第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形边角关系与证明，通过婴儿手推车、导购机器人等现实情境及“特征三角形”“和谐三角形”新定义设计，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形边长范围、三线识别、命题真假判断|第8题以折纸操作判断中线/角平分线/高线，体现几何直观| |填空题|4/20|特征三角形、高与角平分线综合计算|第12题定义“特征角”，融合分类讨论思想| |解答题|9/90|折叠探究、和谐三角形证明、平移综合|第20题“和谐三角形”新定义探究，第23题平行线与角平分线动态综合，培养推理意识与创新应用|

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．下列命题是真命题的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．如图，将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 8．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 9．商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，， ， ，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，则的度数为_____________． 12．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 13．如图，在中，为边上的高，平分交于点E，，则的度数为______． 14．如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 16．（8分）如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．（8分）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 18．（8分）如图，是的边上一点，连接，，． (1)求的大小； (2)若，试说明：平分． 19．（10分）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 20．（10分）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 21．（12分）如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 22．（12分）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动中遇到如下几何问题：如图①，在中，，点、、分别是边、、上的点（点、、均不与的顶点重合），连结和．试探究、、之间的数量关系． 【探究过程】 (1)小明阅读题目后，未直接发现三个角之间的数量关系，于是采用代入数值的方法初步探究： ①当，时，________度； ②当，时，________度； ③据此猜想、、之间的数量关系为________． (2)以下是小明证明猜想的部分过程： 证明：如图②，连结． 是的外角， ． 即． 同理：． 证明过程缺失 请补全缺失的证明过程． 【类比思考】 (3)如图③，在中，，点、分别是边、上的点，点是延长线上一点（点、、均不与的顶点重合），连结、．当，时，度数为________°． 23．（14分）已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·强 化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 6 8 10 A A A A B A B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.135° 12.42°或92° 13.145 14.3 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】3b-a-c 【详解】解：.a,b,C是三角形的三边长， ∴.a+b>C,得a+b-c>0:a+c>b,得b-a-c<0:b+c>a,得a-b-c<0, ∴原式=(a+b-c)-(a+c-b)+(b+c-a) =a+b-c-a-c+b+b+c-a =3b-a-c. 16.【答案】(1)∠ABD=30° (2)∠C=80 【详解】(1)解：，∠A=40°，∠BDC=70°， .∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°： (2)解：BD是∠ABC的角平分线，∠ABD=30°， ∴.∠ABC=2∠ABD=60°， .∠A=40°， .∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-60°-40°=80°. 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【答案】(1)50° (2)9 【分析】(1)根据三角形内角和，角的平分线，三角形外角性质求解即可： (2)根据三角形的面积，中线的性质，求解即可： 【详解】(1)解：在△ABC中 .∠BAC=100°，∠ACB=60° ∴.∠ABC=20° .CE是△ABC的角平分线 1 '.∠ACE=∠BCE=5∠ACB=30° .'∠AEC是△BCE的外角 .∴∠AEC=∠ABC+∠BCE=20°+30°=50°： (2)解：.'AD是△ABC的高，BC=9,AD=4 .SA=7×BC×AD=×9×4=18 2 .BF是△ABC的中线， 1SAAI-9. .SAMF- 18.【答案】(1)40 (2)证明：设∠CAD=2x,∠C=3x, .'∠CAD+∠C+∠ADC=180°， 即2x+3x+80°=180°， ∴.X=20°， ∴.∠CAD=40, .∴.∠CAD=∠BAD, ∴.AD平分∠BAC. 【详解】(1)解：.'∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠B+∠BAD=∠ADC=80°， .∠B=∠BAD, ∴.∠BAD=80°×5=40°. (2)略 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.【答案】(1)95°，85 (2)证明：在△AOE与△COB中，∠EAO+∠AEO+∠AOE=∠B+∠C+∠BOC=180°， ,∠AOE=∠BOC, .∠EAO+∠AEO=∠C+∠B, .'∠EAO=∠C, .∴.∠AEO=∠B, :'∠EAD=∠D,∠AEO=∠EAD+∠D, .∠AEO=2∠D, ∴.∠B=2∠D: (3)45° 【详解】(1)解：在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，且∠A+∠D=85°， ∴.∠AOD=180°-∠A+∠D=95° ∴.∠AOD=∠BOC=95°， .∠B+∠C+∠BOC=180°， ∴.∠B+∠C=85°： (2)略 (3)解：如下图， M N c14 B .'∠DAP=∠BAP,∠DCP=∠BCP, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4， 由(1)得∠1+∠D=∠3+∠P,∠4+∠B=∠2+∠P, 两式相加，得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P, 即∠B+∠D=2∠P, ∠P=2∠B+∠D=7×90=45, 20.【答案】(1)30°，不是 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2:∠ACB是△A0C的一个外角， .∠ACB=∠O+∠OAC, 又∠O=60°，∠ACB=84° .∠0AC=24, .∠AC0=180°-84°=96°， ∴.∠ACO=4∠OAC, ∴.△AOC是“和谐三角形”： (3)∠B=30或∠B=80° 【详解】(1)解：.AB⊥OM, ∴.∠OAB=90°， ..∠ABO=90°-∠MON=30°， ∴.△ABO的三个内角度数为90°，60°，30° 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， ∴.△AOB不是“和谐三角形”： (2)略 (3)解：.：∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°， ∴.∠EFC=∠ADC, ∴.AD‖EF, ∴.∠g=∠ADE, 而∠g=∠B, ∴.∠B=∠ADE, .DE‖BC, ∴.∠CDE=∠BCD, .DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠CDE, ∴.∠B=∠BCD .△BCD是“和谐三角形”， '.∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC, .'∠BDC+∠BCD+∠B=180° 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4∠B+∠B+∠B=180°或4∠B+∠B+∠B=180 .∠B=30°或∠B=80° 21.【答案】(1)0 (2)2c (3)18 【详解】(1)解：根据平移可得ABDE, ∴.∠=∠ABC=a; (2)解：根据三角形三边关系可得a-b<c,b-a<c, .a-b-c<0,b-a-c<0, ..a-b-c)+b-a-c=-a-b-c-b-a-c=-a+b+c-b+a+c=2c: (3)解：根据平移可得S△ABc=S△t,AC=DF=6,CB=EF=8, ∴S6c-SAGB=SA-5m'即S得指AGrC=Sgw5caE .G,F分别是AB,CB的中点， Gr=号DF=3,CF=号BC=4, ∴.S四边形AGFC=S四边形DGBE= CFAC+GF=18. 2 22.【答案】(1)①30；②10：③∠DPE=∠BDP+∠CEP-70°： 2):.∠DPA+∠EPA=∠BDP-∠DAP+∠CEP-∠EAP 即∠DPE=∠BDP+∠CEP-∠BAC. .∠BAC=70, ∠DPE=∠BDP+∠CEP-70 (3)20 【详解】(1)解：①连接AP. B .△ADP,△AEP的内角和均为180°， 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形ADPE的内角和为360°， .∠BDP=60°，∠CEP=40°， ∴.∠ADP=180°-∠BDP=120°，∠AEP=180°-∠CEP=140°， 又.∠BAC=70, .∠DPE=360°-∠ADP-∠AEP-∠BAC=360°-120°-140°-70°=30°： ②，当∠BDP=60°，∠CEP=20°时， 同理可得∠DPE=10°： ③据此猜想∠DPE、∠BDP、∠CEP之间的数量关系为∠DPE=∠BDP+∠CEP-70°： （2)略 (3)解：连接AP. A D 图③ .∠BDP是△ADP的外角， ∴.∠BDP=∠DAP+∠DPA. 即∠DPA=∠BDP-∠DAP. 同理：∠EPA=∠CEP-∠EAP】 ∴.∠DPA-∠EPA=∠BDP-∠DAP-∠CEP-∠EAP=∠BDP-∠DAP-∠CEP+∠EAP. 即∠DPE=∠BDP-∠CEP-∠BAC. .∠BAC=80°，∠BDP=130°，∠CEP=30°， ∴.∠DPE=130°-30°-80°=20° 23.【答案】(1)PE⊥PF,理由如下： ,PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD, ∴.可设∠BEP=∠FEP=X,∠EFP=∠PFD=y(角平分线的定义)， .AB‖CD .2x+2y=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ..x+y=90°. 又.x+y+∠EPF=180°， 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.90°+∠EPF=180°， ∴.∠EP℉=90°. 即PE⊥PF; (2)∠EGH=32'∠EFH=76° FpH=180-号m或<1PH-=90-是， 【详解】(1)略 (2)解：∠GQF=∠P+∠PGQ=70°，∠P=54°， ∴.∠PGQ=70°-∠P=16°， GP平分∠BGH, .∠EGH=2∠PGQ=32, .AB CD. ∴.∠BGH=∠QHF=32 ,∠GQF=∠QFH+∠QHF=70°， .∠QFH=70°-∠QHF=38°， ,FP平分∠EFH, ∴.∠EFH=2∠QFH=76°： (3)解：分以下两种情况： 当点H在点F的右边时，如图3所示： E 图3 .FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD, ∴，可设∠EFP=∠PFH=X,∠GHP=∠PHD=y, .∠GHF=180°-∠GHD=180°-2y, .∠EGH=∠GFH+∠GHF=2x+180°-2y=m°， y-x2180-m1=90-2n 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PHD=∠P+∠PFH, ∠P=∠PHD-∠PFH=y-x=90- 2 当点H在点F的左边时，如图所示： E -B G D FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD, ∴可设∠EFP=∠PFH=a,∠GHP=∠PHF=b, ∴.∠GFH=2a,∠GHF=2b, .∠EGH=∠GFH+∠GHF=2a+2b=m°， …a+b=1 ,∠P+∠PHF+∠PFH=180°， ·∠P=180°-∠PHF+∠PFH=180°-(a+b=180- 2m: 综上所述：∠FPH的度数为90°-号m°或180。-号m 5m° 818 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断三边大小，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式，只需较短两边之和大于最长边，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长为、、，且，最长边为， ∴， 解得：． 2．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 3．下列命题是真命题的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题为基本概念辨析题，根据算术平方根、点到直线的距离、立方根、垂直的定义逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对选项A：∵ ，算术平方根为非负平方根，∴ 的算术平方根是，A是真命题； 对选项B：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴ B是假命题； 对选项C：立方根等于本身的数是，和，∴ C是假命题； 对选项D：只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提，∴ D是假命题． 4．如图，将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 6．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 7．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：当轮船行驶到距离灯塔最近点时， 此时轮船位置（即点）与灯塔的连线垂直于航线， ， ， 在中，， ． 8．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 9．商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，， ， ，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，，根据题意得出，，，进而表示出，求得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：设，，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ 如图，延长交于点 ∵ ， ， ∴， ∴ 10．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】先根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平角定义解答． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴． 12．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角称为“特征角”．如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为，那么这个“特征角”的度数为_______． 【答案】或 【分析】设三角形三个内角为，，，已知一个内角为，分三种情况讨论后，结合钝角三角形的条件筛选符合要求的结果． 【详解】解：设三角形的三个内角分别为，，， 当时，则， ∴， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 当时，则， ∴， 此时三角形是锐角三角形，不符合题意； 当时， ∴，解得：， 此时三角形是钝角三角形，符合题意； 综上：或． 13．如图，在中，为边上的高，平分交于点E，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和求得，即可求得，再求即可解答． 【详解】解：为边上的高， ， ， 平分， ， ． 14．如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积． 【详解】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 16．（8分）如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 17．（8分）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据三角形内角和，角的平分线，三角形外角性质求解即可； （2）根据三角形的面积，中线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：在中 ， 是的角平分线 是的外角 ； （2）解：是的高，， ， 是的中线， ． 18．（8分）如图，是的边上一点，连接，，． (1)求的大小； (2)若，试说明：平分． 【答案】(1) (2)证明：设，， ， 即， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据三角形的外角性质得出，结合题意即可求解； （2）根据题意设，，结合三角形内角和是，列出方程，解方程求出的值，求出，结合角平分线的定义即可证明． 【详解】（1）解：是的外角， ， ， ． （2）略 19．（10分）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 20．（10分）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若，试说明：是“和谐三角形”． (3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)是的一个外角， ， 又， ， ∵， ， 是“和谐三角形”； (3)或 【分析】（1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴的三个内角度数为 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， 不是“和谐三角形”； （2）略 （3）解：，， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， ∴或 或． 21．（12分）如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． 22．（12分）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动中遇到如下几何问题：如图①，在中，，点、、分别是边、、上的点（点、、均不与的顶点重合），连结和．试探究、、之间的数量关系． 【探究过程】 (1)小明阅读题目后，未直接发现三个角之间的数量关系，于是采用代入数值的方法初步探究： ①当，时，________度； ②当，时，________度； ③据此猜想、、之间的数量关系为________． (2)以下是小明证明猜想的部分过程： 证明：如图②，连结． 是的外角， ． 即． 同理：． 证明过程缺失 请补全缺失的证明过程． 【类比思考】 (3)如图③，在中，，点、分别是边、上的点，点是延长线上一点（点、、均不与的顶点重合），连结、．当，时，度数为________°． 【答案】(1)①30；②10；③； (2)． 即． ， (3)20 【分析】（1）连接．根据三角形内角和为180度，推出四边形内角和为360度，根据已知角度可求①②，根据①②结果猜想、、之间的数量关系； （2）连接．利用三角形外角的性质可得，进而得出，同理推出，通过导角可得，结合可得结论； （3）连接．仿照（2）可得，，进而可得，代入角度计算即可． 【详解】（1）解：①连接． ，的内角和均为， 四边形的内角和为， ，， ，， 又， ； ②，当，时， 同理可得； ③据此猜想、、之间的数量关系为； （2）略 （3）解：连接． 是的外角， ． 即． 同理：． ． 即． ，，， ． 23．（14分）已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)，理由如下： 、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． 即； (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $