专题3.2 函数的基本性质 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.2 函数的基本性质（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：函数的单调性、单调区间、函数单调性的证明（定义法）、函数的最大（小）值与最值、二次函数在闭区间上的最值、函数最值的应用与综合、奇函数与偶函数的定义与判定、奇偶函数的图象对称性、分段与含参函数的奇偶性、奇偶性与单调性的综合； ▲难点：用定义证明单调性、二次函数在含参闭区间上的最值分类讨论、最值综合应用、先判断定义域是否关于原点对称、含参奇偶性的参数求解、利用奇偶性与单调性解抽象不等式． 目录 专题3.2 函数的基本性质（期中复习讲义） 1 知识点1 函数的单调性 1 【题型1 函数单调性的判断】 2 【题型2 求函数的单调区间】 3 知识点2 函数单调性的证明（定义法） 4 【题型3 定义法证明函数的单调性】 5 【题型4 复合函数单调性（同增异减）】 6 知识点3 函数的最大（小）值与最值 7 【题型5 定义法/图象法求最值】 8 【题型6 利用单调性解不等式与求最值】 9 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 10 【题型7 二次函数在闭区间上的最值】 11 【题型8 由最值求参数】 12 知识点5 函数最值的应用与综合 13 【题型9 实际问题中的最值】 14 【题型10 单调性与最值综合】 15 知识点6 奇函数与偶函数的定义 16 【题型11 判断函数的奇偶性】 17 知识点7 函数奇偶性的判定（定义法、图象法） 18 【题型12 利用奇偶性求参数】 19 【题型13 利用奇偶性求函数值】 20 【题型14 利用奇偶性求解析式】 21 知识点8 奇（偶）函数图象的对称性 22 【题型15 奇偶函数的图象特征】 23 知识点9 分段与含参函数的奇偶性 24 【题型16 分段函数的奇偶性】 25 【题型17 含参函数的奇偶性】 26 知识点10 奇偶性与单调性的综合应用 27 【题型18 奇偶性与单调性的综合】 28 考点1 函数的单调性 知识点1 函数的单调性 【重难点】★重点：函数单调性（增函数、减函数）的定义与符号表达、单调区间的判断； ▲难点：单调区间的写法（端点开闭、多个区间不能用“∪”连接）与单调性判断． 1．单调性定义　设区间 ，若 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增；都有 ，则称单调递减． 2．单调区间　若函数在区间 上单调，则 称为单调区间．多个单调区间之间用“和”或“，”连接，不能用“∪”（单调性是区间上的局部性质）． 【题型1 函数单调性的判断】 【例1】下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知 是 上的增函数，且 ，则下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列关于函数单调性的说法，正确的是（　　） A．函数 在定义域上单调递减 B．函数 在定义域上单调递减 C．函数 在 和 上均单调递增 D．函数 在 上单调递减 【题型2 求函数的单调区间】 【例2】画出函数 的图象，并根据图象说出它的单调区间，以及在每个单调区间上它是增函数还是减函数． 【变式2-1】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． 和 C． D． 【变式2-2】已知函数 写出它的单调区间，并判断其在各区间上的单调性． 【变式2-3】已知函数 ，求该函数的单调区间，并判断其单调性． 考点2 单调性证明 知识点2 函数单调性的证明（定义法） 【重难点】★重点：用定义证明单调性的“五步法”； ▲难点：作差后的通分与因式分解、复合函数“同增异减”． 1．定义法五步　①取值：设 且 ；②作差：求 ；③变形：通分、因式分解；④定号：判断差的正负；⑤下结论． 2．复合函数单调性　“同增异减”——内、外函数单调性相同时复合函数递增，相反时递减． 【题型3 定义法证明函数的单调性】 【例3】证明函数 在区间 上单调递减． 【变式3-1】用定义证明函数 在 上是增函数． 【变式3-2】用定义证明函数 在 上是减函数． 【变式3-3】用定义证明函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 【题型4 复合函数单调性（同增异减）】 【例4】已知 、 在 上均为增函数，判断函数 在 上的单调性，并说明理由． 【变式4-1】已知 在 上递增， 在 上递增，则复合函数 在 上（　　） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．不单调 【变式4-2】已知 在 上递增， 在 上递减，则 在 上单调______． 【变式4-3】已知 是定义在 上的增函数，证明：函数 在 上也是增函数． 考点3 最大（小）值 知识点3 函数的最大（小）值与最值 【重难点】★重点：最大值、最小值的定义，利用单调性求闭区间上函数的最值； ▲难点：最值定义中“任意”与“存在”的理解，含参最值讨论． 1．最大值　若存在 使 有 ，则 为最大值；最小值类似． 2．利用单调性求最值：若函数在 上单调，则最值在端点取得；先单调后极值的情形，最大值（或最小值）在顶点处取得． 【题型5 定义法/图象法求最值】 【例5】已知函数 ，，求 的最大值、最小值． 【变式5-1】求函数 ， 的最大值与最小值． 【变式5-2】求函数 ， 的最大值与最小值． 【变式5-3】求函数 ， 的最大值与最小值． 【题型6 利用单调性解不等式与求最值】 【例6】已知函数 在 上是减函数，且 ．求满足 的实数 的取值范围． 【变式6-1】已知 在 上是增函数，且 ，则满足 的 的取值范围是______． 【变式6-2】已知 在 上是减函数，且 ，求满足 的 的取值范围． 【变式6-3】已知 在 上是增函数，解不等式 ． 考点4 二次函数最值 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 【重难点】★重点：二次函数 在闭区间上的最值（顶点或端点）； ▲难点：对称轴与区间相对位置的分类讨论（轴定区间动、轴动区间定）． 1．二次函数在闭区间 上的最值：比较顶点与两端点的函数值． 2．分类讨论依据：对称轴 与区间 的位置关系（在区间左侧、内部、右侧）． 【题型7 二次函数在闭区间上的最值】 【例7】已知函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值． 【变式7-1】求函数 ， 的最大值与最小值． 【变式7-2】求函数 在区间 （其中 ）上的最小值． 【变式7-3】已知函数 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，求实数 的值． 【题型8 由最值求参数】 【例8】已知函数 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，求实数 的取值范围． 【变式8-1】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值． 【变式8-2】已知函数 在 上单调递增，求其最小值（用含 的式子表示）． 【变式8-3】已知函数 在 上的最大值为 ，求实数 的值． 考点5 函数最值应用 知识点5 函数最值的应用与综合 【重难点】★重点：建立函数模型求实际问题中的最值； ▲难点：单调性与最值的综合应用、含参综合讨论． 1．实际应用最值　先建立函数模型（设变量、列解析式、定定义域），再求最值． 2．综合：将单调性与最值结合，注意分类讨论与数形结合． 【题型9 实际问题中的最值】 【例9】用长为 的篱笆围成一个矩形场地，问这个矩形的长、宽各为多少时，场地的面积最大？最大面积是多少？ 【变式9-1】用一段长为 的铁丝围成矩形，求矩形面积的最大值． 【变式9-2】某商品每件成本 元，若售价定为 元，则日销量 （件）．求日利润 （元）关于售价 的函数解析式，并求最大日利润． 【变式9-3】某工厂生产某种产品，固定成本 元，每生产一件产品成本增加 元，且产量 与售价 满足 ．求利润函数及其最大值（产量 ）． 【题型10 单调性与最值综合】 【例10】已知函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围，并分别求出相应情况下 在 上的最小值与最大值． 【变式10-1】已知函数 在 上的最大值为______，最小值为______． 【变式10-2】已知函数 求 在 上的最大值与最小值． 【变式10-3】已知函数 在 上的最小值为 ．当 时，求 的解析式及其最大值． 考点6 奇偶函数的定义 知识点6 奇函数与偶函数的定义 【重难点】★重点：奇函数、偶函数的定义与等价形式； ▲难点：定义域必须关于原点对称，先判断定义域再判定奇偶性． 1．偶函数　设函数 的定义域为 ，若 都有 ，且 ，则 为偶函数（图象关于 轴对称）． 2．奇函数　若 都有 ，且 ，则 为奇函数（图象关于原点对称）；若 ，则必有 ． 3．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 【题型11 判断函数的奇偶性】 【例11】判断下列函数的奇偶性，并说明理由：；；；． 【变式11-1】下列函数中为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】函数 的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式11-3】已知函数 ，判断其奇偶性． 考点7 奇偶性的判定 知识点7 函数奇偶性的判定（定义法、图象法） 【重难点】★重点：定义法判定的“三步”（求定义域→算 →比 ）； ▲难点：含参函数奇偶性的参数求解、分段函数奇偶性的分段验证． 1．定义法　①求定义域并判断是否关于原点对称；②计算 ；③若 则为偶函数，若 则为奇函数，否则非奇非偶． 2．图象法　图象关于 轴对称 偶函数；关于原点对称 奇函数． 3．多项式函数　只含偶次项（含常数项）为偶函数；只含奇次项为奇函数． 【题型12 利用奇偶性求参数】 【例12】已知函数 是偶函数，则实数 的值为______． 【变式12-1】若 是偶函数，则 ______． 【变式12-2】函数 为偶函数，则 ______． 【变式12-3】已知 为偶函数，求实数 的值． 【题型13 利用奇偶性求函数值】 【例13】设 是定义在 上的奇函数，且 ，则 ______． 【变式13-1】若 为奇函数且 ，则 ______． 【变式13-2】设 是 上的偶函数，，则 ______． 【变式13-3】设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ______． 【题型14 利用奇偶性求解析式】 【例14】已知 是 上的奇函数，当 时 ，求当 时 的解析式． 【变式14-1】已知 是 上的奇函数，当 时 ，则当 时 ______． 【变式14-2】已知 是 上的偶函数，当 时 ，求当 时 的解析式． 【变式14-3】已知 是 上的奇函数，当 时 ，求 在 上的解析式（分段表示）． 考点8 奇偶函数的图象对称性 知识点8 奇（偶）函数图象的对称性 【重难点】★重点：奇偶性对应的图象对称中心或对称轴； ▲难点：由对称性求对称点、由局部图象补全整体图象． 1．奇函数　图象关于原点中心对称；若 在图象上，则 也在图象上． 2．偶函数　图象关于 轴对称；若 在图象上，则 也在图象上． 3．偶函数 在对称区间上单调性相反；奇函数在对称区间上单调性相同． 【题型15 奇偶函数的图象特征】 【例15】函数 是奇函数，其图象关于______对称；若其图象过点 ，则其图象必过点______． 【变式15-1】偶函数的图象关于______对称． 【变式15-2】若奇函数 的图象过点 ，则其图象必过点______． 【变式15-3】已知函数 是偶函数，且在 上单调递减，则 在 上单调______（填“增”或“减”）． 考点9 分段与含参函数的奇偶性 知识点9 分段与含参函数的奇偶性 【重难点】★重点：分段函数奇偶性的分段验证、利用奇偶性求未知区间解析式与参数； ▲难点：含参奇偶性的分类讨论（令对应项系数为零）． 1．未知区间求解析式　已知奇偶性及一侧解析式，对 取相反数，利用 求另一侧． 2．含参奇偶性　令所有奇次项（或偶次项）系数为 ，解出参数并检验定义域对称． 3．既奇又偶　仅当 且定义域关于原点对称时成立． 【题型16 分段函数的奇偶性】 【例16】判断函数 （即 ）的奇偶性． 【变式16-1】判断函数 的奇偶性． 【变式16-2】判断函数 的奇偶性． 【变式16-3】设 为偶函数，求实数 的值． 【题型17 含参函数的奇偶性】 【例17】已知函数 ，讨论函数 的奇偶性． 【变式17-1】函数 的奇偶性为______． 【变式17-2】函数 为偶函数，则 ______． 【变式17-3】函数 为奇函数，则 ______，且 满足______． 考点10 奇偶性与单调性综合应用 知识点10 奇偶性与单调性的综合应用 【重难点】★重点：利用奇偶性与单调性解不等式、比较大小； ▲难点：抽象不等式中“脱 ”时单调性与对称性的结合． 1．脱 法　由单调性把 化为自变量的不等关系（注意定义域）． 2．综合　奇函数在 与 单调性相同；偶函数相反，常转化为 处理． 【题型18 奇偶性与单调性的综合】 【例18】设 是 上的奇函数，且在 上为增函数，又 ，求不等式 的解集． 【变式18-1】设 是 上的奇函数且在 上递增，，则 的解集为______． 【变式18-2】设 是偶函数，在 上递增，且 ，则 的解集为______． 【变式18-3】设 是 上的奇函数，在 上递减，且 ，求不等式 的解集． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数的基本性质（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：函数的单调性、单调区间、函数单调性的证明（定义法）、函数的最大（小）值与最值、二次函数在闭区间上的最值、函数最值的应用与综合、奇函数与偶函数的定义与判定、奇偶函数的图象对称性、分段与含参函数的奇偶性、奇偶性与单调性的综合； ▲难点：用定义证明单调性、二次函数在含参闭区间上的最值分类讨论、最值综合应用、先判断定义域是否关于原点对称、含参奇偶性的参数求解、利用奇偶性与单调性解抽象不等式． 目录 专题3.2 函数的基本性质（期中复习讲义） 1 知识点1 函数的单调性 1 【题型1 函数单调性的判断】 2 【题型2 求函数的单调区间】 3 知识点2 函数单调性的证明（定义法） 4 【题型3 定义法证明函数的单调性】 5 【题型4 复合函数单调性（同增异减）】 6 知识点3 函数的最大（小）值与最值 7 【题型5 定义法/图象法求最值】 8 【题型6 利用单调性解不等式与求最值】 9 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 10 【题型7 二次函数在闭区间上的最值】 11 【题型8 由最值求参数】 12 知识点5 函数最值的应用与综合 13 【题型9 实际问题中的最值】 14 【题型10 单调性与最值综合】 15 知识点6 奇函数与偶函数的定义 16 【题型11 判断函数的奇偶性】 17 知识点7 函数奇偶性的判定（定义法、图象法） 18 【题型12 利用奇偶性求参数】 19 【题型13 利用奇偶性求函数值】 20 【题型14 利用奇偶性求解析式】 21 知识点8 奇（偶）函数图象的对称性 22 【题型15 奇偶函数的图象特征】 23 知识点9 分段与含参函数的奇偶性 24 【题型16 分段函数的奇偶性】 25 【题型17 含参函数的奇偶性】 26 知识点10 奇偶性与单调性的综合应用 27 【题型18 奇偶性与单调性的综合】 28 考点1 函数的单调性 知识点1 函数的单调性 【重难点】★重点：函数单调性（增函数、减函数）的定义与符号表达、单调区间的判断； ▲难点：单调区间的写法（端点开闭、多个区间不能用“∪”连接）与单调性判断． 1．单调性定义：设区间 ，若 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增；都有 ，则称单调递减． 2．单调区间：若函数在区间 上单调，则 称为单调区间．多个单调区间之间用“和”或“，”连接，不能用“∪”（单调性是区间上的局部性质）． 【题型1 函数单调性的判断】 【例1】下列函数中，在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据： 时 ，则在该区间递增． A： 在 上递减 B： 在 上递减 C： 在 上递增，正确 D： 在 上递减 故选 C． 【变式1-1】已知 是 上的增函数，且 ，则下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：增函数中自变量越大，函数值越大． A：，应有 ，错误 B：，得 ，正确 C：，应有 ，错误 D：增函数不可能有 ，错误 故选 B． 【变式1-2】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：一次函数 在 R 上递增的条件是 ． A：斜率 ，即 ，正确 B： 时斜率为负，函数在 R 上递减 C： 时 可能为负，如 D： 时斜率为负，函数递减 故选 A． 【变式1-3】下列关于函数单调性的说法，正确的是（　　） A．函数 在定义域上单调递减 B．函数 在定义域上单调递减 C．函数 在 和 上均单调递增 D．函数 在 上单调递减 【解析】判定依据：单调区间不能跨间断点写成并集． A： 在两段上分别递减，但定义域上不单调 B： 在 递减、 递增 C： 在两段上均递增，正确 D： 在 R 上递增，不是递减 故选 C． 【题型2 求函数的单调区间】 【例2】画出函数 的图象，并根据图象说出它的单调区间，以及在每个单调区间上它是增函数还是减函数． 【解析】，开口向下，对称轴为 ，顶点 ． 由图象可知：单调递增区间为 （或 ），单调递减区间为 （或 ）． 【变式2-1】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． 和 C． D． 【解析】判定依据： 在 、 上分别递减． A：跨间断点不能并成一个区间 B：写为「 和 」，正确 C： 只是其中一个单调区间 D： 只是其中一个单调区间 故选 B． 【变式2-2】已知函数 写出它的单调区间，并判断其在各区间上的单调性． 【解析】当 时， 单调递增；当 时， 单调递减． 故单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【变式2-3】已知函数 ，求该函数的单调区间，并判断其单调性． 【解析】由 得定义域为 ．函数 在每一段上 均为反比例函数平移， 故单调递减区间为 和 ． 考点2 单调性证明 知识点2 函数单调性的证明（定义法） 【重难点】★重点：用定义证明单调性的“五步法”； ▲难点：作差后的通分与因式分解、复合函数“同增异减”． 1．定义法五步：①取值：设 且 ；②作差：求 ；③变形：通分、因式分解；④定号：判断差的正负；⑤下结论． 2．复合函数单调性　“同增异减”——内、外函数单调性相同时复合函数递增，相反时递减． 【题型3 定义法证明函数的单调性】 【例3】证明函数 在区间 上单调递减． 【解析】任取 ，则 ． ∵ ，∴ ，，故 ，即 ． ∴ 在 上单调递减． 【变式3-1】用定义证明函数 在 上是增函数． 【解析】任取 ，则 ， 即 ．∴ 在 上是增函数． 【变式3-2】用定义证明函数 在 上是减函数． 【解析】任取 ，则 ， 即 ．∴ 在 上是减函数． 【变式3-3】用定义证明函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 【解析】 ． 当 且 时，，，， 故差 ，即 ，在 递减； 当 且 时，，， 故差 ，即 ，在 递增． 【题型4 复合函数单调性（同增异减）】 【例4】已知 、 在 上均为增函数，判断函数 在 上的单调性，并说明理由． 【解析】任取 ，由 增得 ；再由 增得 ，即 ． ∴ 在 上单调递增（“同增异减”）． 【变式4-1】已知 在 上递增， 在 上递增，则复合函数 在 上（　　） A．递增 B．递减 C．先增后减 D．不单调 【解析】判定依据：内外层单调性相同，则复合函数递增． A：内外层都递增，「同增」，F 在 R 上递增，正确 B：递减要求内外层一增一减，不符合 C：先增后减没有依据 D：复合函数单调，不是不单调 故选 A． 【变式4-2】已知 在 上递增， 在 上递减，则 在 上单调______． 【解析】 递增， 在 上递减，内外单调性相反（“异减”）， 故 在 上单调递减．答案：递减． 【变式4-3】已知 是定义在 上的增函数，证明：函数 在 上也是增函数． 【解析】任取 ，则 ． ∵ 增，故 ，且 ，∴ ， 即 ．故 在 上也是增函数． 考点3 最大（小）值 知识点3 函数的最大（小）值与最值 【重难点】★重点：最大值、最小值的定义，利用单调性求闭区间上函数的最值； ▲难点：最值定义中“任意”与“存在”的理解，含参最值讨论． 1．最大值　若存在 使 有 ，则 为最大值；最小值类似． 2．利用单调性求最值：若函数在 上单调，则最值在端点取得；先单调后极值的情形，最大值（或最小值）在顶点处取得． 【题型5 定义法/图象法求最值】 【例5】已知函数 ，，求 的最大值、最小值． 【解析】，开口向上，对称轴 ． 在 上，最小值在顶点 取 得，；端点 ，， 故最大值为 ．即最小值为 ，最大值为 ． 【变式5-1】求函数 ， 的最大值与最小值． 【解析】，对称轴 ． 最小值 ；端点 ，， 故最大值为 ．即最小值 ，最大值 ． 【变式5-2】求函数 ， 的最大值与最小值． 【解析】 在 上单调递减， 故最大值在左端点 ，最小值在右端点 ． 【变式5-3】求函数 ， 的最大值与最小值． 【解析】由对勾函数性质，， 当 时取最小值 ；端点：，， 故最大值为 ． 【题型6 利用单调性解不等式与求最值】 【例6】已知函数 在 上是减函数，且 ．求满足 的实数 的取值范围． 【解析】已知 ．∵ 在 上递减， ∴自变量需满足 ．解得 ，即 ． 【变式6-1】已知 在 上是增函数，且 ，则满足 的 的取值范围是______． 【解析】．因 在 上递增，故 ，解得 ． 【变式6-2】已知 在 上是减函数，且 ，求满足 的 的取值范围． 【解析】．因 在 上递减，故 ，解得 ． 【变式6-3】已知 在 上是增函数，解不等式 ． 【解析】．因 在 上递增， 故 ，即 ，，解得 ． 考点4 二次函数最值 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 【重难点】★重点：二次函数 在闭区间上的最值（顶点或端点）； ▲难点：对称轴与区间相对位置的分类讨论（轴定区间动、轴动区间定）． 1．二次函数在闭区间 上的最值：比较顶点与两端点的函数值． 2．分类讨论依据：对称轴 与区间 的位置关系（在区间左侧、内部、右侧）． 【题型7 二次函数在闭区间上的最值】 【例7】已知函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值． 【解析】，对称轴 ． 若 （开口向上），最大值在离对称 轴最远的端点 ：； 若 （开口向下），最大值在顶点 ：． 综上， 或 ． 【变式7-1】求函数 ， 的最大值与最小值． 【解析】， 对称轴 ．最小值 ；端点 ，， 故最大值为 ．即最小值 ，最大值 ． 【变式7-2】求函数 在区间 （其中 ）上的最小值． 【解析】对称轴 ．分三类： （1）当 即 时， 区间在轴左侧，函数递减，最小值为 ； （2）当 时，区间在轴右侧，函数递增，最小值为 ； （3）当 时，顶点 在区间内，最小值为 ． 【变式7-3】已知函数 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，求实数 的值． 【解析】 在 上最小值为 ，需顶点 ， 故 ；此时最大值为 ． 由 得 或 （舍去）；且 满足．故 ． 【题型8 由最值求参数】 【例8】已知函数 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，求实数 的取值范围． 【解析】最小值为 要求顶点 ， 故 ；最大值为 ：因 ，且对 需 ， 即 ．综合 与 ，得 ． 【变式8-1】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值． 【解析】 最小值为 （在 ）．现最小值为 ，说明 ， 即 ，最小值在左端点 ：（）．故 ． 【变式8-2】已知函数 在 上单调递增，求其最小值（用含 的式子表示）． 【解析】， 对称轴 ．在 上单调递增需 ． 此时最小值在 处取得：．故最小值为 ． 【变式8-3】已知函数 在 上的最大值为 ，求实数 的值． 【解析】，区间 长为 ，最大值在离对称轴 较远的端点取得，且最大值为 ． 若最大在 ： 或 ； 检验 时 ，成立； 时 ， 不成立（舍）．若最大在 ： 或 ； 检验 时 ，成立； 时 ， 不成立（舍）．综上， 或 ． 考点5 函数最值应用 知识点5 函数最值的应用与综合 【重难点】★重点：建立函数模型求实际问题中的最值； ▲难点：单调性与最值的综合应用、含参综合讨论． 1．实际应用最值　先建立函数模型（设变量、列解析式、定定义域），再求最值． 2．综合：将单调性与最值结合，注意分类讨论与数形结合． 【题型9 实际问题中的最值】 【例9】用长为 的篱笆围成一个矩形场地，问这个矩形的长、宽各为多少时，场地的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】设矩形长为 m、宽为 m，则 ．面积 ，当且仅当 时取等号． 故长、宽均为 m 时面积最大，最大面积为 m． 【变式9-1】用一段长为 的铁丝围成矩形，求矩形面积的最大值． 【解析】设长 、宽 ，，面积 ， 当 时取等号．故最大面积为 m． 【变式9-2】某商品每件成本 元，若售价定为 元，则日销量 （件）．求日利润 （元）关于售价 的函数解析式，并求最大日利润． 【解析】日利润 ，开口向下，对称轴 ． 当售价 元时，日利润最大，（元）． 【变式9-3】某工厂生产某种产品，固定成本 元，每生产一件产品成本增加 元，且产量 与售价 满足 ．求利润函数及其最大值（产量 ）． 【解析】利润 收入 成本 ． 开口向下，对称轴 ，故最大利润 （元）（产量 ）． 【题型10 单调性与最值综合】 【例10】已知函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围，并分别求出相应情况下 在 上的最小值与最大值． 【解析】， 对称轴 ．在 上单调需 或 ． 当 时，在 上递增：最小值 ，最大值 ； 当 时，在 上递减：最小值 ，最大值 ． 【变式10-1】已知函数 在 上的最大值为______，最小值为______． 【解析】， 对称轴 ．最大值 ；端点 ，， 故最小值为 ．即最大值 ，最小值 ． 【变式10-2】已知函数 求 在 上的最大值与最小值． 【解析】当 时 （ 时取 ）； 当 时 ． 故在 上最大值为 （在 ），最小值为 （在 ）． 【变式10-3】已知函数 在 上的最小值为 ．当 时，求 的解析式及其最大值． 【解析】对称轴 ．最小值 在 上由 递减到 ，在 上由 递减到 ， 故当 时 的最大值为 ． 考点6 奇偶函数的定义 知识点6 奇函数与偶函数的定义 【重难点】★重点：奇函数、偶函数的定义与等价形式； ▲难点：定义域必须关于原点对称，先判断定义域再判定奇偶性． 1．偶函数：设函数 的定义域为 ，若 都有 ，且 ，则 为偶函数（图象关于 轴对称）． 2．奇函数：若 都有 ，且 ，则 为奇函数（图象关于原点对称）；若 ，则必有 ． 3．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 【题型11 判断函数的奇偶性】 【例11】判断下列函数的奇偶性，并说明理由：；；；． 【解析】解： 定义域为 ，关于原点对称， 且 ，故为奇函数． 定义域为 ，关于原点对称，且 ， 故为偶函数． 定义域为 ，关于原点对称，且 ， 故为奇函数． 定义域为 ，由于 而 ，定义域不关于原点对称，故非奇非偶函数． 【变式11-1】下列函数中为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：定义域关于原点对称且 才是偶函数． A：，，是奇函数 B：，，是偶函数，正确 C：，，非奇非偶 D：，，是奇函数 故选 B． 【变式11-2】函数 的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【解析】判定依据：分别比较 与 、． A：，不是奇函数 B：，不是偶函数 C：定义域 R 对称且两式都不成立，非奇非偶，正确 D：既奇又偶需 恒成立，不满足 故选 C． 【变式11-3】已知函数 ，判断其奇偶性． 【解析】解：由 得 ，定义域为 ， 关于原点对称；此时 ，既满足 也满足 ， 故既奇又偶． 考点7 奇偶性的判定 知识点7 函数奇偶性的判定（定义法、图象法） 【重难点】★重点：定义法判定的“三步”（求定义域→算 →比 ）； ▲难点：含参函数奇偶性的参数求解、分段函数奇偶性的分段验证． 1．定义法：①求定义域并判断是否关于原点对称；②计算 ；③若 则为偶函数，若 则为奇函数，否则非奇非偶． 2．图象法：图象关于 轴对称 偶函数；关于原点对称 奇函数． 3．多项式函数：只含偶次项（含常数项）为偶函数；只含奇次项为奇函数． 【题型12 利用奇偶性求参数】 【例12】已知函数 是偶函数，则实数 的值为______． 【解析】解：定义域 关于原点对称， 偶函数要求 对任意 成立， 即 ，得 ，即 恒成立，故 ． 【变式12-1】若 是偶函数，则 ______． 【解析】解：偶函数要求 ，即 ，得 恒成立， 故 ． 【变式12-2】函数 为偶函数，则 ______． 【解析】解：， 与 相等要求 ，即 ，故 ． 【变式12-3】已知 为偶函数，求实数 的值． 【解析】解：偶函数要求 ．当 时 ， ，应等于 ， 比较得 且 任意；再取 时 ， ，应等于 ，比较得 且 ．综上 ， ． 【题型13 利用奇偶性求函数值】 【例13】设 是定义在 上的奇函数，且 ，则 ______． 【解析】解：奇函数满足 ，故 ． 【变式13-1】若 为奇函数且 ，则 ______． 【解析】解：奇函数有 ． 【变式13-2】设 是 上的偶函数，，则 ______． 【解析】解：偶函数有 ． 【变式13-3】设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ______． 【解析】解：奇函数在 处有定义，故 ；当 时 ， 则 ，由奇函数 ；∴ ． 【题型14 利用奇偶性求解析式】 【例14】已知 是 上的奇函数，当 时 ，求当 时 的解析式． 【解析】解：设 ，则 ，由已知 ； 又 为奇函数，．故当 时 ． 【变式14-1】已知 是 上的奇函数，当 时 ，则当 时 ______． 【解析】解：设 ，则 ， ；奇函数 ．故 时 ． 【变式14-2】已知 是 上的偶函数，当 时 ，求当 时 的解析式． 【解析】解：设 ，则 ，； 偶函数 ．故 时 ． 【变式14-3】已知 是 上的奇函数，当 时 ，求 在 上的解析式（分段表示）． 【解析】解：当 时，，； 奇函数 ．又已知 时 且 ．∴ 考点8 奇偶函数的图象对称性 知识点8 奇（偶）函数图象的对称性 【重难点】★重点：奇偶性对应的图象对称中心或对称轴； ▲难点：由对称性求对称点、由局部图象补全整体图象． 1．奇函数：图象关于原点中心对称；若 在图象上，则 也在图象上． 2．偶函数：图象关于 轴对称；若 在图象上，则 也在图象上． 3．偶函数 在对称区间上单调性相反；奇函数在对称区间上单调性相同． 【题型15 奇偶函数的图象特征】 【例15】函数 是奇函数，其图象关于______对称；若其图象过点 ，则其图象必过点______． 【解析】解：奇函数图象关于原点对称； 若 在图象上，则 也在图象上，故图象必过点． 【变式15-1】偶函数的图象关于______对称． 【解析】解：偶函数图象关于 轴对称． 【变式15-2】若奇函数 的图象过点 ，则其图象必过点______． 【解析】解：奇函数图象关于原点对称， 若 在图象上，则 也在图象上，必过点． 【变式15-3】已知函数 是偶函数，且在 上单调递减，则 在 上单调______（填“增”或“减”）． 【解析】解：偶函数在对称区间上单调性相反，已知在 上递减， 则在 上单调增． 考点9 分段与含参函数的奇偶性 知识点9 分段与含参函数的奇偶性 【重难点】★重点：分段函数奇偶性的分段验证、利用奇偶性求未知区间解析式与参数； ▲难点：含参奇偶性的分类讨论（令对应项系数为零）． 1．未知区间求解析式　已知奇偶性及一侧解析式，对 取相反数，利用 求另一侧． 2．含参奇偶性　令所有奇次项（或偶次项）系数为 ，解出参数并检验定义域对称． 3．既奇又偶　仅当 且定义域关于原点对称时成立． 【题型16 分段函数的奇偶性】 【例16】判断函数 （即 ）的奇偶性． 【解析】解：定义域为 关于原点对称． 当 时 ，； 当 时 ，； 且 ．故 恒成立，为奇函数． 【变式16-1】判断函数 的奇偶性． 【解析】解：，定义域为 对称，故为偶函数． 【变式16-2】判断函数 的奇偶性． 【解析】解：定义域为 ．当 时 ，； 当 时 ，；且 ．故为奇函数． 【变式16-3】设 为偶函数，求实数 的值． 【解析】解：偶函数要求 ．当 时 ，，应等于 ， 比较得 且 ；再取 验证一致．故 ，． 【题型17 含参函数的奇偶性】 【例17】已知函数 ，讨论函数 的奇偶性． 【解析】解：定义域为 （当 时为 ， 均关于原点对称）． 对任意 恒成立， 故对任意实数 ，函数均为奇函数． 【变式17-1】函数 的奇偶性为______． 【解析】解：，与 无关，故为偶函数． 【变式17-2】函数 为偶函数，则 ______． 【解析】解：偶函数要求 ， 即 ，得 恒成立，故 ． 【变式17-3】函数 为奇函数，则 ______，且 满足______． 【解析】解：奇函数要求 ． ，而 ；比较得 对任意 成立， 故 ，此时 可为任意实数．故 ，． 考点10 奇偶性与单调性综合应用 知识点10 奇偶性与单调性的综合应用 【重难点】★重点：利用奇偶性与单调性解不等式、比较大小； ▲难点：抽象不等式中“脱 ”时单调性与对称性的结合． 1．脱 法　由单调性把 化为自变量的不等关系（注意定义域）． 2．综合　奇函数在 与 单调性相同；偶函数相反，常转化为 处理． 【题型18 奇偶性与单调性的综合】 【例18】设 是 上的奇函数，且在 上为增函数，又 ，求不等式 的解集． 【解析】解：奇函数 ．在 上递增且 ： 故 时 ， 时 ．由奇函数知在 上也递增且 ： 时 ， 时 ． 即 与 异号， 由表得解集为． 【变式18-1】设 是 上的奇函数且在 上递增，，则 的解集为______． 【解析】解：奇函数在 上递增， ．递增性： 时 ， 时 ； 时 ， 时 ．故 的解集为． 【变式18-2】设 是偶函数，在 上递增，且 ，则 的解集为______． 【解析】解：偶函数且在 上递增， 等价于 ， 由递增得 ，解得 或 ．解集为． 【变式18-3】设 是 上的奇函数，在 上递减，且 ，求不等式 的解集． 【解析】解：奇函数，．在 上递减， 由奇函数知在 上也递减．当 时：递减且 ， 故 时 ， 时 ；当 时：递减且 ， 故 时 ， 时 ．∴ 的解集为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $