4.4 对数函数的图像与性质（一）（12个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4 对数函数的图像与性质（一） 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．（1）概念：给定正数，且，指数函数是定义在上，值域为的单调函数，所以对于每一个正数，都存在唯一确定的实数，使得．由函数的定义，就是的函数，称为以为底的对数函数，记作．习惯上，将自变量写成，函数值写成，因此，一般将对数函数写成________（，且），其中称为__底数______． （2）对数函数的图象与性质 底数 图象 性质 定义域：________ 值域：___R_____ 当时，，即过定点________ 当时，________； 当时，________ 当时，__ ______； ________ 在上是__增函数______ 在上是_减函数_______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 对数函数的概念 基础知识 核心知识 形如（且，）的函数叫对数函数 底数满足 真数 方法技巧 判断时先化简解析式 必须同时满足底数、真数条件 区分对数函数与对数型复合函数 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 【例题2】（25-26高一上·广西·阶段检测）（多选）已知集合，，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知集合的函数关系，将自变量代入求对应函数值，判断值域是否存在所得函数值，即可判断. 【详解】由，， 时，，，，； 时，，，，； 时，，，，； 时，，，，， 所以，不能建立从集合A到集合B的函数关系，A，D错误； ，可以建立从集合A到集合B的函数关系，B，C正确. 故选：BC 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 【题型2】 求对数函数的解析式与函数值 基础知识 核心知识 对数函数标准形式 对数运算公式：， ， 方法技巧 待定系数法设，代入已知点求 求函数值优先用对数运算法则化简 底数不同可换底 典型例题 【例题1】（2025高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 【例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为 ，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知为对数函数，，则_______，_______． 【答案】 【分析】设且，根据求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 【题型3】 求对数型函数的定义域 基础知识 核心知识 对数真数大于0 底数大于0且不等于1 同时兼顾分式、根式等限制条件 方法技巧 列出不等式组 真数优先写 多个限制条件取交集 最后写成集合或者区间形式 典型例题 【例题1】（26-27高三上·上海松江·阶段检测）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则， 解得 即，所以函数的定义域为. 【例题2】（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以的定义域为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有， 解得或， 所以函数的定义域是. 【巩固练习2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 【巩固练习3】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由题意得不等式组：， 解得：或， 所以函数的定义域为. 【题型4】 对数型函数定义域/值域为R的问题 基础知识 核心知识 ， 定义域为R：对任意，恒成立 值域为R：能取遍所有大于0的实数 方法技巧 二次型区分两种问法 定义域为R： 值域为R： 注意的一次函数讨论 典型例题 【例题1】（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由定义域为，得出，列出不等式求解即可； （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值，进而得出，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由的定义域为，知的解集为， 则，解得：， 所以a的取值范围为． （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值， 所以只要即可，其中， 所以，解得：或， 所以实数a的取值范围是． 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 【巩固练习2】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【答案】ACD 【详解】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知函数，以下说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则 B．若函数的值域为，则 C．若，则的单调递增区间为 D．若在定义域内有，则 【答案】AD 【分析】根据判别式范围即可判断AB；利用复合函数单调性即可判断C，代入计算得到对数方程，解出即可. 【详解】对A，若的定义域为，则对恒成立， 则，解得，故A正确； 对B，若函数的值域为，则可取遍所有正数， 则，解得或，故B错误； 对C，若，则，令，解得或，内函数，其在上单调递增， 又因为外函数在定义域上单调递增，则的单调递增区间为，故C错误； 若在定义域内有，则， 则，化简得， 则，解得，故D正确. 故选：AD. 【题型5】 对数型函数的单调性 基础知识 核心知识 复合函数同增异减 ，时随递增而递增 时随递增而递减 单调区间必须在定义域内 方法技巧 先求定义域 拆分内层、外层 分别判断内外层单调性 按同增异减得出结论 典型例题 【例题1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【例题2】（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 【巩固练习2】（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 【巩固练习3】（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得或，即函数定义域为. 设， ，在上单调递减. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为. 【题型6】 由单调性求对数型函数的值域 基础知识 核心知识 复合函数单调性 对数函数本身值域为R 给定区间上单调函数最值在端点取得 方法技巧 先确定定义域与单调区间 求出内层函数在区间上的取值范围 结合外层对数单调性算出最终范围 典型例题 【例题1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间及值域. （注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.） 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为.值域为. 【分析】（1）解不等式，可得的定义域； （2）设，则.判断两个函数的单调性，由复合函数单调性同增异减的法则得到的单调区间，并得到其值域. 【详解】（1）由题可得，即，. 解得. 所以函数的定义域为. （2）设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，所以. 因为是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且在，即处取得最小值，最小值为. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 值域为. 【例题2】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）代入计算求参，再根据真数为正可求函数的定义域； （2）根据对数复合函数的单调性，再根据单调性结合定义域计算得出值域. 【详解】（1），即，则. 由题意得解得，故的定义域为. （2）， 令，设， 的对称轴：， 在上单调递增，在上单调递减. 在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增. ， 在上的值域为. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数，则值域为 ________ 【答案】 【分析】结合复合函数及对数函数的性质求解即可. 【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）已知且，且． (1)求的值及的定义域； (2)求函数的单调区间及值域． 【答案】(1)， (2)在上单调递增，在上单调递减；值域为 【分析】（1）根据对数的运算得的值从而得函数解析式，根据对数复合函数列不等式组得定义域即可； （2）根据对数复合函数判断单调性，从而结合对数函数的性质得值域. 【详解】（1）由得，即， 所以，解得， 所以， 由，解得，故的定义域为； （2）因为，， 则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数为增函数， 由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减， 则，因为，所以的值域为. 【题型7】 换元法求对数型函数的值域 基础知识 核心知识 把整体设为，转化为二次或者一次函数 换元后必须写出新元的取值范围 方法技巧 令 求出范围 转化为熟悉函数求值域 最后回代 典型例题 【例题1】（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为______________． 【答案】 【分析】通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 【例题2】（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数为，令，得到，转化为，结合二次函数的性质，即可求解； （2）令，把不等式转化为对任意恒成立，分和，结合不等式的性质和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 令，可得， 则函数即为函数， 可得函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. （2）令，可得， 则不等式对任意恒成立， 即为对于任意恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，即为恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 综上可得，实数的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数． (1)求函数的值域； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算化简函数，令，则，利用二次函数求解函数值域即可； （2）根据对数函数的性质得，将函数转化为函数，再根据二次函数的单调性讨论对称轴的位置，得单调性从而得函数的最大值. 【详解】（1）函数的定义域满足： ，解得，即函数定义域为， 又， 令，则， 则函数转化为， 二次函数开口向上，故当，函数取得最小值为， 所以函数的值域为； （2）因为函数在上为增函数， 所以，即， 则，， 二次函数的对称轴为， ①当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，取最大值； ②当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，取最大值； ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值； 综上，. 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围．（本题如使用非基本初等函数单调性需要证明） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质，利用换元法、对数的单调性，借助二次函数求出值域. （2）由（1）的结论，利用变量分离，构造函数，结合基本不等式即可求出参数范围. 【详解】（1） ， 令，由，得， 则， 因函数在上单调递减，， 故该函数的值域为. （2）不等式在上恒成立，仿上设， 则得不等式在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，可得恒成立， 而， 当且仅当时取等号，则可得， 故的取值范围是. 【巩固练习3】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数，，则的值域为______. 【答案】 【分析】求出的定义域并化简，再令，求在上的值域即可. 【详解】因，， 则由得，即， 即的定义域为， 则， 令，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为 故答案为： 【题型8】 对数型函数的奇偶性求参数 基础知识 核心知识 奇偶性定义：（偶），（奇） 定义域关于原点对称是前提 方法技巧 第一步先保证定义域关于原点对称 代入，利用对数运算化简等式 恒成立对应系数相等求参数 求出参数后回代检验 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 【例题2】（25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 【答案】1 【分析】分析可知函数的定义域为，根据奇函数的定义结合对数运算求解即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即， 可得，结合x的任意性可知. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据偶函数定义，化简整理，即可得，利用换元法，根据其单调性求复合函数的值域即可. 【详解】，因为其为偶函数， 所以，即 所以，解得. 当时，，由解得， 满足偶函数定义，故. 所以，. 令，，由二次函数图象和性质可知， 当 时，，当趋近于或3时，趋近于0， 所以，的值域为； 因为对数函数 在 上单调递增，令 ， 根据单调性可知，当 时， ，且当 趋近于 0 时， 趋近于， 所以 的值域为 . 综上，函数 的取值范围是 . 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【详解】因为函数是奇函数，所以，即， 所以，即， 化简整理得，解得或， 当时，的定义域为，故不是奇函数； 当时，，由，得或， 所以函数的定义域为， 又，故为奇函数，符合题意. 的值为. 【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义计算即可. 【详解】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 【题型9】 求对数型函数的最值 基础知识 核心知识 单调函数端点取最值 换元转化后利用二次函数对称轴求最值 最值点必须在定义域内 方法技巧 方法一：单调性法，区间单调直接代端点 方法二：换元法转为二次函数 注意对称轴是否落在新元取值区间内 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【例题2】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】先求出二次内层函数在指定区间的值域，再根据对数底数的范围分单调性两种情况，利用最值差值为1列方程求解参数. 【详解】设，对称轴为直线，定义域为，则在上单调递增， 当，当，得， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当，在上单调递增，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 ②当，在上单调递减，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 综上，或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 ，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令 ，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 【巩固练习2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【分析】根据函数的单调性分类讨论确定最大值和最小值，然后解方程得值. 【详解】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 【巩固练习3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由条件可得，令，根据基本不等式可得，由条件结合对数函数性质可得，且，由此可求. 【详解】由已知， 所以， 令，又， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为函数的最小值为2， 所以，解得. 故选：D. 【题型10】 对数型函数的图像问题 基础知识 核心知识 过 递增，递减 图像平移：左加右减、上加下减 翻折变换把x轴下方翻到上方 方法技巧 先画基础对数图像 按平移、对称、翻折规则变换 看图优先抓定点、增减趋势、渐近线 典型例题 【例题1】（26-27高三上·重庆·开学考试）在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 【例题2】（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由已知得，根据等腰直角三角形的性质可得点，又A在函数图象上，而B在函数图象上，将点的坐标代入，列方程组求参数值. 【详解】由轴，得， 又是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，又，则， 因为A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得. 故选： 【巩固练习2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是_________________. 【答案】 【分析】根据题目条件结合函数图像分析的取值范围. 【详解】函数的图象如图所示： 设 ， 结合图像可得：，且，， 而 ，故， 故， 设，而在上为增函数，， 故． 故答案为： 【巩固练习3】（2025·广东深圳·模拟预测）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意单调递减，且，结合复合函数单调性求出答案. 【详解】的图象经过第二、三、四象限， 故单调递减，且，解得， 根据复合函数单调性可知，单调递减，故. 故选：BD 【题型11】 对数型函数过定点问题 基础知识 核心知识 ，无论（）取何值，真数等于1时对数为0 方法技巧 令真数部分解出 代入原式算出 得到定点 含参数的对数式通用此法 典型例题 【例题1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 【例题2】（26-27高二·全国·学业考试复习）（1）已知函数（且）的图象恒过定点，则的值是________． （2）函数的单调增区间是________． 【答案】 【详解】（1）函数（且）的图象恒过定点， 则，解得， 则. （2）由，得，则函数的定义域为， 又函数，均为增函数， 根据复合函数的单调性，函数的单调增区间是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数 且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 【巩固练习2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 【巩固练习3】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 【题型12】 对数型函数的单调性奇偶性解抽象不等式 基础知识 核心知识 奇函数，偶函数 单调递增： 单调递减： 所有自变量必须在定义域内 方法技巧 第一步写出定义域限制 利用奇偶性统一不等式两边为 利用单调性脱去符号 联立不等式组取交集 典型例题 【例题1】（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在和上单调递减 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以 在和上单调递减， 所以在和上单调递减； （2）因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； （3）， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【例题2】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义求出，根据给定条件，列出不等式并分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为，由为偶函数，得恒成立， 即恒成立， 而不恒为0，则，由时，函数的图象恒在图象的上方， 得，恒成立，即， 则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 【巩固练习2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数是奇函数，． (1)求的值； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）首先要判断函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式进行转化，再根据函数的单调性转化为代数不等式组，最后求解恒成立问题，综合得到参数范围. 【详解】（1）是奇函数， 则 可得或 当时，对数无意义，舍去； 当时，定义域为，关于原点对称，符合题意，所以. （2）由（1）可得，定义域为， 在上单调递减，且为增函数， 在上单调递减，又是奇函数， 由，可得， ， ； 由，可得， 在上单调递增，则，； 由可得， 而在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，，则实数的取值范围为. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再由奇偶性和单调性将不等式化为，两边平方并整理求解即可． 【详解】由的定义域为且， 所以是偶函数，则等价于， 由于在上单调递增，而在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递增， 可得，两边平方并整理得 ，解得, 故使成立的取值范围为. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，在函数中， ，解得， 所以所求定义域为. 2．（26-27高一上·江苏·期中）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为，，定义域为， 二者对应关系不一致（如时，），不是同一个函数，故A错误； 选项B：定义域为，定义域为， 二者定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 选项C：定义域为，的定义域为， 二者定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 选项D：，定义域为，，定义域为， 二者定义域、对应关系均完全一致，是同一个函数，故D正确. 3．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，单调递增，所以值域为，由分段函数的值域为，所以当时，的取值包含的每一个取值，求解参数a的取值范围即可. 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 4．（23-24高三上·陕西汉中·阶段检测）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域. 【详解】令，则，又， 所以原函数可变为 ，， 所以，，所以的值域为. 故选：A. 5．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e 【答案】B 【分析】令，问题转化为函数在上的最大值为3，结合函数的对称性，讨论求最大值得解. 【详解】设，则问题转化为函数在上的最大值为3， 因为函数的对称轴为， 当时，，不合题意； 当时，，合题意， 综上，的最大值为. 故选：B. 6．（25-26高一上·安徽宿州·期末）函数（，且）的图像恒过定点，若点在幂函数的图像上，则幂函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，求得定点，设幂函数，代入求得，得到，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，则， 所以函数的图像恒过点， 设幂函数， 将点代入可得，解得，即， 由二次函数的图像与性质，可得选项C符合题意. 故选：C. 7．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 减函数-增函数，则函数在上单调递减. 8．（24-25高二下·云南保山·阶段检测）已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】易知在上是单调函数，所以，即，解得． 二、多选题 9．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 【答案】BC 【分析】先把化简为，由判断奇偶性，再用基本不等式求出的范围，从而判断的符号与最小值. 【详解】. 对于A、B，因为， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，A错误、B正确. 对于C，当时，由基本不等式得（等号只在时成立）， 所以，C正确. 对于D，因为（当且仅当时取等号）， 所以，即的最小值为，而不是，D错误. 10．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据对数函数的定点求解即可；对于B，先判断函数的奇偶性，进而判断即可；对于C，求出函数的定义域即可判断；对于D，整理得到，令，进而结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，函数，恒过定点，故A正确； 对于B，函数，， 而，则函数为偶函数， 其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，函数， 由，解得， 则函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数，， 令，则，而函数在上单调递增， 则时，，即函数在上的最大值为，D正确. 11．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 12．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据恒成立和推导出且，再结合不等式性质、二次函数最值逐一判断选项. 【详解】函数的定义域为， 若，则，此时对，成立； 若，则，要使得恒成立，则，即对所有成立，得； 若，则要使得恒成立，则，即， 所以，即，又，故，. 对于A：， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B：，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：，因为，故，即，C错误； 对于D：，这是开口向下的二次函数，对称轴， 最大值为：，故，D正确. 三、填空题 13．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数是上的奇函数，则________________________． 【答案】/ 【分析】通过解出的值，得到函数的解析式，再使用验证即可. 【详解】因为函数是上的奇函数， 所以，即，解得，则，定义域为， 因为， 所以当时，函数是上的奇函数． 14．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】先构造，证明其为奇函数且单调递增，再将原不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，解一次不等式即可得到解集． 【详解】令， 因为 ，所以为奇函数， 设，令，其中， 任取、，且， 则 ， 因为，则，，故，同理可得， 又因为，所以， 即，所以内层函数在上单调递增， 又因为外层函数在上为增函数， 根据复合函数单调性可判断在上单调递增， 设，因为单调递增，所以在上单调递减， 从而在上单调递增， 因为是两个单调递增函数之和，所以在上单调递增， 所以原不等式即为， 等价于，即 由在上单调递增，得，解得， 故原不等式的解集为. 15．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】内层一次函数递减，由同增异减得底数，再保证区间内真数最小值大于0，即可求解. 【详解】令，，则在严格递减. ，复合函数“同增异减”，在严格递减，单调递增，所以得出； 由真数恒大于零，所以在恒成立. 在严格递减，最小值在，所以. 综上所述，， 所以实数的取值范围是. 16．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性把不等式转化为,再由函数的单调性求解. 【详解】由得， 故函数的定义域为f，定义域关于原点对称， 因为，因此是偶函数， 当时，，其中和在上均为增函数， 故在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 已知，根据偶函数性质，可转化为, 又因为在上单调递增，所以, 当时：，由对数函数单调性得, 当时：，由对数函数单调性得, 实数的取值范围为 四、解答题 17．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的定义域为. (2)为偶函数， 由（1）知，的定义域关于原点对称，，， 所以为偶函数； (3) 【分析】（1）先根据计算出，再使对数的真数大于0，即可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以要使函数有意义，则需，解得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为，所以. 因在定义域内单调递增，所以等价于， 解得， 所以的取值范围为. 18．（25-26高一上·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为2 【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的最值性质、对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 19．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1)首先利用对数运算法则化简的解析式，将其转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求得值域. (2)先将恒成立条件转化为，通过换元法将转化为关于的二次函数，求解在上的最小值，再代入不等式求解关于的一元二次不等式，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）由，化简可得 ． ， 因为，所以，即的值域为. （2）因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 20．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. （2）略. （3）在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为，    ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴. ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴. 综上所述，的取值范围为 $4.4 对数函数的图像与性质（一） 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．（1）概念：给定正数，且，指数函数是定义在上，值域为的单调函数，所以对于每一个正数，都存在唯一确定的实数，使得．由函数的定义，就是的函数，称为以为底的对数函数，记作．习惯上，将自变量写成，函数值写成，因此，一般将对数函数写成________（，且），其中称为__底数______． （2）对数函数的图象与性质 底数 图象 性质 定义域：________ 值域：___R_____ 当时，，即过定点________ 当时，________； 当时，________ 当时，__ ______； ________ 在上是__增函数______ 在上是_减函数_______ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 对数函数的概念 基础知识 核心知识 形如（且，）的函数叫对数函数 底数满足 真数 方法技巧 判断时先化简解析式 必须同时满足底数、真数条件 区分对数函数与对数型复合函数 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·广西·阶段检测）（多选）已知集合，，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·周测）（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【题型2】 求对数函数的解析式与函数值 基础知识 核心知识 对数函数标准形式 对数运算公式：， ， 方法技巧 待定系数法设，代入已知点求 求函数值优先用对数运算法则化简 底数不同可换底 典型例题 【例题1】（2025高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【例题2】（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【巩固练习2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知为对数函数，，则_______，_______． 【巩固练习3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则_________． 【题型3】 求对数型函数的定义域 基础知识 核心知识 对数真数大于0 底数大于0且不等于1 同时兼顾分式、根式等限制条件 方法技巧 列出不等式组 真数优先写 多个限制条件取交集 最后写成集合或者区间形式 典型例题 【例题1】（26-27高三上·上海松江·阶段检测）函数的定义域为________． 【例题2】（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 【题型4】 对数型函数定义域/值域为R的问题 基础知识 核心知识 ， 定义域为R：对任意，恒成立 值域为R：能取遍所有大于0的实数 方法技巧 二次型区分两种问法 定义域为R： 值域为R： 注意的一次函数讨论 典型例题 【例题1】（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【巩固练习2】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知函数，以下说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则 B．若函数的值域为，则 C．若，则的单调递增区间为 D．若在定义域内有，则 【题型5】 对数型函数的单调性 基础知识 核心知识 复合函数同增异减 ，时随递增而递增 时随递增而递减 单调区间必须在定义域内 方法技巧 先求定义域 拆分内层、外层 分别判断内外层单调性 按同增异减得出结论 典型例题 【例题1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【例题2】（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（26-27高三上·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【题型6】 由单调性求对数型函数的值域 基础知识 核心知识 复合函数单调性 对数函数本身值域为R 给定区间上单调函数最值在端点取得 方法技巧 先确定定义域与单调区间 求出内层函数在区间上的取值范围 结合外层对数单调性算出最终范围 典型例题 【例题1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间及值域. （注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.） 【例题2】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数，则值域为 ________ 【巩固练习3】（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）已知且，且． (1)求的值及的定义域； (2)求函数的单调区间及值域． 【题型7】 换元法求对数型函数的值域 基础知识 核心知识 把整体设为，转化为二次或者一次函数 换元后必须写出新元的取值范围 方法技巧 令 求出范围 转化为熟悉函数求值域 最后回代 典型例题 【例题1】（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为______________． 【例题2】（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数． (1)求函数的值域； (2)当时，求的最大值． 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围．（本题如使用非基本初等函数单调性需要证明） 【巩固练习3】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数，，则的值域为______. 【题型8】 对数型函数的奇偶性求参数 基础知识 核心知识 奇偶性定义：（偶），（奇） 定义域关于原点对称是前提 方法技巧 第一步先保证定义域关于原点对称 代入，利用对数运算化简等式 恒成立对应系数相等求参数 求出参数后回代检验 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【例题2】（25-26高一下·河南信阳·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________. 【巩固练习2】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ） A． B． C．2 D．6 【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【题型9】 求对数型函数的最值 基础知识 核心知识 单调函数端点取最值 换元转化后利用二次函数对称轴求最值 最值点必须在定义域内 方法技巧 方法一：单调性法，区间单调直接代端点 方法二：换元法转为二次函数 注意对称轴是否落在新元取值区间内 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【巩固练习3】（25-26高三上·重庆·阶段检测）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 【题型10】 对数型函数的图像问题 基础知识 核心知识 过 递增，递减 图像平移：左加右减、上加下减 翻折变换把x轴下方翻到上方 方法技巧 先画基础对数图像 按平移、对称、翻折规则变换 看图优先抓定点、增减趋势、渐近线 典型例题 【例题1】（26-27高三上·重庆·开学考试）在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【巩固练习2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是_________________. 【巩固练习3】（2025·广东深圳·模拟预测）（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【题型11】 对数型函数过定点问题 基础知识 核心知识 ，无论（）取何值，真数等于1时对数为0 方法技巧 令真数部分解出 代入原式算出 得到定点 含参数的对数式通用此法 典型例题 【例题1】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高二·全国·学业考试复习）（1）已知函数（且）的图象恒过定点，则的值是________． （2）函数的单调增区间是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数 且的图像恒过定点，则______. 【巩固练习2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【题型12】 对数型函数的单调性奇偶性解抽象不等式 基础知识 核心知识 奇函数，偶函数 单调递增： 单调递减： 所有自变量必须在定义域内 方法技巧 第一步写出定义域限制 利用奇偶性统一不等式两边为 利用单调性脱去符号 联立不等式组取交集 典型例题 【例题1】（26-27高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数为奇函数. (1)求实数的值并判断的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【例题2】（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【巩固练习2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数是奇函数，． (1)求的值； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏·期中）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·陕西汉中·阶段检测）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e 6．（25-26高一上·安徽宿州·期末）函数（，且）的图像恒过定点，若点在幂函数的图像上，则幂函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 8．（24-25高二下·云南保山·阶段检测）已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 二、多选题 9．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 10．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 11．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 12．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数是上的奇函数，则________________________． 14．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为__________． 15．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知（其中，），若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________． 16．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围为_____________． 四、解答题 17．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 19．（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 20．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． $