2026-2027学年高三上学期数学期中考自编模拟卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年高三数学上学期期中考自编模拟卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求得集合，，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合交集的定义与运算，可得. 2．已知复数，，则（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】B 【详解】由复数，，得， 所以. 3．的展开式中的系数是（     ） A． B．26 C． D．30 【答案】D 【分析】利用二项式展开的通项公式，分别求出中项和项的系数，结合前一因式的系数求和即可得到的系数. 【详解】二项式的展开式通项为，其中 的展开式中项来源于两部分： 因式乘以的项：取，对应系数为； 因式乘以的项：取，对应系数为； 将两部分系数求和，得的系数为. 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】. 5．已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 6．某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 【答案】C 【详解】数列 后 7 项 构成等差数列，公差为 d， 则 ，，. 由 ，得 ， 即 ①， 由 ，得 ②， ② − ①，得 ，即 ， 代入②，得 ，即 . 又 成等差数列，且 ，，故 . 因此 9 层书架图书总数为 . 7．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 8．已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】将，看成两点间距离的平方，将问题转化成两圆上点的距离求解. 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 10．已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据对数函数的定点求解即可；对于B，先判断函数的奇偶性，进而判断即可；对于C，求出函数的定义域即可判断；对于D，整理得到，令，进而结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，函数，恒过定点，故A正确； 对于B，函数，， 而，则函数为偶函数， 其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，函数， 由，解得， 则函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数，， 令，则，而函数在上单调递增， 则时，，即函数在上的最大值为，D正确. 11．双曲线的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过点，与的左、右两支分别交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，下列说法正确的是（     ） A．的渐近线方程是 B．若，则 C．若，则 D．若，是线段的三等分点，则 【答案】AD 【分析】根据题意，结合双曲线的性质，韦达定理等注意判断即可. 【详解】如图所示； 选项A：由题知，，，则的渐近线方程，A正确. 选项B：方法一； ，点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，不满足题意， 当斜率存在时，设直线的方程为， 当时， 由，，则点的坐标为， 同理得点的坐标为， ，点为的中点，，，， 当时，由对称性得， ，B错误. （方法二；由对称性可知，满足条件的若存在，必然有两个值，故B错误.） 选项C： ，点在的垂直平分线上，设点的坐标为，点为的中点，点的坐标为， 由，，由韦达定理得，， ，， 又，， 由， ， 由弦长公式得，C错误. 选项D： ，是线段的三等分点，，， ，， ， ，， 又，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则_________. 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，再利用两向量垂直时数量积为0的性质列方程求解的值. 【详解】，，可得， 因为，所以，解得. 13．焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由题意得，从而得，设，根据向量的数量积运算即可求得的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 14．对于函数，若存在非零实数，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据 “隐对称点” 的定义，将问题转化为分段函数单侧图象关于原点对称后与另一侧图象的交点个数问题；通过方程变形分离参数，构造函数并利用导数分析单调性、切线位置，结合数形结合确定参数的取值范围. 【详解】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点， 即方程有两个根，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 的图象恒过点，的图象也过点， 因为，所以在处的切线方程为， 由图可知当或时，与的图象有2 个交点， 即有两个根， 所以实数m的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， (1)若角的平分线长为1，且，求． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，再利用辅助角公式并结合的范围即可得到答案； （2）根据余弦定理得到，再根据其为锐角三角形和余弦定理求出的范围，最后根据二次函数性质即可求出平方和范围. 【详解】（1）由正弦定理可知 ， 因为，所以，所以 ， 即，即， 即，即， 因为 ，所以 ， 由此得 ，即 . 因为是角 的平分线，所以 ， 根据三角形面积公式，有 ， 即， 即，所以， 由余弦定理 ， 则. （2）由题意得， 即， 因为为锐角三角形，则，即，解得. 则，其中， 设，则在上单调递增， 则，即， 所以的取值范围为. 16．（15分）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，答对一道题目可抽奖一次．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目．他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖．求该同学中奖的概率； (2)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择． 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励． 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适． 【答案】(1) (2) 选择方案一比较合适 【详解】（1）设事件分别为该同学选择甲、乙、丙箱抽奖，事件为该同学中奖. ∵ 该同学等可能选择三个箱子，∴ ， 又已知， 由全概率公式得 . （2）设方案一获得的学习用品价值为，则的可能取值为. ∵ 各箱中奖与否互不影响， ∴ ， ， ， ∴ . 设方案二获得的学习用品价值为，则的可能取值为，三次从甲箱抽奖的中奖次数服从二项分布. ∴ ， ， ， ∴ . ∵ ，即， ∴ 该同学选择方案一更合适. 17．（15分）如图，正方形边长为，，分别为边，的中点，是线段上的点，且．把矩形沿折起，设． (1)在上找一点，使得直线平面，并求出的值； (2)若，求的值； (3)若四棱锥的外接球半径为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理及平行线的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，根据垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示求解即可. （3）判断球心位置并设出坐标，根据两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）过点在平面中作，交于点. 因为平面，平面，所以平面. 又，所以. （2）以点为原点，以为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 因为，所以，即， 整理得，即. （3）连接，交于点，设四棱锥的外接球球心为，连接， 则平面， 连接，则. 底面的中心，可设. 所以，则. ， 即，整理得，则， 两边平方得，即，也即. 又，则，所以，解得. 则. 18．（17分）已知抛物线：（），为上一点． (1)若点坐标为，则它到其焦点的距离为，求此时与的值； (2)若动直线：与相交于，两点，点满足（为坐标原点），且直线，的斜率之和为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）过点作的切线，若平行于，求的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用抛物线的定义可知，再结合抛物线方程可得，于是求出，代入点坐标，可求得； （2）（ⅰ）利用可得，联立直线与抛物线方程，得到，又由直线，的斜率之和为，可得，代入韦达定理得到的结果并化简可得，于是，抛物线的方程为；（ⅱ）利用导数的几何意义得到的横坐标满足，于是结合（ⅰ）可知与轴平行，进而得到三角形面积为，再联立直线与抛物线方程，得到，代入三角形面积函数可得，于是. 【详解】（1）如下图，由抛物线的性质可知，， 所以，解得.于是抛物线方程为， 当时，，解得. （2）（ⅰ）设， 因为，所以，即， 所以，直线与抛物线联立可得 ，由韦达定理. 又因为直线，的斜率之和为， 所以，通分可得 又因为， 所以，于是， 整理得，因式分解可得， 因为，且为任意实数，要使等式恒成立，则. 所以抛物线的方程为. （ⅱ）由上可知抛物线的方程为，设 由导数的几何意义，过点作的切线的斜率为， 因为平行于，所以，即，所以. 由上可知，则. 直线与抛物线联立可得， 所以， 所以，因为，所以， 综上所述，的面积的最小值为. 19．（17分）已知函数． (1)若讨论的极值点个数； (2)若，设函数． （i）证明：恒成立； （ii）若，证明：，． 【答案】(1)当或时，原函数无极值点； 当时，原函数有两个极值点． (2) （i）由题意：， 设，，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，故，即， 又因，故，即 即得； （ii）证明：由（i）可知， ， ， 所以 ， 先证，， 令，，则，故在单调递增， 故，故，， 所以， 再证， 设，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，故，当且仅当时取等号， 故令，则，故， 因此， 故 ， 综上可知：，． 【分析】（1）求导转化为，根据的范围看方程解的个数，判断极值点数量； （2）（i）构造函数证明，搭配，直接合并证出不等式； （ii）先用（i）的结论放缩，再用和裂项累加放缩得到. 【详解】（1）由题，， 令，， 当时恒成立，在上单调递增，无极值点； 当时：恒成立，在上单调递减，无极值点； 当时：方程在有两个不同解. ，，单调递增；，，单调递减； ，，单调递增； 此时是极大值点，是极小值点，一共2个极值点. （2）（i）略.（ii）略. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期期中考自编模拟卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 2．已知复数，，则（    ） A．2 B． C． D．8 3．的展开式中的系数是（     ） A． B．26 C． D．30 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 7．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 10．已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 11．双曲线的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过点，与的左、右两支分别交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，下列说法正确的是（     ） A．的渐近线方程是 B．若，则 C．若，则 D．若，是线段的三等分点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则_________. 13．焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 14．对于函数，若存在非零实数，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， (1)若角的平分线长为1，且，求． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 16．（15分）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，答对一道题目可抽奖一次．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响． (1)若一位同学答对了一道题目．他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖．求该同学中奖的概率； (2)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择． 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励． 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适． 17．（15分）如图，正方形边长为，，分别为边，的中点，是线段上的点，且．把矩形沿折起，设． (1)在上找一点，使得直线平面，并求出的值； (2)若，求的值； (3)若四棱锥的外接球半径为，求的值． 18．（17分）已知抛物线：（），为上一点． (1)若点坐标为，则它到其焦点的距离为，求此时与的值； (2)若动直线：与相交于，两点，点满足（为坐标原点），且直线，的斜率之和为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）过点作的切线，若平行于，求的面积的最小值． 19．（17分）已知函数． (1)若讨论的极值点个数； (2)若，设函数． （i）证明：恒成立； （ii）若，证明：，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $