第二十五章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 第二十五章 一元二次方程 单元检测 一、选择题 1．若关于x的方程x2-2(m+1)x+m+4=0的两根的倒数和为1，则m的值为 A．6 B．4 C．2 D．3 2．已知一元二次方程x2－6x＋c=0有一个根为2，则另一根为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 3．将一块长方形桌布铺在长为3 m，宽为2 m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度.设桌布下垂的长度为x m，则所列方程是 A．(2x＋3)(2x＋2)＝2×3×2 B．2(x＋3)(x＋2)＝3×2 C．(x＋3)(x＋2)＝2×3×2 D．2(2x＋3)2x＋2)＝3×2 4．毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 5．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 6．将一元二次方程x（x+4）＝5x﹣3化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣x+3＝0 B．x2+4x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2﹣4x+3＝0 7．随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(　　) A．20(1＋2x)=28.8 B．28.8(1＋x)2=20 C．20(1＋x)2=28.8 D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2=28.8 8．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 9．两数之差为3，这两数的平方和为117，那么这两数的积为(  ) A．﹣54 B．54 C．±54 D．以上都不对 10．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3=0的根，则m的值为(  ) A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或3 12．5个连续整数(从小到大排列)前三个的平方和等于后两个的平方和，这样的整数组共有(  ) A．0组 B．1组 C．2组 D．多于X组 二、填空题 13．已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 __________ ． 14．若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程：__________（答案不唯一）． 15．若关于的方程有一个根为1，则的值为__________． 16．若三个连续的正整数中间一个数的9倍比另外两个数的积大9，则这三个数的和为__________． 17．已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程的两个实数根，则该等腰三角形的第三边长度是__________． 三、解答题 18．下列哪些数是方程x2＋2x－8=0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围； （2）如果方程的一个根为3，求另一个根和的值. 20．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为 x2第一步 x2x+……第二步 第三步 x……第四步 x ……第五步 （1）嘉淇的解法从第 　 　 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 　    　 ； （2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0． 21．按要求解方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 22．商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1(千克)与x的关系为y1=－x2＋40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2(千克)与t的关系为y2=at2＋bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表： (1) 求a、b的值； (2) 若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？ (3) 问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？ (说明：毛利润=销售总金额－进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计) 人教版（2024）九年级上册 第二十五章 一元二次方程 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．若关于x的方程x2-2(m+1)x+m+4=0的两根的倒数和为1，则m的值为 A．6 B．4 C．2 D．3 【答案】C 【解析】设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2=2(m+1)，x1x2=m+4， ∵+=1，即=1， ∴=1，解得m=2，经检验，m=2是所列方程的解. 2．已知一元二次方程x2－6x＋c=0有一个根为2，则另一根为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：设另一根为x2由根与系数的关系式得2＋x2=6，x2=4. 3．将一块长方形桌布铺在长为3 m，宽为2 m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度.设桌布下垂的长度为x m，则所列方程是 A．(2x＋3)(2x＋2)＝2×3×2 B．2(x＋3)(x＋2)＝3×2 C．(x＋3)(x＋2)＝2×3×2 D．2(2x＋3)2x＋2)＝3×2 【答案】A 【解析】设桌布铺到桌面上时各边下垂的长度为x m， 则桌布的长为(3＋2x)m，宽为(2＋2x)m， 依题意得(2x＋3)(2x＋2)＝2×3×2. 4．毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【答案】B 【解析】解：设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得： x（x-1）=780， 整理得：x2-x-1560=0， 解得：x1=40，x2=-39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B． 5．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程；B、方程是一元二次方程； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程． 6．将一元二次方程x（x+4）＝5x﹣3化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣x+3＝0 B．x2+4x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2﹣4x+3＝0 【答案】A 【解析】x（x+4）＝5x﹣3， x2﹣x+3＝0. 7．随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(　　) A．20(1＋2x)=28.8 B．28.8(1＋x)2=20 C．20(1＋x)2=28.8 D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2=28.8 【答案】C 【解析】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1＋x)2=28.8. 8．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 9．两数之差为3，这两数的平方和为117，那么这两数的积为(  ) A．﹣54 B．54 C．±54 D．以上都不对 【答案】B 【解析】设其中较小一个数为x，则另一个数为(x+3)，根据题意列方程得， x2+(x+3)2＝117， 解得x1＝6，x2＝﹣9； 当x＝6时，x+3＝9； 当x＝﹣9时，x+3＝﹣6； 因此这两数的积为6×9＝54[(﹣6)×(﹣9)＝54]. 故选：B． 10．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，，因为，所以方程无实数根； B、，因为，所以方程无实数根； C、，因为，所以方程有两个不相等的实数根； D、，因为，所以方程有两个相等的实数根． 故选：C． 11．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3=0的根，则m的值为(  ) A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或3 【答案】A 【解析】解：由勾股定理可得：AO2＋BO2=25， 又有根与系数的关系可得：AO＋BO=－2m＋1，AO•BO=m2＋3 ∴AO2＋BO2=(AO＋BO)2－2AO•BO=(－2m＋1)2－2(m2＋3)=25， 整理得：m2－2m－15=0， 解得：m=－3或5． 又∵Δ＞0， ∴(2m－1)2－4(m2＋3)＞0，解得m＜－， ∴m=－3， 故本题选A． 12．5个连续整数(从小到大排列)前三个的平方和等于后两个的平方和，这样的整数组共有(  ) A．0组 B．1组 C．2组 D．多于X组 【答案】C 【解析】设这五个连续整数为n，n+1，n+2，n+3，n+4， n2+(n+1)2+(n+2)2＝(n+3)2+(n+4)2， n＝10或n＝﹣2， 当n＝10时这五个数为10，11，12，13，14，15， 当n＝﹣2时这五个数为﹣2，﹣1，0，1，2． 故选：C． 二、填空题 13．已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 __________ ． 【答案】 【解析】设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 14．若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程：__________（答案不唯一）． 【答案】x2-4=0（答案不唯一）． 【解析】解：设所求方程式x2+bx+c=0， ∵方程的两根互为相反数， ∴b=-（x1+x2）=0，c=x1•x2≤0， ∴所求方程是x2+c=0（c≤0）， 故答案是：x2-4=0（答案不唯一）． 15．若关于的方程有一个根为1，则的值为__________． 【答案】7 【解析】解：将代入方程， 得，即 ，整理得， 解得 故答案为： 16．若三个连续的正整数中间一个数的9倍比另外两个数的积大9，则这三个数的和为__________． 【答案】24 【解析】设中间数为x，则另外两个数分别为和， 由题意得， 解得：（舍去），， 则另外两个数分别为7和9， 三个数的和为， 故答案为：24． 17．已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程的两个实数根，则该等腰三角形的第三边长度是__________． 【答案】 【解析】解：， ∴，即， ∴， ∴，， 当腰为1，底边为2时， ∵，所以此三角形不存在； 当腰为2，底边为1时，符合三角形的三边关系， ∴该等腰三角形的第三边长度是， 故答案为：． 三、解答题 18．下列哪些数是方程x2＋2x－8=0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 【答案】解：将x=－4代入方程x2＋2x－8=0，左边=(－4)2＋(－4)×2－8=0，即左边=右边，故x=－4是方程x2＋2x－8=0的根. 同理可得，x=－3，－2，－1，0，1，3，4.时，都不是方程x2＋2x－8=0的根， 当x=2时，左边=右边，故x=－4，2都是方程x2＋2x－8=0的根. 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围； （2）如果方程的一个根为3，求另一个根和的值. 【答案】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即：， 整理得： ， ； （2）∵方程有一个根是3， 将代入方程得：， ∴， 则原方程为： ， 解得： ， ∴方程的另一个根为. 20．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为 x2第一步 x2x+……第二步 第三步 x……第四步 x ……第五步 （1）嘉淇的解法从第 　 　 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 　    　 ； （2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0． 【答案】解 （1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是x. （2）x2﹣2x＝24， 配方得x2﹣2x+1＝24+1，即（x﹣1）2＝25， 开方得x﹣1＝±5， 解得x1＝6，x2＝﹣4． 21．按要求解方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】解： (1) ， ， 则或， 所以； (2) ， ， 则， 所以； (3) ， 或， 所以； (4) ， 则或， 所以． 22．商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1(千克)与x的关系为y1=－x2＋40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2(千克)与t的关系为y2=at2＋bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表： (1) 求a、b的值； (2) 若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？ (3) 问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？ (说明：毛利润=销售总金额－进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计) 【答案】解： (1) 根据表中的数据可得，． 答：a、b的值分别是1、20； (2) 甲级干果和乙级干果n天售完这批货． －n2＋40n＋n2＋20n=1140， n=19， 当n=19时，y1=399，y2=741， 毛利润=399×8＋741×6－1140×6=798(元)， 答：卖完这批干果获得的毛利润是798元． (3) 设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克， 则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m－1天的销售量， 即甲级水果第m天所卖出的干果数量：(－m2＋40m)－[－(m－1)2＋40(m－1)]=－2m＋41． 乙级水果第m天所卖出的干果数量：(m2＋20m)－[(m－1)2＋20(m－1)]=2m＋19， (2m＋19)－(－2m＋41)≥6， 解得：m≥7， 答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克． 学科网（北京）股份有限公司 $