13.2 命题与证明课堂同步分层训练卷 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

13.2　命题与证明　课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版八年级数学上册 满分 120 分　　建议用时 60 分钟　　考查范围：13.2 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ （本卷逐题附参考答案与解析，供讲评与自查使用） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础巩固】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列语句中，是命题的是（　　） A．画线段 AB = 3 cm　　　B．对顶角相等 C．请你把门关上　　　D．a² 与 b² 相等吗 【答案】B 【解析】命题是判断一件事情的语句。A 是画图的操作，C 是请求，D 是疑问，都不是判断；B 作出了判断，是命题。 2．命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的题设是（　　） A．两个角　　　B．这两个角相等 C．两个角是对顶角　　　D．对顶角相等 【答案】C 【解析】命题常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论，所以题设是“两个角是对顶角”。 3．下列命题中，是真命题的是（　　） A．若 a² = b²，则 a = b　　　B．同旁内角互补 C．两点之间线段最短　　　D．相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】A 中取 a = 1、b = −1 时不成立；B 中只有两直线平行时同旁内角才互补；D 中相等的角不一定是对顶角；C 是真命题。 4．能说明命题“若 a > b，则 ac² > bc²”是假命题的反例是（　　） A．a = 2，b = 1，c = 1　　　B．a = 2，b = 1，c = 0 C．a = −1，b = −2，c = 1　　　D．a = 1，b = 2，c = −1 【答案】B 【解析】当 c = 0 时 ac² = bc² = 0，命题的结论不成立。取 a = 2、b = 1、c = 0 满足 a > b，但 ac² = bc²，所以它能作为反例。 5．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等　　　B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行　　　D．内错角不相等，两直线不平行 【答案】B 【解析】把原命题的题设与结论互换，得“内错角相等，两直线平行”。 6．下列命题中，是假命题的是（　　） A．三角形的内角和等于 180° B．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角和等于 180° 【答案】D 【解析】三角形的外角和等于 360°，不是 180°，所以 D 是假命题；A、B、C 都正确。 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，必做，共 12 分 7．能说明命题“若 |a| = |b|，则 a = b”是假命题的反例是（　　） A．a = 1，b = 1　　　B．a = 1，b = −1 C．a = 0，b = 0　　　D．a = −1，b = −1 【答案】B 【解析】当 a = 1、b = −1 时，|a| = |b| = 1，但 a ≠ b，说明原命题是假命题。 8．如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，若 ∠A = 60°，∠B = 50°，则 ∠ACD 的度数为（　　） A．110°　　　B．120°　　　C．70°　　　D．130° 【答案】A 【解析】由三角形的外角性质得 ∠ACD = ∠A + ∠B = 60° + 50° = 110°。 9．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．若 a = b，则 a² = b²　　　B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行，同旁内角互补　　　D．若 a + b = 0，则 a = 0 【答案】C 【解析】C 的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题。 A 的逆命题“若 a² = b²，则 a = b”是假命题；B 的逆命题“对应角相等的两个三角形全等”是假命题；D 的逆命题“若 a = 0，则 a + b = 0”是假命题。 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，选做，共 4 分 10．如图，CE 平分 △ABC 的外角 ∠ACD，若 ∠A = 70°，∠B = 50°，则 ∠ACE 的度数为（　　） A．30°　　　B．55°　　　C．60°　　　D．65° 【答案】C 【解析】∠ACD = ∠A + ∠B = 70° + 50° = 120°。 因为 CE 平分 ∠ACD，所以 ∠ACE = ∠ACD = 60°。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础巩固】第 11—14 题，必做，共 16 分 11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______。 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】把“对顶角”写成条件，把“相等”写成结论即可。 12．命题“若 a = b，则 a² = b²”的逆命题是______。 【答案】若 a² = b²，则 a = b 【解析】交换原命题的题设与结论。注意这个逆命题是假命题，如 a = 1、b = −1。 13．举一个反例说明命题“若 a > b，则 |a| > |b|”是假命题：______。 【答案】a = 1，b = −2（答案不唯一） 【解析】只要满足 a > b 但 |a| < |b| 即可，例如 a = 1、b = −2 时 1 > −2，而 |1| < |−2|。 14．在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则与 ∠C 相邻的外角等于______。 【答案】110° 【解析】∠C = 180° − 50° − 60° = 70°，与 ∠C 相邻的外角为 180° − 70° = 110°。 【B 组 · 能力提升】第 15—16 题，必做，共 8 分 15．三角形的一个外角是 100°，与它不相邻的一个内角是 40°，则与它不相邻的另一个内角是______。 【答案】60° 【解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以另一个内角为 100° − 40° = 60°。 16．用平行线证明“三角形内角和等于 180°”时，过顶点 A 作 MN∥BC，由 MN∥BC 可得 ∠MAB = ∠ABC，其依据是______。 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】∠MAB 与 ∠ABC 是直线 MN、BC 被 AB 所截得到的内错角，由平行得它们相等。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【A 组 · 基础巩固】第 17—19 题，必做，共 18 分 17．(6 分) 判断下列命题的真假，是假命题的举出一个反例： (1) 若 |a| = 3，则 a = 3； (2) 两个锐角的和是钝角； (3) 同角的补角相等。 【答案】见解析 【解析】(1) 假命题。反例：a = −3，此时 |a| = 3，但 a ≠ 3。 (2) 假命题。反例：30° 与 40° 都是锐角，它们的和是 70°，仍是锐角。 (3) 真命题。同角（或等角）的补角相等。 18．(6 分) 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分外角 ∠EAC。求证：AD∥BC。 【答案】见解析 【解析】证明：因为 AB = AC，所以 ∠B = ∠C（等边对等角）。 因为 ∠EAC 是 △ABC 的外角，所以 ∠EAC = ∠B + ∠C = 2∠B。 因为 AD 平分 ∠EAC，所以 ∠DAE = ∠EAC = ∠B。 又 ∠DAE 与 ∠B 是直线 AD、BC 被 AB 所截得到的同位角， 所以 AD∥BC（同位角相等，两直线平行）。 19．(6 分) 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 若 a = 0，则 ab = 0。 【答案】见解析 【解析】(1) 逆命题：同位角相等，两直线平行。它是真命题。 (2) 逆命题：若 ab = 0，则 a = 0。它是假命题，如 b = 0、a = 1 时 ab = 0，但 a ≠ 0。 【B 组 · 能力提升】第 20—22 题，必做，共 21 分 20．(7 分) 如图，已知 △ABC。求证：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。 【答案】见解析 【解析】证明：过点 A 作 MN∥BC（M 在点 A 的左侧，N 在点 A 的右侧）。 因为 MN∥BC，所以 ∠MAB = ∠ABC，∠NAC = ∠ACB（两直线平行，内错角相等）。 因为点 M、A、N 在同一条直线上，所以 ∠MAB + ∠BAC + ∠NAC = 180°（平角的定义）。 所以 ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°。 21．(7 分) 如图，∠ABC、∠ACB 的外角平分线 BO、CO 相交于点 O。若 ∠A = 60°，求 ∠BOC 的度数。 【答案】60° 【解析】因为 ∠ABC + ∠ACB = 180° − ∠A = 120°， 所以 ∠OBC + ∠OCB = (180° − ∠ABC) + (180° − ∠ACB) = 180° − (∠ABC + ∠ACB) = 180° − 60° = 120°。 在 △BOC 中，∠BOC = 180° − 120° = 60°。 22．(7 分) 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°。求证：∠A + ∠B = 90°。 【答案】见解析 【解析】证明：在 △ABC 中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）。 因为 ∠ACB = 90°，所以 ∠A + ∠B = 180° − 90° = 90°。 【C 组 · 培优冲刺】第 23—24 题，选做，共 17 分 23．(8 分) 如图，在 △ABC 中，∠B > ∠C，AD⊥BC 于点 D，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E。求证：∠DAE = (∠B − ∠C)。 【答案】见解析 【解析】证明：因为 AE 平分 ∠BAC，所以 ∠BAE = ∠BAC = (180° − ∠B − ∠C)。 因为 AD⊥BC，所以在 Rt△ABD 中，∠BAD = 90° − ∠B。 所以 ∠DAE = ∠BAD − ∠BAE = 90° − ∠B − (180° − ∠B − ∠C) = 90° − ∠B − 90° + ∠B + ∠C = (∠B − ∠C)。 24．(9 分) 如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，点 D 在边 BC 上，且 ∠BAD = 30°。 (1) 求 ∠ADC 的度数； (2) 求 ∠DAC 的度数； (3) 判断 AD 是否为 △ABC 的角平分线，并说明理由。 【答案】见解析 【解析】(1) 因为 ∠ADC 是 △ABD 的外角，所以 ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 50° + 30° = 80°。 (2) 在 △ADC 中，∠DAC = 180° − ∠ADC − ∠C = 180° − 80° − 70° = 30°。 (3) AD 是 △ABC 的角平分线。理由：由 (1)(2) 得 ∠BAD = 30°，∠DAC = 30°， 所以 ∠BAD = ∠DAC，即 AD 平分 ∠BAC，故 AD 是 △ABC 的角平分线。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2　命题与证明　课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版八年级数学上册 满分 120 分　　建议用时 60 分钟　　考查范围：13.2 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分。每小题只有一个选项符合题意） 【A 组 · 基础巩固】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．下列语句中，是命题的是（　　） A．画线段 AB = 3 cm　　　B．对顶角相等 C．请你把门关上　　　D．a² 与 b² 相等吗 2．命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的题设是（　　） A．两个角　　　B．这两个角相等 C．两个角是对顶角　　　D．对顶角相等 3．下列命题中，是真命题的是（　　） A．若 a² = b²，则 a = b　　　B．同旁内角互补 C．两点之间线段最短　　　D．相等的角是对顶角 4．能说明命题“若 a > b，则 ac² > bc²”是假命题的反例是（　　） A．a = 2，b = 1，c = 1　　　B．a = 2，b = 1，c = 0 C．a = −1，b = −2，c = 1　　　D．a = 1，b = 2，c = −1 5．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等　　　B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行　　　D．内错角不相等，两直线不平行 6．下列命题中，是假命题的是（　　） A．三角形的内角和等于 180° B．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角和等于 180° 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，必做，共 12 分 7．能说明命题“若 |a| = |b|，则 a = b”是假命题的反例是（　　） A．a = 1，b = 1　　　B．a = 1，b = −1 C．a = 0，b = 0　　　D．a = −1，b = −1 8．如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角，若 ∠A = 60°，∠B = 50°，则 ∠ACD 的度数为（　　） A．110°　　　B．120°　　　C．70°　　　D．130° 9．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．若 a = b，则 a² = b²　　　B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行，同旁内角互补　　　D．若 a + b = 0，则 a = 0 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，选做，共 4 分 10．如图，CE 平分 △ABC 的外角 ∠ACD，若 ∠A = 70°，∠B = 50°，则 ∠ACE 的度数为（　　） A．30°　　　B．55°　　　C．60°　　　D．65° 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础巩固】第 11—14 题，必做，共 16 分 11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______。 12．命题“若 a = b，则 a² = b²”的逆命题是______。 13．举一个反例说明命题“若 a > b，则 |a| > |b|”是假命题：______。 14．在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则与 ∠C 相邻的外角等于______。 【B 组 · 能力提升】第 15—16 题，必做，共 8 分 15．三角形的一个外角是 100°，与它不相邻的一个内角是 40°，则与它不相邻的另一个内角是______。 16．用平行线证明“三角形内角和等于 180°”时，过顶点 A 作 MN∥BC，由 MN∥BC 可得 ∠MAB = ∠ABC，其依据是______。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 【A 组 · 基础巩固】第 17—19 题，必做，共 18 分 17．(6 分) 判断下列命题的真假，是假命题的举出一个反例： (1) 若 |a| = 3，则 a = 3； (2) 两个锐角的和是钝角； (3) 同角的补角相等。 18．(6 分) 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 平分外角 ∠EAC。求证：AD∥BC。 19．(6 分) 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 若 a = 0，则 ab = 0。 【B 组 · 能力提升】第 20—22 题，必做，共 21 分 20．(7 分) 如图，已知 △ABC。求证：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。 21．(7 分) 如图，∠ABC、∠ACB 的外角平分线 BO、CO 相交于点 O。若 ∠A = 60°，求 ∠BOC 的度数。 22．(7 分) 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°。求证：∠A + ∠B = 90°。 【C 组 · 培优冲刺】第 23—24 题，选做，共 17 分 23．(8 分) 如图，在 △ABC 中，∠B > ∠C，AD⊥BC 于点 D，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于点 E。求证：∠DAE = (∠B − ∠C)。 24．(9 分) 如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，点 D 在边 BC 上，且 ∠BAD = 30°。 (1) 求 ∠ADC 的度数； (2) 求 ∠DAC 的度数； (3) 判断 AD 是否为 △ABC 的角平分线，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $