精品解析：河南信阳市商城县达权店高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学十月月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 2. 已知直线过两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用两点间的斜率公式求斜率，再用直线垂直的斜率结论可解. 【详解】直线的斜率，则,则直线的斜率为. 故选：D. 3. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 4. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 5. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 6. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 点到直线的距离是 D. 若直线：，则 【答案】B 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A错误； 对于B，过与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，点到直线的距离是，所以C错误； 对于D，直线：的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 7. 如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面， 可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，如图所示， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，其中， 则， 则，即直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10. 已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据几何意义得，所求直线l需满足与MN平行或经过MN的中点，逐个选项检验即可． 【详解】当l与MN平行时，直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即， D选项的直线方程为，斜率为，显然与直线 MN平行，符合题意； 当l过MN的中点时，经检验只有A选项的直线方程符合题意． 故选：AD． 11. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. B. 四棱锥的外接球表面积为 C. 的最小值为 D. 与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，因为底面为正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，设，取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 又因为底面为正方形，所以， 即即为四棱锥的外接球球心， 因为，，所以，， 所以四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球表面积为，B错误； C选项，其中，，， 故，故， 将平面与平面展开到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时取得最小值， 最小值为，C正确； D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，， 则， 所以，故， 故，， 所以，其中， 设与所成角为，则， 当时，， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即，时， 取得最大值，最大值为， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即时， 取得最大值，最大值为， 综上，与所成角的余弦最大值为，D错误 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心为，过点的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】设该圆的标准方程为 由题意可得，，， 故圆的标准方程为. 13. 若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用空间距离的向量公式求点到平面的距离即可. 【详解】由已知得. 设平面ABC的一个法向量， 所以有，. 令，则，，所以. 所以点到平面ABC的距离为. 14. 篮球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知每位队员把球传给其他人的概率均为， 由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的情况可分为： 只在第一次接到球，只在第二次接到球，只在第三次接到球. 则概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【小问1详解】 由可得，，解得. 此时，，有，故； 【小问2详解】 由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【小问1详解】 在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . 【小问2详解】 正四面体的棱长为1，则， 所以. 17. 如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标如下： ，，，，，， 因为分别为线段的中点，所以： 的坐标为，的坐标为， 根据坐标，可得向量： ， ， ， 所以向量与垂直，即. （2） 【解析】 【分析】（1）通过建系求出向量和的坐标，利用数量积为0这一代数条件直接证明了空间两直线的垂直关系； （2）通过求平面的法向量，利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值计算出结果，再借助同角三角函数平方关系得出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由两两垂直，可得平面， 平面的一个法向量可取为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 根据线面角的正弦值公式： ， 因为线面角的范围是， 所以. 18. 设为实数，直线． （1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【答案】（1） 因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点； （2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 19. 如图，在多面体中，平面． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1） 因为平面平面， 所以，所以两两垂直， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则由， 可得，令，得， 所以，则， 又因为平面，所以直线平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）求得直线方向向量，平面法向量，通过向量的垂直关系即可求助； （2）由面面夹角的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得， 设平面的一个法向量为，则由， 可得，令，得， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学十月月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知直线过两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 6. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 点到直线的距离是 D. 若直线：，则 7. 如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. B. 四棱锥的外接球表面积为 C. 的最小值为 D. 与所成角的余弦值的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心为，过点的圆的标准方程为______. 13. 若空间中有三点，，，则点到平面ABC的距离为______. 14. 篮球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 16. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 17. 如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 设为实数，直线． （1）求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 19. 如图，在多面体中，平面． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $