精品解析：江苏南通市启东市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次素质检测数学试题

启东市第一中学2026-2027年度第一学期第一次素质检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 2. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 3. 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ，且 ， 对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 4. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将整体代换为后根据不等式范围求解. 【详解】设 ， 则  解得 ， 即 . 因为，所以 ； 由 ，可得. ， 即 . 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 7. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值； 解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 实数集可以表示为为所有实数或 C. 能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D. 集合与是同一个集合 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义，所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集，集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 10. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 11. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的必要不充分条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件． 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，需考虑的取值：时对应恒成立，时，无法对所有实数恒成立，仅时恒成立等价于，因此原充要条件不成立；对于B，当时即可判断；对于C，根据韦达定理即可判断；对于D，当能推出，但推不出，即可判断． 【详解】对于A，当时，若，则恒成立，当时，无法对所有实数恒成立，因此不是恒成立的充要条件，A错误； 对于B，当时，由推不出，B正确； 对于C，当方程有一个正根和一个负根时，有，解得， 因为能推出，而不一定有， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C正确； 对于D，由，得，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的属于关系分类讨论的取值，再结合集合元素的互异性验证筛选得到正确结果． 【详解】由，可知集合中存在元素为0，分两类讨论： 若，则，与矛盾； 若，而，解得， 此时集合，满足集合元素的互异性，符合题意， 综上，． 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求； （3）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3）或 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合，由集合并集的定义求得； （2）由集合交集的定义求得，再由集合补集的定义求得； （3）由集合的补集求得，由集合的关系建立不等式，然后求得的取值范围. 【小问1详解】 . 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以或. 【小问3详解】 因为，所以或. 因为，且， 所以或， 解得：或. 即的取值范围或 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）若为真命题，则对于，即可； （2）若为真命题，则存在，即可, 命题有且只有一个是真命题，分真假和假真两种情况求解. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可． 由于，，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则存在，即可． 由于，，，解得， 有且只有一个是真命题，则或， 解得． 17. 已知命题方程，有实数根. （1）若是假命题，求正实数的取值集合A； （2）在（1）的条件下，已知非空集合，请问是否存在实数，使得若是的必要不充分条件，若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为假结合判别式计算即可； （2）利用充分、必要条件的定义转化集合关系计算即可. 【小问1详解】 因为是假命题，所以是真命题，即方程，有实数根， 所以，即 【小问2详解】 存在，理由如下： 若是的必要不充分条件，则是A的真子集， 所以，解之得， 即满足题意的a的取值范围为. 18. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 19. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2026-2027年度第一学期第一次素质检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 4. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 实数集可以表示为为所有实数或 C. 能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D. 集合与是同一个集合 10. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的必要不充分条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______． 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求； （3）若，且，求的取值范围. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知命题方程，有实数根. （1）若是假命题，求正实数的取值集合A； （2）在（1）的条件下，已知非空集合，请问是否存在实数，使得若是的必要不充分条件，若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 18. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 19. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $