专题4.6 用一元一次方程解决问题（2大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.6 用一元一次方程解决问题（2大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题：弄清题意． （2） 找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5） 检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 【知识点2】题型等（数量）量关系分析 【题型1】日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律) 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 【题型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 【题型3】数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. 【题型4】和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 【题型5】调配问题。 　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。 【题型6】利润率问题。 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【题型7】工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【题型8】行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题： （a） 基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型目录 【题型1】日历问题...........................................................4 【题型2】等积（周）变形问题.................................................6 【题型3】数字问题...........................................................7 【题型4】和、差、倍、分问题.................................................9 【题型5】调配问题..........................................................11 【题型6】利润问题..........................................................13 【题型7】行程问题..........................................................14 【题型8】工程问题..........................................................16 【题型9】方案问题..........................................................18 【题型10】古代问题.........................................................21 【题型11】阶梯（电费、水费）问题...........................................22 【题型12】数轴上的动点问题.................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】日历问题 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的; (2)的值不能等于74，理由见解析. 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 解：（1）设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 【变式1】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意用“”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．84 D．98 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设最中间的数字为，分别表示出剩余的6个数字，求和后，使和分别等于各选项的数字，求出，进行判断即可． 解：设最中间的数字为，由题意，得：剩余的6个数字分别为， ∴7个数的和为：， 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，，此时不存在“”型，故D选项符合题意； 故选D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）某月有五个星期二，已知这五个日期的和为，则这月中最后一个星期二是 号． 【答案】 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用每个星期相差天，设最后一个星期二是号，则其他四个星期的号数分别为：，，，，由这五个日期的和为列方程解答即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 解：设最后一个星期二是号，则其他四个星期的号数分别为：，，，， 根据题意列方程得，， 解得：，故答案为：． 【题型2】等积（周）变形问题 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为，高均为的量筒中装有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留） 【答案】倒入水之前大量筒中水的体积为 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用及圆柱体的体积公式，解题关键在于熟记该公式．设量筒中原来水的高度为，根据将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，求出量筒中原来水的高度，即可得出答案． 解：设量筒中原来水的高度为， 大量筒的底面半径为，底面积为， 小量筒的底面半径为，底面积为， 则由题意可得， 解得，经检验，符合题意， 量筒中原来水的高度为，倒入水之前大量筒中水的体积为． 答：倒入水之前大量筒中水的体积为． 【变式1】（16-17七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一个长方形的周长是，这个长方形的长减小，宽增加，就可以成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次方程解应用题．首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长长方形的宽，根据此列方程即可． 解：设长方形的长为，则宽是， 根据题意得：， 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，小明受“乌鸦喝水”故事的启发，利用一只高48厘米的量桶（不考虑量筒厚度）和一些体积相同的小球进行如下实验．先阅读表格信息，再解答下列问题： 放入球个数x（个） 0 3 5 x 量桶内水面高度h（厘米） 30 36 ______ ______ (1)请根据题意，补全上表中的两个空： (2)当放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度为y（厘米），请写出变量y与x之间的表达式； (3)当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数． 【答案】(1)40，； (2)； (3)放入小球的个数为9. 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）放入3个小球时，水面高度上升厘米，则每放入1个小球，水面高度上升2厘米，由此可解； （2）放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度减少厘米，由此可解； （3）设放入小球的个数x个，此时量桶内水面距离量筒口的高度为0，由此列一元一次方程，解方程即可； 解：（1）由表可知，每放入1个小球，水面高度上升厘米， 因此放入5个小球时，，放入x个小球时，， 故答案为：40，； （2）由题意知，， 即y与x之间的表达式为：； （3）设当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数为x． 则， 解得， 即当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数为9． 【题型3】数字问题 【例3】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的表示两位数是解题的关键． 设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数为，对调后的两位数为， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴这个两位数为． 【变式1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由两位数的特点结合题意列出方程即可，熟悉两位数的特点和找出等量关系是解题的关键． 解：设这个两位数个位上的数字为x 则这个两位数十位上的数字为 由题意可列方程： 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为．若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，则“相异数” ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出关于的方程，求解即可，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 解：∵一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且， ∴， 解得：， ∴， ∴“相异数”， 故答案为：． 【题型4】和、差、倍、分问题 【例4】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？ (1)设小和尚有x人，请根据题意列方程； (2)设大和尚有y人，请根据题意列方程； (3)请选择第（1）或（2）题中的一个方程，求出大、小和尚各多少人？ 【答案】(1)； (2)；(3)大和尚25人，小和尚75人。 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设小和尚有x人，则大和尚有人，再根据大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头列出方程即可； （2）设大和尚有y人，则小和尚有人，再根据大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头列出方程即可； （3）分别解（1）和（2）所列方程即可得到答案． 解：（1）设小和尚有x人，则大和尚有人， 由题意得，； （2）设大和尚有y人，则小和尚有人， 由题意得，； （3）解方程得， ∴； 解方程得， ∴； 答：大和尚25人，小和尚75人． 【变式1】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设井深为x尺，根据绳子的长度固定不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 解：设井深为x尺，由题意可得， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，列一元一次方程即可求解． 解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，由题意得： ， 解得，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 【题型5】调配问题 【例5】（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子．如果木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元． (1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？ (2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了多少套A类型套桌？ 【答案】(1)全部卖出可以卖800000元；(2)制作了160套A类型套桌 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设用的木料制作方桌，根据工厂现有木料，A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，列出方程求出的值，进而求出A类型套桌的套数，再乘以售价进行计算即可； （2）设制作了套A类型套桌，则制作了套B类型套桌，根据题意，列出方程进行求解即可． 解：（1）设用的木料制作方桌，则用的木料制作凳子，由题意，得： ， 解得：， ∴可制作方桌：（个）， ∴制作套类型套桌，全部卖出可以卖：（元）； 答：全部卖出可以卖800000元； （2）设制作了套A类型套桌，则制作了套B类型套桌，由题意，得： ， 解得：； 答：制作了160套A类型套桌． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ，即， 解得：， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间的生产流程是先“灌装”：即将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再“装箱”：即将瓶装黄酒装箱出车间，该瓶酒车间“灌装”“装箱”生产线信息如表所示： “灌装”生产线 “装箱”生产线 生产线数量 条 条 每条生产线的生产效率 瓶/小时 瓶/小时 某日8时到11时，车间内的生产线全部投入生产，如图表示该时段内还没有装箱的瓶装黄酒存量随时间的变化情况，则 ． 【答案】 【分析】根据车间内的瓶装黄酒存量8时时为400瓶，到11时为700瓶，列一元一次方程，求解即可． 解：根据题意，得， 解这个方程，得：． 故答案为：14． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【题型6】利润问题 【例6】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【答案】(1)； (2)店长说法正确 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据销售额等于卖出个摆件的销售额加上卖出个毛线玩具的销售额，即可代数式； （2）设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据利润为1400元，列出方程求解即可解答． 解：（1）根据题意得：； （2）设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， （不符合实际）， 店长说法正确． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）曲星坊活动中，文创摊主把“手绘地图”按标价的九折出售，仍可获利，若该“手绘地图”的进价为每件21元，则标价为（    ） A．28 B．27.8 C．27 D．28.4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的标价为x元，根据等量关系“按标价的九折出售仍可获利20%”列方程求解即可；根据题中所给的已知条件列出方程是解题的关键． 解：设该商品的标价为x元， 依题意有， 解得． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一本书若定价每本10元，获得的纯利润是；如果想使获得的纯利润是，则每本书应定价 元． 【答案】 【分析】设这本书的进价为x元，根据题意，得，结合纯利润是，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用—利润问题，熟练掌握解方程是解题的关键． 解：设这本书的进价为x元，根据题意，得， 解得， 设每本书应定价为y元，根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【题型7】行程问题 【例7】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走．走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红．求他们家到图书馆的距离． 【答案】8.5千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设他们家到图书馆的距离为千米，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 解：设他们家到图书馆的距离为千米， 根据题意，可得， 解得（千米）． 答：他们家到图书馆的距离为8.5千米． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，乙追上甲时，乙比甲多走，据此建立方程求解即可． 解：设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为． 当乙第一次追上甲时，， 解得． ∴此时乙行走的路程为 ∵， ∴当乙第一次追上甲时，共走了3圈多90米，即在正方形的点C处乙第一次追上甲， 故选；C． 【变式2】（22-23七年级上·江西景德镇·期末）如图，直线l上有A、B两点，，M从点A出发向左运动，速度为；N从点B出发向左运动，速度为．设经过t秒后，， ． 【答案】秒或8秒 【分析】分两种情况，当点N在点A、B之间时，或当点N追上点M时，分别列方程，解方程即可求解． 解：当点N在点A、B之间时， 根据题意得：， 解得， 当点N追上点M时， 根据题意得：， 解得， 综上，经过秒或8秒后，， 故答案为：秒或8秒． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，分类讨论，正确列出方程是解决本题的关键． 【题型8】工程问题 【例8】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 解：（1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得． 解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为， 由题意得： 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划n天完成（n为正整数），如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，则比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚1天完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则（　　） A．37 B．38 C．40 D．41 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用：分三种情况考虑，最后发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的，则只要看最后那几天就行，若第一种情况，最后甲乙，那么第三种情况最后必然是乙丙甲，这样得到甲乙乙丙甲，显然不符合题意，据此分析另外两种情况，求出甲单独25天完成，乙单独50天完成，设乙和丙工作了天，则甲工作了天，恰好如期完成，列出方程求解即可． 解：第一种：甲乙丙； 第二种：丙甲乙； 第三种：乙丙甲； 我们发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工作天数都是一样的， ∴只要看最后那几天就行 若第一种情况，最后甲乙 那么第三种情况最后必然是乙丙甲，这样得到甲乙乙丙甲，显然不符合题意， ∴第一种情况，最后应该是甲； 那么第二种情况最后就是丙甲， 第三种情况就是乙丙； ∴甲丙甲乙丙， 因为丙单独50天做完，工效为， ∴甲单独25天完成，乙单独50天完成， 设乙和丙工作了天，则甲工作了天，恰好如期完成， 则： 解得：， ∴； 故选：A． 【题型9】方案问题 【例9】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)，; (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多; (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论； （3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可． 解：（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃白银·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出一元一次方程，求解即可． 解：共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为： (元)， ．购票的总费用是240元； 设6人中学生x人，则成年人人， 根据“时光影城”的优惠方式计算费用得： ， 解得：． 故答案为：2． 【变式2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，设需租座的小船条，则需租座的小船条，利用一元一次方程求出人数，再设租座的小船条，座的小船条，可得二元一次方程，根据解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解题的关键． 解：设需租座的小船条，则需租座的小船条， 依题意得，， 解得， ∴人数， 设租座的小船条，座的小船条， 依题意得，， ∴， ∵均为非负整数， ∴当时， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有种租船方案， 故选：． 【题型10】古代问题 【例10】（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 解：①设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 【变式1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何？”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．问：太仓距上林多少里？设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设太仓到上林的距离为里，利用时间路程速度，结合5日往返3次，即可得出关于的方程． 解：设太仓到上林的距离为里， 依题意得：； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设乙出发天甲乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 解：设乙出发天甲乙相遇， 根据题意得：， 故答案为：． 【题型11】阶梯（电费、水费）问题 【例11】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1)；(2)上交水费元 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 解：（1）当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 【变式1】（21-22八年级·全国·假期作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【答案】A 【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解． 解：设该职工6月份实际用水量为x立方米， 10a+2a（x﹣10）＝16a， 解得：x＝13， 故选：A． 【点拨】此题考查了含有参数的一元一次方程，与学生生活联系密切．抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 【题型12】数轴上的动点问题 【例11】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【答案】(1)；3； (2)点在数轴上对应的数为5或；(3)点的速度为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用绝对值的非负性质得到，，解得，； （2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据分情况讨论，列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 解：（1）且． ，， 解得，． 故答案为：；3； （2）设点在数轴上所对应的数为， 当在点右边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为5； 当在点左边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为； 综上，点在数轴上对应的数为5或； （3）设速度为，则的速度为， 3秒后点，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当还在原点的左边时，由可得， 解得； 当在原点的右边时，由可得，解得． 即点的速度为或． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的表示，解一元一次方程，绝对值，结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键． 由确定点表示的数为，由点、点分别到原点的距离相等，分别表示出，，建立方程求解即可． 解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时， 即， ∴或， 解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当在的右侧及当在的左侧，利用及，列出方程解答即可． 解：设对折后，使点落在处， 当在的右侧且距离是2时， 点表示的数为5， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是0． ②当在的左侧且距离是2时， 点表示的数为1， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：0或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 用一元一次方程解决问题（2大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题：弄清题意． （2） 找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5） 检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 【知识点2】题型等（数量）量关系分析 【题型1】日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律) 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 【题型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 【题型3】数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. 【题型4】和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 【题型5】调配问题。 　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。 【题型6】利润率问题。 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【题型7】工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【题型8】行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题： （a） 基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型目录 【题型1】日历问题...........................................................4 【题型2】等积（周）变形问题.................................................4 【题型3】数字问题...........................................................5 【题型4】和、差、倍、分问题.................................................6 【题型5】调配问题...........................................................6 【题型6】利润问题...........................................................7 【题型7】行程问题...........................................................7 【题型8】工程问题...........................................................8 【题型9】方案问题...........................................................9 【题型10】古代问题..........................................................9 【题型11】阶梯（电费、水费）问题...........................................10 【题型12】数轴上的动点问题.................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】日历问题 【例1】下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【变式1】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意用“”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．84 D．98 【变式2】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）某月有五个星期二，已知这五个日期的和为，则这月中最后一个星期二是 号． 【题型2】等积（周）变形问题 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为，高均为的量筒中装有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留） 【变式1】（16-17七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一个长方形的周长是，这个长方形的长减小，宽增加，就可以成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，小明受“乌鸦喝水”故事的启发，利用一只高48厘米的量桶（不考虑量筒厚度）和一些体积相同的小球进行如下实验．先阅读表格信息，再解答下列问题： 放入球个数x（个） 0 3 5 x 量桶内水面高度h（厘米） 30 36 ______ ______ (1)请根据题意，补全上表中的两个空： (2)当放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度为y（厘米），请写出变量y与x之间的表达式； (3)当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数． 【题型3】数字问题 【例3】一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，求这个两位数． 【变式1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为．若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，则“相异数” ． 【题型4】和、差、倍、分问题 【例4】我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？ (1)设小和尚有x人，请根据题意列方程； (2)设大和尚有y人，请根据题意列方程； (3)请选择第（1）或（2）题中的一个方程，求出大、小和尚各多少人？ 【变式1】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【题型5】调配问题 【例5】列方程解应用题：某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子．如果木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元． (1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？ (2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了多少套A类型套桌？ 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【变式2】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间的生产流程是先“灌装”：即将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再“装箱”：即将瓶装黄酒装箱出车间，该瓶酒车间“灌装”“装箱”生产线信息如表所示： “灌装”生产线 “装箱”生产线 生产线数量 条 条 每条生产线的生产效率 瓶/小时 瓶/小时 某日8时到11时，车间内的生产线全部投入生产，如图表示该时段内还没有装箱的瓶装黄酒存量随时间的变化情况，则 ． 【题型6】利润问题 【例6】某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）曲星坊活动中，文创摊主把“手绘地图”按标价的九折出售，仍可获利，若该“手绘地图”的进价为每件21元，则标价为（    ） A．28 B．27.8 C．27 D．28.4 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一本书若定价每本10元，获得的纯利润是；如果想使获得的纯利润是，则每本书应定价 元． 【题型7】行程问题 【例7】红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走．走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红．求他们家到图书馆的距离． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【变式2】（22-23七年级上·江西景德镇·期末）如图，直线l上有A、B两点，，M从点A出发向左运动，速度为；N从点B出发向左运动，速度为．设经过t秒后，， ． 【题型8】工程问题 【例8】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划n天完成（n为正整数），如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，则比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚1天完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则（　　） A．37 B．38 C．40 D．41 【题型9】方案问题 【例9】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】（23-24七年级上·甘肃白银·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城 票价（元） 优惠活动 时光影城 48 学生票半价 遇见影城 50 网络购票，总价打八折 乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 【题型10】古代问题 【例10】（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【变式1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何？”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．问：太仓距上林多少里？设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南通·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相遇？译文：甲从长安出发，天到齐国；乙从齐国出发，天到长安．现乙先出发天，甲才从长安出发．问多久后甲乙相遇？若设乙出发天甲乙相遇，则可列方程为 ． 【题型11】阶梯（电费、水费）问题 【例11】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【变式1】（21-22八年级·全国·假期作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【题型12】数轴上的动点问题 【例12】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$