重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月定时检测数学试题

西南大学附中高2026届高三上1月定时检测 数 学 试 题 (满分:150 分; 考试时间:120 分钟) 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。 3. 考试结束后，将答题卡交回(试题卷学生保存，以备评讲)。 一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 复数 的虚部为( ) A. 1 B. D. 2. 已知向量 ，且 ，则实数 为( ) A. -3 B. 3 C. 4 D. -4 3. 函数 的最大值为( ) A. B. +1 C. D. 3 4. 如图,已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为棱 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5. 西大附中第 25 届缤纷节期间，甲、乙、丙、丁 4 名志愿者被派往三个会场参加志愿者服务， 每名志愿者都必须分配，每个会场至少分配 1 名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个会场， 则不同的分配方案共有( ) A. 30 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 56 种 6. 记等比数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,且满足 ,若 ，则 公比 ( ) A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 已知 ，且 ，则下列不等式不正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若 ,且 , 若 ,则满足条件的点 在平面直角坐标系中构成的图像为( ) A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是( ) A. 若事件 与事件 相互独立, ,则 B. 若样本数据 的方差为 10,则数据 的方差为 90 C. 一个盒子中有 3 个黑球, 2 个白球, 1 个红球, 不放回地抽取两次, 每次抽一个球, 则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1, 2, 3, ……, 2024, 2025, 2026 这 2026 个数的上四分位数是 507 10. 如图，在正四棱柱 中， ， ，点 为线段 上一动点， 则下列说法正确的是( ) A. 直线 平面 B. 三棱锥 的体积为定值 C. 若 为线段 中点，则 与 垂直 D. 三棱锥 外接球的体积为 11. 已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，则下列说法中正确的有( ) A. 点 的坐标为 B. 若点 在第一象限，且 ，则直线 的斜率为 C. D. 过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 ,若点 为 的曲线段 上任意一点,则 面积的最大值为 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中 的系数为_____(用数字作答). 13. 已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ，点 、 为切点，则直线 经过定点_____. 14. 在正项数列 中， ， ，记 . 整数 满足 ，则数列 的前 项和为_____. 四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是函数 一个周期内的图象,把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍, 纵坐标不变; 再将所得的图像向右平移 个单位长度,得到函数 的图象. (1)求函数 的解析式; (2)在 中，若 ， ，当 ，求 . 16. 近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵抗力就会变弱。易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范。我校数学建模社团成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系, 他们记录了某周周一至周六的温差, 并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下: 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 昼夜温差 (℃) 4 7 8 9 14 12 新增流感就诊人数 (位) 参考数据: (1)已知第一天新增流感就诊的学生中有 3 位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取 2 位,其中男生人数记为 ,若抽取的 2 人中至少一位女生的概率为 ,求 的分布列和数学期望; (2)已知两个变量 与 之间的样本相关系数 ,请用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程 ，据此估计昼夜温差为 时，我校新增流感就诊的学生人数. 参考公式: 17. 在平面直角坐标系 中,已知动点 到点 的距离和 到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)过点 的动直线 (斜率 存在) 与曲线 交于 两点，在 轴上存在点 ， 使得 ,试问 是否为定值,若是，求出 的值; 若不是,请说明理由. 18. 如图,四棱锥 中,底面 为矩形, , ,侧面 为正三角形,且平面 平面 为棱 上一点, ,平面 交棱 于点 。 (1) 求证: ; (2)当 时，点 关于平面 的对称点为 ，求 点到平面 的距离. (3) 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 19. 已知函数 . (1)若 ，求函数 在区间 上的单调区间； (2)若 ，函数 在区间 的零点从小到大依次构成数列 ； (i) 证明: 函数 在区间 有唯一零点,且 ; (ii) 令 ,判断并证明数列 的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $