第二十五章 一元二次方程（章节综合） -2026—2027学年人教版数学九年级上册
第二十五章 一元二次方程
一、单选题
1．若m，n是一元二次方程
的两个根，则
的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
2．如图，在长为
，宽为
的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉、且花圃的面积是
．设小路的宽为
，下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（ ）
A．x（x+30）＝864 B．x（x+60）＝864
C．x2﹣60x+864＝0 D．x2﹣60x﹣864＝0
5．为了美化校园环境，加大校园绿化投资．某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则（ ）
A．18（1+2x）＝33 B．18（1+x2）＝33
C．18（1+x）2＝33 D．18（1+x）+18（1+x）2＝33
6．一元二次方程
可以通过配方转化为
的形式，则
的值是( )
A．-1 B．1 C．5 D．9
7．已知 
是一元二次方程 
的一个根，则m等于（ ）
A．
B．1 C．
D．2
8．关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．且
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C．
D．且
9．将抛物线
的图象位于直线
以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线
与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．对于多项式
记为
，即
．若
，即
．下列结论正确的有（ ）
①对于任意实数
，都有
；
②对于任意实数
，总有
，则
；
③若
，且
，则：
或
；
④存在实数，使得
成立．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．在自变量x的取值范围内，对于自变量
时，函数值
，则称a是函数的一个不动点，若函数
恰有一个不动点，则实数
的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
12．对于一元二次方程
，下列说法其中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则
；
②若
是方程的一个根，则一定有
成立；
③若
，则它有一个根是
；
④若方程有一个根是
，则方程
一定有一个实数根
．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程
的一个根是，则k等于 ．
14．“武汉樱花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为30万人次，2016年约为40万人次，设观赏人数年平均增长率为 ，则根据题意可列方程 .
15．若一元二次方程
有两个相等的实数根，则的值为 ．
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16．已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2＝ .
17．关于x的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1-x1x2+x2=1-a，则a= .
18．如果关于x的方程x2-2x+a-1=0有两个相等的实数根，那么a的值等于 ．
19．如果m是方程
的一个根，那么代数式
的值为 ．
20．一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 人
21．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是 ．
22．如果一元二次方程
有两个有理根，其中
为自然数，则
．
23．已知关于x的一元二次方程 
的两根x1和x2，且 
，则k的值是 .
三、解答题
24．用适当的方法解下列方程．
（1）
；
（2）
．
25．已知关于x的一元二次方程
有两个实数根
，
（1）求k的取值范围；
（2）若，满足
，求k的值．
26． 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同．求每次降价的百分率．
27．已知关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根，．
（1）求a的取值范围；
（2）若
，且a为整数，求a的值．
28．观察下列一组方程：
；
；
；
；
它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
若
也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
请写出第n个方程和它的根．
29．所谓完全平方式， 就是对于一个整式
， 如果存在另一个整式
， 使
， 那么称 是完全平方式. 例如
.
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