河南省百师联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在 本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟,满分150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知直线1经过A(1,4),B(0,2)两点,则直线1的斜率为 A.2 c D.-2 2.已知抛物线C:y=3x2,则抛物线C的焦点坐标为 A(20 c.(o.) D.(o.-1) 3.“k=1”是“直线(k一2)x十y十1=0与直线3.x十(k一4)y一2=0平行”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 4.设椭圆C:。十y=1(a>1)和双曲线C:2-3 =1的离心率分别为e1,e2.若e2= √3e1,则a= b.√2 C./3 D.√6 5.已知F为抛物线C:y2=一12x上的焦点,P为抛物线C上的动点,点A(一4,2),则 |PF+PA的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 6.已知F,F:分别为椭圆C,号+y=1的左,右焦点,点P在椭圆C上.若P元 PF=0, 则|PF1 |PF2|= A.2 B.4 C.6 D.8 ⑧第1页(共4页) y2 起知双曲线C:。1b>0)的左右焦点分别为F,F过右焦点P:的直线1交双 曲线C的右支于A,B两点,且A店=3AF若∠FAB=否,则 F,AB的周长为 A.68 B.72 C.76 D.80 8欧拉定理表明:任意三角形的外心、重心、垂心三点共线,这条直线被称为欧拉线.在平面 直角坐标系中, ABC的顶点分别为A(0,0),B(4,0),C(1,3), ABC的欧拉线为直 线1,点P为l上的动点,过点P作圆Q:(x一6)2+(y一5)2=9的切线,其中一个切点为 M.当 PMQ的面积取得最小值时,切线长|PM= A.5 B./13 C.3 D.7 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知椭圆C满足:椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12,且椭圆C上的点到其 焦点的距离的最大值为9,则椭圆C的标准方程可能是 C36T9, D+ y2 1 10.已知圆C:(x一4)2+(y-1)2=5,点P(1,5),直线1:a.x-y-2a十2=0(a∈R),则下列 说法正确的有 A.直线l恒过点(2,2) B.点P到直线l的距离的最大值为3 C.若直线l与圆C相切,则a=2 D.若圆C上一点M关于直线1的对称点在圆C上,则a=一 2 b 11.如图,对勾函数y=ax十(a>0b>0)的图象是一条中心在坐标原点的旋转双曲线, 其渐近线分别为直线y=a.x与y轴,该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条渐近线 的角平分线.已知双曲线C:y=4: 3十3的实轴长为2m,离心率为e,设双曲线C的渐近 线与实轴夹角为90<0< ,则下列结论正确的有 A.e= cos 0 B点 (侣4是双曲线C的一个顶点 C.e=/10 D.m=3√2 3 ⑧第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知直线l的一个方向向量为m=(2,2√3),则直线l的倾斜角为 13.已知圆E:x2+y2=r2(r>0)上到直线4x十3y一20=0的距离为1的点有且仅有2个, 则r的取值范围是 x2 y2 14.若双曲线C:。-1(a>0,b>0)存在以点(2aa)为中点的弦,则双曲线C的离心 率e的取值范围是 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知 ABC的三个顶点分别是A(一2,0),B(4,一2),C(1,2). (1)求边AB上的中线所在直线的方程: (2)求边AB上的高所在直线的方程: (3)求过点C且与AB平行的直线的方程. 16.(15分)已知直线1过点A(一2,3)且与直线x-2y+1=0垂直,点B为圆C:x2+y2 10x十2y十m=0上的动点,直线l与圆C相交,且截得的弦长为2√5. (1)求直线1的方程; (2)求实数m的值; (3)求线段AB的中点P的轨迹方程. 17.(15分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点P(3,1)且与抛物线C交于A,B 两点。 (1)若点P为线段AB的中点,求直线AB的方程; (2)求AF| BF的最小值. 第3页(共4页) 18,I7分)吧知双血线 一1(a>0,6>0)的一条渐近线的方程为y=工,左、右患 点分别为F,F2,且|F1F2=8,过点F2的直线l与双曲线C交于A,B两点. (1)求双曲线C的标准方程 (2)若点A,B均在双曲线C的右支上,且 ABF,的周长为20√2,求直线l的方程. (3)探究是否存在x轴上的定点M,使得MA MB为定值?若存在,求出点M的坐标; 若不存在,请说明理由. 分)已知椭圆C,是1a>6>0的石焦点为F4,0点A0,4)在椭圆( (1)求椭圆C的标准方程. (2)设过点G(8,0)作斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两点,直线FM和FN的斜率 分别为k1,k2 ①求证:k1十k2为定值; ②求 FMN面积的最大值. ⑧第4页(共4页) 高二数学参考答案及评分意见 1.A【解析】因为直线1经过A(1,4),B(0,2)两点,所以直线1的斜率k=4二 1-0 =2.故选A. 2.C【解析】把抛物线C的方程y=3x化为标准方程,得2=子y,所以抛物线C的焦点坐标为0, 1 故选C. (k一2)(k一4)=3, 3.B【解析】若直线(k-2)x+y+1=0与直线3x+(k-4)y一2=0平行,则 解得=1或 一2 (k一2)≠3 k=5,所以“k=1”是“直线(k一2)x十y十1=0与直线3x十(k一4)y一2=0平行”的充分不必要条件.故选B. 4.D【解析】由e=3e1,得e=3ei.由椭圆C,和双曲线C,的方程,得e=a一1, 2十35 a2e= 2=2 所以-3 “。,解得=6因为>1,所以a-.放达 5.C【解析】由题意,得抛物线C的准线1的方程为x=3.因为当x=一4时,y=士4√3,一4√3<2<4√3,所以点 A与抛物线C在平面直角坐标系中,如图.设点P到准线!的距离为d,点A到准线!的距离为h,则由抛物线的 定义,得|PF|+|PA|=d+|PA|≥h=3-(-4)=7,当且仅当点P在点A到准线I的垂线段上时,等号成立, 所以|PF|+IPA|的最小值为7故选C. 6.A【解析】因为PF PF2=0,所以∠F,PF2=90 ,由椭圆的定义及题意,得在Rt PF1F2中,|PF,I+|PF,1 =6,PF,F+IPF,P=F,F,P=32,所以PF,1 IPF,I=PFl+IPE,-PF,+lPE,_ 2 36-32=2.故选A. 2 7.B【解析】由题意,得a=3.令|AF21=t(t>0),则由AB=3AF2,得|AB|=3t,|BF2=2t. 由双曲线的定义,得1AP,=AF,+2a=1+6,BF,=BF,+2a=21十6,在 F1AB中,∠P,AB=哥,由 余弦定理,得|AF2+IAB2-2|AF:1 AB|cos∠F1AB=1BF,I,即(t+6)2+(3t)2-2(t+6) 31 c0s号=(21+6,整理得1-10M=0,解得1=10或1=0(舍去),所以AF,=1+6=16,BF,=21+6= 26,1AB=3t=30.所以 F1AB的周长为72.故选B. B数学答案第1页(共6页) 5 8.D【解析】由题意,得 ABC的重心为G31线段AB的中点为D(2,0).因为点A,B均在x轴上,所以线段 AB的垂直平分线为直线x=2.设 ABC的外心为T(2,t),则由|TA|=|TC|,得(2-0)2+(t一0)2=(2一 1)2+(t一3)2,解得t=1,所以T(2,1),所以 ABC的欧拉线1的方程为y=1. 由圆Q的方程,得圆心Q(6,5),半径r=3,所以直线1与圆Q相离.因为S6g=专PM1QM=号1PM,所 以当|PM|取得最小值时, PMQ的面积取得最小值.因为|PM|2=|QP|2-|QM|?=|QP|2一9,所以当|QP| 取得最小值时,|PM取得最小值. 因为点P在直线y=1上运动,所以|QP|mm=5-1=4,所以|PM|mn=√/TQPn一9=√16-9=√7.故选D. 2a=12, 解得-6, y2 9.AD【解析】由题意,得 则6=a2一c2=36-9=27所以椭圆C的标准方程为6十271 a+c=9,c=3, 或 或36+27=1.故选AD. 10.ACD 【解析】因为直线l的方程可化为y=a(x一2)十2,所以直线l的斜率为a,且过点A(2,2),所以直线l 恒过点(2,2),故A正确 当PA⊥1时,点P到直线l的距离最大,且最大值为|PA=√(1一2)+(5-2)产=√10,故B错误. 若直线1与圆C相切,则圆心C(4,1)到直线1的距离d=12a+-5,解得a=2,故C正确。 √a+1 由题意,得圆心C(4,1D在直线L上,即4a-1-2a+2=0,解得a=一,放D正确,故选ACD 1ACD【解析】银据双面线的定义,设双曲线C:y=号+2的实轴长,虚轴长分别为2a,2h,则am0=台 a 0<0<受 b ,所以e=二=1+ a 会-十1am0=。放A正确,由题意知,在双曲线C中,顶点是实销所在 的直线与双商线的交点,渐近线y=号的斜率为宁 期m29=子-g 解得n0=方度am0=-一 2tan 0 3 (舍),所以双曲线C的实轴所在的直线为y=3.x.与y= 号+联立,解得顶点的坐标为包,9)或 3 35-95) ,故B错误由n0-号得6os0=3结合A选项得e= 1 3 二,故C正确,双曲线C的实 10 轴长为顶点 3595 到坐标原点距离的2倍,所以m 35 95 55 一0 =3√2,故D正确.故 选ACD. 12.号 【解析】由题意,得直线1的斜率为,3,所以直线1的倾斜角为行 13.(3,5) 解析】由题意,得圆心E(0,0),半径为r,圆心E(0,0)到直线4缸十3一20=0的距离d=20 因为圆E到直线4x+3y一20=0的距离为1的点有且仅有2个,所以|d一r|<1,即一1<4一r<1,解得3< ⑧数学答案第2页(共6页) r<5,即r的取值范围是(3,5). 1.1.u 【解析】若点(2a,a)在右焦点所在的区域(即点在双曲线内部),则必存在以点(2a,a) 3,则21 为中点的弦,此时号-分>1,解得0<分 a>3,所以e= ,b2 123 1 1十 a2 3 ,符合题意 若点(2a,a)不在右焦点所在的区域(即点在双曲线外部),则1<e<23, 设以点(2a,a)为中点的弦与双曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1十x2=4a,y1十y2=2a. 因为之 a2 b2 =1看一养-1,两式作差得_=0. ,x_y 所以弦AB的斜率k=一y_b(十x,)2b x1-x2a(y1+y2)a2 因为弦AB存在,所以直线AB与双曲线C有2个不同的交点,所以弘<。,解得0<。<号 a2 a a-2 则0<行所以e=-1吾∈} 篆上,双值线C的离心*e的取值枪围是(.写}2+】 15.解:(1)因为A(一2,0),B(4,一2),所以线段AB的中点为D(1,一1).…2分 因为C(1,2),所以边AB上的中线CD所在直线的方程为x=1. …4分 (2)因为A(一2,0),B(4,-2),所以直线AB的斜率k=4-(-2 一2一0 3 …6分 所以边AB上的高所在直线的斜率k=3…7分 又因为边AB上的高过点C(1,2), 所以边AB上的高所在直线的方程为y一2=3(x一1),即3x一y一1=0.……9分 (3)由(2)得,k=一3' 1 因为所求直线与直线AB平行,所以所求直线的斜率为一3 1 …11分 因为所求直线过点C(1,2),所以所求直线的方程为y一2=一 3(x-1). 即江十3y-7=0.…13分 16.解:(1)因为直线1与直线x-2y十1=0垂直,直线x-2y+1=0的斜率为7, 所以直线l的斜率为一2.…………………3分 又因为直线1过点A(-2,3),所以直线l的方程为y一3=一2(x十2),即2x十y十1=0.…5分 (2)圆C:x2+y2一10x十2y十m=0的标准方程为(x一5)2+(y+1)2=26一m, 则圆心C(5,一1),半径r=26一m,m<26.…6分 B数学答案第3页(共6页) 因为圆心C(6,-一1)到直线1的距离d=12X5十(-1)+1=25,…8分 √22+1 圆截直线1所得的弦长为25,所以r2 2w5 2 +(2√5)2=26-m,解得m=1.…10分 (3)由(2),得圆C的方程为x2十y2一10.x+2y+1=0. 设线段AB的中点为P(x,y),B(xoy). x=22 2 /x。=2x+2, 因为A(一2,3),所以 则 =+3,=2y-3. …12分 21 因为点B在圆C上运动,所以x8十y一10.x。十2y。十1=0, 即(2x+2)2+(2y-3)2-10(2x+2)+2(2y-3)+1=0, 化简,得(-) +-1少-华 4 即线段AB的中点P的筑连方程为。-引+(一1-空 15分 17.解:(1)设A(x1y1),B(x2y2). 由题意知,直线1的斜率存在且不为0,设为k,则直线1的方程为y=k(x一3)十1,k≠0.…2分 y=k(x-3)+1, 由 消去x,整理得ky2一4y十4一12k=0, y2=4x, =16-4k(4-12k)=16(3k2-k+1)>0恒成立.… …4分 4 因为点P(3,1)是线段AB的中点,所以y十y:==2, 解得k=2,所以直线AB的方程为y=2(.x一3)十1,即2.x一y一5=0.…7分 (2)由抛物线的定义,得|AF|=x1十1,|BF|=x2十1. 当直线1的斜率存在时,由1奥十一名y=43, 4 k 所以=-),+,-+-+》_6-2+4 44 ………10分 4 所以AF1 BF1=(x+1D(x,+1)=t1:+(x,+x)+1=一3)+66-2+4+1 -+16=-)+ 所以当站-专时.AP BF取得最小值号 …12分 当直线1的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,则x1=x2=3, 所以|AF|=|BF|=4, 则|AF| |BF|=16.… …14分 ⑧数学答案第4页(共6页) 因为16>所以AF1 BF的最小值为 5 …15分 18.解:(1)因为|F1F2|=8,即2c=8,所以c=4. ……2分 又因为一条渐近线的方程为y=x,所以a=b,所以c2=2a2,所以a2=8,b2=8.…4分 所以双角线C的标准方程为-苦1 …5分 (2)因为点A,B均在双曲线C的右支上,且 ABF,的周长为20√2, 所以|AB|+|AF,I+|BF,I=20√2,即|AB|+|AF2|+42+IBF21+42=202, 解得AB|=6√2.…7分 因为F2(4,0),所以设直线1的方程为x=ty十4. 代入x2一y2=8,得(ty十4)2一y2=8,整理得(12一1)y2十81y十8=0.…8分 由题意,得2-1≠0, =6412-32(t2一1)=32(12+1)>0恒成立. 8t 设A(x1y,B(xy),则yy=<0,所以<1y+y:= t2-1 ……9分 因为-y:P=(,+)-4y1,=64-3212-D_32+D (t2-1)2 (t2-1)2, 所以|AB|=√1+ |y1-y:|=1+2 /32(0+d_42(12+1=62.…10分 W(t2-1)2 1-t2 解得=日1所以1=士 5 所以直线1的方程为x=士十4即,5x十y一4后=0或5.一y一45=0.…12分 (3)假设存在x轴上的定点M(m,0),使得MA M店为定值.…13分 因为MA=(x1-m,y1),MB=(x2-m,y2) 所以MA MB=(x1-my) (x2-m,y2)=(x1一m) (c2-m)+yye =(ty1+4-m) (ty2+4-m)+y1y2=(t2+1)y1y2+(4-m)t(y1+y2)+(4-m)2 8C2+1_834-m)+(4-m)2=8m-2402+8+4-m)月.…15分 t2-1 t2-1 t2-1 因为MA MB为定值,所以8m一24=一8,解得m=2,此时MA MB=一4. 所以存在点M(2,0),使得M,MB为定值.…17分 19.(1)解:由椭圆C的右焦点为F(4,0),得c=4.…1分 因为点A(0,4)在椭圆C上,所以b=4.… …2分 所以a2=b2十2=32,…… ……3分 圆以绣国C的标准方程为爱+器-1 …4分 (2)①证明:设过点G(8,0)的直线MN的方程为x=my+8,由题意,得m≠0. 设M(x1y1),N(x2,y2).……5分 数学答案第5页(共6页) (x=my+8, 由z:,y2,消去x,化简得(m2+2)y2+16my+32=0. 32+16=1, 由判别式 =(16m)2-4(m2+2) 32=128(m2-2)>0,得m2>2, 所以y1+y2=一16m. 32 m2+2y1y2= m2+2 ,…7分 直线FM,FN的斜率分别为k,=yI x2一4 因为x1=my1十8,x2=my2+8, 所以,十k,=出 y2y1(my2十4)+y2(my1+4)2my1y2+4(y1+y2) my1+4y2十4 (my1+4)(my2+4) (my1+4)(my2+4) 因为2my寸4十2一420,所以,十,=0为定值………………11分 ②解:因为点F(4,0),G(8,0)均在x轴上,且|FG|=4,直线MN过点G, 所以 FMN的面积S=FG ,-=号 4X-y=2y一y=2,+-4y, 256m2128 即S=2m+2)m+2 /128m2-25616√2√m2-2 =2 √(m2+2)2 m2+2 ……14分 令t=√m2一2>0,则m2=t2+2,m2+2=t2+4,所以S= 16√2t16√2 t2+4 ,4 ……15分 由基本不等式,得1+>2 -4.当且仅当1=甲1=2即m=6)时,等号废立。 t 所以S≤4√2,即 FMN面积的最大值为4√2.…………17分 数学答案第6页(共6页)