第4章 一元一次方程 单元复习（7大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册
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内容正文：
第4章 一元一次方程
知识点1：一元一次方程的概念
1.方程：含有未知数的等式叫做方程。
2.一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（）。
3.判断标准：含一个未知数；未知数最高次数为1；是整式方程；化简后未知数系数不为0。
知识点2：方程的解
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2.判断某数是否为方程的解：代入方程，看左右两边是否相等。
3.只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
知识点3：等式的基本性质
性质
内容
符号表示
性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
若，则
性质2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
若，则；若且，则
注意：等式两边同时除以的数不能为0，否则结果不一定成立。
知识点4：解一元一次方程的一般步骤
1.去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数（注意分子是多项式时要加括号）。
2.去括号：利用乘法分配律去括号，注意括号前是负号时各项变号。
3.移项：把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，移项要变号。
4.合并同类项：把方程化为（）的形式。
5.系数化为1：方程两边同除以未知数系数，得。
知识点5：解方程常用的数学思想
1.整体思想：把含未知数的某个式子看作一个整体，通过换元简化方程求解。
2.分类讨论：解含绝对值或定义新运算的方程时，按不同情况分类求解。
3.含字母系数方程：系数含有字母时，讨论系数是否为0，判断方程解的情况。
知识点6：列方程解决实际问题的一般步骤
1.审题：弄清题意，明确已知量、未知量及数量关系。
2.设元：设未知数，常设所求量为。
3.找等量关系：从题中找出表示数量关系的相等语句。
4.列方程：根据等量关系列出方程。
5.解方程：求未知数的值。
6.检验与作答：检验解是否符合实际意义，写出答案。
知识点7：常见实际问题中的等量关系
类型
等量关系
行程问题
路程=速度×时间；相遇问题：甲路程+乙路程=总路程；追及问题：追及路程=速度差×时间
销售问题
售价=进价×（1+利润率）；利润=售价−进价；售价=标价×折扣
工程问题
工作量=工作效率×时间；各部分工作量之和=总工作量1
配套问题
根据数量比例关系，各部件数量满足一定倍数
分段计费
按不同区间单价分别计算费用，再求和
数字/规律问题
根据规律建立代数式，列方程求序数或数值
【基础必考题型】
【题型1】一元一次方程的定义
1.核心知识点
一元一次方程的概念；判断标准；含参方程
2.解题方法技巧
① 逐一检查：一个未知数、最高次数为1、整式方程、系数不为0
② 含参数方程先看未知数最高次数是否为1，再保证未知数系数不为0
③ 化简后再判断，避免被含相同项混淆
【例题1】.（25-26七年级上·广东·阶段检测）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、中未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意；
B、中有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，符合题意；
D、中未知数为分母，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项．
【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意；
B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意．
【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，且的系数不为，据此列条件求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得．
【变式题1-3】.（25-26六年级下·上海·期末）已知关于的方程是一元一次方程，那么________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵原方程是关于的一元一次方程，
∴的次数满足，
解得．
【题型2】等式的基本性质
1.核心知识点
等式的性质1、2；等式变形
2.解题方法技巧
① 等式两边同加同减同乘同除（除数非0），结果仍相等
② 判断变形是否正确，检查是否同除以0或漏变号
③ 利用等式性质化简、比较大小、公式变形
【例题2】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）根据等式的基本性质，如果，那么下列变形中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A是等式两边同减5，C是等式两边同除以3，D是等式两边同乘，所得结果都是等式，变形正确．
B中由只能得到，不能得到，故B选项变形错误．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·四川绵阳·期中）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】解：A选项，若，则，变形错误．
B选项，当时，与无意义，变形错误．
C选项，若，则或，变形错误．
D选项，，即，即，时，，变形正确．
【变式题2-2】.（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，其中图 中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A．克 B．克 C．克 D．克
【答案】C
【分析】图(a)与(b)相加得5个图形共150克，故1个三角形+1个圆形克．进而求出一个圆克．1个三角形的重量是：克克克，由此即可解题．
【详解】合并信息
据图（a），可得：3个三角形+2个圆形=80克．
根据图（b），可得：2个三角形+3个圆形=70克．
∴(3个三角形个圆形）个三角形+3个圆形=80克+70克
即：5个三角形个圆形=150克．
∴1个三角形+1个圆形克克．
又∵2个三角形+3个圆形（2个三角形个圆形）个圆形=克．
∴60克个圆形克，
∴1个圆形的重量是：70克克=10克，
1个三角形的重量是：30克克=20克．
图（C）的左盘中有1个三角形和2个圆形．它们的总重量是：克克=40克．
【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意；
B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意；
C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意；
D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意．
【题型3】解一元一次方程
1.核心知识点
解方程的步骤；去分母、去括号、移项、合并、系数化为1
2.解题方法技巧
① 按"去分母→去括号→移项→合并→系数化为1"顺序求解
② 去分母时分子多项式要加括号，去括号注意变号
③ 移项要变号，养成检验的习惯
【例题3】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）
去分母（两边同乘 6），得；
去括号，得
合并同类项，得
移项，得
系数化为1，．
【变式题3-1】.（黑龙江大庆市肇源县联合协作NH2026-2027学年六年级上学期10月阶段检测数学试题）解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）求未知数x．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【变式题3-3】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）解方程．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
．
【题型4】根据解的关系求参数
1.核心知识点
方程解的关系；同解、互为相反数解；代入求参
2.解题方法技巧
① 先解已知方程，再由解的关系求未知参数
② 两方程解相同，先求出一个解代入另一个方程
③ 解互为相反数，则两解之和为0
【例题4】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解．
【答案】，第一个方程的解为，第二个方程的解为
【分析】先解出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于m的一元一次方程，即可得出m的值，进一步即可得出两个方程的解．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得．
又两个方程的解互为相反数，
，
两边同时乘得，，
，
，
，
当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为．
答：，第一个方程的解为，第二个方程的解为．
【变式题4-1】.（25-26六年级下·山东威海·期末）按要求解答问题：
(1)解方程：；
(2)若关于x的方程与的解之和为1，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）分别求出两个方程的解，再根据题意建立关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得；
（2）解：解方程
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
解方程得，
∵关于x的方程与的解之和为1，
∴，
解得．
【变式题4-2】.（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）；
(2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值；
(3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)，或
【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据定义进行判断即可；
（2）先解方程得到，再根据同解方程的定义得到方程的解为，则，解方程即可；
（3）分别求出方程与的解，再根据这两个方程是同解方程得到，再根据m，n都是正整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴方程与方程是同解方程；
（2）解：∵，
∴，
∵方程与关于x的方程是同解方程，
∴方程的解为，
∴，
∴；
（3）解：解方程得：，
解方程得：；
∵关于x的两个方程与是同解方程，
∴，
∴，
∵m，n都是正整数，
∴是正整数，
∴或，
当时，；
当时，．
【变式题4-3】.（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知关于的方程．
(1)若，求方程的解；
(2)若方程有无数个解，求，的值；
(3)若为正整数，时，求方程的整数解．
【答案】(1)
(2)，
(3)方程的整数解为或或
【分析】本题主要考查解一元一次方程：
（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且；
（3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数．
【详解】（1）解：等量代换，得
移项，得
合并同类项，得
因为，
所以
系数化为，得；
（2）解：将方程变形，得
因为方程有无数个解，
所以且．
解得，；
（3）解：将代入方程，得
移项，得
合并同类项，得
因为为正整数，方程的解为整数，
所以是的因数．
因为的因数为，，
当时，可得，则．
当时，可得 ，则．
当时，可得，则．
当时，可得，不符合为正整数，舍去．
综上所述，方程的整数解为或或．
【培优高频题型】
【题型5】整体思想解方程
1.核心知识点
整体思想；换元法；简化计算
2.解题方法技巧
① 把含未知数的相同式子看作一个整体，设辅助未知数
② 先解出整体，再代回求未知数
③ 适用于方程中反复出现同一式子的情形
【例题5】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可.
【详解】解：是关于的一元一次方程的解.
把代入方程得.
.
【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用整体思想解方程．
【答案】
【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可．
【详解】，
设，则原方程可变形为，
，
，
，
，
，
，
∴，
解得．
【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值．
【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为
将方程变形，把改写为，把改写为，
代入原方程得
两边同时加，得
对比关于的方程，
可得
∵
∴．
【变式题5-3】.（四川绵阳市游仙区2025-2026学年七年级下学期学情自测 数学试题）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 _______．
【答案】
【分析】利用整体换元的思想，将关于的方程中的看作关于的方程中的，结合已知方程的解建立等式求解即可．
【详解】∵关于的一元一次方程的解为，关于的一元一次方程为，
∴，
解得．
【题型6】传统文化与情境方程
1.核心知识点
古代数学问题；生活情境；列方程建模
2.解题方法技巧
① 从古代算书（《孙子算经》《九章算术》等）或生活情境中提取数量关系
② 设未知数，根据题意找等量关系列方程
③ 注意单位换算与题意理解
【例题6】.（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个．
【答案】36
【分析】根据两种分梨方式中，孩童人数固定不变，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设梨有个，
∵每人分4个梨多12个时，孩童人数可表示为，
∵每人分6个梨恰好分完时，孩童人数可表示为，
又∵孩童人数固定不变，
∴列方程得：，
解得：．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得94钱，则出租的田有________亩．
【答案】120
【分析】设出租田的亩数为未知数，根据三年总钱数的等量关系列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设出租的田有亩，
由题意得，，
方程两边同乘去分母得：，
合并同类项得：，
解得，
∴出租的田有120亩．
【变式题6-2】.（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程．
【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺，
∴ 绳长为尺．
∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺，
∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺．
∵ 绳长固定不变，
∴ ．
【变式题6-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．
(1)求丢番图去世时的年龄；
(2)尝试提出其他问题并列方程解决．
【答案】(1)
丢番图去世时的年龄为岁
(2)
丢番图结婚时的年龄是多少？岁
【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得
解得．
答：丟番图去世时的年龄是84岁．
（2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？
设丢番图结婚时的年龄是y，
则，
解得，
答丟番图结婚时的年龄是33岁．
【题型7】新定义与程序运算问题
1.核心知识点
定义新运算；程序流程；分类讨论
2.解题方法技巧
① 读懂新运算规则或程序框图，代入运算
② 已知输出求输入，倒推列方程；多分支程序分类讨论
③ 注意运算顺序与条件判断
【例题7】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是，则的值为________．
【答案】8
【分析】根据程序流程列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：由题意，得，
移项，得，即
解得．
【变式题7-1】.（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则_______．
【答案】
【分析】根据程序图分情况列出关于的方程求解．
【详解】解：当输入的为偶数时，
可得：，
解得：；
当输入的为奇数时，
可得：，
解得：（为偶数不符合题意，舍去）；
综上所述，．
【变式题7-2】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图是一个运算程序，一个有理数可以任意从，，三个位置出发，按照标注的要求运算．例如：将2按照的顺序进行运算，即．
(1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果；
(2)将一个数按照的顺序进行运算，得到运算结果为0，请求出这个数．
【答案】(1)解：根据题意，得．
(2)3
【分析】（1）根据运算程序列式计算即可；
（2）设这个数为x，根据运算程序列出方程，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设这个数为x，根据题意，得
，
解得，
答：这个数是3．
【变式题7-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期末）
信息1
若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如．
信息2
调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数．
【信息理解】
（1）填空：
①可表示为________；
②若，则________．
（2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理．
【迁移运用】
（3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验．
步骤1：小明写下一个两位数；
步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去；
步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由．
【答案】（1）①；②2；
（2）解：由信息1和信息2可知
能被9整除．
（3），理由如下：
将输入运算程序，得：
减去得：
而四位数可以表示为：．
所以
即
所以
即．
【分析】本题考查整式加减的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数字的表示方法，是解题的关键：
（1）①根据题意，列出代数式即可；②根据数字的表示方法，列出方程进行求解即可；
（2）根据数字的表示方法，进行整式的加减运算，求出结果后，进行判断即可；
（3）根据流程图和数字的表示方法进行计算即可．
【详解】解：（1）①可表示为
②∵，
∴，
解得：；
故答案为：2；
（2）略
（3）略
【压轴素养题型】
【题型8】解含绝对值的一元一次方程
1.核心知识点
绝对值的定义；分类讨论；绝对值方程
2.解题方法技巧
① 先分析绝对值内式子的正负情况，分区间讨论
② 在每个区间内去掉绝对值符号解方程，检验解是否落在该区间
③ 利用数轴理解绝对值方程的几何意义
【例题8】.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据绝对值的性质，分两种情况讨论，进一步解一元一次方程即可；
（2）根据绝对值的性质，分三种情况讨论，进一步解一元一次方程即可．
【详解】（1）解： ，
分两种情况讨论：
当时，原方程可化为：，
解得：，符合；
当时，原方程可化为：，
解得：，符合，
原方程的解为：或．
（2）解：
分三种情况讨论：
当时，原方程可化为：，
解得：，符合；
当时，原方程可化为：，
解得：，符合；
当时，原方程可化为：，
解得：，不符合，故舍去，
原方程的解为：或．
【变式题8-1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
（1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可；
（2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可．
【详解】（1）解：，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，或；
（2）解：，
当时，，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，或．
【变式题8-2】.（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）．
例：解绝对值方程：
解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是．
②当时，原方程可化为，它的解是．
∴原方程的解为和．
(1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是 ．
(2)问题（2）：尝试解绝对值方程：．
(3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：．
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【分析】（1）分和两种情况去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解．
（2）先将方程化简为，再分和两种情况去绝对值求解．
（3）先确定绝对值的零点和，分三种情况讨论去绝对值，转化为一元一次方程求解．
【详解】（1）解：分两种情况讨论：
①当时，原方程化为，
解得．
②当时，原方程化为，
解得．
原方程的解为或．
（2）解：原方程可化为．分两种情况讨论：
①当，即时，方程化为，
解得．
②当，即时，方程化为，
解得．
原方程的解为或．
（3）解：分三种情况讨论：
①当时，，，原方程化为，
解得．
②当时，，，原方程化为，
整理得，等式不成立，方程无解．
③当时，，，原方程化为，
解得．
综上所述，原方程的解为或．
【变式题8-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：
表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．归纳：一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．
(1)数轴上表示和3的两点之间的距离是 ，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为 ．
(2)若，则 ；若，则 ；
(3)表示数轴上有理数x的点到和1两点的距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得．请直接写出所有答案 ．
【答案】(1)，
(2)或，；
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式求解和表示即可；
（2）由题意得到或，求出或；由得到
，求出
（3）画出数轴，得出符合条件的整数为．
【详解】（1）解：数轴上表示和3的两点之间的距离是；
数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为；
（2）解：，
或，
或；
，
，
当时，该方程无解，
当时，解方程得
（3）
解：
由数轴可知当时，，
故符合条件的整数为．
【题型9】一元一次方程的实际应用
1.核心知识点
列方程解应用题；行程、销售、工程问题
2.解题方法技巧
① 审题找等量关系，设未知数列方程
② 分清各量的关系（路程、速度、时间；进价、售价、利润等）
③ 解方程后检验是否符合实际意义
【例题9】.（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元．
(1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？
(2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？
【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元．
(2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱．
【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解．
（2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案．
【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元．
由题意得 ，
解得 ，
∴运动鞋单价为 （元）．
（2）解：计算甲商场最低花费：
∵甲商场每满元返元购物券，
∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券．
∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）．
用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）．
∴甲商场总花费为 （元）．
∵ ，
∴ 甲商场可选择；
计算乙商场花费：
∵乙商场全场八折，
∴乙商场总花费为 （元）．
∵ ，
∴ 乙商场可选择；
∵ ，
∴ 乙商场更省钱．
综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱．
【变式题9-1】.（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败．
(1)设这支球队胜了x场比赛．
① 根据信息填表（用含有x的式子表示）；
场次（场）
每场得分（分）
积分（分）
胜
3
平
1
②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数；
(2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．）
【答案】(1)①
场次（场）
每场得分（分）
积分（分）
胜
3
平
1
②，胜6场，平3场
(2)解：设这支球队胜场，则平场，
由题意得，
解得，
因为场数不是整数，故不符合题意，
所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分．
【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可；
②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解；
（2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断．
【详解】（1）解：①略
②由题意得，
解得，
∴
所以胜6场，平3场；
（2）略
【变式题9-2】.（25-26七年级上·广东广州·期中）将连续的奇数，，，，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．
(1)数表中从小到大排列的第9个数是，第个数是_______，第个数是_______，第个数是_______；
(2)数排在数表中的第_______行，从左往右数第_______个数；
(3)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于、吗？如果能，请写出框中数字的值．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)和为不能，和为可以，框中的数字分别是，，，
【分析】（１）找规律，先找到每个数与其位置之间的关系，再代入计算即可；
（２）先根据（1）的结论确定是第几个数，因为数表每行有个数，所以用该数的序号除以，根据商和余数判断所在行与列的位置；
（３）设T字框中某一位置的数为未知数，根据T字框内数的排列规律表示出其余三个数，推导四个数的和的表达式；如果和分别等于、，那么列方程求解未知数，再验证未知数是否符合数表规律以及T字框的位置要求．
【详解】（1）解：第1个奇数是，第2个奇数是，以此类推，第个奇数的表达式为，代入计算：第个数是，第个数是；
（2） 是奇数，令，解得，即是第个奇数； 观察数表可知每行固定排列5个奇数，，说明前行已经排完个奇数，第个奇数是第行的第个数，因此在第行从左往右第个位置；
（3） 设T字框第二行单独的数为，根据数表相邻数的规律：左右相邻数差，上下相邻数差，可得框住的另外三个数分别为、、， 四个数的和为：；
若和为：令，解得，是第个奇数，，说明在第行的最右侧（第列），无法满足T字框“上排个数、下排个数在中间数正下方”的排列要求，因此和不能等于；
若和为：令，解得，是第个奇数，，说明在第行第列，符合T字框下排单独数的位置要求，对应的四个数为、、，即、、、．
【变式题9-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题：
(1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？
(2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？
【答案】(1)需4000千克小麦
(2)参加书画社的有32人
【分析】（1）设需千克的小麦，根据小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，可列方程，解答即可；
（2）设参加书画社的有人，则参加文学社的有人，根据七年级一班有44人，两个社都参加的有16人，可列方程，解答即可．
【详解】（1）解：设需千克的小麦，
根据题意得：，
解得：，
∴需4000千克小麦．
（2）解：设参加书画社的有人，则参加文学社的有人，
根据题意得：，
解得：，
∴参加书画社的有32人．
【题型10】分段计费与方案选择问题
1.核心知识点
分段计费；方案比较；列方程求临界值
2.解题方法技巧
① 明确各区间单价，分段计算费用再求和
② 已知总费用反求用量，需判断落在哪个区间
③ 方案选择问题列出各方案费用，比较大小
【例题10】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：
收费方式
年用水量/
单价（元/）
第一阶梯
0~180
4.5
第二阶梯
181~240
6
第三阶梯
240以上
8
(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；
(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．
【答案】(1)810；1170
(2)
【分析】（1）根据收费标准计算即可；
（2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元），
乙户居民的水费为（元）．
（2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元．
由于810元元元，
所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足．
设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得
，
解得，
答：丙户居民2025年的用水量为．
【变式题10-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下．
每户居民用电量的范围
电费价格（单位：元/度）
不超过150度的部分
0.6
超过150度，但不超过300度的部分
超过300度的部分
5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元．
(1)表中 ； ．
(2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？
【答案】(1)；
(2)李老师家5月份用电度
【详解】（1）解：根据题意得
（元），
；
（元/度），
；
（2）解：设李老师家5月份用电度，
（元/度），
，
，
列方程得，
解得，
答：李老师家5月份用电度．
【变式题10-2】.（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下：
A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元；
B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费．
(1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明；
(2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？
【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少，
理由： （元），
（元），
（元），
，
所以在A票务中心购票实际付款更少；
(2)这张飞机票原价是700元．
【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即；
（2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：设飞机票原价是元，
根据题意，得，
解得，
答：这张飞机票原价是700元．
【变式题10-3】.（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台．
(1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元
(2)10台
【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买台时，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元，
当时，
方案一：，
方案二：，
∵，
当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元；
（2）解：①若时：
方案一：；方案二：；
此时不相等；
②若时：
方案一：；方案二：
令 解得
答：该公司买了10台．
【题型11】定义新概念与探究型方程
1.核心知识点
新定义（相似方程、相伴方程等）；探究规律；分类讨论
2.解题方法技巧
① 读懂新定义，将新概念转化为方程求解
② 判断"相似""相伴"等关系，先解方程再比较解
③ 探究型问题从特殊到一般，注意多解与整数解要求
【例题11】.（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，，2进行“运算”，得．下列说法正确的是______．
①对，0，2025进行“运算”结果是0；②对，，进行“运算”的结果是8，则或；③对，，，，，，进行“运算”，当其结果取最小时对应的范围是．
【答案】②③/③②
【分析】①根据“Q运算”的运算方法进行运算，根据计算结果判定；②首先根据“Q运算”的运算方法进行运算，然后根据绝对值的几何意义求解；③根据绝对值的几何意义求解．
【详解】解：①根据题意得，，故①错误；
②根据题意得，
∴，
当时，则，
解得；
当时，则，此时方程无解，不符合题意；
当时，则，解得；
综上所述，或，故②正确；
③根据题意得，表示数轴上q到4，5…19的距离之和
∵4和19中间的两个数为11和12
∴当其结果取最小时对应的范围是，
∵对，，，，，，进行“运算”的结果为（其中C为对，，，，，进行“运算”的结果），且C为常数，
∴当最小时，有最小值，故③正确．
综上所述，说法正确的是②③．
【变式题11-1】.（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）定义：若有理数、使得等式成立，则称数对为“完美有理数对”，．例如：因为，所以数对和都是“完美有理数对”．
(1)数对和中的“完美有理数对”是______；
(2)若是“完美有理数对”，求的值；
(3)若是“完美有理数对”，判定是不是“完美有理数对”，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)解：不是，理由如下：
是“完美有理数对”，
∴，
∴，，
假设是“完美有理数对”，
则，即，
∴，，
∴，
∴，即，这与不符，
∴假设不成立，即不是“完美有理数对”．
【分析】（1）根据“完美有理数对”的定义列式计算进行判断即可；
（2）根据“完美有理数对”的定义建立方程，解方程即可；
（3）根据“完美有理数对”的定义可得，再计算和，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴不是“完美有理数对”；
∵，，
∴，
∴是“完美有理数对”．
（2）解：∵是“完美有理数对”，
∴，
解得．
（3）略．
【变式题11-2】.（26-27七年级上·安徽·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足 （为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
(1)若与是“差解方程”，则______；
(2)若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______．
【答案】(1)4
(2)或
【分析】（1）求出两个方程的解，再根据定义解答即可．
（2）求出两个方程的解，再根据定义解答即可．
【详解】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵与是“差解方程”，
∴，
∴．
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程与方程是“差解方程”，
∴，
即，
解得或．
【变式题11-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式．
根据上述知识，解答以下问题：
(1)是的 阶关系式；
(2)若是的3阶关系式，求x 的值；
(3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数；
（2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值；
（3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值．
【详解】（1）解：∵，
∴是的7阶关系式；
（2）解：根据题意，得 ，
去分母，得，
整理，得，
解得 ；
（3）解： 由题意得：，
整理得：，
∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且，
∴含a，b的项的系数均为0，即且，
解得，
将，代入，得，
综上所述，．
【题型12】数轴上的动点问题
1.核心知识点
数轴上的距离；动点；列方程求位置
2.解题方法技巧
① 用含时间的式子表示动点位置，求两点距离
② 根据距离关系列方程，解出运动时间或位置
③ 结合绝对值的几何意义与分类讨论
【例题12】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，且点，表示的数互为相反数．
(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是________；
(2)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，求点表示的数为多少；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，求点表示的数为多少．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据点，表示的数互为相反数，且两点间距离为个单位长度，可确定原点 位于 中点及点，表示的数．
（2）根据点与点的距离为个单位长度，可以在数轴上直接确定点位置，然后确定点表示的数即可．
（3）根据点到点的距离等于点到点的距离的倍，列出方程，分类讨论解方程即可．
【详解】（1）解：点，表示的数互为相反数，且两点间距离为个单位长度，
∴原点 位于 中点，即点 右侧个单位处，如图，
∴点所表示的数是．
（2）解：根据题意，点与点的距离为个单位长度，如图，
由（1）可知点所表示的数是，
∴点所表示的数是或．
（3）解：设点表示的数为，由（1）可知点，表示的数为，，
依题意有：，
当时，原方程化简为，
，
，
．
当时，原方程化简为，
，
，
．
当时，原方程化简为，
，
，
，
∵，
∴不符合题意，舍去．
∴点表示的数为或．
【变式题12-1】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向原点O运动；同时点N以每秒2个单位长度的速度从原点O出发，在线段上做来回运动（即沿运动），当点M运动到点O时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为s．
(1)当时，求线段的长（即点M到点N的距离）；
(2)求点N在第一趟往返中，t为何值时，点O为线段的中点（即点O在线段上且到点M、N距离相等）；
(3)若点P是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)线段的长为
(2)当时，点为线段的中点
(3)存在满足条件的时间段；当时，的长度为；当时，的长度为
【分析】（1）先确定时点、对应的数，利用数轴上两点距离公式计算的长度；
（2）分点沿、两个阶段，根据中点的等量关系列方程求解；
（3）分阶段表示出点对应的数，通过计算的长度判断是否为定值．
【详解】（1）解：当时，点对应的数为，点对应的数为，则；
（2）解：点在第一趟往返中，即，
根据题意得点对应的数为，，
①当时，点对应的数为，根据点O为线段的中点可得，解得，符合取值范围；
②当时，点对应的数为，根据点O为线段的中点可得，解得，不符合，舍去；
综上所述，当时，点为线段的中点；
（3）解：根据题意得点对应的数为，
①当时，点对应的数为，根据点P是线段的中点得到点对应的数为，此时，长度保持不变；
②当时，点对应的数为，根据点P是线段的中点得到点对应的数为，此时，随的变化而变化；
③当时，点对应的数为，根据点P是线段的中点得到点对应的数为，此时，长度保持不变；
综上所述，存在满足条件的时间段，当时，的长度为；当时，的长度为．
【变式题12-2】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，数轴上有A、B两点．请回答下列问题：
(1)点A表示的数是__________，点B表示的数是__________；
(2)A、B两点之间的距离__________；
(3)数轴上到点A的距离等于5的点表示的数是__________；
(4)将数轴折叠，使得点A与点B重合，则折痕与数轴的交点（折点）表示的数是__________，此时，数轴上表示数的点与表示数__________的点重合；
(5)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，运动时间为t秒．
①当时，点P表示的数是__________；
②当点P与原点O重合时，求t的值．
(6)点M是数轴上的一个动点，它到点A的距离与到点B的距离之和等于20，即．直接写出点M表示的数．
【答案】(1)；
(2)14
(3)或
(4)；
(5)①；②
(6)或
【分析】（1）根据图形观察即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据两点之间的距离公式计算即可；
（4）根据折痕与数轴的交点（折点）是两个数的中点，再计算即可；
（5）①运动时间为t秒时，点P表示的数为：，把代入计算即可；
②根据点P与原点O重合列方程计算即可；
（6）根据，得到点M在点的左侧或在点的右侧，设点M表示的数是，根据得到，再据此计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，点A表示的数是，点B表示的数是；
（2）解：A、B两点之间的距离；
（3）解：数轴上到点A的距离等于5的点表示的数是，或；
（4）解：折痕与数轴的交点（折点）表示的数是，
，，
∴此时，数轴上表示数的点与表示数的点重合；
（5）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为：，
①当时，点P表示的数是；
②当点P与原点O重合时，，
解得；
（6）解：∵，
∴点M在点的左侧或在点的右侧，
设点M表示的数是，
∵，
∴，即，
当点M在点的左侧时，，
解得；
当点M在点的右侧时，，
解得；
综上所述，点M表示的数是或．
【变式题12-3】.（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）阅读理解：如图①，若线段在数轴上，、两点表示的数分别为和，则线段的长（点到点的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)请你在图②的数轴上表示出、两点的位置；
(2)若、两点分别从第（1）问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为（秒），当为多少时，？
【答案】(1)、两点的位置如图所示：
(2)当或时，
【分析】（1）利用数轴“左减右加”，算出、对应的数，在数轴上描点；
（2）用含的代数式表示动点位置，根据数轴两点距离列绝对值方程，分两种情况求解．
【详解】（1）解：∵用1个单位长度表示，
∴从数轴的原点开始，向左移动到达点，则点所表示的数为：，
从点向右移动到达点，则点所表示的数为：，
、两点的位置略；
（2）解：由题意得，运动时间为（秒）后点和点所表示的数分别为和，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴当或时，．
易错点
1. 去分母时漏乘不含分母的项，或分子是多项式时未加括号。
2. 去括号时，括号前是负号未将括号内各项变号。
3. 移项时忘记变号，导致方程解错误。
4. 等式两边同时除以0，或除以含字母的式子未讨论其为0的情况。
5. 实际问题中设未知数或找等量关系不当，未检验解是否符合实际。
重点
1. 一元一次方程的定义与判断。
2. 等式的性质及解一元一次方程的步骤。
3. 根据解的关系求参数，整体思想解方程。
4. 列一元一次方程解决行程、销售、工程等实际问题。
5. 分段计费、方案选择、传统文化等情境应用。
难点
1. 含绝对值、含字母系数方程的解法与分类讨论。
2. 利用方程解决图形、数列规律问题。
3. 数轴上的动点问题与综合应用。
4. 新定义、探究型方程问题的建模求解。
【对应练习题】
一、单选题
1．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解，
∴，
∴．
2．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项B的方程含两个未知数，
选项C的方程是分式方程，
选项D的方程中未知数最高次数为2，均不符合一元一次方程的要求；
只有选项A的符合要求．
3．解下列方程时，合并同类项正确的是（ ）
A．，合并同类项，得
B．，合并同类项，得
C．，合并同类项，得
D．，合并同类项，得
【答案】B
【详解】解：A选项：，合并得，错误．
B选项：左边，右边，合并得，正确．
C选项：，合并得，错误．
D选项：左边，右边，合并得，错误．
二、填空题
4．若是关于的方程的解，则的值为__________．
【答案】
【分析】把代入，解关于的一元一次方程，求出的值即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，即，
移项得，，
解得．
5．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．
（1）______；
（2）若，则整数的值为______．
【答案】 或
【分析】根据绝对值的几何意义，计算数轴上两点的距离即可；
分情况讨论的取值范围，求解方程得到整数的值．
【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示的点与表示的点的距离，
∴；
当时，，
令，解得；
当时，，无解；
当时，，
令，解得．
所以整数的值为或．
6．根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值x为________．
【答案】2或
【分析】分和两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴或．
三、解答题
7．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
8．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材．
(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？
【答案】(1)用木材制作桌面，木材制作桌腿
(2)每张餐桌的标价为800元
【分析】（1）设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿．根据“木材可制作15个桌面，或者制作300条桌腿”建立方程求出其解即可；
（2）可设每张餐桌的标价是y元，根据全部出售后总获利31500元，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿．
根据题意得：，
解得：，
则．
答：用15立方米做桌面，用3立方米做桌腿才能使制作的桌面和桌腿配套．
（2）解：（张），
设每张餐桌的标价是y元，
根据题意得：，
解得：．
故每张餐桌的标价是800元．
9．【定义】
如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”．
例如：方程的解为，方程的解为，
所以与互为“相反方程”．
【应用】
(1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值；
(2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________．
【答案】(1)15
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值；
（2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解．
【详解】（1）解：方程的解为：，
∵与互为“相反方程”，
∴方程的解为：，
∴，解得．
（2）解：方程的解为：，
方程的解为：，
∵与互为“相反方程”，
∴，
化简得：，
∴．
10．【方法感悟】
阅读材料：点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离表示为，如图1，从数轴上看，若点，表示的数分别是，，则或．
【归纳】
若点，表示的数分别是，，则或．
【知识迁移】
(1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则________；
(2)如图2，点，表示的数分别是，，若把向左平移个单位长度，则点与数重合，若把向右平移个单位长度，则点与重合，________，________；
(3)【拓展应用】一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是岁了！”请你利用（2）的方法，求出小明和爷爷的年龄．
【答案】(1)或
(2)，
(3)小明岁，爷爷岁
【分析】（1）根据最大的负整数是，结合，得到解答即可；
（2）设，首先求得，再根据平移，两点间的距离，列式解答即可；
（3）小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁，他们的年龄差为岁，根据（2）的计算方法，解答即可．
【详解】（1）解：最大的负整数是，
点表示的数是，
，点表示的数为，
，
或，
解得或．
（2）解：设，根据题意，得，
解得，
根据题意，得，，
解得，．
（3）解：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁，他们的年龄差为岁，
将年龄差向左平移，对应的点表示的数为；将年龄差向右平移，对应的点表示的数为；
根据题意，得，
解得，
根据题意，得，，
解得，．
故小明的岁，爷爷岁．
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第4章 一元一次方程
知识点1：一元一次方程的概念
1.方程：含有未知数的等式叫做方程。
2.一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（）。
3.判断标准：含一个未知数；未知数最高次数为1；是整式方程；化简后未知数系数不为0。
知识点2：方程的解
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2.判断某数是否为方程的解：代入方程，看左右两边是否相等。
3.只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
知识点3：等式的基本性质
性质
内容
符号表示
性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
若，则
性质2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
若，则；若且，则
注意：等式两边同时除以的数不能为0，否则结果不一定成立。
知识点4：解一元一次方程的一般步骤
1.去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数（注意分子是多项式时要加括号）。
2.去括号：利用乘法分配律去括号，注意括号前是负号时各项变号。
3.移项：把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，移项要变号。
4.合并同类项：把方程化为（）的形式。
5.系数化为1：方程两边同除以未知数系数，得。
知识点5：解方程常用的数学思想
1.整体思想：把含未知数的某个式子看作一个整体，通过换元简化方程求解。
2.分类讨论：解含绝对值或定义新运算的方程时，按不同情况分类求解。
3.含字母系数方程：系数含有字母时，讨论系数是否为0，判断方程解的情况。
知识点6：列方程解决实际问题的一般步骤
1.审题：弄清题意，明确已知量、未知量及数量关系。
2.设元：设未知数，常设所求量为。
3.找等量关系：从题中找出表示数量关系的相等语句。
4.列方程：根据等量关系列出方程。
5.解方程：求未知数的值。
6.检验与作答：检验解是否符合实际意义，写出答案。
知识点7：常见实际问题中的等量关系
类型
等量关系
行程问题
路程=速度×时间；相遇问题：甲路程+乙路程=总路程；追及问题：追及路程=速度差×时间
销售问题
售价=进价×（1+利润率）；利润=售价−进价；售价=标价×折扣
工程问题
工作量=工作效率×时间；各部分工作量之和=总工作量1
配套问题
根据数量比例关系，各部件数量满足一定倍数
分段计费
按不同区间单价分别计算费用，再求和
数字/规律问题
根据规律建立代数式，列方程求序数或数值
【基础必考题型】
【题型1】一元一次方程的定义
1.核心知识点
一元一次方程的概念；判断标准；含参方程
2.解题方法技巧
① 逐一检查：一个未知数、最高次数为1、整式方程、系数不为0
② 含参数方程先看未知数最高次数是否为1，再保证未知数系数不为0
③ 化简后再判断，避免被含相同项混淆
【例题1】.（25-26七年级上·广东·阶段检测）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-1】.（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________．
【变式题1-3】.（25-26六年级下·上海·期末）已知关于的方程是一元一次方程，那么________．
【题型2】等式的基本性质
1.核心知识点
等式的性质1、2；等式变形
2.解题方法技巧
① 等式两边同加同减同乘同除（除数非0），结果仍相等
② 判断变形是否正确，检查是否同除以0或漏变号
③ 利用等式性质化简、比较大小、公式变形
【例题2】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）根据等式的基本性质，如果，那么下列变形中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·四川绵阳·期中）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．若，则 D．若，则
【变式题2-2】.（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，其中图 中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ）
A．克 B．克 C．克 D．克
【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·单元复习）利用等式的性质，下列变形不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【题型3】解一元一次方程
1.核心知识点
解方程的步骤；去分母、去括号、移项、合并、系数化为1
2.解题方法技巧
① 按"去分母→去括号→移项→合并→系数化为1"顺序求解
② 去分母时分子多项式要加括号，去括号注意变号
③ 移项要变号，养成检验的习惯
【例题3】.（26-27七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式题3-1】.（黑龙江大庆市肇源县联合协作NH2026-2027学年六年级上学期10月阶段检测数学试题）解方程．
(1)
(2)
【变式题3-2】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）求未知数x．
(1)
(2)
(3)
【变式题3-3】.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）解方程．
(1)
(2)
(3)
【题型4】根据解的关系求参数
1.核心知识点
方程解的关系；同解、互为相反数解；代入求参
2.解题方法技巧
① 先解已知方程，再由解的关系求未知参数
② 两方程解相同，先求出一个解代入另一个方程
③ 解互为相反数，则两解之和为0
【例题4】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解．
【变式题4-1】.（25-26六年级下·山东威海·期末）按要求解答问题：
(1)解方程：；
(2)若关于x的方程与的解之和为1，求m的值．
【变式题4-2】.（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．
(1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）；
(2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值；
(3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值．
【变式题4-3】.（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知关于的方程．
(1)若，求方程的解；
(2)若方程有无数个解，求，的值；
(3)若为正整数，时，求方程的整数解．
【培优高频题型】
【题型5】整体思想解方程
1.核心知识点
整体思想；换元法；简化计算
2.解题方法技巧
① 把含未知数的相同式子看作一个整体，设辅助未知数
② 先解出整体，再代回求未知数
③ 适用于方程中反复出现同一式子的情形
【例题5】.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ）.
A． B． C． D．
【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用整体思想解方程．
【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式题5-3】.（四川绵阳市游仙区2025-2026学年七年级下学期学情自测 数学试题）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 _______．
【题型6】传统文化与情境方程
1.核心知识点
古代数学问题；生活情境；列方程建模
2.解题方法技巧
① 从古代算书（《孙子算经》《九章算术》等）或生活情境中提取数量关系
② 设未知数，根据题意找等量关系列方程
③ 注意单位换算与题意理解
【例题6】.（26-27七年级上·全国·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“给在庭院玩耍的孩童们分梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．不知有多少孩童和多少梨？”则梨有________个．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得94钱，则出租的田有________亩．
【变式题6-2】.（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式题6-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．
(1)求丢番图去世时的年龄；
(2)尝试提出其他问题并列方程解决．
【题型7】新定义与程序运算问题
1.核心知识点
定义新运算；程序流程；分类讨论
2.解题方法技巧
① 读懂新运算规则或程序框图，代入运算
② 已知输出求输入，倒推列方程；多分支程序分类讨论
③ 注意运算顺序与条件判断
【例题7】.（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是，则的值为________．
【变式题7-1】.（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则_______．
【变式题7-2】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图是一个运算程序，一个有理数可以任意从，，三个位置出发，按照标注的要求运算．例如：将2按照的顺序进行运算，即．
(1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果；
(2)将一个数按照的顺序进行运算，得到运算结果为0，请求出这个数．
【变式题7-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期末）
信息1
若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如．
信息2
调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数．
【信息理解】
（1）填空：
①可表示为________；
②若，则________．
（2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理．
【迁移运用】
（3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验．
步骤1：小明写下一个两位数；
步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去；
步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由．
【压轴素养题型】
【题型8】解含绝对值的一元一次方程
1.核心知识点
绝对值的定义；分类讨论；绝对值方程
2.解题方法技巧
① 先分析绝对值内式子的正负情况，分区间讨论
② 在每个区间内去掉绝对值符号解方程，检验解是否落在该区间
③ 利用数轴理解绝对值方程的几何意义
【例题8】.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)．
(2)．
【变式题8-1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)；
(2)．
【变式题8-2】.（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）．
例：解绝对值方程：
解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是．
②当时，原方程可化为，它的解是．
∴原方程的解为和．
(1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是 ．
(2)问题（2）：尝试解绝对值方程：．
(3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：．
【变式题8-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：
表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．归纳：一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．
(1)数轴上表示和3的两点之间的距离是 ，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为 ．
(2)若，则 ；若，则 ；
(3)表示数轴上有理数x的点到和1两点的距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得．请直接写出所有答案 ．
【题型9】一元一次方程的实际应用
1.核心知识点
列方程解应用题；行程、销售、工程问题
2.解题方法技巧
① 审题找等量关系，设未知数列方程
② 分清各量的关系（路程、速度、时间；进价、售价、利润等）
③ 解方程后检验是否符合实际意义
【例题9】.（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元．
(1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？
(2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？
【变式题9-1】.（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败．
(1)设这支球队胜了x场比赛．
① 根据信息填表（用含有x的式子表示）；
场次（场）
每场得分（分）
积分（分）
胜
3
平
1
②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数；
(2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．）
场次（场）
每场得分（分）
积分（分）
胜
3
平
1
【变式题9-2】.（25-26七年级上·广东广州·期中）将连续的奇数，，，，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．
(1)数表中从小到大排列的第9个数是，第个数是_______，第个数是_______，第个数是_______；
(2)数排在数表中的第_______行，从左往右数第_______个数；
(3)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于、吗？如果能，请写出框中数字的值．
【变式题9-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题：
(1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？
(2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？
【题型10】分段计费与方案选择问题
1.核心知识点
分段计费；方案比较；列方程求临界值
2.解题方法技巧
① 明确各区间单价，分段计算费用再求和
② 已知总费用反求用量，需判断落在哪个区间
③ 方案选择问题列出各方案费用，比较大小
【例题10】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）：
收费方式
年用水量/
单价（元/）
第一阶梯
0~180
4.5
第二阶梯
181~240
6
第三阶梯
240以上
8
(1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元；
(2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量．
【变式题10-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下．
每户居民用电量的范围
电费价格（单位：元/度）
不超过150度的部分
0.6
超过150度，但不超过300度的部分
超过300度的部分
5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元．
(1)表中 ； ．
(2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？
【变式题10-2】.（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下：
A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元；
B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费．
(1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明；
(2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？
【变式题10-3】.（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台．
(1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【题型11】定义新概念与探究型方程
1.核心知识点
新定义（相似方程、相伴方程等）；探究规律；分类讨论
2.解题方法技巧
① 读懂新定义，将新概念转化为方程求解
② 判断"相似""相伴"等关系，先解方程再比较解
③ 探究型问题从特殊到一般，注意多解与整数解要求
【例题11】.（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，，2进行“运算”，得．下列说法正确的是______．
①对，0，2025进行“运算”结果是0；②对，，进行“运算”的结果是8，则或；③对，，，，，，进行“运算”，当其结果取最小时对应的范围是．
【变式题11-1】.（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）定义：若有理数、使得等式成立，则称数对为“完美有理数对”，．例如：因为，所以数对和都是“完美有理数对”．
(1)数对和中的“完美有理数对”是______；
(2)若是“完美有理数对”，求的值；
(3)若是“完美有理数对”，判定是不是“完美有理数对”，并说明理由．
【变式题11-2】.（26-27七年级上·安徽·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足 （为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
(1)若与是“差解方程”，则______；
(2)若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______．
【变式题11-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式．
根据上述知识，解答以下问题：
(1)是的 阶关系式；
(2)若是的3阶关系式，求x 的值；
(3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值．
【题型12】数轴上的动点问题
1.核心知识点
数轴上的距离；动点；列方程求位置
2.解题方法技巧
① 用含时间的式子表示动点位置，求两点距离
② 根据距离关系列方程，解出运动时间或位置
③ 结合绝对值的几何意义与分类讨论
【例题12】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，且点，表示的数互为相反数．
(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是________；
(2)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，求点表示的数为多少；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，求点表示的数为多少．
【变式题12-1】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向原点O运动；同时点N以每秒2个单位长度的速度从原点O出发，在线段上做来回运动（即沿运动），当点M运动到点O时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为s．
(1)当时，求线段的长（即点M到点N的距离）；
(2)求点N在第一趟往返中，t为何值时，点O为线段的中点（即点O在线段上且到点M、N距离相等）；
(3)若点P是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由．
【变式题12-2】.（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，数轴上有A、B两点．请回答下列问题：
(1)点A表示的数是__________，点B表示的数是__________；
(2)A、B两点之间的距离__________；
(3)数轴上到点A的距离等于5的点表示的数是__________；
(4)将数轴折叠，使得点A与点B重合，则折痕与数轴的交点（折点）表示的数是__________，此时，数轴上表示数的点与表示数__________的点重合；
(5)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，运动时间为t秒．
①当时，点P表示的数是__________；
②当点P与原点O重合时，求t的值．
(6)点M是数轴上的一个动点，它到点A的距离与到点B的距离之和等于20，即．直接写出点M表示的数．
【变式题12-3】.（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）阅读理解：如图①，若线段在数轴上，、两点表示的数分别为和，则线段的长（点到点的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)请你在图②的数轴上表示出、两点的位置；
(2)若、两点分别从第（1）问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为（秒），当为多少时，？
易错点
1. 去分母时漏乘不含分母的项，或分子是多项式时未加括号。
2. 去括号时，括号前是负号未将括号内各项变号。
3. 移项时忘记变号，导致方程解错误。
4. 等式两边同时除以0，或除以含字母的式子未讨论其为0的情况。
5. 实际问题中设未知数或找等量关系不当，未检验解是否符合实际。
重点
1. 一元一次方程的定义与判断。
2. 等式的性质及解一元一次方程的步骤。
3. 根据解的关系求参数，整体思想解方程。
4. 列一元一次方程解决行程、销售、工程等实际问题。
5. 分段计费、方案选择、传统文化等情境应用。
难点
1. 含绝对值、含字母系数方程的解法与分类讨论。
2. 利用方程解决图形、数列规律问题。
3. 数轴上的动点问题与综合应用。
4. 新定义、探究型方程问题的建模求解。
【对应练习题】
一、单选题
1．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．解下列方程时，合并同类项正确的是（ ）
A．，合并同类项，得
B．，合并同类项，得
C．，合并同类项，得
D．，合并同类项，得
二、填空题
4．若是关于的方程的解，则的值为__________．
5．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．
（1）______；
（2）若，则整数的值为______．
6．根据如图所示的计算程序，若输出的值为，则输入的值x为________．
三、解答题
7．解方程：
(1)；
(2)．
8．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材．
(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？
9．【定义】
如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”．
例如：方程的解为，方程的解为，
所以与互为“相反方程”．
【应用】
(1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值；
(2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________．
10．【方法感悟】
阅读材料：点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离表示为，如图1，从数轴上看，若点，表示的数分别是，，则或．
【归纳】
若点，表示的数分别是，，则或．
【知识迁移】
(1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则________；
(2)如图2，点，表示的数分别是，，若把向左平移个单位长度，则点与数重合，若把向右平移个单位长度，则点与重合，________，________；
(3)【拓展应用】一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是岁了！”请你利用（2）的方法，求出小明和爷爷的年龄．
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