相邻整数的乘积（，，，……）．像这样把一个分数拆成两个分数的差，使中间的项相互抵消，这种方法叫做“裂项相消”． 计算： （1）； （2）； （3）拓展：． 2.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）对于下列数排成的数阵： 该数阵第六行所有数的和为________． 4.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历，在月历中按照一定规则选定若干个日期数，它们的和或差总是呈现某种规律： 规律1：中间三行中任意一行的7个数的和都是中间的那个数的7倍； 规律2：任意一个九宫格（的方阵）中九个数的和都是中间那个数的9倍； 规律3：任意一条自左上到右下的对角线上的若干个数组成一列数（至少两个数），相邻两数的差是8． 类似这样的规律还有很多，请你写出几条，试试看． 【题型6】图形计数与代数规律结合 考查方向：点阵、拼图、摆桌椅等图形中数量随序号的递变，归纳第 n 个图形的代数表达式并验证。 1.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有多少颗？ 思考： （1）一位同学小杰，观察变化规律是：两颗白珠子之间黑珠子的数量依次为1颗，2颗．．．，因此被遮住部分有_____颗； （2）另一位同学小磊，可以跳一级找规律：依次为1颗，3颗，紧跟着是5颗，．．．，9，因此被遮住部分的珠子有_____颗． 请你按照上述两位同学的思路，列式计算出（或表述出）相应结果． 2.（26-27七年级·全国·小升初衔接）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（     ） A．37 B．33 C．20 D．29 3.（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）个正六边形的点数总共有________个． 4.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）项目式学习：围棋棋子图案中的规律探究． 【项目任务】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形的黑、白两色棋 子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，观察围棋棋子的排列规律． 【项目探究】三位同学采用了不同方法进行探究． （1）小军将这些棋子分为两类，一类是黑子构成的正方形点阵，一类是白子构成的正方形点阵，这样图1中棋子总数可表示为，图2中棋子总数可表示为，，按照这样的规律，摆放第个图案，需要 个棋子； （2）小明用虚线将这些棋子连接成“回”字图形，他结合小军的探究，由图1得等式，由图2得等式，，由图得等式 ； （3）小红用虚线将这些棋子斜着连接，这样图1中棋子总数可以表示为，图2中棋子总数可表示为，，图中最长虚线上共有 个棋子，她结合小军的探究，由此得到从1开始，连续个奇数的和，即 ．（按照要求列出式子，不需要化简） 【题型7】情境创新应用（分段计费、最优方案） 考查方向：阶梯计费、折扣优惠、盈亏比较等真实情境，列代数式表示并比较大小确定最优方案或求平衡点。 1.（2026·天津河东·模拟预测）水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． （1）小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． （2）设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） （3）若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 2.（24-25七年级上·重庆·期中）小南在淘宝某旗舰店购买了一个篮球，每个篮球的价格为x元，且．不久，该旗舰店开始进行“双十一”预售活动：预售活动方案是全场打8折，折后价每满100元可直接减10元．于是小南又在该旗舰店买了一个同样的篮球作为礼物送给朋友，则小南两次购买篮球总共花费的金额为（　　） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·山西运城·期末）某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 4.（25-26七年级上·重庆黔江·期末）我国绝大多数城市推行阶梯水价，其目的是通过“多用多付”的价格机制，直接激励节水，最终服务于水资源可持续利用与国家水安全的长远目标．居民生活用水通常按户计费，原则上以年为计量周期，重庆市某区居民生活用水收费标准如下（通常以整数计）： 第一阶梯2.5元／立方米（水量每户每年至）； 第二阶梯3.5元／立方米（水量每户每年至）； 第三阶梯5元／立方米（水量每户每年及以上）； 人口较多的家庭，若人口超过4人，则每增加1人每户每年各阶梯基础水量增加． （1）已知某户居民户内人口为3人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ （2）已知某户居民户内人口为6人，年用水量为，这户居民需交水费多少元？ （3）已知某户居民户内人口为3人，设年用水量为，请用含的代数式表示当在不同范围内取值时的水费． 【题型8】整体代入与整体换元 考查方向：已知某个代数式的整体值，不分别求字母，整体代入、整体换元或逆用公式化简求值。 1.（25-26七年级上·辽宁大连·期中）阅读材料： 我们把看成一个整体， 则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，则将合并的结果为________； （2）如果，求的值； （3）拓广探索：已知，求的值． 2.（25-26八年级上·河南洛阳·期中）消元是数学学习中重要的思想方法，思路是多元化单元，多元化少元．已知、、满足，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，若，则，所以．运用类似的方法，解决下列问题： （1）______； （2）则代数式的值为______ 4.（25-26七年级上·北京大兴·期中）小张同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．”由题目中的已知条件不能求出和的值．小张同学对进行如下变形： ． 小张同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【题型9】错看条件逆向还原 考查方向：看错系数、符号或数值后据错误结果反推正确结果，考查整式加减、有理数运算的逆向思维。 1.（25-26七年级上·吉林长春·期中）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题，“已知，当时，求的值．” （1）嘉嘉准确的计算出了正确答案，小明把“”看成了“”，只是把x的值看错了，其余计算正确，通过计算说明小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系． （2）淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了16，通过计算说明淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ 2.（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3.（25-26七年级上·北京石景山·期中）小林是个小马虎，他在计算与某个整式相减时，把减法看成了加法，结果为，那么正确的结果应该是____________． 4.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）学习了《整式的加减》这节课后，李老师设计了一个小游戏：已知X，Y两个多项式，，，其中m，n为有理数，请同学们为m，n选择一组喜欢的数值代入，并计算出的值，大家兴致高涨，积极参与： （1）小明选择了一组数值，发现计算的结果是一个常数，请你求出他所选择的m，n的值； （2）小亮选择了另一组数值，在计算的过程中，误将Y多项式中的“”看成了“”，得出的结果为，请你帮小亮计算出正确的结果． 【题型10】阅读理解型开放探究 考查方向：给一段新材料或新规则（如新运算、计数法、新概念），先读懂定义再迁移应用，开放设问求值或说理。 1.（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读材料：由绝对值的几何意义可知：式子表示a、b两数在数轴上对应的两点之间的距离．如：表示数轴上5和2对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上4和对应的两点之间的距离． 利用数轴解决下列问题： （1）数轴上表示6和的两点之间的距离为______；（填结果） （2）表示数轴上m和______对应的两点之间的距离，若，则m的值为_____； （3）有理数a和b在数轴上对应的点分别为A和B，若，，则A、B两点之间的最大距离为_____，最小距离为____； （4）式子的最小值是_____，此时x可取的负整数有____． 2.（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（   ）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·全国·期末）根据综合与实践“进位制的认识与探究”可知，进位制约定“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．如逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：（规定当时，）．相反地，若要将十进制数46转换为三进制数，因为，即，所以．所以46转换为三进制数为．仿照前面对进制的相互转化，则十进制数262转化为七进制数是__________；若与的和能被6整除，且与的和能被5整除（，，且m、n为整数），则的值为________． 4.（25-26七年级上·北京·期中）阅读以下材料并回答问题： 在代数式的研究中，为了统一表述，定义整式的“标准式”与“偏差值”． ◇定义1（标准式）：关于字母x的整式，若满足以下条件，则称为“标准式”： ①式子中不含同类项； ②各项按照 x 的降幂排列； ③最高次项的系数为正数； 例如，整式的标准式推导过程为：先合并同类项得，再调整最高次项系数为其绝对值，得标准式为． ◇定义2（偏差值）：对于非标准式的整式，将其转化为标准式后，原整式中各项系数的绝对值之和与标准式中各项系数的绝对值之和的差的绝对值，称为该整式的“偏差值”．例如，整式中各项系数的绝对值之和为，其标准式系数绝对值之和为，则该整式的偏差值为．请根据以上材料回答下列问题： （1）请将整式转化为标准式 ， 其偏差值为 （2）若整式（其中m为常数）的偏差值为8，则m的值为 （3）若整式（其中a 、b 为常数）的标准式是关于x 的一次多项式，且偏差值为8，则 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $