第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章末核心考点整合与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

义已知两直线平行，内错角 .∠B=180°-∠A-∠ACB= 相等等量代换内错角相等， 48°，CD⊥AB,.∠BDC= 两直线平行 90°，.∠DCB=180°-90°-48 (2)两个互逆的真命题为：两直线 =42° 平行，内错角相等；内错角相等， 14.(1):AP平分∠MAB,BP平分 两直线平行. 5.(1)如果①②，那么③；如果①③， ∠ABN,∴∠BAP=∠MAB, 那么②；如果②③，那么①； ∠ABP=合∠ABN.在△ABO (2)都是真命题，选择如果①②， 中，∠OAB+∠OBA+∠MON= 那么③. 180°，∴.∠OAB+∠OBA=180° 证明：AD∥BC, ∠MON=90°.又，∠OAB+ ∴.∠DAE=∠B,∠DAC=∠C, ∠MAB+∠OBA+∠ABN= :∠B=∠C,∠DAE=∠DAC, 360°.∴.∠MAB+∠ABN= ∴.AD平分∠EAC 270°..∠BAP+∠ABP= 第3课时直角三角形的两锐角互余 1.过A作AD∥BC,AD∥BC, 合（∠MAB+∠ABN)=号× ∴.∠DAC=∠C,∠DAB+∠B= 270°=135°..在△ABP中， 180°，∴.∠DAC+∠BAC+∠B= ∠P=180°-135°=45°. 180°，∴.∠BAC+∠B+∠C= (2)同(1)可知：∠P=50° 180°. 2.B3.32 (3)可猜想：∠P=90-号∠M0N. 4.CD⊥AB(已知)， 证明同(1). .∠CDB=90°（垂直的定义）， 第4课时三角形的外角 在Rt△ABC中，∠ACB=90°（已：1.C2.D3.C 知)， 4.:∠ADB=∠C+∠CBD, ∴.∠A十∠B=90°（直角三角形 ∠AFB=∠DAF+∠ADF, 两锐角互余). ∠C=42°，∠CAE=18°，∠CBD 同理，∠DCB+∠B=90°， =27°， ∴.∠A=∠DCB(同角的余角相 ∴.∠ADB=69°， 等). ∴.∠AFB=87. 5.D 5.(1)∠BAE=∠2+∠3 6.△BDE是直角三角形， ∠1+∠2+∠3=180° 理由：，ADBC, (2)证明：作AH∥BD, FG⊥BC, ∴.∠HAE=∠ACD, ∴.∠ADC=∠FGC=90°， ∠CBF=∠BAH, .AD∥FG, ∠BAE+∠BAH+ .∠DAC=∠CFG, ∠HAE=360°， .∠CFG=∠ADE, ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD= ∴.∠DAC=∠ADE, 360°. .DE∥AC, 6.A7.C8.B9.60°10.40 ∴.∠BED=∠BAC=90°， 11.130 △BDE是直角三角形. 12.延长BD交AC于E,:∠A= 7.C8.C9.B10.60 90°，∠B=32°，∴.∠DEC=∠A 11.∠a=∠B+∠y12.130°或50 +∠B=90°+32°=122°，∠C 13.(1)∠ADE=∠EFC,理由略： =21°，.∴.∠BDC=∠C+∠DEC (2)∠ACB=72°，∠A=60°， =21°+122°=143°.又：∠BDC 46 =149°，∴这个零件不合格 ∴.∠ADB=∠DBC+∠C=108°. 13.(1)CE平分∠ACD,DF平分10.(1)110° ∠CDO.∠BCD-∠AcD. (2)∠B=50°，∠BAD=30°， ∴.∠ADB=180°-50°-30°= ∠CDF=号∠CD0.:∠0CD 100°.，△ABD沿AD折叠得到 △AED,∴.∠ADE=∠ADB= =56°，.∠ACD=124°，∠CDO 100°，∴.∠ADF=80°，.∠EDF =34°，.∠ECD=62°，∠CDF =∠ADE-∠ADF=20°. =17°，∴.∠F=∠ECD-∠CDF 11.(1)证明略； =62°-17°=45° (2)ED∥AC,∴.∠EDB=∠C (2)∠F不变.∠ECD= =40°.：ED平分∠ADB,∠2 合∠AcD=90+∠c0) =∠EDB=40°.∴.∠ADB= 80°.AD∥FG,∴.∠BFG= 45°+2∠CD0.且∠CDF= ∠ADB=80°. 12.(1)∠B=40°，∠C=60°， ∠CDO,·.∠F-∠ECD 1 ∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠CDF=45°+号∠CD0 ∴.∠BAC=80°，AD是∠BAC 的角平分线，∴.∠CAD=∠BAD 3∠CD0=45 =号∠BAC=40,:AE是 重点强化专题三角形中的 △ABC的高，∴.∠AEC=90°， 边角关系的运用 :∠C=60°，∴.∠CAE=90° 1.(1)由题意，得14<2a+2<30, 60°=30°，.∠DAE=∠CAD- 懈得6<a<14. ∠CAE=10°； (2):△ABC为等腰三角形，∴.2a (2),∠BAC+∠B+∠C=180°， +2=8或2a十2=22.解得a=3或 .∠BAC=180°-∠B-∠C, a=10.,6a<14,.∴.a=10. :AD是∠BAC的角平分线， ..△ABC的周长=22+22+8= ∴∠CAD-∠BAD-∠BAC. 52. ,AE是△ABC的高，.∠AEC 2.设三角形的三边长分别为x一2，x, x+2,则/2-2+x+x+2<30 =90°，.∠CAE=90°-∠C, 解 ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE= x-2+x>x+2, 得4<x<10,x的最大值为9， 3∠BAC-(90°-∠0=号180 最小值为5，①当x=9时，三边 -∠B-∠C)-90°+∠C= 长为7,9,11；②当x=7时，三边 长为5,7,9；③当x=5时，三边 3∠C-号∠B,即∠DAE= 长为3,5,7. 合∠C-名∠B 3.B4.B5.C6.70°7.270° (3)45° 8.67° 回归教材练探究与三角形角平分 9.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A, 线有关的几个常见的结论 ∴.设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x. -教材P87复习题T5的变式与 :∠A+∠ABC+∠C=180°， 运用 x十2x十2x=180°，解得x=36. (1)∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) .∠A=36°，∠ABC=∠C=72. ,BD是∠ABC的平分线， =180°-专（∠ABC+∠ACB)=180 ∠DBC=∠ABC=36, -180-∠A)=90+∠A 47 (2)∠P=∠PCE-∠PBE .60十x=90°，x=30°； =(∠ACE-∠ABC)=2∠A. .综上所述：∠OAC=52.5或30°. 第14章全等三角形 (3)∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) 14.1全等三角形及其性质 =180°-合（∠EBC+∠FCB) 1.D2.C 3.∠CAM∠AMC AM CM =180°- 3(∠A+∠ACB+4.A5.10m°303 ∠FCB)=180°- 2(∠A+180 6.(1)①②④ (2)如AD∥BC,AB∥CD,四边 90°-7∠A. 形ABCD是平行四边形，∠ACB =∠CAD等. 变式练 7.A8.D9.B10.2 1.C2.B3.C4.A5.C 11.92.415° 章未核心考点整合与素养提升 12.(1)·△ABD≌△EBD, 1.c2c3.24235.9 ∴∠ABD=∠EBD,∴.BD是 6.37.25°8.B9.A10.80° ∠ABE的平分线： 11.(1):∠BAC=44°，.∠B+∠C (2),△DBE≌△DCE, =180°-∠BAC=136.:∠B= .∠DEB=∠DEC, ∠C,.2∠C=136°，.∠C=68. ∠DEB+∠DEC=180°， (2):∠ADE=∠AED,∠ADE ∴.∠DEB=∠DEC=90°， =75°，∴∠AED=75°. .DE⊥BC, 又：∠AED=∠C+∠CDE, △DBE≌△DCE,∴.BE=EC. ∠C=68°，∴.∠CDE=7°. 13.(1)其他对应角为：∠BAF和 12.A 13.BEF C CEF CD ∠DCE,∠AFB和∠CED;其他 14.B15.D16.D17.140° 对应边：AB和CD,BF和DE; 18.在Rt△ADC中，∠DAC=90°- (2)∠EFC=∠D+∠DCF=∠B ∠C=20°，因为∠EAC=∠EAD +∠DCF=70°； +∠DAC=35°，所以∠BAC= (3).△ABF≌△CDE,..BF= 2∠EAC=70°，在△ABC中， DE,.'BF-EF=DE-EF:..DF ∠B+∠BAC+∠C=180°，所 =BE..BD=10,EF=2,.'.DF= 以∠B=180°-70°-70°=40°. BE=4.∴BF=BE+EF=6. 19.(1):DE∥BC,∠1=∠2，又14.(1)：△BAD≌△ACE,.BD= ∠1=∠3，.∠2=∠3，.FG AE,AD=CE.又，AE=AD+ ∥DC.:CD⊥AB,.∠CDB= DE,..BD=CE+DE; 90°，.∠GFB=90°，即FG⊥AB. (2)△ABD满足∠ADB=90° (2)FG⊥AB,CD⊥AB,.FG 时，BD∥CE.理由如下： ∥DC,∴∠2=∠3，又：∠1= ∠ADB=90°， ∠3，∴.∠1=∠2，∴DE∥BC. .∠BDE=180°-90°=90. 20.(1)30°是(2)是 又△BAD≌△ACE. (3)设∠OAC=x°，则∠BAC= ∴.∠CEA=∠ADB=90°， 90-x,∠ACB=60+x,∠ABC ∴.∠CEA=∠BDE, =30°，：△ABC为“灵动三角 .BD∥CE. 形”，且∠ACB为灵动角， 14.2三角形全等的判定 ①当∠BCA=3∠BAC时， 第1课时两边及其夹角分别 .60+x=3(90-x),x=52.5°， 相等的两个三角形 ②当∠BCA=3∠ABC时， 1.D 2.C 3.AB=AC 4854 章末核心考点整合与素养提升 01分点突破 6.已知AD为△ABC的中线，AB=5cm,且△ACD 考点一 三角形的三边关系 的周长比△ABD的周长少2cm,则AC= 1.在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的 cm. 是 ( 7.如图，若AE是△ABC边BC上的高，AD是 A.2cm,3cm,4cm B.3cm,6cm,6cm ∠EAC的角平分线交BC于点D,若∠ACB= C.2cm,2cm,6cm D.5cm,6cm,7cm 40°，则∠DAE等于 2.三角形两边长分别为3和5，若第三边的长为 方法归纳 偶数，则这个三角形的周长可能是 ( 1.三条重要的线段：理解概念细分辨，角平 A.10或12 B.10或14 分线平分角，边上中线平分边，三角形高 C.12或14 D.14或16 垂直边，有时垂足在延长线上 3.在长度为2,5,6,8的四条线段中，任取三条线 2.三角形中线的用途：线段相等，面积相等； 段，可构成 个不同的三角形 角平分线的用途：角度相等；三角形高线 4.如果等腰三角形的两条边长分别为23cm和 的用途：线段垂直，角度相等 10cm,那么第三边的长为 cm 十一m十十m十十"十m十十m十m十m m十m十m十m十 方法归纳 考点三 三角形的内角和定理及推论 1.通过多个条件确定三角形第三边取值（范 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，MN∥AC,∠1 围)的方法： =55°，则∠C的度数是 已知三角形 确定第三边 确定第三边 A.25 B.35° 的两条边 的取值范围 的整数值 三角形任意两边之和都大于第三边 C.45 D.55 2.求等腰三角形中的有关边长的方法：应先 设定腰长或底边长，再分情况计算，最后 用三角形三条边的关系检验其是否能构 成三角形.由于等腰三角形有两条相等的 30 边，因此只要判断它的腰长的2倍与底边 的大小关系即可. 第8题图 第9题图 9.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三 考点二三角形中的重要线段 角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角 5.如图，△ABC的面积为15，AD是BC边的中 边在同一条直线上，则∠1的度数为() 线，E为AD的中点，则△DCE的面积为 A.75° B.65° C.45° D.30° 10.如图，已知AB∥CD,BC∥ DE.若∠A=20°，∠C= 120°，则∠AED的度数是 第5题图 第7题图 C55 11.已知△ABC中，∠B=∠C,D为边BC上一 ,'∠B+∠C=∠BEC,∠BEF+∠FEC= 点（不与点B,C重合），E为边AC上一点， ∠BEC(已知)， ∠ADE=∠AED,∠BAC=44. ∴.∠B+∠C=∠BEF+∠FEC(等量代换)， (1)求∠C的度数； ∠ (等式性质)， (2)若∠ADE=75°，求∠CDE的度数. .EF∥ .EF∥AB, ∴.AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线 互相平行). D D 图1 图2 方法归纳++++++++ 1.熟练掌握命题的定义、组成、分类，原命题 方法广归纳+++++++++中+++中一 与逆命题的关系（条件和结论互换）. 三角形的内角和定理及其推论是求解 2.掌握证明的推理格式和推理方法， +”十”十”+十十+”十+“十+十+”十十”十+十+”十+十十 角度问题的重要依据，善于发现并灵活运用 内角、外角的关系是学好几何的第一步.解 02整合提升 题的关键是确定已知角与所求角的位置关 14.如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线， 系，有时可借助平行线或对顶角相等进行转 下列三角板的摆放位置正确的是 ( 化，特别要注意推论中“不相邻”的条件. m十十十 十十十十 十十十m十十十十 考点四命题与证明 12.(潍坊中考)下列命题是真命题的有( B. A.若a=b,则ac=bc B.若a>b,则ac>bc C.两个有理数的积可能为无理数 15.如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE∥AC, D.两个无理数的积可能为无理数 13.在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB∥ ∠B=40°，∠A=80°，则∠CDE等于 () A.75° B.60 C.45° D.30° CD,试用不同的方法证明∠B+∠C= ∠BEC.某同学写出了该命题的逆命题，请你 帮他把逆命题的证明过程补充完整， 已知：如图1，∠B+∠C=∠BEC A---- 求证：AB∥CD 第15题图 第16题图 证明：如图2，过点E作EF∥AB 16.如图，乐乐将△ABC沿DE,EF分别翻折，顶 ∴∠B=∠ 点A,B均落在点O处，且EA与EB重合于 36 线段EO.若∠DOF=139°，则∠C为(） 03素养专练 A.38° B.399 C.409 D.41 17.如图，将分别含有30°、45°角 20.在一个三角形中，如果一个角α是另一个角3 65 的一副三角板重叠，使直角 的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角 顶点重合，若两直角重叠形 形”，其中α称为“灵动角”.例如，三个内角分 别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”， 成的角为65°，则图中角a 的度数为 其中120°是“灵动角”.如图，∠MON=60°， 18.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AE 在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM 平分∠BAC,∠C=70°，∠DAE=15°，求∠B 交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线 的度数 段OB于点C(规定0°<∠OAC<90). (1)∠ABO的度数为 ,△AOB (填“是”或“不是”)“灵动三角形”； (2)若∠BAC=70°，则△AOC (填“是” 或“不是”)“灵动三角形”； (3)当△ABC为“灵动三角形”，其中∠ACB 为“灵动角”时，求∠OAC的度数. 19.(1)如图，已知DE∥BC,∠1=∠3，CD⊥ AB,证明：FG⊥AB; (2)若把(1)中的题设“DE∥BC”与结论“FG ⊥AB”对调，证明其正确性.