安徽省阜阳市第七高级中学2026-2027学年高二上学期段一考试数学试卷
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内容正文：
阜阳七中（合肥一中阜阳分校）2026-2027学年度第一学期
高二上学期段一考试数学试卷
参考答案与解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．在轴上的截距为且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由倾斜角求斜率，再由截距写方程。
【解答】斜率，且直线过，所以，选B。
2．若平面内两条平行线，间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】先由平行条件求，再代回检验距离。
【解答】由平行得，即，解得或。时两线距离为，不合；时距离为。选A。
3．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】化为标准方程，比较圆心距与半径。
【解答】，圆心，半径2；，圆心，半径5。圆心距，满足，两圆相交，选B。
4．已知，，圆经过两点，且圆的周长被轴平分，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】周长被轴平分，说明圆心在轴上。
【解答】设圆心，由得，解得，半径2。故，选B。
5．若点在直线上，点在圆上，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】圆心到直线的距离减去半径。
【解答】圆心到直线距离，所以，选B。
6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”。如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】是点与连线的斜率，求过的直线与阴影部分有公共点时斜率的最小值。
【解答】设，则直线为。当它与上方小圆相切时，取得最小值。由得，即或，故最小值为，选C。
7．已知分别是椭圆的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用通径与垂直关系建立的方程。
【解答】设，，则，，垂直得，即。又，代入得，结合得，选C。
8．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆定义求周长，再由内切圆半径求面积。
【解答】的周长，半周长10。内切圆半径，面积。设的斜率为，则，而面积，联立得，选D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9．下列说法中错误的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的最大距离为
【答案】ACD
【分析】逐项判断，注意点斜式不能表示竖直线。
【解答】A错误，点斜式不能表示斜率不存在的竖直线；B正确，令得；C错误，关于对称应交换，得；D错误，直线恒过，最大距离为，不是。选ACD。
10．已知圆与圆相交于两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线（为切点），则说法正确的是（ ）
A．直线的方程为 B．线段的长为
C．直线过定点 D．的最小值是
【答案】BC
【分析】两圆方程相减得公共弦；切点弦为极线。
【解答】两圆方程相减得，A错误；圆心到距离，弦长，B正确；设，切点弦，又，消去得，过定点，C正确；，D错误。选BC。
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美。平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线围成的图形面积为
B．若点在曲线上，则
C．若圆包含曲线，则的最小值为
D．若点在曲线上，点，则的最大值为
【答案】AB
【分析】分象限化为圆，利用对称性判断。
【解答】第一象限为，其余象限对称，曲线由四段半圆组成。面积，A正确；最高点，最低点，B正确；上点到原点最远为，故，C错误；第三象限半圆的圆心为，圆心到的距离为5，故的最大值为，不是，D错误。选AB。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．过点且倾斜角为的直线方程是______．
【答案】
【分析】倾斜角为时直线垂直于轴。
【解答】直线斜率不存在，方程为。
13．已知中，顶点满足，则面积的最大值为______．
【答案】
【分析】建立坐标系，求出的轨迹圆，最大高为半径。
【解答】取，设，由得，半径。故面积最大值。
14．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】角的最大值在短轴端点处取得。
【解答】当为短轴端点时最大。此时。需，即，化简得，所以，故。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15．（13分）已知的三个顶点的坐标分别为。
（1）求边上的中线所在直线的斜率；
（2）求边上的高所在直线的斜率。
【答案】（1）；（2）。
【分析】（1）求中点，再求与连线的斜率；（2）先求斜率，高的斜率为其负倒数。
【解答】（1）中点，中线斜率。
（2），所以边上的高所在直线的斜率为3。
16．（15分）已知半径大于1的圆与轴、轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上。
（1）求圆的方程；
（2）过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程。
【答案】（1）；（2）或。
【分析】（1）设圆心、半径；（2）用弦长公式求斜率。
【解答】（1）设圆心，半径（）。由得，或5，取，圆为。
（2）设，圆心到距离。由得，解得或。故或。
17．（15分）在平面直角坐标系中，已知曲线与坐标轴的交点都在圆上，点。
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程；
（3）求满足的点的轨迹方程，并判断该轨迹与圆的位置关系。
【答案】（1）；（2）或；（3），与圆相交。
【分析】（1）求三个交点；（2）分斜率存在与不存在；（3）直接坐标代入。
【解答】（1）令得；令得。设圆，由三交点得，即。
（2）是切线；当斜率存在时设，由得，切线为。
（3）设，由得。圆心距，满足，两圆相交。
18．（17分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线，与椭圆分别交于点（异于点），为弦的中点。
（i）求点的轨迹方程；
（ii）设为坐标原点，当直线与的斜率均存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值。
【答案】（1）；（2）（i）（去掉点）；（ii）定值。
【分析】（1）由求；（2）用中点坐标表示，再代入椭圆方程。
【解答】（1），，所以，，椭圆为。
（2）（i）设，则。代入椭圆得。因，轨迹去掉点。
（ii），。由得，所以，为定值。
19．（17分）已知圆。
（1）设点为圆上的任意一点，证明：过点与圆相切的直线方程为；
（2）已知是圆上两不同的点，且，，直线过点。
（i）证明：；
（ii）过点作圆的切线，直线与分别交于点，连接交于点，证明：点在直线上。
【答案】证明见解析。
【分析】（1）用圆心到直线距离等于半径；（2）（i）由共线列式；（ii）写出坐标，联立直线。
【解答】（1）圆心到直线的距离，且在直线上，所以该直线是圆过的切线。
（2）（i）由共线，，交叉相乘并整理即得。
（ii）切线，令得；同理。设，由共线、共线联立，并利用及（i）的结论化简，得，故在直线上。
高二数学段一考试 第 1 页（共 4 页）
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阜阳七中（合肥一中阜阳分校）2026-2027学年度第一学期
高二上学期段一考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出选项中，只有一项符合题目要求）
1．在轴上的截距为且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若平面内两条平行线，间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
3．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．已知，，圆经过两点，且圆的周长被轴平分，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若点在直线上，点在圆上，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”。如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别是椭圆的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下列说法中错误的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的最大距离为
10．已知圆与圆相交于两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线（为切点），则说法正确的是（ ）
A．直线的方程为 B．线段的长为
C．直线过定点 D．的最小值是
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美。平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线围成的图形面积为
B．若点在曲线上，则
C．若圆包含曲线，则的最小值为
D．若点在曲线上，点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过点且倾斜角为的直线方程是______．
13．已知中，顶点满足，则面积的最大值为______．
14．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知的三个顶点的坐标分别为。
（1）求边上的中线所在直线的斜率；
（2）求边上的高所在直线的斜率。
16．（15分）已知半径大于1的圆与轴、轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上。
（1）求圆的方程；
（2）过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程。
17．（15分）在平面直角坐标系中，已知曲线与坐标轴的交点都在圆上，点。
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程；
（3）求满足的点的轨迹方程，并判断该轨迹与圆的位置关系。
18．（17分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线，与椭圆分别交于点（异于点），为弦的中点。
（i）求点的轨迹方程；
（ii）设为坐标原点，当直线与的斜率均存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值。
19．（17分）已知圆。
（1）设点为圆上的任意一点，证明：过点与圆相切的直线方程为；
（2）已知是圆上两不同的点，且，，直线过点。
（i）证明：；
（ii）过点作圆的切线，直线与分别交于点，连接交于点，证明：点在直线上。
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