第13章 三角形中的边角关系、命题与证明基础过关卷 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第 13 章　三角形中的边角关系、命题与证明　基础过关卷 2026-2027 学年沪科版八年级数学上册 满分 120 分　　建议用时 60 分钟　　考查范围：第 13 章 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ （本卷逐题附参考答案与解析，供讲评与自查使用） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础巩固】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列长度的三条线段能首尾顺次相接组成三角形的是（　　） A．1，2，4　　　B．2，3，5　　　C．2，3，4　　　D．3，4，8 【答案】C 【解析】A 中 1 + 2 < 4，B 中 2 + 3 = 5，D 中 3 + 4 < 8，都不能组成三角形；C 中任意两边之和都大于第三边，能组成三角形。 2．若一个三角形的两边长分别为 5 和 9，则第三边长 x 的取值范围是（　　） A．4 < x < 14　　　B．4 < x < 9　　　C．5 < x < 14　　　D．5 < x < 9 【答案】A 【解析】由三边关系得 9 − 5 < x < 9 + 5，即 4 < x < 14。 3．下列命题中，是真命题的是（　　） A．三角形的内角和等于 360° B．三角形的一个外角等于与它相邻的内角 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】C 【解析】三角形的内角和等于 180°，A 错误；外角与相邻内角互补，一般不相等，B 错误；钝角三角形的两条高在外部，D 错误；C 正确。 4．若一个三角形三个内角的度数之比为 2∶3∶4，则这个三角形中最大的内角是（　　） A．40°　　　B．60°　　　C．80°　　　D．100° 【答案】C 【解析】设三个内角分别为 2k、3k、4k，由 9k = 180° 得 k = 20°，最大内角为 4k = 80°。 5．如图，AD 是 △ABC 的中线，若 △ABC 的面积为 12，则 △ABD 的面积为（　　） A．3　　　B．4　　　C．6　　　D．8 【答案】C 【解析】因为 AD 是中线，所以 BD = CD，△ABD 与 △ACD 等底同高，面积相等， 所以 S△ABD = S△ABC = ×12 = 6。 6．如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 80°，AD⊥BC 于点 D，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E，则 ∠DAE 的度数为（　　） A．10°　　　B．15°　　　C．20°　　　D．25° 【答案】B 【解析】∠BAC = 180° − 50° − 80° = 50°，因为 AE 平分 ∠BAC，所以 ∠BAE = 25°。 在 Rt△ABD 中，∠BAD = 90° − ∠B = 90° − 50° = 40°， 所以 ∠DAE = ∠BAD − ∠BAE = 40° − 25° = 15°。 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，必做，共 12 分 7．若等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则它的周长为（　　） A．21　　　B．27　　　C．21 或 27　　　D．无法确定 【答案】B 【解析】若腰长为 5，则三边为 5、5、11，而 5 + 5 < 11，不能组成三角形； 若腰长为 11，则三边为 11、11、5，符合要求，周长为 11 + 11 + 5 = 27。 8．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等　　　B．若 a = b，则 a² = b² C．等边三角形的三个角都是 60°　　　D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】B 【解析】B 的逆命题是“若 a² = b²，则 a = b”，取 a = 1、b = −1 可知它是假命题。 A、C、D 的逆命题都是真命题。 9．一个三角形的三个外角中，锐角最多有（　　） A．0 个　　　B．1 个　　　C．2 个　　　D．3 个 【答案】B 【解析】外角是锐角，则与它相邻的内角是钝角，而一个三角形最多只有一个钝角，所以外角中锐角最多有 1 个。 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，选做，共 4 分 10．如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 60°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，则 ∠ADB 的度数为（　　） A．85°　　　B．90°　　　C．95°　　　D．100° 【答案】C 【解析】∠BAC = 180° − 50° − 60° = 70°，因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = 35°。 在 △ABD 中，∠ADB = 180° − ∠B − ∠BAD = 180° − 50° − 35° = 95°。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础巩固】第 11—14 题，必做，共 16 分 11．若一个三角形的两边长分别为 4 和 7，第三边长为 x，则 x 的取值范围是 ______。 【答案】3 < x < 11 【解析】由三边关系得 7 − 4 < x < 7 + 4，即 3 < x < 11。 12．在 △ABC 中，∠A = 80°，∠B = 55°，则 ∠C = ______。 【答案】45° 【解析】∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 80° − 55° = 45°。 13．命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是 ______。 【答案】两直线平行（两条直线被第三条直线所截，且这两条直线平行） 【解析】把命题改写成“如果两条直线平行，那么同旁内角互补”，“如果”后面是题设。 14．在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶1∶2，则 ∠B = ______。 【答案】45° 【解析】设三个内角分别为 k、k、2k，由 4k = 180° 得 k = 45°，所以 ∠B = 45°。 【B 组 · 能力提升】第 15—16 题，必做，共 8 分 15．若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为 ______。 【答案】17 【解析】若腰长为 3，则 3 + 3 < 7，不能组成三角形； 若腰长为 7，则三边为 7、7、3，周长为 7 + 7 + 3 = 17。 16．三角形的一个外角是 120°，则与它相邻的内角是 ______。 【答案】60° 【解析】三角形的外角与它相邻的内角互补，所以这个内角为 180° − 120° = 60°。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【A 组 · 基础巩固】第 17—19 题，必做，共 18 分 17．(6 分) 判断下列命题的真假，并说明理由： (1) 若 a > b，则 a + c > b + c； (2) 三角形的三个内角中至少有两个锐角； (3) 三角形的一个外角等于两个内角的和。 【答案】见解析 【解析】(1) 真命题。不等式两边加上同一个数 c，不等号的方向不变。 (2) 真命题。若三个内角中有两个是直角或钝角，则这两个角的和就不小于 180°，与内角和等于 180° 矛盾。 (3) 假命题。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，不是任意两个内角的和。 18．(6 分) 如图，在 △ABC 中，∠A = 70°，∠B = 50°，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于点 D。求 ∠BCD 的度数。 【答案】30° 【解析】因为 ∠A = 70°，∠B = 50°，所以 ∠ACB = 180° − 70° − 50° = 60°。 因为 CD 平分 ∠ACB，所以 ∠BCD = ∠ACB = 30°。 19．(6 分) 已知一个等腰三角形的周长为 18 cm，腰长为 x cm，底边长为 y cm。 (1) 用含 x 的式子表示 y； (2) 若这个等腰三角形的一边长为 4 cm，求另外两边的长。 【答案】(1) y = 18 − 2x　(2) 7 cm、7 cm 【解析】(1) 由周长为 18 cm 得 2x + y = 18，所以 y = 18 − 2x。 (2) 若 4 cm 为腰，则底边为 18 − 4×2 = 10 (cm)，而 4 + 4 < 10，不能组成三角形，舍去； 若 4 cm 为底边，则腰长为 (18 − 4)÷2 = 7 (cm)，7 + 7 > 4，符合要求。 所以另外两边的长都是 7 cm。 【B 组 · 能力提升】第 20—22 题，必做，共 21 分 20．(7 分) 如图，在 △ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 (1) 求 ∠BAC 的度数； (2) 求 ∠ADC 的度数。 【答案】(1) 80°　(2) 100° 【解析】(1) ∠BAC = 180° − ∠B − ∠C = 180° − 60° − 40° = 80°。 (2) 因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = ∠BAC = 40°。 由三角形的外角性质得 ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + 40° = 100°。 21．(7 分) 如图，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线 BO、CO 相交于点 O。若 ∠BOC = 120°，求 ∠A 的度数。 【答案】60° 【解析】在 △BOC 中，∠OBC + ∠OCB = 180° − ∠BOC = 60°。 因为 BO、CO 分别平分 ∠ABC、∠ACB，所以 ∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 120°。 所以 ∠A = 180° − 120° = 60°。 22．(7 分) 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1) 全等三角形的面积相等； (2) 若 a = 0，则 ab = 0； (3) 两直线平行，内错角相等。 【答案】见解析 【解析】(1) 逆命题：面积相等的两个三角形全等。它是假命题。 (2) 逆命题：若 ab = 0，则 a = 0。它是假命题，如 a = 1、b = 0 时 ab = 0，但 a ≠ 0。 (3) 逆命题：内错角相等，两直线平行。它是真命题。 【C 组 · 培优冲刺】第 23—24 题，选做，共 17 分 23．(8 分) 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 50°，点 D 在边 AB 上，且 ∠DCB = 20°。求 ∠ADC 的度数。 【答案】60° 【解析】因为 ∠ACB = 90°，∠A = 50°，所以 ∠B = 180° − 90° − 50° = 40°。 在 △BCD 中，∠BDC = 180° − ∠B − ∠DCB = 180° − 40° − 20° = 120°。 所以 ∠ADC = 180° − ∠BDC = 180° − 120° = 60°。 24．(9 分) 两名同学围绕两个命题展开了讨论： 小明：在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行。 小丽：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。 (1) 小明的命题是真命题吗？若是，请画出图形，写出已知、求证，并加以证明（注明依据）； (2) 小丽的命题是真命题吗？若不是，请举出反例，并画图说明。 【答案】(1) 是真命题，证明见解析　(2) 是假命题，反例见解析 【解析】(1) 是真命题。已知：在同一平面内，a∥c，b∥c。求证：a∥b。 证明：作直线 l 分别与 a、b、c 相交，设 l 与 a、b、c 所成的同位角依次为 ∠1、∠2、∠3。 因为 a∥c，所以 ∠1 = ∠3（两直线平行，同位角相等）； 因为 b∥c，所以 ∠2 = ∠3（两直线平行，同位角相等）； 所以 ∠1 = ∠2（等量代换），所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。 (2) 是假命题。反例：在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b，此时 a 与 b 平行，并不互相垂直（图略）。 【点拨】要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例；而要说明一个命题是真命题，必须经过演绎推理证明。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 13 章　三角形中的边角关系、命题与证明　基础过关卷 2026-2027 学年沪科版八年级数学上册 满分 120 分　　建议用时 60 分钟　　考查范围：第 13 章 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础巩固】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列长度的三条线段能首尾顺次相接组成三角形的是（　　） A．1，2，4　　　B．2，3，5　　　C．2，3，4　　　D．3，4，8 2．若一个三角形的两边长分别为 5 和 9，则第三边长 x 的取值范围是（　　） A．4 < x < 14　　　B．4 < x < 9　　　C．5 < x < 14　　　D．5 < x < 9 3．下列命题中，是真命题的是（　　） A．三角形的内角和等于 360° B．三角形的一个外角等于与它相邻的内角 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的三条高都在三角形内部 4．若一个三角形三个内角的度数之比为 2∶3∶4，则这个三角形中最大的内角是（　　） A．40°　　　B．60°　　　C．80°　　　D．100° 5．如图，AD 是 △ABC 的中线，若 △ABC 的面积为 12，则 △ABD 的面积为（　　） A．3　　　B．4　　　C．6　　　D．8 6．如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 80°，AD⊥BC 于点 D，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E，则 ∠DAE 的度数为（　　） A．10°　　　B．15°　　　C．20°　　　D．25° 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，必做，共 12 分 7．若等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则它的周长为（　　） A．21　　　B．27　　　C．21 或 27　　　D．无法确定 8．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等　　　B．若 a = b，则 a² = b² C．等边三角形的三个角都是 60°　　　D．直角三角形的两个锐角互余 9．一个三角形的三个外角中，锐角最多有（　　） A．0 个　　　B．1 个　　　C．2 个　　　D．3 个 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，选做，共 4 分 10．如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 60°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，则 ∠ADB 的度数为（　　） A．85°　　　B．90°　　　C．95°　　　D．100° 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础巩固】第 11—14 题，必做，共 16 分 11．若一个三角形的两边长分别为 4 和 7，第三边长为 x，则 x 的取值范围是 ______。 12．在 △ABC 中，∠A = 80°，∠B = 55°，则 ∠C = ______。 13．命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是 ______。 14．在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶1∶2，则 ∠B = ______。 【B 组 · 能力提升】第 15—16 题，必做，共 8 分 15．若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为 ______。 16．三角形的一个外角是 120°，则与它相邻的内角是 ______。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【A 组 · 基础巩固】第 17—19 题，必做，共 18 分 17．(6 分) 判断下列命题的真假，并说明理由： (1) 若 a > b，则 a + c > b + c； (2) 三角形的三个内角中至少有两个锐角； (3) 三角形的一个外角等于两个内角的和。 18．(6 分) 如图，在 △ABC 中，∠A = 70°，∠B = 50°，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于点 D。求 ∠BCD 的度数。 19．(6 分) 已知一个等腰三角形的周长为 18 cm，腰长为 x cm，底边长为 y cm。 (1) 用含 x 的式子表示 y； (2) 若这个等腰三角形的一边长为 4 cm，求另外两边的长。 【B 组 · 能力提升】第 20—22 题，必做，共 21 分 20．(7 分) 如图，在 △ABC 中，∠B = 60°，∠C = 40°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 (1) 求 ∠BAC 的度数； (2) 求 ∠ADC 的度数。 21．(7 分) 如图，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线 BO、CO 相交于点 O。若 ∠BOC = 120°，求 ∠A 的度数。 22．(7 分) 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1) 全等三角形的面积相等； (2) 若 a = 0，则 ab = 0； (3) 两直线平行，内错角相等。 【C 组 · 培优冲刺】第 23—24 题，选做，共 17 分 23．(8 分) 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 50°，点 D 在边 AB 上，且 ∠DCB = 20°。求 ∠ADC 的度数。 24．(9 分) 两名同学围绕两个命题展开了讨论： 小明：在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行。 小丽：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。 (1) 小明的命题是真命题吗？若是，请画出图形，写出已知、求证，并加以证明（注明依据）； (2) 小丽的命题是真命题吗？若不是，请举出反例，并画图说明。 学科网（北京）股份有限公司 $