精品解析：山东省青岛市黄岛区2025-2026学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

2025年10月阶段性检测数学学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合， 所以， 故选：A 2. 设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数关系的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误； B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确； C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误； D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误； 故选：B. 3. 已知集合,则中所含元素的个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】列举法得出集合，共含个元素． 故答案选 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系来判断充分必要条件可得. 【详解】由，得，即，解得. 又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 6. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（ ）人 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出集合表示的韦恩图，结合韦恩图，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为， 只参加球类的人数为，画出韦恩图，如图所示： 结合韦恩图，可得，解得， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故选：C. 7. 已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 8. 记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（ ） A. “是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B. “是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C. “是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D. “是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程组的解集是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断A；对参数是否为零进行分类讨论可得或可判断B；利用韦达定理可判断C；由可得是集合的子集可判断D. 【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误； 对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意； 当时，需满足，可得，因此或，故B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，所以必要性成立，故C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，，，共4个，故D正确. 故选：CD. 10. 当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a+b，a-b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ） A. 0是任何数域的元素 B. 若数域G有非零元素，则2 019∈G C. 集合P={x|x=2k，k∈Z}是一个数域 D. 任何一个拥有有限个元素数域的元素个数必为奇数 【答案】ABD 【解析】 【分析】当a=b时，由数域的定义可判断A；当a=b≠0时，由数域的定义可知1∈G，若1∈G，则1+1=2∈G，可判断B；当a=2，b=4时，∉G，可判断C；因为0∈G，当b∈G且b≠0时，则-b∈G，可判断D. 【详解】当a=b时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有a-b∈G，即0∈G，故A是真命题； 当a=b≠0时，由数域的定义可知，a，b∈G，则有∈G，即1∈G，若1∈G，则1+1=2∈G，则2+1=3∈G，…，则1+2 018=2 019∈G，故B是真命题； 当a=2，b=4时，∉G，故C是假命题； 因为0∈G，当b∈G且b≠0时，则-b∈G，因此只要这个数不为0，就一定成对出现， 所以任何一个拥有有限个元素的数域的元素个数必为奇数，所以D是真命题. 【点睛】本题考查集合中的新定义问题，难度较大.对于新定义的问题，关键是能读懂定义并能做出合理判断. 11. 已知实数满足，，则 （ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用不等式性质求目标式的范围. 【详解】由题设，则，即. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由的定义域得出，进而由得出所求. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即，解得 故函数，则函数的定义域是 故答案为： 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合，进而求得. （2）根据，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的值. （3）根据集合的元素的个数进行列举，由此求得正确答案. 【小问1详解】 令，解得，， 当时，， 令，解得，， 所以. 【小问2详解】 由， ①当时，，符合题意， ②当时，，此时不满足， ③当时，， 若，则需，此时方程组无实数解. 综上，. 【小问3详解】 集合， 由（2）可知， 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，要使中有且只有三个元素， 而，则，则，. 所以或. 16. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. （1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 （2）哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】（1） （2）方案二合理，理由如下： 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【小问1详解】 根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； 【小问2详解】 略 17. 已知命题，命题. （1）当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）当命题为真命题时，求实数的取值范围； （3）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用存在量词命题的否定，结合二次不等式恒成立问题即可得解； （2）利用存在量词命题的真假性，结合二次方程的判别式即可得解； （3）利用（1）（2）中的结论，分类讨论命题和的真假性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为命题， 当命题为假命题时，，为真命题， 当时，恒成立，满足题意； 当时，可得，解得， 综上，. 【小问2详解】 若命题为真命题， 则，解得或. 【小问3详解】 若命题和中有且仅有一个是假命题，由（1）（2）知， 若命题为假命题，则，若命题为真命题，则或； 若命题q为真命题，则或，若命题为假命题，则； 当命题为假命题、为真命题时，，解得； 当命题为假命题、为真命题时，，解得； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或 18. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” （1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素； （2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； （3）已知集合为弦方集，集合，证明：. 【答案】（1）是弦方集中的元素，不是弦方集中的元素； （2）依题意，集合为弦方集，且，即存在，使得， 正整数能表示为某个整数的平方，即存在， 所以， 所以是弦方集中的元素，即. （3）假设，则存在，， 使得，由于是奇数，所以是奇数， 所以一个是奇数，另一个是偶数， 不妨设， 则， 而除以的余数为，除以的余数为， 所以，与已知矛盾，所以. 【解析】 【分析】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断； （2）根据“弦方集”的定义证得结论成立； （3）利用反证法，先假设，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得. 【小问1详解】 因为，所以是弦方集中的元素. 不存在，使得，所以不是弦方集中的元素. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的方法步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况； （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 19. （1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：已知正数a，b满足，求的最小值.其中的一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件; （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出M取得最小值时m的值. 【答案】（1）函数的最小值为，此时； （2），当且仅当且同号，即时等号成立； （3）M的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）把函数表达式变形，利用基本不等式求最小值. （2）利用“1”的代换，可得，结合基本不等式可比较和的大小. （3）利用换元法，令，，可得，结合（2）的结论求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴当时，函数的最小值为. （2）由题意得， ， ∵，当且仅当时等号成立， ∴， ∴，当且仅当且同号，即时等号成立. 此时满足. （3）令，，则，即，构造，此时，. ∵， ∴，，， 由（2）得，，当且仅当时取等号， ∵， ∴， ∴，解得， 故M的最小值为，此时. 【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求解最值，具体思路如下： （1）函数通过凑项可变形为，利用基本不等式求解即可. （2）利用“1”的代换，可得，根据基本不等式可得，结合基本不等式的性质可得. （3）利用换元法，令，，，可得，结合（2）的结论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月阶段性检测数学学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合,则中所含元素的个数为 A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（ ）人 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（ ） A. “是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B. “是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C. “是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D. “是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程组的解集是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 10. 当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a+b，a-b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ） A. 0是任何数域的元素 B. 若数域G有非零元素，则2 019∈G C. 集合P={x|x=2k，k∈Z}是一个数域 D. 任何一个拥有有限个元素数域的元素个数必为奇数 11. 已知实数满足，，则 （ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的取值范围是__________． 13. 已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______. 14. 已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的值； （3）设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 16. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. （1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 （2）哪种方案较为合理？并说明理由. 17. 已知命题，命题. （1）当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）当命题为真命题时，求实数的取值范围； （3）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围. 18. 若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” （1）分别判断，，，是否为弦方集中的元素； （2）已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； （3）已知集合为弦方集，集合，证明：. 19. （1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：已知正数a，b满足，求的最小值.其中的一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件; （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出M取得最小值时m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $