第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷 （满分100分，建议用时90分钟） 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 使用说明 本卷为第二章单元复习卷，只测本章内容，共19题、满分100分、建议用时90分钟。 范围：2.1 等式性质与不等式性质、2.2 基本不等式、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式。 三个教材节点全部设题，主观题覆盖基本不等式应用与二次关系综合。 多项选择题全对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分。填空题每题4分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。 题目均标注来源。 本卷附答题卡与双向细目表，解析版另附编者评分参考。 一、单项选择题（本大题8题，每题4分，共32分） 1． （26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【分析】 由作差法，举反例等方法结合题设可判断选项正误. 【详解】 对于A，取，易得，故A错误； 对于B，取，易得，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 2． （25-26高一上·青海西宁·期中） 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【分析】 利用不等式的性质求解即可. 【详解】 因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 3． （26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【原解析】 【答案】 D 【详解】 由二次根式有意义，得，即. 当时，，不等式左边等于，满足不等式，所以是不等式的解. 当时，，不等式等价于，即. 所以不等式的解集为，即解集中的满足或. 4． （26-27高一上·云南·阶段检测） 若，且的最大值为5，则（    ） A．25 B．30 C．40 D．50 【原解析】 【答案】 D 【详解】 由题意，，且， 所以，从而， 当且仅当时等号成立． 由可知，取，，满足题设条件且能取到等号， 因此的最大值为，由题意得， 解得． 5． （26-27高一上·辽宁·期中） 不等式的解集为（    ） A． B． C． D．{或} 【原解析】 【答案】 B 【详解】 由题意可得 ，解得，即解集为， 6． （26-27高一上·全国·课后作业） 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【原解析】 【答案】 A 【详解】 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 7． （25-26高一上·山东济宁·阶段检测） 若，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【分析】 易知，利用基本不等式“1”的应用，即可求出的最小值. 【详解】 由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 8． （26-27高一上·河南·阶段检测） 已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【原解析】 【答案】 B 【详解】 若，得，所以，所以或， 故， 又⫋，所以“”是“”的充分不必要条件. 二、多项选择题（本大题3题，每题5分，共15分） 9． （26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【原解析】 【答案】 BCD 【分析】 根据不等式的性质，结合作差法判断即可. 【详解】 对于A，当时，则，故A错误； 对于B，， 因为，所以，，所以， 则，即，故B正确； 对于C，， 因为，所以，， 所以，即，故C正确； 对于D， ， 因为，，所以， 即，故D正确. 10． （26-27高一上·山东临沂·阶段检测） 已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为1 【原解析】 【答案】 ACD 【详解】 对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1，故D正确. 11． （26-27高一上·广西·期中） 已知不等式的解集为或}，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为或 【原解析】 【答案】 ABC 【分析】 先根据题意可得的两根为.根据根与系数的关系得到的关系及，再逐一分析选项即可． 【详解】 根据题意，可得的两根为，且，故A正确. 由根与系数的关系可得，即 ． 因为，所以B正确． 令，则，所以C正确. 由，得， 所以，即， 解得，所以D错误． 三、填空题（本大题3题，每题4分，共12分） 12． （26-27高一上·江苏扬州·阶段检测） 若，，则的取值范围是________． 【原解析】 【答案】 【详解】 由，可得， 因为， 所以可得. 13． （26-27高一上·全国·课堂例题） 已知正数，满足，则的最小值是______. 【原解析】 【答案】 【详解】 由题意知，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最小值是. 14． （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） 不等式的解集为______________________. 【原解析】 【答案】 【详解】 ∵，∴， 即，即， 即， 解得或， 即不等式解集为. 四、解答题（本大题5题，共41分（7、8、8、9、9分）） 15． （26-27高一上·广东揭阳·阶段检测） （1）已知，求的最小值； （2）已知，，分别求，的取值范围； （3）设，为实数，比较与的值的大小. 【原解析】 【答案】 （1）9； （2），； （3） 【分析】 （1）利用1的代换化简式子，然后利用基本不等式进行求解； （2）利用不等式的性质求解； （3）作差法求解. 【详解】 （1）由，，，得： ， 当且仅当，即，时取等号，因此最小值为. （2）由，得，又， 不等式同向相加得：，即； 由，得，又， 不等式同向相乘得，即. （3）作差得：， 当且仅当，时取等号，因此. 16． （26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 【原解析】 【答案】 (1)，，不等式解集为 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】 （1）根据不等式解集的端点值为对应方程的实数根，结合韦达定理即可求出的值，进而求出不等式的解集；（2）由（1）知，，可将不等式化为，再对1和进行大小讨论，分别求出不等式的解集即可. 【详解】 （1）由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得，则， 即的解集为. （2）由（1）得：，又， 当时，，则 ， 当时，，则不等式无解， 当时，，则 ， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17． （26-27高一上·天津河西·阶段检测） （1）已知，求的最大值； （2）已知正数x，y满足． （ⅰ）求xy的最大值； （ⅱ）求的最小值． （3）已知，求的最小值． 【原解析】 【答案】 （1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）；（3） 【详解】 （1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，所以的最大值为； （2）已知正数x，y满足， （ⅰ）则，即时，等号成立， 即，所以xy的最大值为； （ⅱ）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4； （3）因为，则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18． （26-27高一上·天津河西·阶段检测） 解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【原解析】 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) 【详解】 （1），得或， 故的解集为. （2）恒成立，故的解集为 （3）， 即，即，解得， 故的解集为. （4）由得或，解得或， 故的解集为. （5）由 得，即，解得， 故的解集为. 19． （26-27高一上·全国·期中） 已知不等式. (1)若，解这个关于的不等式； (2)若且，解这个关于的不等式. 【原解析】 【答案】 (1) (2)时，则该不等式解集为，时，则该不等式解集为 【详解】 （1）代入，则不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为. （2）当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为， 若，则该不等式解集为， 综上所述：时，则该不等式解集为，时，则该不等式解集为. 编者评分参考 解答题按小问给分，各小问分值之和等于该题分值；学生写出等价解法时按同样的逻辑给分。 15题（7分）：(1)建立倒数式乘以 的恒等式1分，求得最小值9并检验 、 可达1分；(2)分别求的范围 、ab的范围 ，每项1分；(3)作差配方1分，说明非负性1分，写明大于或等于及等号 、b=−1 成立条件1分。 16题（8分）：(1)由解集端点及韦达关系求出 m=−1、 得2分；代入新的二次不等式并用判别式或配方证明恒正、求出解集为R得2分。(2)因式分解为 得1分；按 、、 比较根的次序，并分别给出 、解集为空集、，每类1分。 17题（8分）：(1)将 2−x 与 配凑、求最大值−4并检验 x=−1，共2分；(2)(i)求 xy 最大值 并检验 、，共2分；(ii)求 最小值4并检验同一等号条件，共2分；(3)配凑求最小值 并检验 、，共2分。 18题（9分）：五问依次2、1、2、2、2分。(1)因式分解与解集各1分；(2)说明完全平方式非负且解集为R得1分；(3)移项通分及排除分母零点1分，解集 得1分；(4)等价转化1分，解集为 或 得1分；(5)化为 得1分，排除 的解集1分。 19题（9分）：(1)代入 并保留 得2分；化为 得1分；正确解集 或 得2分。(2)代入 且利用 等价化为 得2分； 时 、 时 ，每类1分。 以上按关键步骤累计给分；等价正确解法按对应逻辑给分。缺失步骤只扣该步骤分值，不以固定比例覆盖各题要求。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 双向细目表 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷　满分100分　建议用时90分钟 章节点 题号 题型 分值 主考点 能力要求 来源 难度系数 2.1 等式性质与不等式性质 1 单选题 4 不等式性质反例与作差辨析 概念辨析 （26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 0.92 2 单选题 4 正负条件下分式大小判断 概念辨析 （25-26高一上·青海西宁·期中） 0.4 3 单选题 4 根式不等式与端点条件 综合推理 （26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 0.85 8 单选题 4 分式集合与充分必要条件 综合推理 （26-27高一上·河南·阶段检测） 0.68 9 多选题 5 不等式性质、负数分式与和式比较 综合推理 （26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） 0.65 12 填空题 4 线性式取值范围 基础运算 （26-27高一上·江苏扬州·阶段检测） 0.85 2.2 基本不等式 4 单选题 4 基本不等式求定值 综合推理 （26-27高一上·云南·阶段检测） 0.9 7 单选题 4 和定条件下的分式和最小（“1”的代换） 基础运算 （25-26高一上·山东济宁·阶段检测） 0.85 10 多选题 5 和定条件下的最值辨析 综合推理 （26-27高一上·山东临沂·阶段检测） 0.65 13 填空题 4 积定求和的最小值 基础运算 （26-27高一上·全国·课堂例题） 0.9 15 解答题 7 和定倒数最值、范围与作差比较 证明与推理 （26-27高一上·广东揭阳·阶段检测） 0.82 17 解答题 8 三类基本不等式应用 综合应用 （26-27高一上·天津河西·阶段检测） 0.72 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 5 单选题 4 分式不等式解集 基础运算 （26-27高一上·辽宁·期中） 0.92 6 单选题 4 含绝对值的二次不等式 基础运算 （26-27高一上·全国·课后作业） 0.92 11 多选题 5 由解集反推系数结论 综合推理 （26-27高一上·广西·期中） 0.65 14 填空题 4 分式不等式解集 基础运算 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） 0.75 16 解答题 8 由解集反推二次系数与含参根顺序 分类与综合 （26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 0.62 18 解答题 9 五问不等式求解 运算与综合 （26-27高一上·天津河西·阶段检测） 0.83 19 解答题 9 含参分式不等式分类讨论 分类讨论 （26-27高一上·全国·期中） 0.82 题型 题数 每题分 小计 单项选择题 8 4 32 多项选择题 3 5 15 填空题 3 4 12 解答题 5 7、8、8、9、9 41 合计 19 — 100 说明 章节点按题目实际考查内容归类。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习卷 （满分100分，建议用时90分钟） 高一数学上学期 人教A版（2019） 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 使用说明 本卷为第二章单元复习卷，只测本章内容，共19题、满分100分、建议用时90分钟。 范围：2.1 等式性质与不等式性质、2.2 基本不等式、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式。 三个教材节点全部设题，主观题覆盖基本不等式应用与二次关系综合。 多项选择题全对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分。填空题每题4分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。 题目均标注来源。 一、单项选择题（本大题8题，每题4分，共32分） 1． （26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2． （25-26高一上·青海西宁·期中） 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3． （26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4． （26-27高一上·云南·阶段检测） 若，且的最大值为5，则（    ） A．25 B．30 C．40 D．50 5． （26-27高一上·辽宁·期中） 不等式的解集为（    ） A． B． C． D．{或} 6． （26-27高一上·全国·课后作业） 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 7． （25-26高一上·山东济宁·阶段检测） 若，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 8． （26-27高一上·河南·阶段检测） 已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题3题，每题5分，共15分） 9． （26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10． （26-27高一上·山东临沂·阶段检测） 已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为1 11． （26-27高一上·广西·期中） 已知不等式的解集为或}，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为或 三、填空题（本大题3题，每题4分，共12分） 12． （26-27高一上·江苏扬州·阶段检测） 若，，则的取值范围是________． 13． （26-27高一上·全国·课堂例题） 已知正数，满足，则的最小值是______. 14． （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） 不等式的解集为______________________. 四、解答题（本大题5题，共41分（7、8、8、9、9分）） 15． （26-27高一上·广东揭阳·阶段检测） （1）已知，求的最小值； （2）已知，，分别求，的取值范围； （3）设，为实数，比较与的值的大小. 16． （26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 17． （26-27高一上·天津河西·阶段检测） （1）已知，求的最大值； （2）已知正数x，y满足． （ⅰ）求xy的最大值； （ⅱ）求的最小值． （3）已知，求的最小值． 18． （26-27高一上·天津河西·阶段检测） 解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 19． （26-27高一上·全国·期中） 已知不等式. (1)若，解这个关于的不等式； (2)若且，解这个关于的不等式. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 答题卡 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 一、单项选择题（每题4分，共32分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、多项选择题（每题5分，共15分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9 10 11 多项选择题评分规则：全部选对得5分；部分选对且无错选得2分；有错选得0分。 三、填空题（每题4分，共12分） 12． 13． 14． 四、解答题（共41分） 题号 分值 得分 15 7 16 8 17 8 18 9 19 9 合计 41 解答题作答区：按题号书写，每题预留 8 行；也可写在原卷对应题号后。 第 15 题（7 分） 第 16 题（8 分） 第 17 题（8 分） 第 18 题（9 分） 第 19 题（9 分） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $