2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求集合，进而利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由，解得，所以， 所以， 故选：A. 2．设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】进行复数的计算，所以，即可得解. 【详解】， 所以，虚部为， 故选：A 3．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 4．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． 5．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．52 D．54 【答案】D 【详解】解：已知为等比数列，，① 则，② 当时，，即，③ ， 可得，代入③可得， 则，所以，D正确. 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 因为和都是减函数，所以在上单调递减， 当时，，要使其在上单调递减，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D. 7．现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 【答案】C 【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解. 【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎， 从左到右站位，分别为， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择， 再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择， 那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人， 此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置将固定排剩余2人，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择， 综上，共有种排法. 故选：C 8．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看出，，，分别是四面体四个面的重心，因此四面体与四面体的体积比为．再求出平行六面体的体积，并利用四面体的体积是该平行六面体体积的，即可求得结果． 【详解】由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图． 在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为 因此 下面求．设平行六面体的体积为． 底面是边长为，夹角为的菱形，所以 设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上． 设该射影为，则与，的夹角均为． 由，可得 解得 所以 故平行六面体的体积为 四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故 于是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（      ） A．若，则 B．若，且，则 C．已知事件，互斥，，，则 D．已知事件，相互独立，，，则 【答案】AC 【详解】对于A，若，则 ，即A正确； 对于B，若，且， 则； 因此可得，解得，即B错误； 对于C，由事件，互斥且，， 则；即C正确； 对于D，由事件，相互独立可知也相互独立， 根据，可得 则；因此D错误. 10．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，因为为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，即A正确； 对于B项，易知， 所以，即， 所以的一个周期为4，即B正确； 对于C项，由条件及上述选项结论可知， 且， 所以，即C正确； 对于D项，若的图象关于点对称，则有， 而，显然矛盾，即D错误. 11．在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（     ） A． B．的外接圆半径为 C． D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，利用，即可得出答案；对于B，利用正弦定理即可得出答案；对于C，求出点，判断三棱锥的外接球球心的位置，假设外接球球心在该棱锥内部，求出此时的取值范围，取反即可得出答案；对于D，根据题目条件代入计算即可得出答案 【详解】取的中点为原点，连接，由题可得， 以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 如图所示 因为，所以，，因为，所以是等腰三角形， 底边上的高，所以点的坐标为， 由于是由绕旋转角得到的，点到的距离也是，且在平面上，点绕原点旋转角得到点， 所以点的坐标为，假设点向上旋转，， 对于A，由于，，，所以，故A正确； 对于B，已知三边长，，，则底边上的高， 所以的面积，得到， 由正弦定理，可得，故B错误； 对于C，根据等腰三角形的性质，的外心在的中垂线，即上， 设，由得， ，解得， 所以外心，外接圆半径平方， 球心必在过外心且垂直于平面的直线上，故设， 又球心到，距离相等，即， 且，， 则， 根据，化简得， 则， 直线在平面的方程斜率， 方程为， 假设外接球球心在该棱锥内部， 即， 由得，，，， 解得， 因为题目要求球心在外部，所以，又因为是旋转角，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以点在的垂直平分面上，即平面上， 在平面内，平面过轴，且与平面夹角为， 所以点坐标设为， 因为 ，，， 所以， 化简得 因为，消去得， 所以的坐标为， 因为， 所以，， 则原式 ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 【答案】8 【分析】求出展开式中含和项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】二项式的通项公式：其中， 当时，与中的相乘得到， 当时，与中的常数项相乘得到， 所以的展开式中的系数为. 13．已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数_____． 【答案】 【分析】解法一：先根据辅助角公式得到，其中，再根据函数的平移及正弦函数的对称性求解即可； 解法二：先得到函数平移后的解析式，再结合题设可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，其中， 将函数向左平移个单位得到， 由于其关于中心对称，则， 即，，则，故． 解法二：函数向左平移个单位得到， 由于其定义域为，又关于中心对称， 故，即． 14．函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 【答案】/0.5 【分析】利用函数零点的意义，将点视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点到直线距离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而结合向量的运算及模长公式即可求出的长度； （2）根据题意及得到，整理得到，再结合“1”的妙用及基本不等式即可求出的最小值． 【详解】（1）由，的面积为， 则，则， 又，则由余弦定理得， 即，得， 又为边的中点，则， 则， 即，所以的长度为． （2）由为边上一点，且，， 则，， 又，且， 即， 整理得，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为，，所以，． 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面． 在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，，则． 又．则，所以． 又平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，验证与该法向量垂直，且不在平面内，从而证明线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量夹角与二面角大小相等或互补的关系，计算其余弦值，再转化为正弦值． 【详解】（1）略． （2）由（1）可知，，． 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，则． 由（1）可知，平面的一个法向量是． 所以，． 所以，二面角的正弦值是． 17．（15分）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. (1)分别求甲队和乙队获得冠军的概率； (2)分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； (3)求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的定义求概率； （2）设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇”，再分别讨论发生时乙队的位置和战胜情况， 利用独立事件的概率乘法公式求概率. （3）设“甲遇到第支球队”，再列举出甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况，利用古典概型求概率. 【详解】（1）设“甲获得冠军”，“乙获得冠军”. ， 由于剩下的七支队伍获得冠军的概率相等， 所以， 所以. （2）不妨设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇” 发生等价于乙队在编号2的位置，所以， 发生等价于乙队在编号3，4的位置，且甲和乙分别战胜第一轮的对手， 所以， 发生等价于乙队在编号5，6，7，8的位置，且甲和乙分别战胜第一轮和第二轮的对手， 所以. （3）由（1）可知，甲获得冠军的概率为， 设“甲与乙、丙两队都对决过且甲获得冠军”，设“甲获得冠军” 记甲等可能地遇到剩余的七支球队，为方便起见，设“甲遇到第支球队”. 其中表示甲队遇到乙队，表示甲队遇到丙队， 甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况构成的集合为： 共有35个事件，且这35个事件的概率相等，因此，； 因为 . 18．（17分）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【详解】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 19．（17分）对于一些定义域均为的函数，，，若对任意正整数n，均有，则称为“差分函数列”. (1)若为差分函数列，且，求的值； (2)已知，，请判断、、哪些是差分函数列，说明理由； (3)设函数，与，的定义域均为，且均无零点，则在四个函数列、、、中，至多可以有几个为差分函数列？ 【答案】(1). (2)，是差分函数列，不是差分函数列. 理由：，， 所以成立. ，， 所以成立. ， ，， 所以. (3)至多3个，， ，都是差分函数列，不是. 【分析】（1）依据差分函数列定义，由已知，依次递推求出，，再代入算出函数值；（2）严格对照差分函数列定义，对三个函数列逐一检验：计算，看结果是否等于，满足等式即为差分函数列，不满足则不是；（3）反证思路：假设四个函数列均为差分函数列，结合差分定义以及函数无零点的条件进行代数推导，推出矛盾，以此说明四个不能同时成立；再构造具体函数实例，检验其中一部分函数列可以同时满足差分定义. 【详解】（1）由为差分函数列，且， 得， ，所以； （2）略. （3）假设题述的四个函数列都为差分函数列，则有 ， 即有，这与函数，无零点的条件矛盾. 因此，题述的四个函数列不能都为差分函数列. 另一方面，根据（2）中结论，取，（定义域均为且均无零点）. 则. 验证： ， ， ，满足，是差分函数列. 同理可证，均为差分函数列. 故至多 3 个. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷 广东省深圳市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 4．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．52 D．54 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 8．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（      ） A．若，则 B．若，且，则 C．已知事件，互斥，，，则 D．已知事件，相互独立，，，则 10．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 11．在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（     ） A． B．的外接圆半径为 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 13．已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数_____． 14．函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)若，的面积为，为边的中点，求的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 17．（15分）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. (1)分别求甲队和乙队获得冠军的概率； (2)分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； (3)求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 18．（17分）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．（17分）对于一些定义域均为的函数，，，若对任意正整数n，均有，则称为“差分函数列”. (1)若为差分函数列，且，求的值； (2)已知，，请判断、、哪些是差分函数列，说明理由； (3)设函数，与，的定义域均为，且均无零点，则在四个函数列、、、中，至多可以有几个为差分函数列？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $