专题4.3用一元一次方程解决问题（3大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题4.3用一元一次方程解决问题 知识点1 ：用一元一次方程解决实际问题的步骤 　　1. 一般步骤：审、设、列、解、验、答。 　　2. 具体内容： 　　　　（1）审：审清题意，找出题中的等量关系，分清已知量、未知量； 　　　　（2）设：设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量； 　　　　（3）列：根据题中的等量关系列出一元一次方程； 　　　　（4）解：解所列的一元一次方程； 　　　　（5）验：检验所得的解是不是所列方程的解，是否符合实际意义； 　　　　（6）答：写出答案（包括单位名称）。 　　3. 设未知数的常见方法：一般情况下题中问什么就设什么（直接未知数）；设直接未知数难以列方程时，设另一个相关量为未知数（间接未知数）；某些问题为便于列方程可设辅助未知数。 知识点2 ：找等量关系的方法 　　1. 逐步列式法：根据题意一步步写出有关数量关系，再找相等关系。 　　2. 列表分析法：用行（或列）表示不同项目或种类，用列（或行）表示相应的数量，借助表格分析数量关系。 　　3. 画示意图法：用线形、圆形、柱状等示意图表示题目中的数量关系，行程问题中常用线段示意图帮助分析。 知识点3 ：常见问题中的等量关系 问题类型 常见等量关系 配套问题 加工总量成比例：若一件产品需A、B两种配件配套，数量比为，则A配件总数量B配件总数量 工程问题 工作量工作效率工作时间；总工作量各部分工作量之和；总工作量未知时看作整体1 商品销售问题 利润=售价-进价；利润率=；售价=进价×(1+利润率)；打折后的售价=标价 行程问题 路程速度时间；相遇：甲路程乙路程总路程；追及：快者路程慢者路程初始路程差 分段计费问题 各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同 比赛积分问题 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数；总得分=胜场得分+平场得分+负场得分 储蓄问题 本金利率期数利息；本金利息本息和 年龄问题 不管时间如何变化，两人的年龄差总不变，抓住“年龄差” 数字问题 两位数可表示为十位数字个位数字；三位数同理，各数位数字乘以相应的位权再相加 盈不足问题 物品总数（总价）相等，依盈、亏列出方程 【基础必考题型】 【题型1】数字问题 1.核心知识点 　　用位权表示多位数，根据数位上的数字关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①两位数表示为十位数字个位数字，三位数同理； 　　②注意对调、加18等变化对原数的影响； 　　③“求整体，设部分”，求完整数位后再写答案。 【例题1】.（26-27六年级上·上海·阶段检测）如果三个连续奇数的和是111，那么这三个奇数中最小的是__________． 【答案】35 【分析】相邻两个奇数相差2，设中间的奇数为，可表示出另外两个奇数，根据三个数的和为111列方程求解，即可得到最小奇数的值． 【详解】解：设中间的奇数为，则三个连续奇数中最小的为，最大的为 根据题意列方程得 整理得 解得 因此最小的奇数为． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为230．这4个数在数表中的排列位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可设各选项图形中最小一个数为x，根据各选项的数的位置，列出相应的方程进行求解，即可判断． 【详解】解：设各选项图形中最小一个数为x， 当这四个数是A的排列时，则有： 解得，不符合题意； 当这四个数是B的排列时，则有： 解得，符合题意； 当这四个数是C的排列时，则有： 解得，不符合题意； 当这四个数是D的排列时，则有： 解得，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为：20、31、42、53、64、75、86、97 【分析】先设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，再根据题意列出方程，最后结合数位特征，进行解答即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 化简得，，等式恒成立， 结合数位特征：个位数字x的取值范围是， 原来的两位数为∶ 20、31、42、53、64、75、86、97． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·重庆·自主招生）有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【答案】57 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设原来的两位数为，根据“这两个三位数相差414”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数为，根据题意得： 解得：， 答：原来的两位数为57． 【题型2】比例分配问题 1.核心知识点 　　按比例分配总量，设“每一份”为列方程求解。 2.解题方法技巧 　　①若数量比为，常设每份为，各部分分别为、； 　　②依据“总量=各部分量之和”列方程； ③解方程并检验解的合理性。 【例题2】.（2022八年级·香港·竞赛）一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【分析】设最少扔掉升这种绿色颜料，由题意可知，错误的调色中黄色颜料比例降低，则额外添加升黄色颜料，此时颜料总量不变，根据黄色颜料的正确比例列方程求解即可 【详解】解：设最少扔掉升这种绿色颜料，则额外添加升黄色颜料， 则， 解得：， 即最少扔掉升这种绿色颜料． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·重庆·自主招生）市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【答案】分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设分配x名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点，根据“要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍”列出方程，求解即可． 【详解】解：设分配名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点． 根据题意得：， 解得， ． 答：分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 【题型3】配套问题 1.核心知识点 　　合理安排生产使两种配件数量恰好配套。 2.解题方法技巧 　　①从配套的数量关系中找等量关系； 　　②若件A产品与件B产品配套，则A产品数量B产品数量； ③设未知数列方程求解。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】 20 40 【分析】已知总工人数量为，配套要求为桌腿总数量是桌面总数量的倍，据此建立等量关系列方程求解. 【详解】解：设分配人生产桌面，则分配人生产桌腿， 根据题意，每天生产的桌面总数为，生产的桌腿总数为， 要使桌面和桌腿配套，需满足桌腿总数等于倍桌面总数， 因此列方程得， 解得， 则， 即应分配人生产桌面，人生产桌腿. 【变式题3-1】.（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【答案】(1)用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； (2)B小组还需要8天才能完成全部订单 【分析】（1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列方程求解即可； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意得， 解得， ∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）解：设B小组还需要天才能完成全部订单． 根据题意得， 解得， 答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 【变式题3-3】.（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【培优高频题型】 【题型4】商品销售问题 1.核心知识点 　　根据进价、售价、利润、利润率的关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①抓住利润售价进价，售价进价(1利润率)； 　　②打折后售价=标价； ③设进价或售价为未知数列方程。 【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套”．厂长听后算了一下：若减价，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问：这种课桌每套的成本价是多少元？ 【答案】这种课桌每套的成本价是70元 【详解】解：设这种课桌每套的成本价是x元， 根据题意得：， 解得． 答：这种课桌每套的成本价是70元． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 【答案】这种商品每件的定价是元． 【分析】设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，然后根据题意列方程，再解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，按定价八五折出售件的总利润为元，按定价每件降价元出售件的总利润为元， ∵两种销售方式获得的利润一样， ∴， 化简得， 解得， 答：这种商品每件的定价是元． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？ 【答案】商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元 【分析】设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元，根据“共亏损了60元”列出方程求解即可． 【详解】解：设商品B的成本为x元，则商品A的成本为2x元． ， 解得： ， 答：商品A的成本为1000元，商品B的成本为500元． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【分析】（1）根据盈利、亏损的利润率关系，直接算出甲、乙两件商品的进价； （2）先排除不优惠方案，再分别按九折、八折两种优惠方案列方程求出件数． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 【题型5】行程问题 1.核心知识点 　　根据路程速度时间，找相遇或追及的等量关系。 2.解题方法技巧 　　①画线段示意图帮助分析； 　　②相遇：甲路程+乙路程=总路程；追及：快者路程=慢者路程+初始路程差； ③注意单位统一，环形跑道中注意合走1圈或多走1圈。 【例题5】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·开学考试）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 【变式题5-2】.（25-26六年级下·山东烟台·期中）在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【答案】(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【分析】（1）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据甲追上乙时，甲比乙多走400米建立方程求解即可； （2）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据从第一次相遇开始到第二次相遇甲比乙多走400米建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． 【变式题5-3】.（25-26六年级下·山东泰安·期中）育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． (1)后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 【答案】(1)后队出发后，经过2小时可以追上前队 (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有 【分析】（1）设后队出发后，经过小时追上前队，以路程为等量关系列方程求解； （2）设联络员出发小时后追上前队，根据路程为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设后队出发后，经过小时追上前队，根据题意，得 解得 答：后队出发后，经过2小时可以追上前队； （2）解：设联络员出发小时后追上前队，根据题意，得 解得 所以 答：联络员出发后追上前队时，距离后队有． 【题型6】比赛积分问题 1.核心知识点 　　根据比赛场次与积分规则列方程。 2.解题方法技巧 　　①比赛总场数=胜场+平场+负场； 　　②总得分=胜场得分+平场得分+负场得分； ③列出等量关系解方程。 【例题6】.（26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可． 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【变式题6-2】.（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 【题型7】储蓄与利息问题 1.核心知识点 　　根据本金、利率、期数、利息、本息和的关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①利息本金利率期数，本息和本金利息； 　　②注意利率类型（年利率、月利率）与期数对应； ③结合利息税等条件列方程。 【例题7】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人．一部分以年利率贷给甲，另一部分以年利率贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等．甲、乙各贷款多少元？ 【答案】甲贷款5100元，乙贷款5700元 【分析】设甲贷款元，则乙贷款元，根据甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等建立方程求解即可． 【详解】解：设甲贷款元，则乙贷款元， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 所以乙贷款元， 答：甲贷款5100元，乙贷款5700元． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·北京·课后作业）已知银行一年期定期储蓄的年利率为．所得利息要缴纳的利息税，例如：某人将100元按一年期的定期储蓄存入银行，到期储户纳税后所得利息的计算公式为：税后利息．已知某储户有一笔一年期的定期储蓄，到期纳税后，得到利息650元，问：该储户存入了多少本金？ 【答案】25000元 【分析】设该储户存入了本金元，根据到期储户纳税后所得利息的计算公式，列出方程，即可求解． 【详解】解：设该储户存入了本金元，根据题意得： ， 解得：． 答：该储户存入了本金25000元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【答案】一年前小张存了大约28278元钱 【分析】本题考查利率问题，一元一次方程解决实际问题．设一年前小张存了x元钱，利息的等于随身听的价格，列出方程求解即可． 【详解】解：设一年前小张存了x元钱，由题意得， ， 解得， 答：一年前小张存了大约28278元钱． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·北京·课前预习）储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的． (1)将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时可以得到利息 元，扣除个人所得税后实际得到 元． (2)小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？ 【答案】(1)187，149.6 (2)70000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据利息＝本金×利率×时间列式计算求出本金；根据税率为利息的可得扣除个人所得税后实际利息＝利息； （2）设这笔资金是x元，根据扣除所得税后得本金和利息共计71232元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：到期支取时可以得到利息：（元）， 扣除个人所得税后实际得到：（元）， 故答案为：； （2）解：设这笔资金是x元，根据题意得 ， 解得． 答：这笔资金是70000元． 【压轴素养题型】 【题型8】分段计费问题 1.核心知识点 　　根据分段收费（水费、电费、车费等）标准列方程。 2.解题方法技巧 　　①弄清计费方式，判断费用落在哪一段； 　　②各段费用之和=总费用； 　　③已知费用求用量时，先判断所在区间再列方程。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某地按如下规则收取每月天然气费：用气量如果不超过，每立方米按1.5元收取，如果超过，超过部分按每立方米2元收费，已知某用户12月的天然气费为110元，求该用户12月份的用气量． 【答案】 【详解】解：． 因为， 所以12月份用气量超过了． 设该用户12月份的用气量为． 根据题意，得． 解得． 答：该用户12月份的用气量为． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【答案】(1)57 (2)元 (3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时 【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可； （2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简； （3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量． 【详解】（1）解：（元）， 答：应付电费57元． （2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时， 所以7月份应付电费为（元）． （3）解：由（2）可得，解得． 谷时段用电（千瓦时）． 答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 【题型9】方案决策问题 1.核心知识点 　　比较不同购买（施工、销售）方案的费用或利润，作出最优决策。 2.解题方法技巧 　　①用含未知数的代数式表示各方案的费用（利润）； 　　②列方程求两方案费用相等时的取值； ③取特殊值比较，作出决策。 【例题9】.（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 【变式题9-1】.（24-25六年级下·山东烟台·期中）学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名. (2)能节省票款600元. 【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数； （2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款． 【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有名， 根据题意列方程得： 解得：， （名） 答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名； （2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为 （元）， 节省票款为（元）， 答：能节省票款600元． 【变式题9-2】.（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）洛邑古城以98.48万春节游客量登顶夜游榜首，免费入园策略撬动文旅新玩法，河南用细节与文化将一次打卡变成深度种草．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为4万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 甲厂家 每台可享受九五折优惠 乙厂家 不超过5台需按原价购买，超过部分每台减0.3万元 若该影楼计划购进x（）台相机，请解答下列问 (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元； (2)当购买多少台时，在两个厂家购买的费用相同？ 【答案】(1)， (2)当购买15台时，在两个厂家购买的费用相同 【分析】（1）根据甲厂家的九五折优惠方案，直接计算购买台相机的总费用；根据乙厂家的分段优惠方案，先计算前5台的费用，再计算超过5台部分的费用，最后合并得到总费用． （2）根据两个厂家购买费用相同的条件，列出关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：甲厂家应付费用：（万元）， 乙厂家应付费用： （万元）； （2）解：由题意，得， 解得． 答：当购买15台时，在两个厂家购买的费用相同． 【题型10】动点问题 1.核心知识点 　　结合数轴，根据动点的位置、路程与时间关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①用含时间的代数式表示动点位置或路程； 　　②根据相遇、追及或距离关系列方程； 　　③注意速度变化、方向改变等分段情况。 【例题10】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的代数式表示点、点在数轴上对应的数； (2)当为何值时，点与点相遇？此时相遇点表示的数是多少？ (3)当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度？ (4)若点为线段的中点，用含的代数式表示点对应的数． 【答案】(1)点：，点： (2)，相遇点表示的数是 (3)或 (4) 【分析】（1）根据数轴上点的运动规律：向右运动用起点数加路程，向左运动用起点数减路程，写出、对应的代数式． （2）相遇时两点表示的数相等，列方程求出，再代入代数式求相遇点表示的数． （3）两点距离为两数之差的绝对值，列绝对值方程，分两种情况求解t． （4）利用数轴中点公式：中点对应的数等于两端点对应数之和的一半，列式化简． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数：，点表示的数：； （2）解：当点与点相遇时，， 解得， 此时相遇点表示的数是； （3）解：由点与点之间的距离为个单位长度得， ， ， ∴或， 解得，解得， ∴或时，点与点之间的距离为个单位长度； （4）解：∵点表示的数：，点表示的数：， ∴点对应的数是 【变式题10-1】.（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，且，则A，B两点之间的距离可表示为，若，则A，B两点之间的距离可表示为，即A，B两点之间的距离可以表示为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：点A、B之间的距离_________； (2)填空：当秒时，点P表示的数为_________，点Q表示的数为_________； (3)求t为何值时，P、Q两只电子蚂蚁相遇，并求出相遇点所表示的数； (4)求t为何值时，P、Q两只电子蚂蚁之间的距离为5个单位． 【答案】(1) (2)， (3)，相遇点所表示的数为 (4)或 【分析】（1）利用两点之间的距离，列出算式，然后利用有理数的加减法运算法则计算； （2）利用点在数轴上平移的性质求解； （3）根据线段的长度列出方程求解，然后求出相遇点表示的数； （4）根据绝对值和两点之间的距离，列出关于绝对值的方程，然后求解． 【详解】（1）解：； （2）解：当秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为； （3）解：由（1）得，， ∴， 解得， ∴相遇点所表示的数为； （4）解：根据题意得， ， 解得或， ∴当或时，P、Q两只电子蚂蚁之间的距离为5个单位． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）已知有理数在数轴上对应的点分别为，两点间的距离表示为，在数轴上计算两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： 已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中是最小的正整数，且满足． (1)填空：___________，___________，___________； (2)现将点分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒． ①当与两点的距离相等时，求出的值； ②当点在点左侧时（不考虑与重合），是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，1，2 (2)①1或3；②存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变，当时，的值为，当时，的值为3 【分析】（1）根据有理数的定义和分类、非负数的性质，即可确定的值； （2）根据题意，易得秒时，点表示的有理数为，点表示的有理数为，点表示的有理数为，①分别确定点与点之间的距离，点与点之间的距离，结合与两点的距离相等求解即可；②当点在点左侧时，易得，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）根据题意，点分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，则秒时，点表示的有理数为，点表示的有理数为，点表示的有理数为， ①与两点的距离为，与两点的距离为， 当与两点的距离相等时，可得， ∴或， 解得或， ∴当与两点的距离相等时，的值为1或3； ②当点在点左侧时，可得，解得， 此时，， ∴， 当，即时， 可得， 若的值在一定时间范围内不随的改变而改变， 则，解得； 当，即时， 可得， 若的值在一定时间范围内不随的改变而改变， 则，解得． 综上所述，当点在点左侧时（不考虑与重合），存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变，当时，的值为，当时，的值为3． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴上点A对应数为，点B对应数为20，两点同时出发运动：点P从A出发，全程匀速向右，速度始终为3单位/秒；点Q从B出发：初始速度为2单位/秒向左运动，当Q到达A点时，立即停顿3秒，之后掉头向右，先以4单位/秒走10秒，再把速度提升为8单位/秒匀速向右． 请回答下列问题： (1)求点P出发后多少秒到达点B； (2)求在点Q从B向左运动到A的过程中，多少秒时P、Q两点之间的距离为10； (3)另有一个动点M，在Q停顿之后向右出发的同时，从点B出发，以4单位/秒的速度在P、Q之间做往返运动：只要碰到其中一个点，就立刻掉头反向，继续在两点之间往返，直到P、Q两点相遇时，M立刻停止运动．求当P、Q两点相遇时，动点M一共运动的总路程； (4)A，B，C为数轴上不重合的三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是的“倍距点”．如：点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，则点C是的“倍距点”；又比如表示O的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，则点D就不是的“倍距点”．但点D是的“倍距点”． 数轴上，当P出发的同时，有一动点R从原点O出发，以每秒4个单位的速度向右运动，到达点B时立即掉头，以每秒3个单位的速度向左运动，到达点A时停止运动，其余点继续保持原状态运动．设点R的运动时间为，当t为何值时，R、P、B三点中的点B恰好为其余两个点的“倍距点”？ 【答案】(1)10秒． (2)4秒或8秒． (3)单位． (4)的值为秒或15秒或2秒或秒或30秒． 【分析】（1）先求A、B两点间的距离，再用路程除以速度得到P的运动时间； （2）用含t的式子表示P、Q的位置，结合距离为10列绝对值方程求解； （3）先确定Q向右出发的时间，再分阶段计算P、Q的相遇时间，利用M的运动时间乘速度得到总路程； （4）分阶段表示R的位置，根据“倍距点”的定义列方程，并结合t的范围求解即可． 【详解】（1）解： ∵点A对应数为，点B对应数为20， ∴ ， ∵点P从A出发，全程匀速向右，速度始终为3单位/秒， ∴P到达B的时间为（秒）． （2）解：∵点Q从B出发：初始速度为2单位/秒向左运动， ∴点Q从B向左运动到A的时间为秒，即， 设运动时间为t秒， 则点P对应的数为，点Q对应的数为， 由题意得， 化简得， ∴或， 解得或 ， 均满足， ∴ t的值为4秒或8秒． （3）解：∵点Q到达A的时间为15秒，停顿3秒， ∴ Q向右出发的时间为秒，此时M从B点同时出发， 设从秒开始，经过x秒P、Q相遇． 当时，Q以4单位/秒向右运动， Q对应的数为， P对应的数为， 令， 解得，不符合题意，故此时未相遇； 当时，Q的速度提升为8单位/秒， Q对应的数为 ， P对应的数仍为， 令， 解得，符合条件； ∴ M运动的总时间为秒， M的总路程为（单位）． （4）解：根据题意，其余两个点为R、P， 当点B是的倍距点，即点B到R的距离是点B到P的距离的2倍，即， 分阶段讨论R的运动： ① 当时，R从O向右运动，对应的数为，，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 解得，不符合题意舍去； ② 当时，R从B向左运动，对应的数为， ， ∴， 化简得， 当时，，， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， ∴， 解得，符合条件； ③ 当时，R到达A并停止，对应的数为， ， ∴ ， 即， 解得或，均不符合题意，舍去． 当点B是的倍距点，即点B到P的距离是点B到R的距离的2倍，即， 分阶段讨论R的运动： ① 当时，R从O向右运动，对应的数为，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得，符合题意； ② 当时，R从B向左运动，对应的数为， ， ∴， 化简得， 当时，，， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， ∴， 解得，不符合条件； ③ 当时，R到达A并停止，对应的数为， ， ∴ ， 即， 解得或（不符合题意，舍去）． 综上所述，t的值为秒或15秒或2秒或秒或30秒． 易错点 　　1、审题不清，未找准等量关系就列方程。 　　2、设未知数后未把相关量用含未知数的代数式表示完整。 　　3、配套问题中比例关系列错，如未按件配件正确列式。 　　4、行程问题单位不统一，或追及、相遇的等量关系弄错。 　　5、分段计费问题未判断费用所在区间就直接列式。 　　6、数字问题求出数位数字后未还原成完整的数就作答。 　　7、解方程后未检验是否满足所列方程及实际意义（如台数、人数不能为小数或负数）。 重点 　　1、列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。 　　2、用列表法、画示意图法找等量关系。 　　3、掌握配套、工程、销售、行程、分段计费等常见问题的等量关系。 　　4、正确解一元一次方程并检验。 难点 　　1、在复杂情境中提炼等量关系列方程。 　　2、分段计费、方案决策等综合问题的分析。 　　3、数字问题、盈不足、动点等创新题型的建模。 【对应练习题】 1．长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 2．已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 【答案】33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．通过设个位数字为未知数，利用两位数的数位表示方法写出原两位数与新两位数，计算两数之和后分析其因数，找到能整除该和的最大整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原两位数的个位数字为x， 则十位数字为，x为正整数，且，即， 故x可取， 原两位数为 ， 新两位数为 ， 两数之和为， 即两数之和为，故该和一定能被33整除，所有可能的和（当分别取时）的最大公因数为33， ∴这个整数的最大值是33． 3．用火柴棒按下列方式搭正方形（相邻两个正方形共用一条边）： (1)搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个需要7根，搭3个需要10根，则搭4个正方形需要______根火柴棒； (2)用含的代数式表示搭个正方形所需火柴棒的根数； (3)用2026根火柴棒按这种方式最多可以搭成多少个正方形； 【答案】(1)13 (2)搭n个正方形需要根火柴棒 (3)最多可以搭成675个正方形 【分析】（1）观察数据规律，后一个比前一个多3根，直接推出搭4个正方形的火柴棒数量． （2）第一个正方形用4根，每多1个正方形增加3根，据此归纳出含的代数式． （3）把火柴棒总数代入代数式列方程求解，根据结果取整数，得到最多可搭正方形个数． 【详解】（1）解：搭1个正方形：4根， 搭2个正方形：7根， 搭3个正方形：10根， 搭4个正方形：， （2）解：第1个正方形需要4根，往后每增加1个正方形就增加3根火柴棒， ， 则搭n个正方形需要根火柴棒． （3）解：令， ， ， ， 答：最多可以搭成675个正方形． 4．小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，求小朋友的人数． 【答案】7人 【分析】设共有x个小朋友，则苹果有个，根据题意列方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设共有个小朋友， 根据题意，得． 解得． 答：小朋友的人数为7人． 5．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【答案】需要用张白纸做盒身 【分析】设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖，每张白板纸做2个盒身，则盒身总数量为个；每张白板纸做3个盒盖，则盒盖总数量为个，利用“一个盒身需要配两个盒盖”列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， 答：需要用张白板纸做盒身． 6．某公司租用仓库堆放3吨货物，每月租金元，这些货物原计划要销售3个月，但因为新冠肺炎疫情，公司将这批货物降价销售，结果2个月就销售完了．由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了元．问每千克货物降价了多少元？ 【答案】每千克货物降价了2元． 【分析】设每千克货物降价了元，根据节约的租金减去降价减少的利润得到多赚的利润列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每千克货物降价了元，由题意可得， 解得 答：每千克货物降价了2元． 7．为了准备小颖六年后上大学的学费元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式： 期数 教育储蓄年利率 一年 三年 六年 （1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； （2）直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？ 【答案】按第二种储蓄方式开始存入的本金少 【分析】设开始存入元，分别根据两种储蓄方式列方程求出x的值，然后比较即可． 【详解】解：设开始存入元． 按照第一种储蓄方式： 根据题意得，， 解得； 按第二种储蓄方式： 根据题意得，， 解得； ∴第一种储蓄方式存入的本金约需元，第二种储蓄方式开始存入的本金约需元， ∵， ∴按第二种储蓄方式开始存入的本金少． 8．某数学兴趣小组开展“探究商品条形码中的秘密”综合实践活动，通过网上收集素材研究，整理如下： 探究商品条形码中的秘密 素材 商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和最后一位校验码构成，从左至右其前3位、第4至7位、第8至12位、最后一位分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”，其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性 计算 如图1： （1）计算条形码从左至右13位数字中偶数位数字的和：； （2）计算条形码从左至右13位数字中奇数位数字（除最后一位数字）的和：； （3）计算：； （4）取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即．    发现 d与c的差就是校验码，即 解决问题： (1)某商品条形码中前12位为，求最后一位校验码是什么数字． (2)如图2，某商品条形码中从左至右的第7位数字磨损不可见，求出第7位数字．    【答案】(1)5 (2)4 【分析】（1）根据新定义求解； （2）设从左至右，第七位数字为x，根据新定义求出a，表示出b，c，再根据x的取值范围得出d的值，然后列方程求解． 【详解】（1）解：某商品条形码中前12位为， ∴，， ， 取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即， ∴， ∴最后一位校验码是什么数字为5． （2）解：设从左至右，第七位数字为x，依题意有： ， ， ， 因为d取大于或等于c且为10的整数倍的最小数，x为0到9之间的整数， ∴或， 由图2条形码知，最后一位校验码为9， ∴或， 解得（不合题意，舍去）或． 即第7位数字是4． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3用一元一次方程解决问题 知识点1 ：用一元一次方程解决实际问题的步骤 　　1. 一般步骤：审、设、列、解、验、答。 　　2. 具体内容： 　　　　（1）审：审清题意，找出题中的等量关系，分清已知量、未知量； 　　　　（2）设：设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量； 　　　　（3）列：根据题中的等量关系列出一元一次方程； 　　　　（4）解：解所列的一元一次方程； 　　　　（5）验：检验所得的解是不是所列方程的解，是否符合实际意义； 　　　　（6）答：写出答案（包括单位名称）。 　　3. 设未知数的常见方法：一般情况下题中问什么就设什么（直接未知数）；设直接未知数难以列方程时，设另一个相关量为未知数（间接未知数）；某些问题为便于列方程可设辅助未知数。 知识点2 ：找等量关系的方法 　　1. 逐步列式法：根据题意一步步写出有关数量关系，再找相等关系。 　　2. 列表分析法：用行（或列）表示不同项目或种类，用列（或行）表示相应的数量，借助表格分析数量关系。 　　3. 画示意图法：用线形、圆形、柱状等示意图表示题目中的数量关系，行程问题中常用线段示意图帮助分析。 知识点3 ：常见问题中的等量关系 问题类型 常见等量关系 配套问题 加工总量成比例：若一件产品需A、B两种配件配套，数量比为，则A配件总数量B配件总数量 工程问题 工作量工作效率工作时间；总工作量各部分工作量之和；总工作量未知时看作整体1 商品销售问题 利润=售价-进价；利润率=；售价=进价×(1+利润率)；打折后的售价=标价 行程问题 路程速度时间；相遇：甲路程乙路程总路程；追及：快者路程慢者路程初始路程差 分段计费问题 各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同 比赛积分问题 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数；总得分=胜场得分+平场得分+负场得分 储蓄问题 本金利率期数利息；本金利息本息和 年龄问题 不管时间如何变化，两人的年龄差总不变，抓住“年龄差” 数字问题 两位数可表示为十位数字个位数字；三位数同理，各数位数字乘以相应的位权再相加 盈不足问题 物品总数（总价）相等，依盈、亏列出方程 【基础必考题型】 【题型1】数字问题 1.核心知识点 　　用位权表示多位数，根据数位上的数字关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①两位数表示为十位数字个位数字，三位数同理； 　　②注意对调、加18等变化对原数的影响； 　　③“求整体，设部分”，求完整数位后再写答案。 【例题1】.（26-27六年级上·上海·阶段检测）如果三个连续奇数的和是111，那么这三个奇数中最小的是__________． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为230．这4个数在数表中的排列位置可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·重庆·自主招生）有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【题型2】比例分配问题 1.核心知识点 　　按比例分配总量，设“每一份”为列方程求解。 2.解题方法技巧 　　①若数量比为，常设每份为，各部分分别为、； 　　②依据“总量=各部分量之和”列方程； ③解方程并检验解的合理性。 【例题2】.（2022八年级·香港·竞赛）一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·重庆·自主招生）市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【变式题2-3】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【题型3】配套问题 1.核心知识点 　　合理安排生产使两种配件数量恰好配套。 2.解题方法技巧 　　①从配套的数量关系中找等量关系； 　　②若件A产品与件B产品配套，则A产品数量B产品数量； ③设未知数列方程求解。 【例题3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某家具厂有60名工人，加工某种由一张桌面和四条桌腿组成的桌子，工人每人每天可以加工3张桌面或6个桌腿．应分配________人生产桌面，________人生产桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． (1)1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ (2)该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 【变式题3-3】.（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【培优高频题型】 【题型4】商品销售问题 1.核心知识点 　　根据进价、售价、利润、利润率的关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①抓住利润售价进价，售价进价(1利润率)； 　　②打折后售价=标价； ③设进价或售价为未知数列方程。 【例题4】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套”．厂长听后算了一下：若减价，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问：这种课桌每套的成本价是多少元？ 【变式题4-1】.（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 【变式题4-2】.（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）商店进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后打八折出售．商品A和商品B同时卖出后，结果共亏损了60元．若商品A的成本是商品B的2倍，则商品A、B成本分别是多少元？ 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【题型5】行程问题 1.核心知识点 　　根据路程速度时间，找相遇或追及的等量关系。 2.解题方法技巧 　　①画线段示意图帮助分析； 　　②相遇：甲路程+乙路程=总路程；追及：快者路程=慢者路程+初始路程差； ③注意单位统一，环形跑道中注意合走1圈或多走1圈。 【例题5】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·开学考试）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【变式题5-2】.（25-26六年级下·山东烟台·期中）在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【变式题5-3】.（25-26六年级下·山东泰安·期中）育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． (1)后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 【题型6】比赛积分问题 1.核心知识点 　　根据比赛场次与积分规则列方程。 2.解题方法技巧 　　①比赛总场数=胜场+平场+负场； 　　②总得分=胜场得分+平场得分+负场得分； ③列出等量关系解方程。 【例题6】.（26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【变式题6-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【变式题6-2】.（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·重庆南川·期中）某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【题型7】储蓄与利息问题 1.核心知识点 　　根据本金、利率、期数、利息、本息和的关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①利息本金利率期数，本息和本金利息； 　　②注意利率类型（年利率、月利率）与期数对应； ③结合利息税等条件列方程。 【例题7】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人．一部分以年利率贷给甲，另一部分以年利率贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等．甲、乙各贷款多少元？ 【变式题7-1】.（26-27七年级上·北京·课后作业）已知银行一年期定期储蓄的年利率为．所得利息要缴纳的利息税，例如：某人将100元按一年期的定期储蓄存入银行，到期储户纳税后所得利息的计算公式为：税后利息．已知某储户有一笔一年期的定期储蓄，到期纳税后，得到利息650元，问：该储户存入了多少本金？ 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【变式题7-3】.（26-27七年级上·北京·课前预习）储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的． (1)将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时可以得到利息 元，扣除个人所得税后实际得到 元． (2)小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？ 【压轴素养题型】 【题型8】分段计费问题 1.核心知识点 　　根据分段收费（水费、电费、车费等）标准列方程。 2.解题方法技巧 　　①弄清计费方式，判断费用落在哪一段； 　　②各段费用之和=总费用； 　　③已知费用求用量时，先判断所在区间再列方程。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某地按如下规则收取每月天然气费：用气量如果不超过，每立方米按1.5元收取，如果超过，超过部分按每立方米2元收费，已知某用户12月的天然气费为110元，求该用户12月份的用气量． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【题型9】方案决策问题 1.核心知识点 　　比较不同购买（施工、销售）方案的费用或利润，作出最优决策。 2.解题方法技巧 　　①用含未知数的代数式表示各方案的费用（利润）； 　　②列方程求两方案费用相等时的取值； ③取特殊值比较，作出决策。 【例题9】.（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式题9-1】.（24-25六年级下·山东烟台·期中）学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【变式题9-2】.（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【变式题9-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）洛邑古城以98.48万春节游客量登顶夜游榜首，免费入园策略撬动文旅新玩法，河南用细节与文化将一次打卡变成深度种草．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为4万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 甲厂家 每台可享受九五折优惠 乙厂家 不超过5台需按原价购买，超过部分每台减0.3万元 若该影楼计划购进x（）台相机，请解答下列问 (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为________万元； (2)当购买多少台时，在两个厂家购买的费用相同？ 【题型10】动点问题 1.核心知识点 　　结合数轴，根据动点的位置、路程与时间关系列方程。 2.解题方法技巧 　　①用含时间的代数式表示动点位置或路程； 　　②根据相遇、追及或距离关系列方程； 　　③注意速度变化、方向改变等分段情况。 【例题10】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒（）． (1)用含的代数式表示点、点在数轴上对应的数； (2)当为何值时，点与点相遇？此时相遇点表示的数是多少？ (3)当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度？ (4)若点为线段的中点，用含的代数式表示点对应的数． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·广西桂林·阶段检测）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，且，则A，B两点之间的距离可表示为，若，则A，B两点之间的距离可表示为，即A，B两点之间的距离可以表示为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：点A、B之间的距离_________； (2)填空：当秒时，点P表示的数为_________，点Q表示的数为_________； (3)求t为何值时，P、Q两只电子蚂蚁相遇，并求出相遇点所表示的数； (4)求t为何值时，P、Q两只电子蚂蚁之间的距离为5个单位． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）已知有理数在数轴上对应的点分别为，两点间的距离表示为，在数轴上计算两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： 已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中是最小的正整数，且满足． (1)填空：___________，___________，___________； (2)现将点分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒． ①当与两点的距离相等时，求出的值； ②当点在点左侧时（不考虑与重合），是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）数轴上点A对应数为，点B对应数为20，两点同时出发运动：点P从A出发，全程匀速向右，速度始终为3单位/秒；点Q从B出发：初始速度为2单位/秒向左运动，当Q到达A点时，立即停顿3秒，之后掉头向右，先以4单位/秒走10秒，再把速度提升为8单位/秒匀速向右． 请回答下列问题： (1)求点P出发后多少秒到达点B； (2)求在点Q从B向左运动到A的过程中，多少秒时P、Q两点之间的距离为10； (3)另有一个动点M，在Q停顿之后向右出发的同时，从点B出发，以4单位/秒的速度在P、Q之间做往返运动：只要碰到其中一个点，就立刻掉头反向，继续在两点之间往返，直到P、Q两点相遇时，M立刻停止运动．求当P、Q两点相遇时，动点M一共运动的总路程； (4)A，B，C为数轴上不重合的三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是的“倍距点”．如：点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，则点C是的“倍距点”；又比如表示O的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，则点D就不是的“倍距点”．但点D是的“倍距点”． 数轴上，当P出发的同时，有一动点R从原点O出发，以每秒4个单位的速度向右运动，到达点B时立即掉头，以每秒3个单位的速度向左运动，到达点A时停止运动，其余点继续保持原状态运动．设点R的运动时间为，当t为何值时，R、P、B三点中的点B恰好为其余两个点的“倍距点”？ 易错点 　　1、审题不清，未找准等量关系就列方程。 　　2、设未知数后未把相关量用含未知数的代数式表示完整。 　　3、配套问题中比例关系列错，如未按件配件正确列式。 　　4、行程问题单位不统一，或追及、相遇的等量关系弄错。 　　5、分段计费问题未判断费用所在区间就直接列式。 　　6、数字问题求出数位数字后未还原成完整的数就作答。 　　7、解方程后未检验是否满足所列方程及实际意义（如台数、人数不能为小数或负数）。 重点 　　1、列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。 　　2、用列表法、画示意图法找等量关系。 　　3、掌握配套、工程、销售、行程、分段计费等常见问题的等量关系。 　　4、正确解一元一次方程并检验。 难点 　　1、在复杂情境中提炼等量关系列方程。 　　2、分段计费、方案决策等综合问题的分析。 　　3、数字问题、盈不足、动点等创新题型的建模。 【对应练习题】 1．长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 2．已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 3．用火柴棒按下列方式搭正方形（相邻两个正方形共用一条边）： (1)搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个需要7根，搭3个需要10根，则搭4个正方形需要______根火柴棒； (2)用含的代数式表示搭个正方形所需火柴棒的根数； (3)用2026根火柴棒按这种方式最多可以搭成多少个正方形； 4．小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，求小朋友的人数． 5．小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 6．某公司租用仓库堆放3吨货物，每月租金元，这些货物原计划要销售3个月，但因为新冠肺炎疫情，公司将这批货物降价销售，结果2个月就销售完了．由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了元．问每千克货物降价了多少元？ 7．为了准备小颖六年后上大学的学费元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式： 期数 教育储蓄年利率 一年 三年 六年 （1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； （2）直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？ 8．某数学兴趣小组开展“探究商品条形码中的秘密”综合实践活动，通过网上收集素材研究，整理如下： 探究商品条形码中的秘密 素材 商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和最后一位校验码构成，从左至右其前3位、第4至7位、第8至12位、最后一位分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”，其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性 计算 如图1： （1）计算条形码从左至右13位数字中偶数位数字的和：； （2）计算条形码从左至右13位数字中奇数位数字（除最后一位数字）的和：； （3）计算：； （4）取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即．    发现 d与c的差就是校验码，即 解决问题： (1)某商品条形码中前12位为，求最后一位校验码是什么数字． (2)如图2，某商品条形码中从左至右的第7位数字磨损不可见，求出第7位数字．    第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $