江苏苏州市第三中学2026-2027学年高一上学期十月采点考试数学试卷

苏州市第三中学2026—2027学年第一学期高一数学十月采点 参考答案与解析 一、单选题 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，条件不变，结论否定。 【解答】把“”改为“”，条件不变，把“”改为“”，选A。 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为非正整数，取与的公共整数。 【解答】，，所以，选D。 3．设为实数，且，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项用不等式性质或举反例。 【解答】A中，，即，错误；B中，错误；C取，，错误；D中，所以，正确。选D。 4．设是实数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例判断两个方向。 【解答】时但；时但。故既不充分也不必要，选D。 5．若集合，集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，再匹配元素。 【解答】由且，得，所以。此时，，故且，得。所以，选B。 6．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题为假等价于，。 【解答】时恒成立；时需最大值，即；时开口向上不恒成立。故，选D。 7．已知关于的不等式的解集为，则的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解集得且，再用基本不等式。 【解答】由解集知，且是的两根，所以。于是。因为，所以，取值集合为，选D。 8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解后按讨论解区间，再数整数。 【解答】。若，解集为两侧无界区间，含无穷多个整数，不合。故，解集为。又，上界小于1，区间含0，恰有3个整数只能为，故，即。存在需，得。故，选C。 二、多选题 9．下列说法中，正确的有（　　） A．不等式的解集为 B．“”是“”的必要条件 C．的最小值是 D．， 【答案】AB 【分析】逐项解不等式或判断充分必要、最值。 【解答】A中，正确；B中且，所以是必要条件，正确；C中时无最小值，错误；D中，时等于2，不是恒大于2，错误。选AB。 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（　　） A． B． C．的非空子集的个数为 D． 【答案】BC 【分析】先由韦恩图确定中的元素。 【解答】。中不属于的为，，所以；只含外的及3，即。A中，但，错误；B正确；有3个元素，非空子集个，C正确；，属于它，D错误。选BC。 11．若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．的解集为 D．当时，关于的不等式有解，则 【答案】BCD 【分析】由解集端点确定的符号和关系。 【解答】解集右端为3且不含3，故，A错误。在上分母，要使商，需分子，且为分子零点，得，B正确。且，得，C正确。，，得；在上有解需，D正确。选BCD。 三、填空题 12．函数的零点是______． 【答案】 【分析】令解方程。 【解答】，。 13．设集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为______． 【答案】 【分析】且，分与。 【解答】。时，满足；时，需或，得或。故。 14．已知函数的最大值为，关于的不等式的解集为，则的值为______． 【答案】 【分析】最大值0得顶点纵坐标0，解集端点确定对称轴与。 【解答】，最大值为0，所以。不等式即，解集的端点为1,2，故对称轴，。端点处，得。 四、解答题 15．（13分）（1）解不等式； （2）解不等式； （3）设，求函数的最小值。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）因式分解；（2）移项通分，注意分母符号；（3）换元后用基本不等式。 【解答】（1），，解集为。 （2）。分子恒成立，所以分母，解得。 （3）令，则，，当，即时取等号，最小值为。 16．（15分）已知命题：，，命题：，。 （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】真需恒成立；真需判别式非负。 【解答】真；真或。 （1）两者都真：。 （2）真假：；假真：。故。 17．（15分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量。经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备。这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）。 （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1）；（2）平方米时，最小，最小值为7万元。 【分析】写出，再解不等式、用基本不等式。 【解答】（1）。由得，两边乘5得，即，，所以。 （2），当，即时取等号。故占地15平方米时，最小为7万元。 18．（17分）已知不等式的解集为，关于的不等式的解集为。 （1）求集合； （2）若，求集合； （3）已知，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）。 【分析】（1）移项通分；（2）因式分解后按两根大小讨论；（3）按的符号讨论交集。 【解答】（1），得，。 （2）。时，若，；若，，；若，，。 （3）时，，符合。时，由得，即。时，结合（2）可知当时。综上。 19．（17分）已知集合为非空数集，规定：，。 （1）若集合，直接写出集合； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值。 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）。 【分析】（1）列举；（2）利用及最大差；（3）构造后半段区间并证明上界。 【解答】（1），。 （2）因为，，又中元素互异，所以。中最大元素为，故。比较中的差，它们都属于且小于，结合只有4个元素，可得，即。 （3）取，共个元素。其和至少为，差至多，故。另一方面，若，由抽屉原理可推出存在使，与矛盾。故最大值为。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市第三中学2026—2027学年第一学期高一数学十月采点 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 3．设为实数，且，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．设是实数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若集合，集合，且，则（　　） A． B． C． D． 6．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集为，则的取值集合为（　　） A． B． C． D． 8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法中，正确的有（　　） A．不等式的解集为 B．“”是“”的必要条件 C．的最小值是 D．， 10．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（　　） A． B． C．的非空子集的个数为 D． 11．若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．的解集为 D．当时，关于的不等式有解，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的零点是______． 13．设集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为______． 14．已知函数的最大值为，关于的不等式的解集为，则的值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）（1）解不等式； （2）解不等式； （3）设，求函数的最小值。 16．（15分）已知命题：，，命题：，。 （1）若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围。 17．（15分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量。经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备。这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）。 （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 18．（17分）已知不等式的解集为，关于的不等式的解集为。 （1）求集合； （2）若，求集合； （3）已知，求的取值范围。 19．（17分）已知集合为非空数集，规定：，。 （1）若集合，直接写出集合； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $