2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷（广东省广州市适用）

2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，若或，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，的夹角为，，，则（     ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：上一动点，过圆M外一点P向圆M引-条切线，切点为A，若|PA|=|PO|，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 10．如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则角 B．的最小值为 C．若，则 D．若，，则 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．定义在上的函数满足，若曲线与恰有个交点、、、，则 D．当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 13．对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水______次． 14．已知正实数列的前项和为，若，当，且时，，则的整数部分为__ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 16．（15分）大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． (1)求甲两题均选择A类试题作答的概率； (2)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 18．（17分）已知曲线在处的切线过点. (1)试求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 19．（17分）蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为． (1)求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； (2)证明：点P在蔓叶线C上； (3)设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，若或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以或． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 3．已知平面向量，的夹角为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，， ， ， 因为向量的模长为非负数， 所以． 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 5．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 6．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算单次摸球中奖的概率，再利用独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： . 7．在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：上一动点，过圆M外一点P向圆M引-条切线，切点为A，若|PA|=|PO|，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用|PA|=|PO|，两点间距离公式，以及勾股定理得出， 可得点P在直线 上，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径求解. 【详解】设，则有， 所以，设圆心到直线2x+2y=1的距离为d， ， 则有PQ. 故选：C 【点睛】充分利用信息，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径是解这个题目的关键. 8．已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数，得到，然后结合题意，根据函数的单调性求解； 【详解】解析：因为为奇函数， 所以，即， 所以 ， 所以， 所以等价于 又因为，都有 所以函数在上单调递减， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 【答案】BCD 【分析】对于A，根据递推式，依次求即可；对于B，作差得，则数列、为等差数列，再求通项即可；对于CD，分奇偶项求和即可． 【详解】对于A，，，解得，，故A错误； 对于B，，， 所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 10．如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则角 B．的最小值为 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据化简，结合角的关系及倍角公式判断C，由边角关系及判断A，借助三角恒等变换公式及正弦定理与面积公式计算可判断D，结合正弦定理可将原式化为与角有关的等式，再利用换元法及基本不等式判断B即可. 【详解】对于C，由题意得， 且， 因为，， 可得， 所以， 所以，故C正确， 对于A，由，则，可得， 由已知得，故，解得，故A正确， 对于D，由，则，故， 由，则，则， 故，，由，， 得到， 由正弦定理可得，则， ， 故，故D正确， 对于B，由正弦定理得， 又，故 ， 令，因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 得到的最小值为，故B错误. 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．定义在上的函数满足，若曲线与恰有个交点、、、，则 D．当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】由奇偶性和函数关系确定周期，并判断函数值及图象对称性，可判断AB选项；利用两个函数的对称关系配对交点，可判断C选项；作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且满足， 由可得，故为函数的一个周期. 因为，所以函数图象关于直线对称. 因为，且，从而，A错误，B正确； 因为可知，函数的图象关于点对称， 因为，可得，函数的图象关于点对称， 所以函数曲线与的交点关于点对称， 不妨设，则，且， ，且， 所以，C正确； 构造函数，因为函数为奇函数， 则，即函数为偶函数， 当时，， 因为函数的图象关于点对称，当时，， 此时， 此时， 因为函数是周期为的周期函数，则当时，， 所以， 当时，，， 当时，， 则， 当时，由可得， 作出函数的图象如下图所示： 当时，的图象可由曲线向右平移个单位得到， 故在时的图象为曲线， 当时，的图象可由曲线向右平移个单位得到， 故在时的图象为曲线， 时，考虑直线与曲线、相切， 联立可得， ，又因为，解得， 联立可得， ，解得， 结合图象可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 由对称性可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 故当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 【答案】-162 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解的通项公式，进而求出答案. 【详解】4属开式的通项公式为.当时，x4的展开式中的系数为；当时的展开式中的系数为，故—的展开式中的系数为-162. 故答案为：-162 13．对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水______次． 【答案】14（答案不唯一） 【分析】根据题意利用函数模型列出不等式即可求得结果. 【详解】设要加水次，，根据题意可得， 解得， 所以要至少加水14次可以使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%． 故答案为：14（答案不唯一） 14．已知正实数列的前项和为，若，当，且时，，则的整数部分为__ ． 【答案】 【分析】由条件可得（），由此判断单调性，证明，结合求结论. 【详解】因为， 当时，可得， 所以，所以数列单调递增， 因为，解得， 所以， 所以， 所以， 则的整数部分为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 【答案】(1)证明：因为， 由余弦定理的推论， 得， 整理得． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1），代入，， 得到解得或（舍去）． 结合余弦定理的推论可得， 因为，互补，，则． ， 从而． 16．（15分）大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立． (1)求甲两题均选择A类试题作答的概率； (2)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，得到的分布列，再结合期望公式求解． 【详解】（1）若甲第1题选择类试题作答并且答错，则第2题选择类试题作答的概率， 若甲第1题选择类试题作答并且答对，则第2题选择类试题作答的概率， 故甲2题均选择类试题作答的概率； （2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 则． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为平面，平面，所以平面. (2)由平面，平面，因此. 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. (3) 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 结合可得各点坐标： ，，，， 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为，，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则 ， 因此二面角的正弦值为 . 18．（17分）已知曲线在处的切线过点. (1)试求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【答案】(1)0； (2) 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)证明如下： 由（2）得， 要证明，即证，即证， 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即恒成立， 所以当时，. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间. （3）由（2）求出函数的最小值，利用分析法，构造函数并利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为，即， 依题意，，所以则. （2）由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）略 19．（17分）蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为．    (1)求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； (2)证明：点P在蔓叶线C上； (3)设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 【答案】(1) (2)证明：设，已知直线OM的方程为，联立圆A的方程， 整理得 设，由，及，得 将代入右端，右端； 将代入左端，左端 方程左端等于右端．所以点P的坐标满足蔓叶线方程，点P在蔓叶线C上． (3)证明：，消y，得， 设，则            ， 所以，所以，即直线恒过. 【分析】（1）由 及 得 ，解分式不等式得横坐标范围； （2）设点坐标，由直线与圆联立得点，利用得点坐标，代入蔓叶线方程验证； （3）联立直线与蔓叶线消元得三次方程，由韦达定理将斜率之和表示为参数关系，得直线过定点． 【详解】（1）由及得，所以． 综上，蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围为．       （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $