人教版贵州省2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考试卷

人教版贵州省2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考试卷答题卡 第25章-第28章 姓名： 班级： 条码粘贴处 (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确[■]错误【-[][×] 一、选择题（每题3分，共12题，合计36分） 1、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 12、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 8、[A][B][C]ID] 4、[A][B][C][D] 9、[A][B][C]ID] 5、[A][B][C][D]10、[A][B][C][D] 二、选择题（每题4分，共4题，合计16分）》 13、 、14、 15、 16、 三、解答题（共9题，合计98分） 17题(12分)：(1)x2-6x+1=0. (20x-2}=3x-6 18题(10分)： 19题(10分)： 6 -L-- 4 3 .J---L. 2 64320.2456 11 -2或 4 ---L-- 6 20题(10分)： 21题(10分)： B O 22题(10分)： B D 23题(12分)： 伦通 gacm Bo y.cm C D 秤零 最 纽刻 自 大 度 秤砣200g 秤盘50g 重物xg 度 24题(12分)： 桥拱 40cm 安全距离 最高 水位 图3 25题(12分)： G E D A F A F C BL B C 图1 图2 图3 人教版贵州省2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考试卷 第25章--第28章 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列各式中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．（本题3分）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ）． A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 7．（本题3分）小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（     ） x 1 A． B． C． D． 8．（本题3分）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 11．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 12．（本题3分）抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）点与点关于原点对称，则_________． 14．（本题4分）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 15．（本题4分）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 16．（本题4分）已知函数：在上的最大值是2，最小值是，则m的取值范围是________． 三、解答题（共98分） 17．（本题12分）解方程 (1)； (2) 18．（本题10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若向右平移6个单位长度后得到，作出； (2)将绕点旋转，画出旋转后的； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标为 ． 20．（本题10分）2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 21．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 22．（本题10分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 23．（本题12分）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易秤杆，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总重量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当杆秤平衡时，有． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至秤杆平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)秤杆可用总长度，为了保证杆秤最大刻度不小于，求的取值范围． 24．（本题12分）根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． (2)【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． (3)【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 25．（本题12分）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版贵州省2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考试卷答案解析 第25章--第28章 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列各式中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】解：A．是二元二次方程，故选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D．是一元二次方程，故选项符合题意． 2．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3．（本题3分）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用抛物线顶点式的性质判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为． ∴，抛物线开口向上，A错误． 对称轴为直线，B正确． 顶点坐标为，C错误． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，随的增大而增大，D错误． 4．（本题3分）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】利用反比例函数中的定值特性，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于． 【详解】解：将点代入，得， 选项：，不符合题意； 选项：，符合题意； 选项：横纵坐标乘积均为，不符合题意． 5．（本题3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转角求得，再根据计算的度数． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转得到， ． ， ． 6．（本题3分）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【答案】C 【知识点】图形的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】抛物线平移时顶点同步平移，可通过对比平移前后的顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向左平移2个单位，再向上平移1个单位． 7．（本题3分）小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（     ） x 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】根据方程解的定义，通过的正负变化确定解的区间． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 8．（本题3分）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∴ ． 9．（本题3分）普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到矩形空地的边缘，剩余草坪可拼成一个新矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程： ． 10．（本题3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法正确的是（     ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当浸在液体中的高度满足时，该液体密度 C．当液体密度时，浸在液体中的高度 D．当液体密度满足时，浸在液体中的高度 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【详解】解：由题意知，浸在液体中的高度与液体密度（，）成反比例函数关系， ∴设， 将点代入得，， ∴， 当液体密度时，浸在液体中的高度，∴选项A错误； 当浸在液体中的高度满足时，当时，对应的液体密度为，∴该液体密度，∴选项B正确； 当液体密度时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项C错误； 当液体密度满足时，当时，对应的液体高度为，∴浸在液体中的高度，∴选项D错误． 11．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与反比例函数图象综合判断、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点， ∴， 根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵，，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意． 12．（本题3分）抛物线的对称轴是直线且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．①②⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定，，的符号及关系，利用对称性求出另一交点坐标，结合函数最值性质逐一判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③错误； ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵当时，有最大值， ∴当时，， ∴， 即，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）点与点关于原点对称，则_________． 【答案】1 【知识点】已知两点关于原点对称求参数、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据关于原点对称的点的坐标性质，求出和的值，代入计算即可得到结果。 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 14．（本题4分）若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、求一元一次不等式的解集 【分析】根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像位于第二、四象限， ，解得． 15．（本题4分）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 16．（本题4分）已知函数：在上的最大值是2，最小值是，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】根据函数解析式得出开口向上，最小值为，然后得出值为2的对应自变量的值，然后结合题意即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上，最小值为， ∵在上的最大值是2， ∴， 解得：， ∵最小值是， ∴必须包含对称轴， ∴， ∵最大值是2， ∴内无大于2的函数值， ∴， ∴． 三、解答题（共98分） 17．（本题12分）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）通过提取公因式、移项后，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， ∴， 直接开平方，得：， ∴，； （2）解：， 提取公因式，得：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴，． 18．（本题10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求解m的取值范围； （2）利用根与系数的关系将转化为含m的代数式，结合已知等式列方程求解，再根据（1）中m的范围取舍结果． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， 且， ∴， 整理得， 解得，， 由（1）知， ∴不符合题意，舍去， ∴． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若向右平移6个单位长度后得到，作出； (2)将绕点旋转，画出旋转后的； (3)若与关于点成中心对称，则点的坐标为 ． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标、由平移方式确定点的坐标、求一次函数解析式、画旋转图形 【分析】（）根据平移变换即可求解； （）根据旋转变换即可求解； （）连接，，，则与交于 P点，求出直线的解析式为，直线的解析式为，，直线的解析式为，，联立，解方程组即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，，，则与交于 P点， 根据图形可知：点，，，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为，， 直线的解析式为，， 联立， 解得：， ∴点P的坐标为． 20．（本题10分）2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 【答案】(1)10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为 (2)当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月销量乘的平方等于11月销量列方程求解； （2）设降价m元，以11月销量为基础表示12月销量，结合单个利润与总利润的关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为； （2）解：设毛绒玩具每个降价m元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元． 21．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为： (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 即， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 22．（本题10分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， 即． (2)4 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先由旋转性质得到，，结合三角形内角和定理及对顶角相等确定，即可得到，即可得证； （2）先由旋转性质得到得到，，然后根据线段的和差关系求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ， 即， 解得， . 23．（本题12分）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易秤杆，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总重量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当杆秤平衡时，有． (1)若取，为了得到零刻度点的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至秤杆平衡，此时点的位置即为点．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析与之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当增加相同的数值，的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)秤杆可用总长度，为了保证杆秤最大刻度不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)；是一次函数，刻度均匀 (3) 【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）由，得求解即可； （2）把代入杠杆关系式，整理得到关于的一次函数，根据一次函数自变量均匀增减时因变量增量恒定，判定刻度线均匀； （3）求得，由时随着的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：，代入杠杆等式得， , , 即零刻度位置． （2）解：代入原式得， ， ， 是关于的一次函数；自变量每增加相等数值，增加固定值，杆秤刻度均匀． （3）解：砣最远可以移动到点，砣最大力臂，此时对应最大称重，， ， 整理得， ， 随着的增大而减小， 当最大刻度是时， 令，得， ． 24．（本题12分）根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线形建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材 2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于． 素材 3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)【任务1】确定桥拱形状：在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． (2)【任务2】探究悬挂范围：在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． (3)【任务3】拟定设计方案：符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的一种方案． 【答案】(1) (2) (3)需要准备 7 盏灯笼 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题、拱桥问题(实际问题与二次函数)、利用不等式求自变量或函数值的范围、坐标系中的对称 【分析】（1）以拱顶为原点，设抛物线解析式为，把点代入式子求出的值，得到抛物线解析式． （2）根据水位上涨、灯笼高、安全距离，算出悬挂点纵坐标最小值为，再把代入抛物线方程求出，得到横坐标范围． （3）在到之间，每隔取一个横坐标，按照轴对称要求布置，横坐标取，一共 7 个位置，需要准备 7 盏灯笼． 【详解】（1）解：∵ 以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，抛物线顶点在原点，则顶点为， ∴ 设抛物线解析式为 ∵ 水面宽，拱顶离水面，可得抛物线上一点 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵ 原水面位置纵坐标为 ，水位上涨，灯笼高，灯笼底部距离最高水位不小于， ∴ 悬挂点纵坐标最小值：， ∴ 悬挂点纵坐标的最小值是， 把 代入 ，得 ∴ ． ∴ 悬挂点横坐标的取值范围是 ． （3）解：∵ 横坐标范围 ，相邻灯笼悬挂点水平间距为，且轴对称分布， 方案一：从顶点 开始，向左右每隔设置一个悬挂点，横坐标依次为 ， 一共 7 个点，所以需要准备 7 盏灯笼． 25．（本题12分）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】(1) (2)解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (3) 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：把绕点A逆时针旋转，得到，如图所示： ， ∵， ， ∴点在同一直线上， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）略 （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，， 则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $