第二章 一元二次函数、方程和不等式 培优卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学第二章 培优卷 一元二次函数 方程和不等式 2026-2027学年 人教A版必修第一册 解析版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章三节内容及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 本卷难度系数约0.58，为命题预估，未经样本施测。题源与逐题考点见卷末，改编题已单独注明。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由基本不等式，，所以C成立。 A在时取等，故不一定严格大于；B在时左侧为，右侧为，不成立；D在时不成立。 题源：2025年高考北京卷第6题 选编   2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 移项通分，得。原分母要求。 由分子和分母的符号可知，解集为。端点可取，不能取。 题源：2024年北京东直门中学高一10月月考第6题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）   3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 令，则。 当且仅当，即时等号成立，最小值为。 题源：2025-2026学年高一上第一次段考第5题 选编 原卷未署学校名   4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由条件，。 当且仅当，即时取等；结合原条件得。故最小值为。 题源：北京二中2024-2025学年高一第一学段考试第9题 选编   5. 关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 当时，抛物线开口向下，不能对一切实数恒成立；当时，原不等式为，也不能恒成立。 当时，需判别式，即。 综上，。 题源：自编模拟   6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，则。由，得，从而。 。 当且仅当且，即时等号成立，最小值为。 题源：自编模拟   7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令，则，原式为。 ，等号当且仅当，即时成立。 所以最小值为。若直接用基本不等式得到下界，取等所需不在给定取值范围，不能把作为最小值。 题源：自编模拟   8. 若方程有两个不同实根，均大于且小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 记 。两根相异要求 ，即 。 若两根均大于 且小于 ，则抛物线对称轴在该取值范围内，且 、。因此需 ，以及 。 其中 恒成立。将 与 、 或 联立，得到 。 反之，在此参数范围内，，对称轴大于 且小于 ，两端函数值均为正，且顶点函数值为负，所以两个相异实根均大于 且小于 。 题源：自编模拟   多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 某校高一、高二学生分别选择甲、乙两个活动场馆，每人只选一个。选择甲、乙场馆的高一人数分别为，高二人数分别为。已知高一参加总人数多于高二，甲场馆总人数多于乙场馆。下列关系必然成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 由题意有，。整理得且。 两式相加，得，所以，A正确；又同时大于与，故，C正确。 取，满足两个条件，但不成立，B错误；此时，，D也不成立。 题源：2026年高考北京卷第9题 改编   10. 设，其中。下列结论正确的是（ ） A. 当时，对任意，都有 B. 对任意都有的充要条件是 C. 当时，方程有两个不相等的实数根 D. 存在使的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 配方得，其在实数范围内的最小值为。 当时，，故A正确。 对任意实数有，等价于，即，故B正确。 方程有两个不相等实数根，等价于最小值小于，即或，故C错误。 存在实数使的条件同样是或，故D正确。 题源：自编模拟   11. 已知，，且。下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 由，得，故A正确，等号当且仅当。 取，满足条件，而，故B错误。 ，等号当且仅当，故C正确。 ，等号当且仅当，故D正确。各选项单独判断，不要求它们的等号同时成立。 题源：自编模拟   填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 ____________________。 【答案】 【解析】 由根为可知，所以。 目标不等式为，等价于，解得。 题源：2024年北京东直门中学高一10月月考第17题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）   13. 已知实数满足，则的最小值为 ____________________。 【答案】 【解析】 。 等号要求且，得到或。所以最小值为。注意题目没有限制均为正数。 题源：2024年上海春考数学第6题 公开重排题文交叉核验 选编   14. 已知，，，则的最小值为 ____________________。 【答案】 【解析】 由条件有，。 。 当且仅当时等号成立，故所求最小值为。无约束时取等所需不满足，不能直接套用无约束最值。 题源：自编模拟   解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）解关于 的不等式 ，其中 。 （1）分别写出时不等式的解集。 （2）当时，按的取值分类解不等式。 【答案】分类结果见解析。 【解析】 当 时，原不等式化为 ，解得 。 当 时，对应方程两根为 和 。需同时按二次项系数正负以及两根大小讨论。 当 时，二次项系数为负，原不等式在两个不同根之间成立。由 ，可知： 时 ； 时 。当 时原式为 ，无解。 当 时，二次项系数为正，原不等式在两个不同根的外侧成立。由同一差式可知： 时 ； 时 。当 时原式为 ，解为所有不等于 的实数。 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 。 【评分建议】 第（1）问4分：三个退化或重根情形写对各得1分，清楚区分开口与严格不等号另1分。 第（2）问9分：指出根与系数符号2分，正确处理四段根序与解集各1.5分，分类完整1分。 题源：自编模拟   16. （本小题15分）已知二次函数，其中。 （1）当时，求不等式的解集。 （2）若对任意，都有，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）当时，。因此的解集为。 （2）令，则。 若，则，所以必有。 若，则，且取等点在允许范围内。 故恒成立等价于。结合，得。合并两种情况，得。 【评分建议】 第（1）问5分：正确因式分解2分，写出含端点的完整解集3分。 第（2）问10分：换元2分；按顶点是否在允许取值范围内分类3分；求得并验证上界3分；合并范围2分。 题源：北京二中2024-2025学年高一第一学段考试第20题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）   17. （本小题15分）某实验小组用总长为的围栏，在一面足够长的直墙旁围出两个相邻的长方形实验区。与墙平行的外边总长记为，三段与墙垂直的围栏等长，每段长记为，中间隔栏也计入总长。两区总面积记为。 （1）写出之间的关系式，并用表示。 （2）不加其他限制时，求的最大值及取等时的。 （3）若每个实验区沿墙方向的宽都不少于，且，求的最小值，并说明设计能否实现。 示意图 两区宽度不要求相等 【答案】（1），；（2）；（3）。 【解析】 （1）平行墙的外边总长为，垂直墙的围栏共三段，故，且。两区面积之和为。 （2）由，得。当，即时取等号。 （3）若每区沿墙方向的宽都不少于，则。又，由得。 。对，有，所以最小面积为，在时取到。可把总宽分为和，满足每区宽度要求。 【评分建议】 第（1）问3分：围栏关系2分，面积关系1分。 第（2）问5分：建立面积上界3分，取等参数及其合法性2分。 第（3）问7分：确定可行取值范围3分，作差求最小值2分，给出满足每区宽度限制的实际分配2分。 题源：自编模拟   18. （本小题17分）已知均为正数，且。 （1）证明：，并求等号成立的条件。 （2）求的最小值，并求取等时的。 【答案】（1），等号在时成立；（2）最小值为，在时取到。 【解析】 （1），等号当且仅当，即。结合，得。 （2）令，。原式化为。 由基本不等式，。第一步等号要求，第二步等号要求。 两次等号可在、时同时成立，即，这些数均满足原条件。所以最小值为。 【评分建议】 第（1）问7分：常数代换与展开2分，基本不等式3分，完整等号条件2分。 第（2）问10分：换元与目标式化简3分，两层下界3分，验证全部等号能同时实现4分。 题源：据用户参考讲义跟踪训练4.3改编 仅保留讲义内来源线索   19. （本小题17分）已知均为正数，且。 （1）证明：。 （2）若另有，求最大的实数，使对所有满足条件的恒成立，并求等号成立的条件。 【答案】（1）恒等式成立；（2），等号当且仅当。 【解析】 （1）展开可得。由，两边除以，即得所证恒等式。 （2）由，得。又，等号当且仅当。 在此范围内，，等号当且仅当。 结合第（1）问，得。 当时原条件满足，两层估计同时取等，比值恰为。因此最大的实数为，所列三元组是唯一取等条件。 【评分建议】 第（1）问4分：正确展开并结合和为1，得到恒等式。 第（2）问13分：推出x的范围2分，合并y与z得到倒数和下界4分，作差证明尖锐界4分，核对取等与常数最大3分。 题源：自编模拟   题源与命题说明 近三年按2024至2026自然年计。真题题文以已核对的公开原卷或题文为据；改变情境、条件或设问的题目标为改编。自编模拟题不冒称真题。原卷镜像仅作为核对入口，不代表学校或考试机构官方发布渠道。 第1题 基本不等式与严格不等号 2025年高考北京卷第6题 选编查看题源 第2题 分式不等式的等价转化与端点 2024年北京东直门中学高一10月月考第6题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）查看题源 第3题 平移配凑与基本不等式 2025-2026学年高一上第一次段考第5题 选编 原卷未署学校名查看题源 第4题 用条件作常数代换并核验等号 北京二中2024-2025学年高一第一学段考试第9题 选编查看题源 第5题 二次项退化与全实数恒成立 自编模拟 第6题 和积换元与基本不等式 自编模拟 第7题 基本不等式的等号受取值范围限制 自编模拟 第8题 二次方程的根在给定两端均不取的范围内 自编模拟 第9题 不等关系建模 同向相加与反例 2026年高考北京卷第9题 改编查看题源 第10题 二次式的恒成立 存在性与根的统一分析 自编模拟 第11题 固定加权和的多个最值与不同等号条件 自编模拟 第12题 从解集逆求系数再解不等式 2024年北京东直门中学高一10月月考第17题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）查看题源 第13题 平方和证明与负数取等情形 2024年上海春考数学第6题 公开重排题文交叉核验 选编查看题源 第14题 带额外约束的倒数和最值 自编模拟 第15题 含参数二次不等式的完整分类 自编模拟 第16题 两端均不取的范围上的二次式恒成立与参数顶点 北京二中2024-2025学年高一第一学段考试第20题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）查看题源 第17题 带实际约束的基本不等式与二次式最值 自编模拟 第18题 两次基本不等式与等号条件同时满足 据用户参考讲义跟踪训练4.3改编 仅保留讲义内来源线索 第19题 带附加约束的最优常数与连续取等条件 自编模拟 难度与使用建议 前四题用于稳定基础方法，第五至十四题衔接参数、等号和范围，后五道解答题逐步进入完整分类、两端均不取的范围恒成立、实际约束、连续取等与最优常数。建议先独立计时，再针对错题中的条件与端点订正。 本卷考查基本不等式时均需核验正数条件、定值关系及等号可达；含参数题须检查退化、根序和开闭端点。解法不依赖导数、指数对数、三角或未经证明的竞赛不等式。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第二章 培优卷 一元二次函数 方程和不等式 2026-2027学年 人教A版必修第一册 试题版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章三节内容及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D.   2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D.   3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   5. 关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.   6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   8. 若方程有两个不同实根，均大于且小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 某校高一、高二学生分别选择甲、乙两个活动场馆，每人只选一个。选择甲、乙场馆的高一人数分别为，高二人数分别为。已知高一参加总人数多于高二，甲场馆总人数多于乙场馆。下列关系必然成立的是（ ） A. B. C. D.   10. 设，其中。下列结论正确的是（ ） A. 当时，对任意，都有 B. 对任意都有的充要条件是 C. 当时，方程有两个不相等的实数根 D. 存在使的充要条件是或   11. 已知，，且。下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D.   填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 ____________________。   13. 已知实数满足，则的最小值为 ____________________。   14. 已知，，，则的最小值为 ____________________。   解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）解关于 的不等式 ，其中 。 （1）分别写出时不等式的解集。 （2）当时，按的取值分类解不等式。   16. （本小题15分）已知二次函数，其中。 （1）当时，求不等式的解集。 （2）若对任意，都有，求实数的取值范围。   17. （本小题15分）某实验小组用总长为的围栏，在一面足够长的直墙旁围出两个相邻的长方形实验区。与墙平行的外边总长记为，三段与墙垂直的围栏等长，每段长记为，中间隔栏也计入总长。两区总面积记为。 （1）写出之间的关系式，并用表示。 （2）不加其他限制时，求的最大值及取等时的。 （3）若每个实验区沿墙方向的宽都不少于，且，求的最小值，并说明设计能否实现。 示意图 两区宽度不要求相等   18. （本小题17分）已知均为正数，且。 （1）证明：，并求等号成立的条件。 （2）求的最小值，并求取等时的。   19. （本小题17分）已知均为正数，且。 （1）证明：。 （2）若另有，求最大的实数，使对所有满足条件的恒成立，并求等号成立的条件。   第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $