四川省内江市第六中学2026-2027学年上期高三第二次月考数学试题

内江市第六中学高2027届第二次月考数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（ ） A．-3 B． C． D． 3．已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A． B． C． D． 4．若，则（ ） A．1 B．3 C．9 D．10 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了20%的污染物，那么污染物减少到50%需要花（ ）。（精确到，参考数据：） A．5 B．6 C．15 D．18 6．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 7．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A． B．3 C． D． 8．已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，满足，，，则（ ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 10．已知的部分图象如图所示，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象可由的图象向右平移个单位得到 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 11．已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ） A．函数是偶函数 B．函数的周期为4 C．若函数有个零点，则的零点之和为 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 13．在的展开式中，的系数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 14．已知函数若函数有8个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（本小题满分15分） 已知数列满足，且数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）已知函数在处取得极值，求的解析式及单调区间． （2）已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和，已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （1）求； （2）求（用表示）； （3）设，求证：． 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； （3）在（2）的条件下，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $内江市第六中学高2027届第二次月考数学答案 一、单选题：1-8：DCBCCCDC 二、多项选择题：9.ACD10.ABD 11.ABC 三、填空题：12.113.35 14.[52,54) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)△ABC中， √3 asin C-acosC=c-b 3 sin Asin C-sin Acos C=sin C-sin B ,由正弦定理得 分 sin B=sin(4+C)=sin AcosC+cos 4sinC ,2分 则有v5sn4simC+os4snC=snC,由C∈(0，网)sinC≠0， m4-24+名，特4引方，分 ,π)1 则 66,得4=2知 由A∈(0，)，则4+=江， 36分 则sinA=5 (2)4=3,S3 2bcsin A=15/3 4,得bc=15,7分 由余弦定理a=+c2-2=B2+c2+be=(b+c}2-bc 9分 得49=b+c广-15，得b+c=8,…12分 所以△ABC的周长为a+b+C=15.13分 16解：(1)因为0=0，+2，所以-a,=2,放a,为公差为2的等差数列， S,=n+1-4中，令n=1得4=1+1-a,解得4= ,则，=1+2n-1)=2n-1 6分 232a,=(2m-1月2”，故=2+3x2+5x2+7x2++(2m-1)-2 ， 则27=2+3x2+5x2+7x25+…+(2n-l）-2 ②，两式①-②得…9分 22+2*+2++2-2n-2=24022n--2=2-8+2-(2m--2"=-6-2m-3 第1页/共6页 14分 故7-2'(2m-3)+6 .15分 【详01山定2城：0+侧了i×是是是f121=0之a=22分 当0=2附，f(X=2当x∈02时，fx<0fx单减：当x∈2，+x)时.fx>0fx单婚：x-2处 取得极小值，符合题意4分 ∴.f(x)=lnx+2 X 5分；f(x)的单减区间：(0,2），单增区间(2，+oo）6分 (2)8(x)=mr+a+a xx,由对于任意x∈0，+o,gx>0,所以8(x)m>0 :g(x)=1-9-2a-x-2alx+a xx2 x3 7分 ①当a=0时，g(x)=lnx,显然不成立..8分 ②当a>0时，当x∈(0,2a)时，g(x)<0,g(x)单减：当x∈(2a,+∞)时，g(x)>0,g(x)单增 g1xu-g2a=h2a+景0a心-n分 4 ③当a<0时，当x∈(0，-a)时，g(x)<0,gx)单减：当x∈(-a,+∞)时，g(x)>0,g(x)单增 .gx)mn=g(-a=ln(-a>0,∴.a<-1l4分 18.【详解】设“第一天选择路线A”为事件M,“第二天选择路线A”为事件B, PB=PMB+P(MBP(M)P BM)+P(MPBM3×+子×号 成PP+1-R归号 2 P,号3分 第2页/共6页 (②当第：无运邦路线时，第(a+)天选屏路线1的微车为R一。 当第n天选择路线g时，第a+1天选择路线的率为Pm-0-P）. 以P=P+3-P)=-4t4,n∈N',5 设2+=+刘，则R=-子，放-，解得2= 53 5,6分 其中R=有故R-言污 34 所是首顾为5，公北为4的等北数，狗 8分 =34 (i)证明：因为154)， 则从，5R-94-4 16 ，9分 应4444M0 当n≥2时，M4-44(4-可44-4）4，而M,=0 M+M2++M< 所以M2M3M14 13分 当、所，点#4-31；1.3 n≥2 M14-44-4-441-4>44’15分 第3页/共6页 M=0 、13 而M2 44. 311 A -I<+益+0<eN) 所以4M2MM 17分 19.(1)切线方程为：y=-X3分 （2证明：自量意，(x)中xce05x 当e受，元)>0 时，1+x,cosx≤0，又a≥1，所以(x)>0.4分 0,2时.今n寸， u′(x)=-1 (1+x)2tasinx 1 因为a≥1，则sinx在 0,x+2在0，》-第理 2ta>0 (1+ 所以u' )在(0，亚) 2上单调递增，且(0)=-1<0， 2 存4E(0受)】 ,使得'()=0. 0x<时，'x)<0,x)单调递减，当0x2时，4'x)>0, 以f(x)≤f(0)=1-a≤0， 受)江>0 1+ 又因为 2 ,所以存在1（x0’2,使得f()=0 第4页/共6页 当0<x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x1<x<π时，f(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)在 (0,π)上存在唯一极（小）值点1. 所以f(x1)≤f(0)=0,又因为f(π)=ln(1+π)>0，所以存在x2E(x1,π)，使得f(x2)=0,所以f(x)在 (0,π)上存在唯一零点x2,得证.8分 (3)证明：因为f(x2)=0,所以n（1+x2)=simx2,.9分 因为 （x-7ce0 1=acos%1 ,得1+x1 2sinx1-2asinxicosxi-asin2x1 所以1+x1 2sinx1 n(1+x2)> 因为a≥1，所以 1+X1等价于sin>sn2x.11分 r孕江告兽<0」 π2 1+ 结合(2)的分析，因为 4 受)>0 1受，吾)，21e受) 月牌因为1受)1n(1+受)-a<0 f(π)=(1+π)>0 所以”2（受，元） .因为sr在区间②，π) 上单调递减，要证sinx2>sin2x1,只需证x2<2x1.13 分 又因为f(x)在(x1,π)上单调递增，所以只需证f(2x)>f(x)=0. f2x1）=1n(1+2x)-asin2x1-1m（1+2x1）-1*x1, 2sinx1 2x1 借助x>sinr(x>0),可得 (2x1)>1n(1+21）+x1.15分 令(x)1n(1+2x)2y(x)22(1+x)-2x. 2x3 1+x,则 1+2zx(1w)2a*2x)01w02> 恒成立， )在-方，o⊙单调递增，所以)>0=0，即f2)>0成立，得证.所 第5页/共6页 、 2sin x1 1n(1+2)>1+x1成立.17分 第6页供6页