第二章 一元二次函数、方程和不等式 拔尖卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学第二章 拔尖卷 一元二次函数 方程和不等式 2026-2027学年 人教A版必修第一册 试题版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章三节内容及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D.   2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D.   3. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.   4. 若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.   5. 已知，，。若对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   6. 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于且小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D.   7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   8. 实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D.   多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 已知，，且。下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D.   10. 记，其中。下列结论正确的是（ ） A. 对任意都有的充要条件是 B. 对任意都有的充要条件是 C. 存在使的充要条件是 D. 方程恰有一个不同实根大于等于且小于等于的充要条件是或   11. 设集合由所有满足下列条件的实数组成：对任意，都有。记，。下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.   填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 关于的不等式有实数解，且对应方程的两个实数根之差的绝对值不超过，则实数的取值范围为 ____________________。   13. 若实数满足：对任意，都有，则的最大值为 ____________________。   14. 设 。若关于 的不等式 恰有两个整数解，求 的取值范围。 ____________________。   解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）已知正数满足。 （1）证明：。 （2）证明：。 （3）求的最大值。   16. （本小题15分）已知关于的方程，其中。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 （2）若方程两根之差的绝对值为，求的值。 （3）若方程有两个不相等的实数根，且两根都小于，求的取值范围。   17. （本小题15分）已知正数 满足 ，记 ， 为实数。 （1）求 的取值范围，并说明范围内每个数值都能取得。 （2）求 的最小值，并给出等号成立条件。   18. （本小题17分）已知正数满足，，记。 （1）令，求的可达范围，并将化为的式子。 （2）对任意实数，求的最小值与等号条件。   19. （本小题17分）设，。若对任意，都存在，使得。 （1）当时，求的取值范围。 （2）当时，求所有满足题设条件的数对。   第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第二章 拔尖卷 一元二次函数 方程和不等式 2026-2027学年 人教A版必修第一册 解析版 满分150分 建议用时120分钟 学校：________________ 姓名：____________ 班级：________ 学号：________ 范围：本章三节内容及必要的前置代数知识。请在本卷预留区域作答，解答题须写出推理、演算过程及等号或端点条件。 本卷难度系数约0.47，为命题预估，未经样本施测。题源与逐题考点见卷末，改编题已单独注明。 单项选择题 本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，有，再由得，故C正确。 A取不成立；B取不成立；D取不成立。 题源：2026年上海春考数学第14题 回忆版交叉核验 选编   2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 移项通分，得，即，并且。 由符号判断，解集为，选C。 题源：2025年高考全国II卷第4题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）   3. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由解集形状知。又原二次式的两根为，所以，有。 目标不等式化为。因，除以须变号，得，即，解集为。 题源：2025-2026学年高一上第一次段考第7题 选编 原卷未署学校名（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）   4. 若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因，原式大于等价于。 由，得，且时取等。 所以对任意正数恒成立的充要条件是。特别地时使原式为，不满足严格不等式。 题源：自编模拟   5. 已知，，。若对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因，全实数恒成立等价于判别式，即。 整理为。又，故。 所以最小值为，此时，且二次式可配成非负平方，端点可以取到。 题源：自编模拟   6. 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于且小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线开口向上。两根均大于且小于，等价于、对称轴且两端函数值均大于。 即，，，。 联立得。端点对应重根，有一根为，均应排除。 题源：自编模拟   7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由及，得，且。 故。 等号当且仅当，即，此时，确满足原条件。最小值为。 题源：用户参考讲义跟踪训练3.2 选编 原地区年份标签未独立核实   8. 实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，则。代入条件，得。 此方程关于必须有实数解，故判别式，从而。 当，取，，代入可得，且，所以上界确可取到。 题源：自编模拟   多项选择题 本题共3小题，每小题6分，共18分。全对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。 9. 已知，，且。下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 令，则，等号当且仅当。 ，取即知A中的不等号方向错误。 ，故B正确。 ，故C正确。 ，故D正确。 题源：自编模拟   10. 记，其中。下列结论正确的是（ ） A. 对任意都有的充要条件是 B. 对任意都有的充要条件是 C. 存在使的充要条件是 D. 方程恰有一个不同实根大于等于且小于等于的充要条件是或 【答案】AD 【解析】 对给定，关于的二次项系数为正。若，则。若，则。若，取即可得，故A正确，C错误。 对任意有的充要条件是。在时，，故B错误。 当时，方程只有一个不同实根。当时，两根为，均为正；较小根小于。较大根大于等价于；当时两根为，都在给定范围内。 当时，若则实根均为负；若则没有实根。故该方程恰有一个不同实根大于等于且小于等于的条件是或，D正确。 题源：自编模拟   11. 设集合由所有满足下列条件的实数组成：对任意，都有。记，。下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 满足 的数关于零对称，因此将 换成 ，再将 换成 ，命题不变。设 ，只需研究 。 当 时，对任意 ，有 。这是因为两个因式均不大于零。故该式对所有t非负，当且仅当 。 解此二次不等式，得 或 。 当 时，原式等于 ，所以所有 都满足。 合并得到 或 ，即可确定集合 。若 ，只需取 与 同号且 ，就可使原式为负，故没有遗漏。 因此A错误；B、C正确；D遗漏了，不正确。 题源：自编模拟   填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 关于的不等式有实数解，且对应方程的两个实数根之差的绝对值不超过，则实数的取值范围为 ____________________。 【答案】或 【解析】 判别式为，不等式有解要求。因二次项系数为，两根之差为。 故题意等价于。由，得或；由，得。求交得所列范围。 题源：参考北京二中2024-2025学年高一第一学段考试第17题改编（题设改为两个实根之差）   13. 若实数满足：对任意，都有，则的最大值为 ____________________。 【答案】 【解析】 ，所以符合要求。 若，取，则，与题意矛盾。 因此，其最大值为。这里不等式左侧在时取不到，但常数仍可取。 题源：自编模拟   14. 设 。若关于 的不等式 恰有两个整数解，求 的取值范围。 ____________________。 【答案】 或 。 【解析】 原不等式化为 。当 时无解，故只需考虑 。此时 。 注意 ，且 。所以可能的整数解只有 。 将这四个整数分别代入，可得： 是解当且仅当 ； 是解当且仅当 ； 是解当且仅当 ； 是解当且仅当 。 记 ，，则 。当 时，整数解为 ；当 时，整数解为 。 其余参数段的整数解个数分别为： 时至多一个； 时仅有 ； 时有三个。因此答案为 或。 题源：自编模拟   解答题 本题共5小题，共77分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分）已知正数满足。 （1）证明：。 （2）证明：。 （3）求的最大值。 【答案】（1）（2）证明见解析；（3），在时取到。 【解析】 （1）由，，，三式相乘，得。等号当且仅当。 （2），由得结论。等号同样在时成立。 （3）由，得。同理其余两项也成立，相加得。 三个等号可在时同时成立，故最大值为。 【评分建议】 第（1）问4分：三个两项基本不等式2分，相乘及等号2分。 第（2）问4分：展开倒数和乘积2分，逐对估计并给出等号2分。 第（3）问5分：把每项估计为对应两变量之和的四分之一2分，相加1分，验证全部等号同时达到并写最大值2分。 题源：自编模拟   16. （本小题15分）已知关于的方程，其中。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 （2）若方程两根之差的绝对值为，求的值。 （3）若方程有两个不相等的实数根，且两根都小于，求的取值范围。 【答案】（1）或；（2）或；（3）或。 【解析】 （1）。两个不相等实根要求，得或。 （2）设两根为，则。由，得，所以或，均满足两根相异。 （3）令，则方程变为。原两根均小于等价于这个方程有两个不同负根。 故需同时满足、两根之和以及两根之积。这三个条件也充分：实根积为正保证同号，和为负保证均负。 联立得或。端点对应重根，时有一根为，均排除。 【评分建议】 第（1）问4分：求出判别式2分，解参数不等式2分。 第（2）问4分：由根差平方等于判别式建立方程2分，求得并验证两个参数值2分。 第（3）问7分：平移2分，负根条件3分，联立与端点处理2分。 题源：2024年北京东直门中学高一10月月考第24题 选编   17. （本小题15分）已知正数 满足 ，记 ， 为实数。 （1）求 的取值范围，并说明范围内每个数值都能取得。 （2）求 的最小值，并给出等号成立条件。 【答案】；当 时， 的最小值为 ，当且仅当 时取得；当 时，最小值为 ，当且仅当 （并满足原条件）时取得。 【解析】 由 ，得 。 对于任意给定的 ，取 ，。三个数均为正，直接代入可验证它们的和为 ，且 。所以 的范围恰为 。 由原条件得 ，所以 ，只需在 上求这个二次式的最小值。 当 时，，且等号仅在 时成立。此时平方差和为零，故 。 当 时，。由于 且第一问已证明该和可以取得，故下界即为最小值。等号当且仅当 。 例如 ， 就是一组合法的取等数，说明最小值不是形式上的下界。 【评分建议】 第（1）问6分：平方差和推出必要范围2分，构造正数使范围中每个值可达4分。 第（2）问9分：化成s的二次式2分，按k分段求最小值4分，等号条件及可达性3分。 题源：自编模拟   18. （本小题17分）已知正数满足，，记。 （1）令，求的可达范围，并将化为的式子。 （2）对任意实数，求的最小值与等号条件。 【答案】当 时，最小值为 ，当且仅当 时取得；当 时，最小值为 ，当且仅当 （且 ）时取得。 【解析】 设 。由 且 ，得 。反之，此取值范围内任意p都可由 、 取得。 又 ，所以 。 当 时，，因为 且 。等号当且仅当 ，即 。此证明也覆盖负参数，不能在负参数下直接使用基本不等式。 当 时，，由基本不等式得 ，等号要求 。此时 ，故取等条件合法而且可以取得。最小值为 。 第二种情形下，取等的两变量为 与 ，顺序可交换。 【评分建议】 第（1）问5分：确定乘积的完整可达范围3分，化成一变量目标式2分。 第（2）问12分：包含负参数的第一段证明4分；第二段基本不等式及取等可达4分；分段结果、临界参数及等号条件4分。 题源：自编模拟   19. （本小题17分）设，。若对任意，都存在，使得。 （1）当时，求的取值范围。 （2）当时，求所有满足题设条件的数对。 【答案】当 时，；当 时，；当 时，。 【解析】 （1）当时，题设为对任意存在使。取得；若，对每个取即满足，故。 （2）以下先证必要性，再证充分性。 先求必要条件。取 时需有 ，而 ，所以必有 。 取 ，需在 中有 。当 时，配方得 ，其最小值为 ，所以 。 当 时，此二次式在 时的最小值为 ，在 时取得。因此必要条件是 且。这里也可用 直接证明。 下面证明这些条件也充分。若 ，对给定的任意 ，选取 ，满足，则 。 若 ，选取 ，满足，则 。 若 ，仍选取 ，则 。 综上得到所述分段条件。临界点 时两式同为 ； 时第二式与第三式同为 。 【评分建议】 第（1）问3分：给出必要界并构造y=0证明充分。 第（2）问14分：取x=0和x=2得到必要界5分；分三段构造合法y证明充分7分；完整结果与接点核验2分。 题源：自编模拟   题源与命题说明 近三年按2024至2026自然年计。真题题文以已核对的公开原卷或题文为据；改变情境、条件或设问的题目标为改编。自编模拟题不冒称真题。原卷镜像仅作为核对入口，不代表学校或考试机构官方发布渠道。 第1题 不等式性质与反例判定 2026年上海春考数学第14题 回忆版交叉核验 选编查看题源 第2题 分式不等式与分母不为零 2025年高考全国II卷第4题 选编（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）查看题源 第3题 开口方向 逆求系数与变号 2025-2026学年高一上第一次段考第7题 选编 原卷未署学校名（本卷将范围表示调整为不等式或集合形式）查看题源 第4题 分离参数与最值 严格端点 自编模拟 第5题 参数之间的约束与二次式恒成立 自编模拟 第6题 二次方程双根落在两端均不取的范围内 自编模拟 第7题 先推出变量范围再配凑求最值 用户参考讲义跟踪训练3.2 选编 原地区年份标签未独立核实 第8题 消元 判别式与线性式的可达上界 自编模拟 第9题 基本不等式的分式变形与和积消元 自编模拟 第10题 全称 存在与给定范围内根的个数 自编模拟 第11题 对参数恒成立的二次不等式与非连通解集 自编模拟 第12题 判别式与实根之差 参考北京二中2024-2025学年高一第一学段考试第17题改编（题设改为两个实根之差）查看题源 第13题 严格恒成立与下界不可达 自编模拟 第14题 含参数二次不等式的整数解个数与临界点 自编模拟 第15题 多次基本不等式与等号兼容 自编模拟 第16题 判别式 根差与根的分布 2024年北京东直门中学高一10月月考第24题 选编查看题源 第17题 对称约束的可达范围与含参数二次式最值 自编模拟 第18题 参数改变基本不等式取等点的可达性 自编模拟 第19题 全称存在量词与双参数二次不等式的尖锐边界 自编模拟 难度与使用建议 保留少量起步真题，随后加大根的分布、量词与严格端点的综合程度。后部要求证明可达性，处理参数改变最优点位置以及全称存在条件。建议对每个参数接点和等号单独写出检验。 本卷考查基本不等式时均需核验正数条件、定值关系及等号可达；含参数题须检查退化、根序和开闭端点。解法不依赖导数、指数对数、三角或未经证明的竞赛不等式。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $