精品解析：山东青岛西海岸新区胶南第一高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

山东青岛西海岸新区胶南第一高级中学2026－2027学年高一（上） 第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并集定义即得. 【详解】因，，则. 故选：D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B. 3. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立. 【详解】由可知 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 以上三个不等式两边同时相乘，可得 （当且仅当时等号成立） 故选：D 4. 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根号有意义的条件及分式有意义的条件，进行求解. 【详解】∵函数， ∴≥0，且x-4≠0， ∴﹣2≤x≤6，且x≠4， ∴f（x）的定义域为：， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题． 5. 下列说法正确的是（　　） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“，使得”的否定是“” D. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B：举出反例即可得；对C：借助特称命题的否定定义即可得；对D：解出不等式后利用必要不充分条件定义计算即可得. 【详解】对A：取无理数，则为有理数，故A错误； 对B：取，则，但， 故“”不是“”的充分条件， 取，，则，但， 故“”不是“”的必要条件， 故“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对C：命题“，使得”的否定是“”，故C错误； 对D：若，则，则且不能同时取等， 解得，故实数的取值范围是，故D正确. 故选：D. 6. 下列两个函数是相同函数的有（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D． 7. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设交于点，根据三角形相似性质得到，即可得到答案. 【详解】设交于点，如图所示： 因为，所以，即. 又因为， 即，解得. 又因为，，所以. 故选：B 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A 二、多选题 9. 已知集合，，则下列数是集合中的元素的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先解不等式求出集合A，B，再由求出集中的元素，从而可得答案 【详解】由得，解得，所以. 由解得，所以. 所以. 故选：ABD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合不等式性质，利用作差法比较大小，逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，因为，所以，所以，即，故A正确； 对于B：因为，又 ，所以，但符号不确定，所以无法判断正负，即与大小关系不确定，故B错误； 对于C：因为，又，所以，所以，即，故C正确； 对于D：因为，所以，所以，故D正确. 11. 已知是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为4 C. 最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】借助均值不等式、“1”的整体代换、代入消元法逐项判断即可，需注意验证等号是否成立. 【详解】对于A：由得， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最大值为，故A正确； 对于B：因为， 当且仅当，即时等号成立， 此时最小值为，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以，当且仅当， 即时等号成立，但因为是正数，故等号不成立， 所以取不到最大值，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为，故D正确. 三、填空题 12. 设集合，则集合的子集个数为______. 【答案】32 【解析】 【详解】由题意：是12的正因数，， 得，共5个元素， 所以子集个数. 13. “方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______，的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】方程至多有一个实数解解需，即， 要使是程至多有一个实数解的必要不充分条件， 则是的真子集，因此，故. 14. 已知实数满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法得到，再结合不等式性质求解即可. 【详解】设， 可得，解得，则， 因为，所以， 可得的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据分和两种情况讨论，建立不等式组，求解. 【小问1详解】 （1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 （2）当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上，实数的取值范围为. 16. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点． （1）证明：的周长为定值； （2）设，且记的面积为．求当为何值时，取得最大值，并求出最大值． 【答案】（1）证明如下： 由题意可知，，，， 所以，所以， 所以， ∴的周长为定值． （2）时，． 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得到，从而求出的周长； （2）利用勾股定理得到，由面积公式得到，利用基本不等式求出的最小值，即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为． 17. （1）比较两个代数式与的大小． （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法可得两者的大小关系. （2）由不等式的解可求参数，再利用一元二次不等式的解法可求不等式的解. 【详解】（1）， . （2）的解集为， 则1和2是的两个根， 所以代入，解得， 由，则， ， 即的解集为. 18. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】（1）， （2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 19. 设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. （1）已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； （2）已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1），或 （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东青岛西海岸新区胶南第一高级中学2026－2027学年高一（上） 第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 函数的定义域为 A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“，使得”的否定是“” D. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 6. 下列两个函数是相同函数的有（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合，，则下列数是集合中的元素的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为4 C. 最大值为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 设集合，则集合的子集个数为______. 13. “方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______，的取值范围是______. 14. 已知实数满足，则的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点． （1）证明：的周长为定值； （2）设，且记的面积为．求当为何值时，取得最大值，并求出最大值． 17. （1）比较两个代数式与的大小． （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 18. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 19. 设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. （1）已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； （2）已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $