专题4.2一元一次方程及其解法（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册
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内容正文：
专题4.2一元一次方程及其解法
知识点1 ：一元一次方程
1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
2. 三个要素：一是只含有一个未知数；二是等号两边都是整式；三是未知数的次数都是1，三者缺一不可。
3. 最简形式：一元一次方程的最简形式为（、为常数，且）；标准形式为。
知识点2 ：解一元一次方程的步骤
解一元一次方程就是通过变形，最终将方程转化为（为常数）的形式。
变形名称
具体做法
变形依据
注意
去分母
方程两边同乘各分母的最小公倍数
等式的基本性质2
不漏乘不含分母的项；分子是多项式时，去分母后分子加括号
去括号
按去括号法则去掉括号
乘法分配律、去括号法则
不漏乘括号内任何一项；注意符号
移项
把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边
等式的基本性质1
移项要变号，不漏项
合并同类项
把方程化为的形式
合并同类项法则
系数相加，字母及指数不变
系数化为1
两边同除以（或乘）
等式的基本性质2
系数含字母时先判断是否不为0；不要颠倒分子分母
知识点3 ：移项
1. 概念：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
2. 依据：等式的基本性质1。
3. 目的：把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到另一边。
4. 与加法交换律的区别：移项是把项从等式一边移到另一边，移动的项要变号；加法交换律只是改变排列顺序，不改变符号。
知识点4 ：去括号与去分母
1. 去括号：解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号，实质是乘法分配律；括号前是负数时，去括号后要改变括号内各项的符号。
2. 去分母：在含有分数系数的方程两边同乘各分母的最小公倍数，使方程不含分母；去分母的依据是等式的基本性质2。
3. 化小数分母与去分母的区别：化小数分母为整数分母针对方程中的一部分，分子、分母同乘同一个数，依据是分数的基本性质；去分母针对整个方程，两边同乘各分母的最小公倍数，依据是等式的基本性质。
知识点5 ：解含有绝对值的方程
根据“（），则或”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再分别求解。
【基础必考题型】
【题型1】一元一次方程的概念辨析
1.核心知识点
判断一个方程是不是一元一次方程。
2.解题方法技巧
①三个要素缺一不可：只含一个未知数、等号两边都是整式、未知数次数为1；
②分母中含未知数的方程不是一元一次方程；
③由概念求字母值时，注意未知数系数不能为0。
【例题1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为，据此列出关于的方程求解即可．
【详解】解：方程是关于x的一元一次方程，
，
解得：．
【变式题1-1】.（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________．
【答案】
【分析】原方程要为一元一次方程，只能含有一个未知数，的系数为，无法为，因此需要让的系数为，即可求出的值．
【详解】解：根据一元一次方程的定义，方程只含有一个未知数，且未知数的次数为，
∵原方程中，的系数为，恒不为，
∴要满足一元一次方程的定义，需的系数为，即，
解得：．
【变式题1-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，两边为整式的等式，逐一分析选项．
【详解】解：A.含2个未知数，不符合题意；
B.中未知数最高次数为2，不符合题意；
C.符合一元一次方程的要求，符合题意；
D.不是等式，不属于方程，不符合要求．
【变式题1-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．
【答案】，方程为
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，得到，且，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得：．
其方程为．
【题型2】判断一元一次方程的解
1.核心知识点
验证一个数是不是一元一次方程的解。
2.解题方法技巧
①把这个数代入方程左右两边；
②若左边=右边，则是方程的解；
③左边右边，则不是方程的解。
【例题2】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求；
选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求；
选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求；
选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求．
【变式题2-1】.（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意；
B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意；
C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意；
D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意；
故选：B．
【变式题2-2】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程是解题关键．
根据定义结合方程解的定义即可求解．
【详解】解：由题意，方程的解为，
因此可构造方程（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【变式题2-3】.（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．
【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意；
B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意；
C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意；
D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意．
故选：D．
【题型3】解一元一次方程
1.核心知识点
按步骤解一元一次方程。
2.解题方法技巧
①有分母先去分母，有括号先去括号；
②再移项、合并同类项；
③系数化为1，最后检验。
【例题3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化解一元一次方程；
（2）方程两边同时乘以去分母，再通过去括号、移项、合并同类项、系数化求解．
【详解】（1）解：
移项，得
合并同类项，得
解得．
（2）解：
两边同乘去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得．
【变式题3-1】.（2026六年级上·全国·专题练习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式题3-3】.（26-27七年级上·重庆巴南·开学考试）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第一步移项，第二步合并同类项，第三步系数化为1，最后求解；
（2）第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步系数化为1，最后求解．
【详解】（1）
解：
（2）
解：
【点睛】移项要变号，括号外面是负号，括号里面的每一项都变号．
【题型4】写出解方程的变形依据
1.核心知识点
说出解方程各步骤的变形依据并找出错误。
2.解题方法技巧
①去分母、系数化为1依据等式的基本性质2；
②移项依据等式的基本性质1；
③去括号依据乘法分配律与去括号法则；
④合并同类项依据合并同类项法则。
【例题4】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
系数化为1，得．第五步
任务一：
(1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____；
(2)第三步变形的依据是_____；
任务二：
(3)该一元一次方程正确的解是_____；
(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____
【答案】(1)一；去分母时，1漏乘了6
(2)等式的基本性质1
(3)
(4)移项要注意变号
【分析】（1）根据等式的性质2求解；
（2）根据等式的性质1求解；
（3）根据解一元一次方程的步骤求解；
（4）根据解一元一次方程的方法求解．
【详解】（1）解：解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6；
（2）解：第三步变形的依据是等式的基本性质1；
（3）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（4）解：建议：移项要注意变号．
【变式题4-1】.（25-26七年级上·河南濮阳·期末）在解一元一次方程，小李的解法如下：
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
第六步：．
(1)小李的解法中哪一步是“系数化为”？这一步的依据是什么？
(2)判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)第六步，等式的基本性质
(2)
解：不正确，
正确解答过程如下：
，
第一步：，
第二步：，
第三步：，
第四步：
第五步：
第六步：．
【分析】根据一元一次方程的解法步骤求解，确定“系数化为”的依据为等式的基本性质，判断解答过程错误，正确求解即可．
【详解】（1）解：小李解法中第六步是“系数化为”， 这一步的依据是等式的基本性质；
（2）略
【变式题4-2】.（25-26七年级上·江西赣州·期末）下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解方程：．
解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
___________，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边都除以，得．第五步
填空：
(1)以上求解步骤中，第三步变形的名称是___________，其依据是___________；
(2)以上求解步骤中第___________步开始出错；
(3)请写出解答该方程的过程．
【答案】(1)移项；等式的性质1；
(2)二；
(3)
【分析】本题考查一元一次方程的解法，核心知识点是一元一次方程的求解步骤(去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为)及等式的性质，关键是准确掌握每一步的符号法则，避免运算错误．
（1）第三步是将方程中的项从一边移到另一边，变形名称为移项，依据是等式的性质1；
（2）检查每一步运算，第二步去括号时，括号前的负号未对括号内所有项变号，导致运算错误，因此第二步是错误的起始步骤；
（3）按照一元一次方程的标准求解流程，依次完成去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得到正确解．
【详解】（1）解：第三步变形的名称是移项，其依据是等式的性质(等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立)；
故答案为：移项；等式的性质1；
（2）解：第二步去括号时，去括号后应为，而题目中错误写成；
故答案为：二；
（3）解：去分母，得；
去括号，得；
移项，得；
合并同类项，得；
系数化为1，得．
【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西贵港·期末）学习了一元一次方程的解法，下面是小贵解一元一次方程的解题过程：
解：方程两边同时乘以6，得：
①
去分母，得：②
去括号，得：③
移项，得：④
合并同类项，得：⑤
系数化为1，得：⑥
(1)以上求解步骤中，第一步的依据是_________．
(2)上述小贵的解题过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________．
(3)请帮小贵改正错误，写出完整的解题过程．
【答案】(1)等式的基本性质2
(2)②，去分母时分子没有作为一个整体加上括号
(3)
解：方程两边同时乘以6，得：
去分母，得
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：．
【分析】本题考查了等式的基本性质、解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据等式的基本性质即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤即可解答；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
【详解】（1）解：第一步的依据是等式的基本性质2；
故答案为：等式的基本性质2；
（2）解：小贵的解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去分母时分子没有作为一个整体加上括号；
故答案为：②，去分母时分子没有作为一个整体加上括号；
（3）略
【培优高频题型】
【题型5】由两个方程解之间的关系求字母的值
1.核心知识点
两个方程的解相同（或互为相反数等），求参数。
2.解题方法技巧
①分别解出两个方程（或用含参数的式子表示解）；
②根据解的关系构造方程；
③解方程求参数。
【例题5】.（2026七年级上·全国·专题练习）按要求解答问题：
(1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值；
(2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
解得．
因为两方程的解互为倒数，
所以方程的解为．
将代入，得
．
（2）解：由题意，得．
．
将代入，得
解得．
【变式题5-1】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”．
(1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由；
(2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值．
【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下：
解第一个方程，
，
，
解第二个方程，
，
解得：，
，
这两个方程不是“和解方程”．
(2)
【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案；
（2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可．
【详解】（1）略
（2）解：解第一个方程：，
，
解得：，
解第二个方程，
，
，
解得，
关于的方程与方程是“和解方程”，
，
．
【变式题5-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程．
(1)的值为________；
(2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值；
(3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程；
（2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出．
【详解】（1）解：，
解得；
（2）解：把代入，
得，
所以．
由，解得．
因为已知方程与关于的方程的解相同，
所以．
所以．
解得．
所以的值为．
（3）解：由，解得．
因为已知方程的解比方程的解小5，
所以已知方程的解为．
所以把，代入
中，得，
所以，
解得，
所以的值为．
【变式题5-3】.（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程和为“互逆方程”．
(1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值；
(3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断；
（2）求出方程的解，然后根据定义得出方程的解，即可求出参数；
（3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解．
【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下：
解方程得，；
解方程得，；
∵和互为相反数，
∴方程与是“互逆方程”；
（2）解：，
解得：；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴的解为，代入方程可得，
∴；
（3）解：，
解得；
，
解得；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴，
解得．
【题型6】错看或错解一元一次方程问题
1.核心知识点
看错符号或步骤出错后，利用错误结果反求参数并纠正。
2.解题方法技巧
①按错误的过程列出方程；
②把错误的解代入反求参数；
③再按正确步骤求出方程的解。
【例题6】.（25-26七年级上·湖北荆州·期末）马虎同学在解关于x的方程时，把含未知数的项移到左边时忘记变号了，解得，则※处的数字是_______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键．
设※处的数字为，根据题意可得是方程的解，代入求出的值，即可得出答案．
【详解】解：设※处的数字为，
由题意得，是方程的解，
代入，得，
解得，
∴※处的数字是．
故答案为：．
【变式题6-1】.（25-26七年级上·重庆忠县·期末）已知方程．
(1)马虎同学在解已知方程时把题中的“7”都看成了另外一个数字，得到已知方程的解是，那么马虎同学把“7”看成另外的哪个数字呢？
(2)若关于x的方程的解比已知方程的解大3，求a的值．
【答案】(1)2
(2)5
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤以及方法．
（1）通过设看错的数字为k，代入已知解，然后解一元一次方程即可；
（2）先解方程，得到，则方程的解为，将代入得，，再解方程即可．
【详解】（1）解：设马虎同学把“7”看成了k，则方程变为，
代入，得，
解得，
所以马虎同学把“7”看成了；
（2）解：，
解得，
∴方程的解为，
将代入得，，
即，
，
解得．
【变式题6-2】.（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同．
(1)当相同解为时，求a和b的值；
(2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解；
(3)在（2）的条件下，，求x的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
（1）将代入两个方程，解方程即可得的值；
（2）先将代入方程求出的值，则可得原方程，再解一元一次方程即可得；
（3）先根据两个方程的解相同求出的值，再根据绝对值的性质代入化简即可得．
【详解】（1）解：∵关于一元一次方程的解为，
∴，
解得；
∵关于一元一次方程的解为，
∴，
解得．
（2）解：由题意得：关于一元一次方程的解为，
∴，
解得，
∴原方程①为，
解得．
（3）解：由（2）可知，，原方程①为，它的解为，
∵关于一元一次方程①与②的解相同，
∴关于一元一次方程的解为，
∴，
解得，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【变式题6-3】.（25-26六年级上·上海黄浦·期末）已知关于的方程．
(1)若，求该方程的解；
(2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值；
(3)若该方程有负整数解，求整数的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键．
（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可；
（2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可；
（3）依据题意，由，可得，为使m最大，应取最大的、而且是7的倍数的负数，即，进而得解．
【详解】（1）解：当时，方程为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为，
∴是方程的解，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵取负整数，取最大值，
∴应取最大的、而且是7的倍数的负数．
∴，
∴，
∴的值为．
【题型7】整体换元求一元一次方程的解
1.核心知识点
把重复出现的式子看成一个整体（换元）求解。
2.解题方法技巧
①观察方程中重复出现的整体式；
②设其为，解出的值；
③再代回求的值。
【例题7】.（2025七年级上·全国·专题练习）当我们在解方程时，可以先不去括号，而把和分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得，两边同时乘，得，进而去求解．这种解一元一次方程的方法叫作“整体求解法”．请利用这种方法解方程：．
【答案】
【分析】先根据整体思想将与各看作一个整体，整理可得；接下来利用一元一次方程的解法步骤去括号，移项，合并同类项，最后系数化成1可得方程的解．
【详解】解：原方程可化为：
．
去括号，得：
．
移项、合并同类项，得：
．
系数化为1，得：
．
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是观察题型特点，利用整体思想解一元一次方程．
【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值；
(2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________．
【答案】(1)6
(2)或
(3)2028
【分析】本题考查解一元一次方程的应用，新定义下的运算，绝对值，掌握知识点是解题的关键．
（1）先分别求出两个方程的解，再根据“平衡方程”的定义，得到，求出m的值即可；
（2）先求出另一个方程的解为，由“平衡方程”的两个解的差为6，得到，求出n的值即可；
（3）先求出方程，得，推导出方程的解为，继而将方程，化为，得到，解得，即可解答．
【详解】（1）解：解，得
，
解，得
，
∵关于x的方程与方程是“平衡方程”，
∴，
解得．
答：m的值为6；
（2）解：∵“平衡方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为，
∵“平衡方程”的两个解的差为6，
∴，
即，
∴或，
解得或．
（3）解：解方程，得
∵关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，
∴方程的解满足：
，
方程，可变形为：
，
对比方程与变形后的方程，得
，
即，
解得．
【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：．
【答案】
【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键．
利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值．
【详解】解：设，原方程可转化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以2，得，
所以，
解得．
【变式题7-3】.（25-26七年级上·广西梧州·期末）【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中．例如：我们把看作是一个整体，则．
请你尝试用整体思想解决一下问题：
(1)化简：___________；
(2)若，求代数式的值；
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)27
(3)
【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键．
（1）把看成一个整体，合并同类项即可求解；
（2）把看成一个整体，利用分配律化简代数式为，然后代入化简即可求解；
（3）化简代数式，把看成一个整体，即可求解．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）解：已知，可得．
把作一个整体代入：
；
（3）
设
解得：
∴
解得：．
【压轴素养题型】
【题型8】一元一次方程的整数解问题
1.核心知识点
关于的方程有整数解，求参数的值。
2.解题方法技巧
①把参数视为已知数，解出用参数表示；
②由为整数，令分母为的因式，使结果为整数；
③枚举参数的可能取值。
【例题8】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程，其中为常数．
(1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________；
(2)若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值；
(3)若该方程有正整数解，求整数的最小值．
【答案】(1)2
(2)
(3)整数的最小值为6
【分析】（1）把代入，得到方程，再解方程即可；
（2）分别解两个方程，再由解互为相反数建立关于m的方程，再解方程即可；
（3）可得是正整数．设（为正整数），因为5和7互质，所以必须是7的倍数，则，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，把代入，则
解得；
（2）解：
解得，
解得
由解互为相反数，得，
解得；
（3）解：由（2）可知原方程的解为．
因为方程有正整数解，
所以是正整数．
设（为正整数）．
因为5和7互质，
所以必须是7的倍数，即，．
当时，，此时是正整数，
所以整数的最小值为6．
【变式题8-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是整数，且是正整数，求满足条件的所有值的和．
【答案】4
【分析】先解一元一次方程，再由解是整数以及k是正整数求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
因为关于的方程的解是整数，且是正整数，
所以或，
所以满足条件的所有值的和为．
【变式题8-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）关于的一元一次方程 有正整数解，则
(1)此方程的解为______（用含的代数式表示）；
(2)整数的值为______．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据解含括号的一元一次方程的步骤，先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，用含的代数式表示即可；
（2）由（1）问可得，再根据原方程有正整数解，为整数，令，则为5的正因数，即或，再列方程求解的值即可．
【详解】（1）解：解方程，
展开得：，
移项得：，
合并得：，
解得：（其中）；
（2）解：由为正整数，且为整数，得
设，则，且为整数，，
由于，故，且为整数，
因此为5的正因数，即或，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，；当时，，均为正整数，
故整数的值为或．
【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，核心是先求解方程得到含参数的解的表达式，再根据解为非负整数且是整数的条件，确定的所有可能取值，最后计算这些整数的和．
【详解】解：解关于的一元一次方程，得，
∵方程的解是非负整数，且为整数，
∴是非负整数，
又分子为4，
∴，
∴为正整数，
∴是4的正约数，4的正约数为1、2、4，
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件；
则符合条件的整数的和为；
故答案为：．
【题型9】解含有绝对值的方程
1.核心知识点
根据绝对值的意义，去掉绝对值符号后化为两个一元一次方程求解。
2.解题方法技巧
①把绝对值内的式子看成一个整体；
②由（）得或；
③分别求解并检验是否符合题意。
【例题9】.（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：对于方程，
由绝对值的性质可得，
当时，解得，
当时，解得，
即原方程的解为或．
（2）解：对于方程，
两边同乘，得，
由绝对值的性质可得，
当时，解得，
当时，解得，
即原方程的解为或．
【变式题9-1】.（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键．当时，解方程得；当时，解方程，得，但此时不满足，应舍去．
【详解】解：若，则，
解得，
此时，符合题意；
若，则，
解得，
此时，与假设不符，
所以不符合题意，舍去；
所以方程的解为：．
【变式题9-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：．
【答案】或
【详解】解：，
，
或，
或（不合题意，舍去），
或，
或（不合题意，舍去），
或．
【变式题9-3】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．我们知道的几何意义是：在数轴上数的点到原点的距离，这个结论可以推广为的几何意义是：数轴上表示，的两点之间的距离．例如，在数轴上，点的位置如图所示，．同样道理，的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离；因为，所以的几何意义是数轴上表示的点与表示－1的点之间的距离．
【问题解决】
(1)的几何意义是_____；
(2)的几何意义是_____；
(3)当为_____时，；
(4)当为_____时，．
【答案】(1)数轴上表示的点与表示的点之间的距离
(2)数轴上表示的点与表示的点之间的距离等于
(3)或
(4)或
【分析】（1）先把化为，按“表示数轴上、两点距离”解释；
（2）把理解为“表示的点到表示的点的距离为”；
（3）由得到的距离为，分在左右两侧求解；
（4）把看作到与到的距离之和，结合两点间距离分段讨论求．
【详解】（1）解：，
的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．
（2）解：表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离，
的几何意义是：数轴上表示的点与表示的点之间的距离等于．
（3）解：由（2）可知，表示数轴上表示的点到表示的点的距离为．
当点在点右侧时，，解得；
当点在点左侧时，，解得．
当为或时，．
（4）解：表示数轴上表示的点到表示的点的距离，表示表示的点到表示的点的距离．
表示与的两点间距离为．
当时，，此范围内无解；
当时，，
令，解得；
当时，，
令，解得．
当为或时，．
易错点
1、去分母时漏乘不含分母的项，或分子是多项式时去分母后未加括号。
2、去括号时漏乘括号内的项，或括号前是负数时未改变各项符号。
3、移项时忘记变号，或漏移某项。
4、合并同类项时系数算错，或漏掉符号。
5、系数化为1时分子、分母颠倒。
6、由一元一次方程概念求字母值时，忽略未知数系数不能为0的条件。
7、含参数方程中未讨论系数是否为0就两边同除。
重点
1、一元一次方程的概念及判断方法。
2、解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）。
3、由方程的解求参数。
4、整体换元、整数解等特殊方法的运用。
难点
1、含分母、含括号、含参数方程的正确求解。
2、两个方程解的关系求参数、错解问题。
3、整数解、绝对值方程、新定义等创新题型。
【对应练习题】
一、单选题
1．下列方程中属于一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式．
【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程；
B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程；
C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程；
D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程．
2．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（ ）
A．减去 B．减去 C．加上 D．加上
【答案】A
【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算．
【详解】解：两边同时减去，
得，
合并同类项得．
3．马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的数是（ ）
A．3 B．或9 C．9 D．3或
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的性质，设被墨水遮住的数为，已知，根据绝对值的性质进行求解即可．
【详解】解：设被墨水遮住的数为，则，
∴或，
解得或．
二、填空题
4．已知与互为相反数，则的值是________．
【答案】
【分析】根据互为相反数的两数和为列出等式，结合绝对值的非负性求出和的值，代入计算即可.
【详解】解：∵ 与互为相反数
∴
∵ 任意实数的绝对值都是非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，
∴ ，
解得 ，
代入得 .
5．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________．
【答案】45
【分析】将关于的方程变形为与已知关于的方程结构相同的形式，利用整体代换即可求解．
【详解】解：
令，则方程变为
∵关于的方程的解是，
∴，即，
解得．
6．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________．
【答案】
【分析】设被污染的数字为，将已知解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果．
【详解】解：设●表示的数字为，则原方程为，
∵方程的解为，
∴将代入方程得，
两边同乘得，
去括号得，
整理得，
解得．
三、解答题
7．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）解：去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
8．已知关于x的两个一元一次方程和的解互为相反数，求代数式的值．
【答案】0
【分析】先推导出两个一元一次方程的解，再根据题意，得到，即，最后代入求解即可．
【详解】解：由，得
，
由，得
，
∵关于x的两个一元一次方程和的解互为相反数，
∴，
即，
∴．
9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”；
(2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值；
(3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________．
【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程”
(2)
(3)
【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可；
（2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可；
（3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得：；
解方程，得：，
∵，
∴方程与方程是互为“毓德方程”；
（2）解：解方程得，
解方程得，
∵关于的方程与方程互为“毓德方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程得，
∵关于的方程与互为“毓德方程”，
∴的解为，
∵，
∴
∴，
解得：．
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专题4.2一元一次方程及其解法
知识点1 ：一元一次方程
1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
2. 三个要素：一是只含有一个未知数；二是等号两边都是整式；三是未知数的次数都是1，三者缺一不可。
3. 最简形式：一元一次方程的最简形式为（、为常数，且）；标准形式为。
知识点2 ：解一元一次方程的步骤
解一元一次方程就是通过变形，最终将方程转化为（为常数）的形式。
变形名称
具体做法
变形依据
注意
去分母
方程两边同乘各分母的最小公倍数
等式的基本性质2
不漏乘不含分母的项；分子是多项式时，去分母后分子加括号
去括号
按去括号法则去掉括号
乘法分配律、去括号法则
不漏乘括号内任何一项；注意符号
移项
把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边
等式的基本性质1
移项要变号，不漏项
合并同类项
把方程化为的形式
合并同类项法则
系数相加，字母及指数不变
系数化为1
两边同除以（或乘）
等式的基本性质2
系数含字母时先判断是否不为0；不要颠倒分子分母
知识点3 ：移项
1. 概念：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
2. 依据：等式的基本性质1。
3. 目的：把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到另一边。
4. 与加法交换律的区别：移项是把项从等式一边移到另一边，移动的项要变号；加法交换律只是改变排列顺序，不改变符号。
知识点4 ：去括号与去分母
1. 去括号：解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号，实质是乘法分配律；括号前是负数时，去括号后要改变括号内各项的符号。
2. 去分母：在含有分数系数的方程两边同乘各分母的最小公倍数，使方程不含分母；去分母的依据是等式的基本性质2。
3. 化小数分母与去分母的区别：化小数分母为整数分母针对方程中的一部分，分子、分母同乘同一个数，依据是分数的基本性质；去分母针对整个方程，两边同乘各分母的最小公倍数，依据是等式的基本性质。
知识点5 ：解含有绝对值的方程
根据“（），则或”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再分别求解。
【基础必考题型】
【题型1】一元一次方程的概念辨析
1.核心知识点
判断一个方程是不是一元一次方程。
2.解题方法技巧
①三个要素缺一不可：只含一个未知数、等号两边都是整式、未知数次数为1；
②分母中含未知数的方程不是一元一次方程；
③由概念求字母值时，注意未知数系数不能为0。
【例题1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______．
【变式题1-1】.（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________．
【变式题1-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．
【题型2】判断一元一次方程的解
1.核心知识点
验证一个数是不是一元一次方程的解。
2.解题方法技巧
①把这个数代入方程左右两边；
②若左边=右边，则是方程的解；
③左边右边，则不是方程的解。
【例题2】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-1】.（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【变式题2-2】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可）
【变式题2-3】.（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】解一元一次方程
1.核心知识点
按步骤解一元一次方程。
2.解题方法技巧
①有分母先去分母，有括号先去括号；
②再移项、合并同类项；
③系数化为1，最后检验。
【例题3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【变式题3-1】.（2026六年级上·全国·专题练习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·重庆巴南·开学考试）解方程
(1)
(2)
【题型4】写出解方程的变形依据
1.核心知识点
说出解方程各步骤的变形依据并找出错误。
2.解题方法技巧
①去分母、系数化为1依据等式的基本性质2；
②移项依据等式的基本性质1；
③去括号依据乘法分配律与去括号法则；
④合并同类项依据合并同类项法则。
【例题4】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
系数化为1，得．第五步
任务一：
(1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____；
(2)第三步变形的依据是_____；
任务二：
(3)该一元一次方程正确的解是_____；
(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____
【变式题4-1】.（25-26七年级上·河南濮阳·期末）在解一元一次方程，小李的解法如下：
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
第六步：．
(1)小李的解法中哪一步是“系数化为”？这一步的依据是什么？
(2)判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
【变式题4-2】.（25-26七年级上·江西赣州·期末）下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解方程：．
解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
___________，得．第三步
合并同类项，得．第四步
方程两边都除以，得．第五步
填空：
(1)以上求解步骤中，第三步变形的名称是___________，其依据是___________；
(2)以上求解步骤中第___________步开始出错；
(3)请写出解答该方程的过程．
【变式题4-3】.（25-26七年级上·广西贵港·期末）学习了一元一次方程的解法，下面是小贵解一元一次方程的解题过程：
解：方程两边同时乘以6，得：
①
去分母，得：②
去括号，得：③
移项，得：④
合并同类项，得：⑤
系数化为1，得：⑥
(1)以上求解步骤中，第一步的依据是_________．
(2)上述小贵的解题过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________．
(3)请帮小贵改正错误，写出完整的解题过程．
【培优高频题型】
【题型5】由两个方程解之间的关系求字母的值
1.核心知识点
两个方程的解相同（或互为相反数等），求参数。
2.解题方法技巧
①分别解出两个方程（或用含参数的式子表示解）；
②根据解的关系构造方程；
③解方程求参数。
【例题5】.（2026七年级上·全国·专题练习）按要求解答问题：
(1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值；
(2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值．
【变式题5-1】.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”．
(1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由；
(2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值．
【变式题5-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程．
(1)的值为________；
(2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值；
(3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值．
【变式题5-3】.（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程和为“互逆方程”．
(1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值；
(3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值．
【题型6】错看或错解一元一次方程问题
1.核心知识点
看错符号或步骤出错后，利用错误结果反求参数并纠正。
2.解题方法技巧
①按错误的过程列出方程；
②把错误的解代入反求参数；
③再按正确步骤求出方程的解。
【例题6】.（25-26七年级上·湖北荆州·期末）马虎同学在解关于x的方程时，把含未知数的项移到左边时忘记变号了，解得，则※处的数字是_______．
【变式题6-1】.（25-26七年级上·重庆忠县·期末）已知方程．
(1)马虎同学在解已知方程时把题中的“7”都看成了另外一个数字，得到已知方程的解是，那么马虎同学把“7”看成另外的哪个数字呢？
(2)若关于x的方程的解比已知方程的解大3，求a的值．
【变式题6-2】.（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同．
(1)当相同解为时，求a和b的值；
(2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解；
(3)在（2）的条件下，，求x的值．
【变式题6-3】.（25-26六年级上·上海黄浦·期末）已知关于的方程．
(1)若，求该方程的解；
(2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值；
(3)若该方程有负整数解，求整数的最大值．
【题型7】整体换元求一元一次方程的解
1.核心知识点
把重复出现的式子看成一个整体（换元）求解。
2.解题方法技巧
①观察方程中重复出现的整体式；
②设其为，解出的值；
③再代回求的值。
【例题7】.（2025七年级上·全国·专题练习）当我们在解方程时，可以先不去括号，而把和分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得，两边同时乘，得，进而去求解．这种解一元一次方程的方法叫作“整体求解法”．请利用这种方法解方程：．
【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值；
(2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________．
【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：．
【变式题7-3】.（25-26七年级上·广西梧州·期末）【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中．例如：我们把看作是一个整体，则．
请你尝试用整体思想解决一下问题：
(1)化简：___________；
(2)若，求代数式的值；
(3)解方程：．
【压轴素养题型】
【题型8】一元一次方程的整数解问题
1.核心知识点
关于的方程有整数解，求参数的值。
2.解题方法技巧
①把参数视为已知数，解出用参数表示；
②由为整数，令分母为的因式，使结果为整数；
③枚举参数的可能取值。
【例题8】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程，其中为常数．
(1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________；
(2)若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值；
(3)若该方程有正整数解，求整数的最小值．
【变式题8-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的解是整数，且是正整数，求满足条件的所有值的和．
【变式题8-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）关于的一元一次方程 有正整数解，则
(1)此方程的解为______（用含的代数式表示）；
(2)整数的值为______．
【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________．
【题型9】解含有绝对值的方程
1.核心知识点
根据绝对值的意义，去掉绝对值符号后化为两个一元一次方程求解。
2.解题方法技巧
①把绝对值内的式子看成一个整体；
②由（）得或；
③分别求解并检验是否符合题意。
【例题9】.（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式题9-1】.（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：．
【变式题9-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：．
【变式题9-3】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．我们知道的几何意义是：在数轴上数的点到原点的距离，这个结论可以推广为的几何意义是：数轴上表示，的两点之间的距离．例如，在数轴上，点的位置如图所示，．同样道理，的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离；因为，所以的几何意义是数轴上表示的点与表示－1的点之间的距离．
【问题解决】
(1)的几何意义是_____；
(2)的几何意义是_____；
(3)当为_____时，；
(4)当为_____时，．
易错点
1、去分母时漏乘不含分母的项，或分子是多项式时去分母后未加括号。
2、去括号时漏乘括号内的项，或括号前是负数时未改变各项符号。
3、移项时忘记变号，或漏移某项。
4、合并同类项时系数算错，或漏掉符号。
5、系数化为1时分子、分母颠倒。
6、由一元一次方程概念求字母值时，忽略未知数系数不能为0的条件。
7、含参数方程中未讨论系数是否为0就两边同除。
重点
1、一元一次方程的概念及判断方法。
2、解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）。
3、由方程的解求参数。
4、整体换元、整数解等特殊方法的运用。
难点
1、含分母、含括号、含参数方程的正确求解。
2、两个方程解的关系求参数、错解问题。
3、整数解、绝对值方程、新定义等创新题型。
【对应练习题】
一、单选题
1．下列方程中属于一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（ ）
A．减去 B．减去 C．加上 D．加上
3．马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的数是（ ）
A．3 B．或9 C．9 D．3或
二、填空题
4．已知与互为相反数，则的值是________．
5．已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________．
6．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________．
三、解答题
7．解方程：
(1)；
(2)．
8．已知关于x的两个一元一次方程和的解互为相反数，求代数式的值．
9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”；
(2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值；
(3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________．
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