第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式综合测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．若“不等式对任意恒成立”，则m的取值范围（   ） A． B． C．或 D．或 6．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 8．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10．已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 11．已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（    ） A．xy的最大值为18 B．的最小值为1 C．的最小值为13 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 13．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 14．已知，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知矩形的周长为8cm，设．    (1)矩形绕AB旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值； (2)若，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P． ①用x表示PC； ②求的最大面积及相应x的值． 16．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．若命题：不等式恒成立，命题：当时，不等式恒成立． (1)若命题为真时，求实数的取值范围． (2)若和这两个命题中一真一假，求实数的取值范围． 18．已知，， (1)若，求的最大值; (2)若，求的最小值; (3)若，求的最大值. 19．已知二次函数. (1)若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式综合测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可判断选项. 【详解】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D 2．若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据基本不等式计算可判断①、②、③；取特值举出反例可判断④. 【详解】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 3．已知则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 设，则， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 4．若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合基本不等式可得，，进而可得最小值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 5．若“不等式对任意恒成立”，则m的取值范围（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据已知不等式恒成立，应用分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，恒成立，满足题意， 当时，则，可得，所以， 综上，. 故选：B 6．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 7．若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得，结合已知列方程求参数值即可. 【详解】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 8．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】当时，恒成立， 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当时，，而恒成立，此情况无解， 综上，时，；时，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知，由韦达定理可得，由此即可判断出ABD选项，由二次函数 的性质可得，结合即可判断出C选项. 【详解】因为一元二次不等式的解集为或 所以，且一元二次方程的解，， 由韦达定理有， 所以且，A正确； 不等式等价于 解得或，B错误. 因为函数 ，二次函数开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递增，且, 所以，即，C正确； 不等式等价于， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. 10．已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 【答案】ACD 【分析】对于A，根据基本不等式，可得其正误；对于B，利用基本不等式“1”的妙用，可得其正误；对于C，利用多项式乘法以及配方法，可得其正误；对于D，利用放缩，再根据完全平方公式以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D选项，由，则， ， 设，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11．已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（    ） A．xy的最大值为18 B．的最小值为1 C．的最小值为13 D．的最小值为 【答案】CD 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，， 所以 所以，又， 则，当且仅当，时取等号，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B错误； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C，得 ， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 【答案】 ②③ 【分析】由作差法，不等式性质结合题设可得答案. 【详解】对于①，因，则，当且仅当时取等号； 所以，故①不成立； 对于②，因，则；故②成立； 对于③，因，则，又， 则；故③成立； 对于④，，因为，所以， 则，故④不成立. 13．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】先将不等式看成的不等式，利用判别式法求得，再利用判别式法求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意，对任意的实数，不等式恒成立， 所以其， 即，从而任意的实数，恒成立， 所以其，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知矩形的周长为8cm，设．    (1)矩形绕AB旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值； (2)若，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P． ①用x表示PC； ②求的最大面积及相应x的值． 【答案】(1) (2)①，；②时，△ADP的面积最大，最大面积为． 【分析】（1）根据题意得到旋转形成的圆柱的侧面积为，再利用基本不等式求解即可. （2）①设，根据得到，再利用勾股定理求解即可； ②，得到，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）∵矩形的周长为8，，∴，． 而旋转形成的圆柱的侧面积为． 当且仅当，即时等号成立． ∴圆柱侧面积的最大值为． （2）①设，则． ，，， ，． 在中，由勾股定理得，即， 解得，即，； ②由①得， 所以的面积为，， ∴． 当且仅当，即时，的面积最大，最大面积为． 16．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）化分式不等式为，进而求解即可； （3）化简不等式为，进而求解即可； （4）分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由，则， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，则， 即，解得或， 所以不等式的解集为. （3）由，则， 即，则，解得， 所以不等式的解集为. （4）由， 当时，不等式为，解得，则； 当时，不等式为，解得，则； 当时，不等式为，解得，则. 综上所述，不等式的解集为. 17．若命题：不等式恒成立，命题：当时，不等式恒成立． (1)若命题为真时，求实数的取值范围． (2)若和这两个命题中一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与进行讨论，结合二次函数图象性质计算即可得； （2）先利用二次函数图象性质计算出为真时的范围，即可得为假时的范围，再取真假或真假时的的范围即可得. 【详解】（1）若命题为真，当时，有恒成立，符合要求； 当时，则有，解得， 故实数的取值范围为； （2）由（1）知，若命题为真，则， 则当命题为假时，有或， 若命题为真，则有或或， 即有或或，则， 则当命题为假时，有或， 则当真假时，无解；当真假时，， 综上所述，若和这两个命题中一真一假，求实数的取值范围为. 18．已知，， (1)若，求的最大值; (2)若，求的最小值; (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知换元，再应用基本不等式计算求解； 【详解】（1） 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为； （2），，，又， ， 当且仅当时取等号，结合，解得，或，等号成立. 所以的最小值是4； （3）， ， ， 的最大值为 当且仅当取等号, 所以的最大值为. 19．已知二次函数. (1)若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)； (3) 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 【分析】（1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意可知的两个解为， 所以，所以； （2）因为恒成立，则， 即，解之得； （3）原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $