河南省青桐鸣2026-2027学年高二上学期10月过程性作业评价数学试题（人教版）

高二年级过程性作业评价 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为 A． B． C． D． 2．已知点，，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 3．在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是 A． B． C． D． 4．平面内有，，三点，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 5．已知直线：，：，若，则实数的值为 A． B． C．或 D． 6．在三棱锥中，，，，，为的重心，则 A． B． C． D． 7．已知直线过点，且分别交轴的正半轴、轴的正半轴于点，，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知圆：，圆：，若圆上存在点，过可作圆的两条切线，且两条切线互相垂直，则的取值范围为 A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在长方体中，，，，，，则 A． B．当时， C．当时，平面 D．当时，直线与平面所成角的正弦值为 10．已知圆：，圆：，则 A．两圆的圆心距为 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 11．已知直线：，圆：，，，是上的动点，则 A．若，则平分圆 B．若，则与圆相切 C．若，则与圆相交 D．若上存在唯一的点可向圆引长度为的切线段，则或 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线：与：的交点在第一象限，则实数的取值范围为________． 13．在空间直角坐标系中，点，，，且，若，则实数的值为________． 14．若直线：交圆：于，两点，且为的中点，为坐标原点，则的最大值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，． （1）写出边上的中线所在的直线的方程； （2）从点射出的光线经反射后过坐标原点，求反射光线所在直线的斜截式方程． 16．（15分） 在三棱台中，，，平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知为坐标原点，直线：，圆：． （1），直线与圆都有公共点，求的取值范围； （2）若，直线交圆于，两点，点在以为直径的圆上，当最大时，求直线的一般式方程． 18．（17分） 在四棱锥中，，，，，平面． （1）证明：平面． （2）若直线与平面所成的角为． （Ⅰ）求的长度； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级过程性作业评价 数学（人教版) 参考答案 1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.D 8.C 9.AC 10.BC 11.ABD 12.(1,2) 13.4 14.2V2 33 15.解：(1)易知BC的中点E的坐标 …（2分) 2 又4，则=-4， (4分) 故的方程为-1=- ,即x-4y+3=0 … (6分) (2)设点D(x,)与点C关于l对称，则CD11,且CD的中点F在上，… (8分) 直线CD的斜率为 y 1 =-1 x= 4 x-44 7 4+x-4.y+3=0 56 y D (5456 故242 ，解得 17,则 (17'17 …（11分) 28 y= 所以反射光线所在直线的斜截式方程为 27 。。。。。。。。。。。。。 (13分) 16.解：(1)证明：取BC的中点为M,以A为原点， CB,AM,AA的方向分别为x轴、y轴、2 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.… …(2分) B D e=m,14则啡利c子9 c(-1,5,0 (5分) AC.BG-3-3-0 因 =22=0,所以4C⊥BC …(7分) …(9分) 设平面BCCB的法向量为=（化，八2）， -2x=0 ii.BC=0 1 、 则iCC=0 2y+2=0 取y=2,则i=(0,25) …（12分) os(n.C- n.AC 252i 又4C=(lv5.0.放所求正弦值为 AC V7×2 > …(15分) 17.解：(1)直线1化为x-y+2+k(2x+y-5)=0 (2分) x-y+2=0 x=1 令2x+y-5=0,解得y=3 故直线！恒过定点 N(1,3) (4分) 当且仅当点N不在圆外时，符合题意，故1P+32≤2，又r>0,解得r之V0 故r的取值范围是 √10，+0） ……(7分） (2)设AB的中点为M，如图所示， B 则OO的最大值为OM+M4,而lOM+M4OA=10 …(9分) AOMFMAF 2 2 当且仅当|OM=MA=V5时，等号成立， 所以OM+M4的最大值为2厅 (12分) 2-5k OM= =5 V1+2k)2+(k-1)2 k=- 由 解得 5 。。 (14分) 故直线的一般式方程为x-2y+5=0 (15分) 18.解：(1)证明：以A为原点，CB,AB,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系 0 B 设PA=a,则P(0,0a). B(0,2,0). D(-1,1,0).BD=(-1,-1,0).AD=(-1,1,0) PA=(0,0,-a).BD.AD=0,BD.PA=0, (3分) 故BD⊥AD,BD⊥PA, 又AD∩PA=A,且AD,PAc平面PAD, 故BD⊥平面PAD. 。。。。。。。 ……（6分) (2)(I)C(-l2,0）,故Bc=(-l0,0）,P=(0,2,-a) …（7分) 设平面PBC的法向量为i=(G,,)。 i.BC=0 ∫-x=0 则元：PB=0,即2y-ag=0,取4=a,则i=(0,a,2) (9分) n.PA 1 -2a=1 由题意，得 ,即Va2+4a2 解得a=2W5,放PA的长度为2V5 …（11分) (D由2)(1)，知i=(0,25,2.PB=(02,-2) (12分) 设平面PBD的法向量为m=(3,片，乙). mBD=0∫-x-h=0 则m-阳=0.即2-25=0，k=1,则-(5.v5.则.4分 故平面PBC与平面PBD夹角的余弦值为 9 …（17分) 19.解：1)设M(xy）,则M=(-2-x,-y),M6=(2-x,-y) 由MAM=0,得（-2-x2-x)+(←y=0 …（2分) 整理，得x2+y2=4 所以曲线C的方程为t+y=4.(4分) (2)(1)设N(）,P(,）,(x,乃），0为坐标原点， 则严.0P=0,即(：-)：+(-)y=0, (6分) 整理，得+--出=0，其中+=4，故x+=4, 同理，+%2=4， 故P(,),(,)都在直线x+%y=4上，…(8分) 又=4-%，故(4-)x+%y=4,即(-)+4x-4=0 y-x=0 x=1 令4r-4=0,解得y=1， 故直线P吧恒过定点（么，）】 (10分) (Ⅱ)自(2)(1)，知S1.直线0s:y=x交圆C:2+y2=4于2，-2) (2,V)丙点，南对修性可知。点T在直线y=上，设7化 …(11分) E HS ES √2-11+2 令HT ET. -2 即 t+2 解得t=2或t=1(不符合题意，舍去). HS ES 当t=2时， (14分) MS2 以下证明：对圆C:x+y=4上任意一点M(x,y),MT2 MS x-1+0-_2+y产-2x-2y+2 v6-2(x+)=V2 MT V(x-2)2+(0y-2}Vx2+y2-4x-4y+8√12-4(x+y) 2 MS 综上所述，存在与点S相异的点T(2,2）,使得MT恒为定值. … (17分)