函数的性质：函数的周期性与对称性讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 函数的性质：函数的周期性与对称性讲义 考点目录 函数的周期性 函数的对称性 函数的周期性与奇偶性综合 函数的对称性与奇偶性综合 函数的周期性、对称性与奇偶性综合 考点一 函数的周期性 一、核心定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么称函数为周期函数，称为这个函数的一个周期。 · 若所有周期中存在最小的正数，称其为最小正周期； · 周期函数的定义域必须无限延伸，有限定义域的函数不存在周期。 二、常用周期推导结论 已知对定义域内任意，满足以下条件之一，则函数为周期函数： 1. 同值型：，则周期 ； 1. 反值型：，则周期 ； 1. 倒值型： ()，则周期 ； 1. 和值型：（常数），则周期 。 推导逻辑：通过两次代换消去负号、倒数或常数，还原为的形式，即可得到周期。 三、常见题型 1. 求函数的最小正周期； 1. 利用周期性求指定点的函数值； 1. 结合解析式、图像分析周期函数的零点、图像交点个数。 四、解题步骤 1. 根据条件推导函数的周期； 1. 利用周期性，将大的自变量通过加减周期的整数倍，转化到已知解析式/函数值的小区间内； 1. 代入已知表达式计算函数值，或分析图像性质。 例1．（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数 ，则 （    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）若定义在上的函数满足，且，则________． 变式1．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）已知定义域为的函数满足，当时，，则（   ） A．0 B．24 C．35 D．48 变式2．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知是定义在上的函数，且恒成立．当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·陕西汉中·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且当时，，则________________________． 考点二 函数的对称性 一、 轴对称 核心定义 若函数满足对定义域内任意成立，则函数图像关于直线对称。 · 本质：到直线水平距离相等的两个点，函数值完全相等。 一般形式 若，则函数图像关于直线 对称。 记忆技巧：括号内两式相加为定值，对称轴为定值的一半，函数值相等。 二、中心对称 核心定义 若函数满足对定义域内任意成立，则函数图像关于点中心对称。 · 本质：到点水平距离相等的两个点，函数值的平均值为。 一般形式 若，则函数图像关于点 中心对称。 记忆技巧：括号内两式相加为定值，函数值相加为定值，对称中心为两个定值的一半。 三、常见题型 1. 判断函数的对称轴或对称中心； 1. 已知对称条件求参数的值； 1. 利用对称性求对称区间的解析式、函数值。 例1．（2026·安徽·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的图象的对称中心为（    ）． A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 变式1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）若曲线关于点中心对称，则（    ） A．3 B．4 C． D． 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称； 考点三 函数的周期性与奇偶性综合 一、核心本质 奇偶性本身是特殊的对称性：偶函数是关于轴对称，奇函数是关于原点中心对称。奇偶性结合周期性，本质是「一组对称+周期」的组合，常用来推导更多对称性质、转化区间求函数值。 二、核心结论 1. 偶函数 + 一条对称轴 函数有两条对称轴和，可推出周期 。 1. 奇函数 + 一个对称中心 函数有两个对称中心和，可推出周期 。 1. 奇函数 + 一条对称轴 函数同时有对称中心和对称轴，可推出周期 。 1. 偶函数 + 一个对称中心 函数同时有对称轴和对称中心，可推出周期 。 通用规律：双对称函数，若两条对称轴或两个对称中心，周期为间距的2倍；若一轴一心，周期为间距的4倍。 三、常见题型 1. 已知奇偶性与对称条件，求函数的周期； 1. 结合周期与奇偶性，求指定自变量的函数值； 1. 分析周期奇函数/偶函数的零点个数、图像交点。 四、解题步骤 1. 由奇偶性得到第一组对称（轴/中心）； 1. 结合题目给出的第二组对称，推导函数的周期； 1. 利用周期+奇偶性，将目标自变量转化到已知区间； 1. 代入解析式计算结果。 例1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设f(x)是定义域为的奇函数，且最小正周期为2，若 则 （    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·山东菏泽·阶段检测）已知函数满足，且，当时，，则________． 变式1．（26-27高三上·新疆巴州·阶段检测）已知满足，，且满足，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江西九江·期末）已知是周期为2的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则________. 考点四 函数的对称性与奇偶性综合 一、核心本质 奇偶性是特殊的对称性，二者结合的核心是利用已知的对称+奇偶性，推导未知区间的解析式、函数值或更多对称性质，是对称性质的递推应用。 二、核心应用 1. 求对称区间的解析式 · 已知时的解析式，结合奇偶性求的解析式： 偶函数：时，，代入的表达式即可； 奇函数：时，，代入的表达式即可。 · 已知一侧区间解析式，结合轴对称/中心对称求另一侧区间解析式： 如关于对称，则，代入已知区间表达式即可。 2. 推导多重对称 · 偶函数若有一条对称轴，则也是对称轴； · 奇函数若有一个对称中心，则也是对称中心。 三、常见题型 1. 已知奇偶性与对称轴/对称中心，求参数值； 1. 已知单侧解析式，求对称区间的解析式； 1. 判断多重对称轴/对称中心的位置。 例1．（26-27高二上·贵州毕节·阶段检测）已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·江西·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______. 变式1．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 变式2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，若当时，，则当时，=_________________． 考点五 函数的周期性、对称性与奇偶性综合 一、核心本质 三类性质同时出现时，核心是以周期为桥梁，以奇偶、对称为工具，将任意区间的问题统一转化到已知解析式的小区间内求解，是函数性质的综合应用，常结合函数零点、图像交点、不等式考查。 二、通用解题思路 1. 定性质：梳理题目给出的奇偶性、对称轴/对称中心、周期，明确所有已知性质； 1. 推隐藏：利用双对称推周期、奇偶推对称，得到所有隐藏的周期、对称性质； 1. 转区间：通过加减周期、利用对称/奇偶，将目标自变量转化到已知解析式的区间内； 1. 求结果：代入已知解析式计算函数值，或分析图像、零点、不等式解集。 三、经典模型示例 例：已知是定义在上的奇函数，且关于对称，当时，，求。 解： 1. 奇函数对应对称中心，结合对称轴，得周期； 2. ； 3. 由对称，得； 4. 由奇函数性质，得； 故。 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且为奇函数，，则（    ） A． B． C．0 D．1 例2．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）定义在上的偶函数，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 例4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 变式1．（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数的定义域为R，若为偶函数，且，则一定有（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·福建漳州·模拟预测）若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，，则______. 变式4．（25-26高一上·重庆·期末）已知的定义域为，满足，，若，则______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 函数的性质：函数的周期性与对称性讲义 考点目录 函数的周期性 函数的对称性 函数的周期性与奇偶性综合 函数的对称性与奇偶性综合 函数的周期性、对称性与奇偶性综合 考点一 函数的周期性 一、核心定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么称函数为周期函数，称为这个函数的一个周期。 · 若所有周期中存在最小的正数，称其为最小正周期； · 周期函数的定义域必须无限延伸，有限定义域的函数不存在周期。 二、常用周期推导结论 已知对定义域内任意，满足以下条件之一，则函数为周期函数： 1. 同值型：，则周期 ； 1. 反值型：，则周期 ； 1. 倒值型： ()，则周期 ； 1. 和值型：（常数），则周期 。 推导逻辑：通过两次代换消去负号、倒数或常数，还原为的形式，即可得到周期。 三、常见题型 1. 求函数的最小正周期； 1. 利用周期性求指定点的函数值； 1. 结合解析式、图像分析周期函数的零点、图像交点个数。 四、解题步骤 1. 根据条件推导函数的周期； 1. 利用周期性，将大的自变量通过加减周期的整数倍，转化到已知解析式/函数值的小区间内； 1. 代入已知表达式计算函数值，或分析图像性质。 例1．（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按 时的递推关系 逐步化到 再代值． 【详解】因为 ，所以 ； 又 ，所以 ； 又 ，所以 ； 因为 ，所以 ． 故 ． 例2．（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知函数是周期为1的周期函数. ， 因为，代入，得，所以. 例3．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）若定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】 【分析】利用所给等式求得的周期为4后即可求解 【详解】因为，所以，所以， 4为的一个周期，则． 变式1．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）已知定义域为的函数满足，当时，，则（   ） A．0 B．24 C．35 D．48 【答案】D 【分析】由 知 是周期为 3 的周期函数，把 沿周期平移到给定解析式的区间 内，再代入求值. 【详解】反复应用 ：，，所以 . 因为 ，此时 ，所以 . 变式2．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知是定义在上的函数，且恒成立．当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的周期性得到在时，的解析式． 【详解】因为，则函数的周期为2； 当时，则，故； 由周期性可知，故当时，． 变式3．（26-27高三上·陕西汉中·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且当时，，则________________________． 【答案】 【分析】根据给定的函数递推关系推导函数周期，再利用周期性将转化为已知解析式区间内的函数值计算. 【详解】当时，. 令，得. 由，得 ， 所以，因此函数是周期为的周期函数. 故. 考点二 函数的对称性 一、 轴对称 核心定义 若函数满足对定义域内任意成立，则函数图像关于直线对称。 · 本质：到直线水平距离相等的两个点，函数值完全相等。 一般形式 若，则函数图像关于直线 对称。 记忆技巧：括号内两式相加为定值，对称轴为定值的一半，函数值相等。 二、中心对称 核心定义 若函数满足对定义域内任意成立，则函数图像关于点中心对称。 · 本质：到点水平距离相等的两个点，函数值的平均值为。 一般形式 若，则函数图像关于点 中心对称。 记忆技巧：括号内两式相加为定值，函数值相加为定值，对称中心为两个定值的一半。 三、常见题型 1. 判断函数的对称轴或对称中心； 1. 已知对称条件求参数的值； 1. 利用对称性求对称区间的解析式、函数值。 例1．（2026·安徽·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数展开可得，，由二次函数的对称性可推出. 例2．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的图象的对称中心为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故函数是由函数向左平移2个单位变为， 再将图象向下平移1个单位得到， ∵对称中心为，∴函数的对称中心为． 例3．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 变式1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与的大小关系不确定，D错. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）若曲线关于点中心对称，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域为实数，对称中心在函数上得出. 【详解】因为函数的定义域为R，且曲线关于点中心对称， 所以，即. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称； 【答案】 【详解】为偶函数，且由向左平移一个单位得到，故的图象关于对称； 为奇函数，且由向右平移两个单位得到，故的图象关于对称. 考点三 函数的周期性与奇偶性综合 一、核心本质 奇偶性本身是特殊的对称性：偶函数是关于轴对称，奇函数是关于原点中心对称。奇偶性结合周期性，本质是「一组对称+周期」的组合，常用来推导更多对称性质、转化区间求函数值。 二、核心结论 1. 偶函数 + 一条对称轴 函数有两条对称轴和，可推出周期 。 1. 奇函数 + 一个对称中心 函数有两个对称中心和，可推出周期 。 1. 奇函数 + 一条对称轴 函数同时有对称中心和对称轴，可推出周期 。 1. 偶函数 + 一个对称中心 函数同时有对称轴和对称中心，可推出周期 。 通用规律：双对称函数，若两条对称轴或两个对称中心，周期为间距的2倍；若一轴一心，周期为间距的4倍。 三、常见题型 1. 已知奇偶性与对称条件，求函数的周期； 1. 结合周期与奇偶性，求指定自变量的函数值； 1. 分析周期奇函数/偶函数的零点个数、图像交点。 四、解题步骤 1. 由奇偶性得到第一组对称（轴/中心）； 1. 结合题目给出的第二组对称，推导函数的周期； 1. 利用周期+奇偶性，将目标自变量转化到已知区间； 1. 代入解析式计算结果。 例1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为偶函数，故有，即， 是定义在上且周期为2的周期函数，故有，即， 又因为，故. 例2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设f(x)是定义域为的奇函数，且最小正周期为2，若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以. 又因为是定义域为的奇函数，所以， 即. 所以. 例3．（26-27高三上·山东菏泽·阶段检测）已知函数满足，且，当时，，则________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】因为，所以函数为奇函数， 又因为，且当时，， 所以． 变式1．（26-27高三上·新疆巴州·阶段检测）已知满足，，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得，则是奇函数，故， 已知，即， 把替换成得， 所以函数的周期，可得，余数为， 即. 变式2．（25-26高一下·江西九江·期末）已知是周期为2的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期与奇偶性将自变量转化到已知区间，再代入求值 【详解】. 变式3．（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则________. 【答案】 【分析】利用函数的周期性将自变量转化到已知区间附近，再结合奇函数的性质代入对应解析式计算. 【详解】由函数周期为，根据周期函数性质：对任意，有， 可得：， 由是定义在上的奇函数，根据奇函数性质：，可得：， 由于，代入已知区间的解析式，得：， 因此. 考点四 函数的对称性与奇偶性综合 一、核心本质 奇偶性是特殊的对称性，二者结合的核心是利用已知的对称+奇偶性，推导未知区间的解析式、函数值或更多对称性质，是对称性质的递推应用。 二、核心应用 1. 求对称区间的解析式 · 已知时的解析式，结合奇偶性求的解析式： 偶函数：时，，代入的表达式即可； 奇函数：时，，代入的表达式即可。 · 已知一侧区间解析式，结合轴对称/中心对称求另一侧区间解析式： 如关于对称，则，代入已知区间表达式即可。 2. 推导多重对称 · 偶函数若有一条对称轴，则也是对称轴； · 奇函数若有一个对称中心，则也是对称中心。 三、常见题型 1. 已知奇偶性与对称轴/对称中心，求参数值； 1. 已知单侧解析式，求对称区间的解析式； 1. 判断多重对称轴/对称中心的位置。 例1．（26-27高二上·贵州毕节·阶段检测）已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 例2．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的奇偶性定义推得关于直线对称，得到，再由函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 关于直线对称，则， 又因为在上单调递增，所以. 例3．（25-26高三上·江西·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______. 【答案】/ 【分析】根据题目信息得到，代入即可求出答案. 【详解】令，由得， 又因为是定义在上的偶函数，则， 因为当时，， 所以，即. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【详解】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. 变式2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称， （另解：函数的图象向右平移2个单位长度，得的图象，故函数的图象关于直线对称） 又函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增. 因为，所以， 又，所以， 所以. 变式3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，若当时，，则当时，=_________________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及其对称轴可求出是周期为的周期函数，结合时，，可求出时的解析式. 【详解】由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，可知， 所以，即是周期为的周期函数； 当时，，又是周期为的周期函数， 当，则，所以， 所以，. 故答案为： 考点五 函数的周期性、对称性与奇偶性综合 一、核心本质 三类性质同时出现时，核心是以周期为桥梁，以奇偶、对称为工具，将任意区间的问题统一转化到已知解析式的小区间内求解，是函数性质的综合应用，常结合函数零点、图像交点、不等式考查。 二、通用解题思路 1. 定性质：梳理题目给出的奇偶性、对称轴/对称中心、周期，明确所有已知性质； 1. 推隐藏：利用双对称推周期、奇偶推对称，得到所有隐藏的周期、对称性质； 1. 转区间：通过加减周期、利用对称/奇偶，将目标自变量转化到已知解析式的区间内； 1. 求结果：代入已知解析式计算函数值，或分析图像、零点、不等式解集。 三、经典模型示例 例：已知是定义在上的奇函数，且关于对称，当时，，求。 解： 1. 奇函数对应对称中心，结合对称轴，得周期； 2. ； 3. 由对称，得； 4. 由奇函数性质，得； 故。 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且为奇函数，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】先根据对称性求得函数的周期，再结合求得，，，最后结合周期性求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，即 ， 所以，且时，， 又为偶函数，所以的图象关于轴对称，且 所以， 所以，， 所以，即的周期， 因为，，， 所以. 例2．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）定义在上的偶函数，满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，得出是周期为的周期函数，得到，结合和，即可求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，可得， 又因为，可得， 即，则， 两式相减，可得，即， 所以函数是周期为的周期函数，则， 由，且， 令，可得，即. 例3．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则________． 【答案】3 【分析】通过对称的转化以及特殊值代入求出函数周期求解. 【详解】因关于直线对称，可得关于直线对称，即是偶函数，. 将代入中，，得到，因此， 那么，即的周期为8. . 例4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 【答案】4050 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以函数关于中心对称； 因为，所以关于对称， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以在中令，又， 则. 令，则； 令，则， 所以. 则. 变式1．（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数的定义域为R，若为偶函数，且，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为偶函数得关于对称，由得关于中心对称，联立推出周期为4，再利用周期性化简即可． 【详解】为偶函数，则，故关于对称， ； ，令，则， 故关于点中心对称，； 则， 把替换为，则， 故，故是周期为4的周期函数； ，故． 变式2．（2026·福建漳州·模拟预测）若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查周期与奇偶性，先利用求出函数的周期，再利用是偶函数即可求解. 【详解】由于，故， 所以，函数的周期为， ， 因为是偶函数，所以，故 即，所以. 变式3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，，则______. 【答案】 【分析】根据条件分析函数的对称性和周期性，再根据性质求函数值. 【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，所以， 又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，所以. 所以， 设，所以. 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 在中，令得. 在中，令得. 又，， 所以. 故答案为：2 变式4．（25-26高一上·重庆·期末）已知的定义域为，满足，，若，则______. 【答案】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合函数的周期性和奇函数的性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为函数的定义域为，满足，则函数为上的奇函数， 因为，所以， 即，故， 故函数是周期为的周期函数， 则，， ，， 故. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $