江苏扬州市江都区大桥高级中学2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试卷

2026~2027学年第一学期10月学情检测 高三数学试卷参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．ABD 10．ACD 11．AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．； 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）【难度】0．71 【解】（1）如图，因为梯形中，，所以，由余弦定理得，所以． （2）在中，，又，在中， 所以，又，由正弦定理得，，即，解得． 16．（15分）【难度】0.62 （1）证明：∵四边形是菱形 ，互相平分，且，则为的中点，又是线段的中点，连接，，平面，平面，且，平面． （2）∵四边形是菱形，，互相平分，且．，，．由于平面，，平面，则，，又，所以，故，，两两垂直．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设 则，，，，．设平面的一个法向量为，且， 则，即，取，则，，．设平面的一个法向量为，，，则，即，取，则，，．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，且，，所以，即，，，即，解得，或（舍去），即． 17．（15分）【难度】0.65 【解】（1）设理论考试合格为事件，实操考试合格为事件，理论考试有两次机会，至少一次合格的概率为：，实操考试有两次机会，至少一次合格的概率为：，因为只有理论合格后才能参加实操，所以获得证书的概率为：． （2）设“第一次理论考试合格”为事件，“理论考试补考合格”为事件；“第一次实操考试合格”为事件，“实操考试补考合格”为事件；由已知得，，，，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得，，， 所以，随机变量的分布列为 2 3 4 参加考试次数的期望值． 18．（17分）【难度】0.65 【解】（1）因为，所以，，，解得，，所以对称中心为，． （2）因为，所以，因为，当，即时，单调递增，当，即，单调递减，当或时，，当时，，所以方程在上的有两个解，所以． （3）因为函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以，因为，，不等式成立，所以，因为，所以，当，即时，，当时，令，所以，即，即，所以实数的取值范围． 19．（17分）【难度】0.25 （1）函数，定义域为，由，所以函数在上单调递增，所以函数无极值点，所以． （2），由（1）知当时，，即，当时，； ①若，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以，所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以为函数的极大值点，不合题意．综上，实数的取值范围为． （3）方法一：若，则在上有解，设为，由于在上为严格增函数，所以当时，，则为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，由于存在，使得对任意恒成立，所以存在实数，使得对任意恒成立，且满足随着从连续减小趋近于负无穷，函数的函数值从逐渐连续减小趋近于0，所以为的渐近线，则有时，，时，，由于的定义域为，在上为严格减函数，在上为严格增函数，所以当时，有，和，与不等式的传递性矛盾，所以不存在这样的使得在上有解，故． 方法二：先证明：当在上为严格增函数时，任取，，均有，等号当且仅当时成立，设，则，所以当，即时，，即函数在单调递增，当，即时，，即函数在单调递减，所以．即，等号当且仅当时成立； 再证明：，若，则在上有解，设为，由于在上为严格增函数，所以当时，，为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数，所以存在，使得，与题意矛盾， 当，令，则，由于的任意性，取，则，故，再取实数满足且，有，与“”对任意恒成立矛盾，所以不存在这样的使得在上有解，故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期10月学情检测 高 三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 4．已知，，则“”的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 5．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则 A． B． C． D． 6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知函数在上仅存在极小值，则的范围是 A． B． C． D． 8．在锐角中，为边的中点，点在线段上，若，，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 A． B． C．在区间上单调递减 D．当，为方程的两个不同的解时，的最小值为 10．设，均为正数，且，则 A． B． C． D． 11．已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知两单位向量，满足，则，的夹角为________． 13．已知函数，（）满足恒成立，则________，若锐角满足，则__________． 14．已知对于，都有，则的取值范围是__________．（用集合表示结果） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知在梯形中，，，，， （1）求的长； （2）求的值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，与相交于点，平面，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求． 17．某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他可获得证书的概率； （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 18．（17分）已知函数 （1）求函数的对称中心； （2）若方程在上的有两个解，求的范围； （3）将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． 19．（17分）设函数的极小值点组成集合． （1）若，证明：； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为的函数的图象是一条连续曲线，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 学科网（北京）股份有限公司 $