山东省烟台市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

高一10月份数学月考试题 参考答案与解析 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确中的素数，再从中去掉。 【解答】，其中素数为，所以，选D。 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把两个集合中的数写成同分母，比较分子。 【解答】为所有奇数除以8；为被4除余1的整数除以8，故，选B。 3．已知全集和它的两个非空子集的关系如图所示，则下列命题正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由图知。 【解答】图中。因此，B正确；A、C与矛盾；D中内以外的元素不属于，也不属于，D错误。选B。 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由的定义域求的定义域，再解。 【解答】时，所以的定义域为。由得，选A。 5．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离常数，利用。 【解答】。因为，所以，故，选B。 6．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】逐项用不等式性质判断，注意举反例。 【解答】A中取，左边，右边，不成立；B中，与同向相加得，正确；C中，错误；D中异号时不成立。选B。 7．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别解两个不等式，比较解集。 【解答】；。前者是后者的真子集，所以充分不必要，选A。 8．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金。一位顾客到店里购买100g黄金，售货员先将50g的砝码放在天平左盘，取出 g黄金放在天平右盘使天平平衡；再将50g砝码放在天平右盘，再取出 g黄金放在左盘，使天平平衡，将称得的黄金交给顾客，则（　　） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】设左右臂长分别为，用杠杆平衡列式。 【解答】设左、右臂长分别为（）。由得，由得，所以，选A。 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知命题，；命题，。若一真一假，则实数的可能值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求为真的范围，再取一真一假。 【解答】真；真。一真一假得或，选项中只有5满足，选A。 10．已知，，，则（　　） A．且 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由得，再用基本不等式。 【解答】由得，且，所以，A正确；得，B正确；取，，C错误；（），D正确。选ABD。 11．不等式对任意的恒成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】化为，用判别式。 【解答】不等式化为，所以，A正确；由此，故，C正确；，D正确；B不一定成立。选ACD。 三、填空题（每题5分，共15分） 12．函数的定义域是______． 【答案】 【分析】根号内大于0，零次幂底数不为0。 【解答】需且，即且，定义域为。 13．设，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】令，用柯西不等式。 【解答】令，则，。，当时取等号，最小值为16。 14．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分离参数，求右边最小值。 【解答】不等式等价于对恒成立，右边最小值为，故。 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）设全集，集合，，其中。 （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）先求及其补集；（2）必要条件即，注意的端点为开。 【解答】（1）时，，所以。 （2）由题意，需且，解得。故。 16．（15分）已知，。 （1）若，解不等式； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）直接解一元二次不等式；（2）化为二次不等式恒成立，讨论二次项系数与判别式。 【解答】（1）时，即，解得或。 （2）不等式化为。需且，即且，解得。故。 17．（15分）关于的不等式。 （1）若解集是，求的值； （2）若，求此不等式的解集。 【答案】（1）；（2）答案见解析。 【分析】（1）由解集得两根为1,5且，比较系数；（2）因式分解为。 【解答】（1）由解集知，且，所以，，解得，。 （2）时原不等式为。当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为。 18．（17分）已知实数满足。 （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值。 【答案】（1）的最大值为，的最大值为；（2）最小值为，最大值为。 【分析】用和建立的范围，再代入。 【解答】（1）由得，所以，当时取等号，故。又，故，最大值为。 （2）由得，所以。于是，当时取最小值6；当时取最大值30。 19．（17分）已知实数满足。 （1）求证：； （2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，求的值； （3）继续推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意的恒成立？ 【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）。 【分析】令，，则，转化为的不等式。 【解答】（1）令，，则。原式。 （2）原式化为，即。右边最小值为4（），故，又为自然数，所以或。 （3）同理，需恒成立，右边最小值为，故条件为。 高一数学10月月考 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一10月份数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 3．已知全集和它的两个非空子集的关系如图所示，则下列命题正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A． B． C． D． 5．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 6．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 7．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金。一位顾客到店里购买100g黄金，售货员先将50g的砝码放在天平左盘，取出 g黄金放在天平右盘使天平平衡；再将50g砝码放在天平右盘，再取出 g黄金放在左盘，使天平平衡，将称得的黄金交给顾客，则（　　） A． B． C． D．以上都有可能 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知命题，；命题，。若一真一假，则实数的可能值为（　　） A． B． C． D． 10．已知，，，则（　　） A．且 B． C． D． 11．不等式对任意的恒成立，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．函数的定义域是______． 13．设，，若，则的最小值为______． 14．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）设全集，集合，，其中。 （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围。 16．（15分）已知，。 （1）若，解不等式； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围。 17．（15分）关于的不等式。 （1）若解集是，求的值； （2）若，求此不等式的解集。 18．（17分）已知实数满足。 （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值。 19．（17分）已知实数满足。 （1）求证：； （2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，求的值； （3）继续推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意的恒成立？ 高一数学10月月考 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $